专题07 相似三角形（相似三角形的性质及应用+相似多边形+位似）（5高频&3易错&6重难&1模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材浙教版

专题07相似三角形（二） 目录 识记类 思维导图 知识清单(3类) 考点清单(8类) 公式清单(4类) 辨析清单(11类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(1类) 答题技巧清单 知识点01相似三角形的性质及应用 1.基础性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2.线段、周长、面积性质 ①对应高、中线、角平分线之比=相似比；②周长之比=相似比；③面积之比=相似比的平方。 注意：面积比一定要加平方，是高频易错点。 3.实际应用 利用相似构造比例，测量不能直接测量的高度、宽度、距离；常见模型：影子测高、标杆测高、镜面反射测距。说明：解题关键是找到两组垂直，构造直角相似三角形。 知识点02相似多边形 1.相似多边形含义：边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形叫做相似多边形。(举例：正方形和正方形相似) 2.相似多边形性质 对应角相等，对应边成比例；周长之比=相似比；面积之比=相似比的平方。 注意：多边形和三角形不同，只对应角相等，或者只对应边成比例，多边形不一定相似。 知识点03图形的位似 1.位似图形含义：两个图形不仅相似，而且对应顶点连线交于同一点，对应边互相平行或者在同一直线上，叫做位似图形，交点叫做位似中心。 2.位似的性质 位似比等于相似比；任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 注意：位似一定相似，相似不一定位似。 3.坐标系中原点位似 以原点为位似中心，位似比为k，点(x，y)变换为或者。 说明：同向缩放；反向缩放。 考点01相似三角形的性质(对应线段、周长、面积) 考点内容：相似三角形对应角、对应边关系；对应高、中线、角平分线之比；周长比、面积比与相似比的关系。 常见考法： ①利用相似比求对应高线、中线、角平分线的长度； ②周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方(高频易错); ③已知面积比反推相似比，或者已知相似比求面积比； ④结合性质列方程求解线段长度。 考点02相似三角形的实际应用 考点内容：利用相似三角形解决不可直接测量的高度、宽度、距离问题；影子、标杆、镜面反射模型。 常见考法： ①太阳光影子测高：太阳光线平行，构造直角三角形相似； ②标杆测高问题，分层构造相似； ③镜面反射测距，利用入射角等于反射角得到等角，构造相似； ④从实际情景中抽象出相似三角形，列出比例式求解。 考点03相似多边形 考点内容：相似多边形定义；相似多边形的性质；多边形相似和三角形相似的区别。 常见考法： ①判断边数相同的多边形是否相似，必须同时满足对应角相等、对应边成比例； ②利用相似多边形周长比=相似比，面积比=相似比平方进行计算； ③辨析易错点：多边形仅对应角相等，或者仅对应边成比例，不一定相似。 考点04位似图形的概念与性质 考点内容：位似图形定义、位似中心；位似和相似的关系；位似图形的性质。 常见考法： ①判断两个图形是否是位似图形，掌握三要素：相似、顶点连线交于一点、对应边平行或共线； ②理解：位似一定相似，相似不一定位似； ③利用“对应点到位似中心距离之比等于位似比”求线段长； ④确定位似中心的位置。 考点05平面直角坐标系中的位似变换 考点内容：原点为位似中心的坐标变化规律；位似作图；同向、反向位似。 常见考法： ①已知原图形点坐标和位似比k,求位似之后点的坐标(kx，ky)或者(-kx，-ky); ②k>0同向放大缩小，k<0反向缩放； ③根据坐标画出位似图形； ④已知一组对应点反求位似中心、位似比。 考点06相似经典几何模型综合 考点内容：A型、反A型、8字型、母子型、一线三等角、旋转手拉手相似模型识别、结论运用。 常见考法： ①快速识别图形模型，直接找到等角、成比例线段； ②母子型(射影模型),直接使用射影定理等积式计算； ③一线三等角(K型)模型，推导角相等证明相似； ④手拉手旋转相似，证明相似、推导线段比例、角度关系。 考点07相似三角形动点综合问题 考点内容：动点在边上运动，分类讨论三角形相似；分类思想、方程思想。 常见考法： ①动点运动，设运动时间，表示出线段长度； ②分多种对应情况讨论相似，避免漏解； ③结合相似性质列方程，求解时间或者线段长度； ④结合自变量取值范围检验解是否符合题意。 考点08相似压轴综合(二次函数、内接图形、多结论) 考点内容：相似与三角形内接矩形、二次函数、最值、多结论判断综合。 常见考法： ①三角形内接矩形，利用相似建立边长关系，求面积最值； ②相似和二次函数结合，求动点坐标； ③多结论选择题，逐个利用相似性质判断命题对错； ④相似结合勾股定理、方程进行复杂计算证明。 1.相似三角形对应线段关系： 若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k 对应中线的比对应角平分线的比=k 2.相似图形周长关系： 3.相似图形面积关系： 补充：相似多边形同样满足上面两条周长、面积公式 4.射影定理(母子型直角三角形) 在， 辨析01相似比的顺序误区 相似比是有先后顺序的，△ABC∽△DEF的相似比，和△DEF∽△ABC的相似比互为倒数，数值不相等，不能当成同一个相似比。 辨析02混淆相似判定里的夹角与对角 SAS判定相似，必须是两边的夹角相等；两边对应成比例，其中一边的对角相等(SSA),不能判定三角形相似，这是高频易错陷阱。 辨析03相似性质：面积比和相似比的关系混淆 相似三角形周长比、对应高中线、角平分线的比=相似比，面积比=相似比的平方，经常忘记平方，直接把面积比等同于相似比，是考试最高频丢分点。 辨析04相似多边形判定误区 多边形相似，需要同时满足：边数相同、对应角相等、对应边成比例；只对应角相等(如矩形)或者只对应边成比例(如菱形),多边形不一定相似，和三角形不一样。 辨析05位似与相似概念混淆 位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；位似额外满足：对应顶点连线交于同一个位似中心。对应边互相平行或者在同一直线上。 辨析06坐标位似漏写两种情况 以原点为位似中心，位似比为k时，坐标变化有两种：和;做题常常只算出正方向缩放，漏掉反向位似这一组解。 辨析07动点相似问题，漏分类讨论 动点型相似题，没有固定对应顶点，需要分多种对应情况讨论；只按一种对应关系计算，容易漏掉部分符合题意的解。 辨析08射影定理适用条件混淆 射影定理(母子型结论)只适用于直角三角形斜边上作高的图形；普通三角形、非直角三角形不能套用这一组等积结论，不要随便套用模型公式。 辨析09模型套用误区，强行套模型做题 看到图形长得像A型、一线三等角、手拉手模型，先确认模型满足的条件；图形外观相似但缺少相等角或者比例条件时，不能直接套用模型结论。 辨析10相似实际应用题，找错直角、错找相等角 影子、镜面反射题型，镜面反射利用入射角等于反射角；太阳光光线是平行；不要自己凭空构造等角，要从题意里找平行、垂直关系推导。 辨析11网格相似三角形计算错误 网格里判断相似，先用勾股定理算出所有边长；边长计算出错，直接导致三边比例判断错误；注意斜边长度不要算错。 【题型一】利用相似三角形的性质求线段长度 【例1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 【变式1-1】（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（     ） A．4 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据平移性质证得，利用面积比等于相似比的平方建立方程求解． 【详解】解：设交于点，交于点 ∵平移 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 【变式1-2】（26-27九年级下·全国·期中）如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值为（     ） A．5 B． C．5或 D．5或 【答案】C 【分析】分原直角三角形中6和8均为直角边、8为斜边两种情况，结合相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当原直角三角形的6和8均为直角边时，斜边长为， ∵两三角形相似，且， ∴，解得； ②当原直角三角形的8为斜边，6为直角边时，另一条直角边长为， ∵两三角形相似，且， ∴，解得； 综上，x的值为5或． 【变式1-3】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9． 【题型二】利用相似三角形的性质求周长之比，面积之比 【例2】．（26-27九年级上·陕西西安·期中）已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，和是对应中线，，， ∴两个三角形的相似比为， ∴对应角平分线的比为． 【变式2-1】（26-27九年级上·山东潍坊·期中）若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，相似比为， 与的周长的比为． 【变式2-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，，，则（     ） A．9 B．10 C．21 D．25 【答案】D 【分析】由平行线得出三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 【变式2-3】（26-27九年级上·广东佛山·期中）已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（     ） A．相似比为 B．面积比为 C．对应中线的比为 D．对应高的比为 【答案】B 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴相似比为，A选项不符合题意， ∵相似三角形对应中线的比、对应高的比都等于相似比， ∴对应中线的比为，对应高的比为，C、D选项不符合题意， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴面积比为，B选项符合题意． 【题型三】利用重心的性质进行相关求解 【例3】（26-27九年级上·上海·期中）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，连接，如果，那么___________． 【答案】 【分析】在中，点是重心，连接，并延长交于点，得点为边的中点，；由过点作，交边于点，得；再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：在中，点是重心，连接，并延长交于点， 则点为边的中点，且， ∵点是重心， ∴，即， ∵， ∴， ∵过点作，交边于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（26-27九年级上·四川·期中）如图，中，，为边上一点，为延长线上一点，连接，，为中点，连接交于点，，，则______． 【答案】 【分析】作，等腰三角形三线合一得到点H是中点，三角形中线的交点是重心，利用重心性质得到，证明，，三角形相似可以得到，进而得出，由勾股定理得：，进行求解即可． 【详解】解：过点D作，垂足为H，与交于点，如下图所示， ，， 点H是中点， 又点F是中点， 点是的重心， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 在，，由勾股定理得：， 在，，由勾股定理得：， ， 解得：或（舍去）， 所以，． 【变式3-2】（2026·浙江台州·模拟预测）两个等腰直角三角形和的位置如图所示，点、、和点、、分别在一直线上，，，，点、分别是、的重心，联结，那么______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，然后根据重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍即可求解． 【详解】解：联结并延长交于，联结并延长交于， ∵等腰直角三角形和， ∴，， ∴， ∵点、分别是、的重心， ∴，，，，， ∴，即、、三点共线， ∵等腰直角三角形和， ∴，， ∴. 【变式3-3】（25-26八年级下·上海普陀·期末）在中，，，，那么的重心G到斜边的中点的距离是_____________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，即为的中点，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出中线的长，最后根据重心的性质计算的长即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵是的重心， ∴是的中线，即为的中点， ∵， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理得：， ∴， 根据重心的性质可知， ∴， 即的重心到斜边中点的距离是． 【变式3-4】（25-26七年级下·广东揭阳·期中）如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为_____________． 【答案】 【分析】先根据三角形中线的性质推出，，，再根据三角形重心的性质推出，，最后根据进行等量代换计算即可求解． 【详解】∵，，为中边的中线， ∴，，， ∴，，， ∵三边的中线，，的公共点为， ∴为的重心， ∴， ∴，，即，， ∴，， ∵ 即，解得：， ∴． 【题型四】判断位似图形的位似中心 【例4】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【变式4-1】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点.观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 【变式4-2】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换的性质．根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，即可解答． 【详解】解：如图， ∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上， 点Q为位似中心． 故选：D． 【题型五】求两个位似图形的相似比、周长比以及面积比 【例5】（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长是9． 【变式5-1】（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ． 【变式5-2】（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】位似图形属于相似图形，相似三角形周长比等于相似（位似）比，由此得到对应边的比例，代入已知线段长即可求出． 【详解】解：与的周长比为， 与的位似比为， ， ， ． 【变式5-3】（25-26九年级下·重庆南岸·期中）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质可得，相似比为，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为． 【题型一】网格画相似三角形时相似比、对应关系出错而致错 【例1】（26-27九年级上·吉林长春·期中）在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： 则即为所求； (2)解：根据题意，画图如下： 则点F，点即为所求． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，画图即可； （2）根据三角形相似的判定，解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 易错警示 画图时仅凭肉眼判断形状，没有先用勾股定理计算边长验证三边成比例；容易把相似比颠倒，也容易出现顶点不在格点上的问题。 【变式1-1】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 的面积为5． 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【详解】（1）略； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 【变式1-3】（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 【答案】(1)如图所示，点为所求点， ； (2)如图所示，点为所求点， ； 【分析】（1）由网格图像得到，再根据得到，所以，根据网格的特点画出点； （2）先找出与相等的角，再利用相似求得的长度，确定点的位置． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据网格的特点可知为两个网格的对角线， ∴作相邻两个网格的对角线， 即点为所求点； （2）解：如图图所示， ， 由网格可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，． 【变式1-4】（2026·吉林长春·模拟预测）在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点的一条边重合，且与相似． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）根据三边相等的三角形是全等三角形作图即可； （2）根据三边对应成比例的三角形是相似三角形作图即可； 【详解】（1）解：如图， 则， ∴； （2）解：如图， 则， ∴， ∴． 【题型二】位似作图忽略对应连线交于位似中心、漏方向而致错 【例2】（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：点即为所求． 【分析】（1）根据位似图形的性质得出各对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据相似三角形的性质，取格点、，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：取格点、，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：由网格可知，，，， ∴， ∴， ∴点即为所求． 易错警示 位似图形所有对应顶点连线必须经过同一个位似中心；放大、缩小可以在位似中心两侧，经常只画出一侧；画图时比例控制错误。 【变式2-1】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；②画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为_________． 【答案】(1)① ② (2)是位似图形， 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：如图，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点M， ∴点M的坐标为． 【变式2-2】（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． (1)是________三角形 (2)以点B为位似中心，在点B的下方画出,使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为________ 【答案】(1)等腰直角 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理与网格，得的长度，根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）结合位似图形的性质进行作图即可； （3）根据位似图形的性质得出，对应点到位似中心的距离的比等于相似比，则满足，进而代入即可求解． 【详解】（1）解：由题可知：，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）略 （3）解：由（2）得以点为位似中心，且位似比为，经过（2）中位似变换后的对应点， ∴， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点、、对应，且点在第一象限； (2)在（1）的条件下，与的面积比为． 【答案】(1)即为所求： (2) 【分析】本题考查了画位似图形，位似图形的性质． （1）根据要求作图即可； （2）根据位似图形面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为：． 【变式2-4】（26-27九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)以原点O为位似中心，相似比为1∶2，在y轴的左侧画出放大后的； (3)如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点的坐标． 【答案】(1)如图所示：即为所求； (2)如图所示：即为所求， (3) 【分析】（1）利用关于轴对称点的性质得出各对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似变换的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出点坐标变化规律即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如果点在线段上，经过（2）的变化后D的对应点的坐标：． 【题型三】相似多边形判定条件混淆误用性质而致错 【例3】（26-27九年级上·江西鹰潭·期中）如图，在矩形中，，，点Q在对角线上，且，连接并延长，与边交于点P，则线段________． 【答案】4 【分析】利用勾股定理求出，进而求出的长，证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分情况后的三条线段能否构成三角形. 【变式3-1】（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，将沿着折叠得到与相交于点E，则的长是_____． 【答案】 【分析】连接交于点G，连接，利用矩形的性质、轴对称的性质以及勾股定理求出相关线段的长度，证明，得出对应边成比例，列出方程即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点G，连接， 由折叠可知，， 在矩形中，， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长是． 【变式3-2】（26-27九年级上·山东东营·期中）如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 【答案】 【分析】结合平行四边形的性质和相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 【变式3-3】（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，，延长至，使．连接，平分交于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求出的长度，再利用角平分线定义和等腰三角形的性质及判定即可求出，设参数，利用三角形相似构造线段比例相等，列关于的方程，解出，再根据勾股定理即可求出长度． 【详解】解：过点作于，如图所示， 为正方形， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， 在中，． 【变式3-4】（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，高，正方形的边在上，点分别在上，交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，，即得，，由四边形是矩形得，即得到，设，则，再利用相似三角形的性质求出的值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【题型一】相似三角形的实际应用 【例1】（26-27九年级上·陕西西安·期中）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了相似三角形以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 【答案】天堂的高度约为 【分析】过点作，交于点，交于点，先得出四边形和四边形都是矩形，进而可得的长，再证出，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， ∵，，，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 答：天堂的高度约为． 【变式1-1】如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在边，上．若这个矩形的长是宽的2倍，求这个矩形的长、宽各是多少． 【答案】这个矩形的长是、宽是 【分析】设这个矩形的宽，则长，先求出的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设这个矩形的宽，则长， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：这个矩形的长是、宽是． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南安阳·期中）悟颖塔，相传为唐代和尚悟颖所建，位于河南省驻马店市汝南县，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔．如图，某校数学兴趣小组利用自制的硬纸板来测量悟颖塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与悟颖塔顶在同一直线上，已知米，米，点到地面的距离米，到悟颖塔的水平距离米，求悟颖塔的高度． 【答案】26米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再求出，然后根据悟颖塔的高度代入数据计算即可得解． 【详解】解：，， ， ， 即， 解得：米， ，，， ， 四边形是矩形， 米， （米）． 答：悟颖塔的高度为26米． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东茂名·期末）路边有一口废弃的圆柱形枯并，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在处立一根长的铁管（），用聚光笔从铁管的顶端点照射井底点，光线与直径交于点O，测得． (1)求证： (2)求填平这口井需要泥土的体积．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1) 证明：， ， 又， ； (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆柱的体积．解决本题的关键是根据平行线的性质找到相等的角，判定两个三角形相似，再根据相似三角形对应边相等求出井的深度，从而求出井的容积． 根据可知，根据对顶角相等可知，根据有两个角对应相等的三角形相似可证； 根据相似三角形对应边成比例可得：，从而求出井的深度为米，利用圆柱的体积公式求出井的容积即为所需要的泥土的体积． 【详解】（1）略 （2）解：； ， ，，， ， ， 解得， 圆柱形枯井的容积为． 答：填平这口井需要泥土的体积大约为． 【变式1-4】（2026·河南周口·模拟预测）某“创意设计”组设计了一组光源测高仪器，仪器是一根圆柱，在顶部处设计一对投射光源，射出的光线根据所需可进行角度调整．如图，这是在晚上对校园旗杆测量的示意图，，，测量时两束光源恰好垂直，即．已知，，，．求旗杆的高度（结果精确到整数）．      【答案】 【分析】如图，过点作交于点，交于点．先证四边形，四边形，四边形是平行四边形，，，，进而证明，得．即，求解即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点．    ∵，， ∴四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，，，即． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴．即， 解得，则． 答：旗杆的高度约为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，垂直定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【题型二】利用相似三角形的性质与判定求面积比 【例2】（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的面积为，边上的高为，由为的重心，则连接并延长交于点，则为的中点，且，证明，则，证明点D到的距离为，得到中边上的高等于点D到的距离，即为，据三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：设的面积为，边上的高为， ∵为的重心， ∴连接并延长交于点，则为的中点，且， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴点D到的距离为， ∵，点在上， ∴中边上的高等于点D到的距离，即为， ∴， ∴． 【变式2-1】（26-27九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，E为上一点，连接交于点F，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再证明，得到，证明，设，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作辅助线，构建相似三角形，根据已知的比得出和，根据同高三角形面积比的关系得出面积都与的面积有关，并得出相应等式，代入所求面积的比进行计算即可． 【详解】解：过E作，交于H，交于G，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】（26-27九年级上·重庆·期中）如图所示，在正方形中，点是边上靠近点的三等分点，将正方形沿翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，且与交于点，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到，，，设，，根据折叠的性质得到，，根据等边对等角得到，进而求出，作交于点M，证明，得到，根据勾股定理求出，进而得到，可知，根据三角形内角和及等角对等边得到，进而求出，，证明，求出，求出，即可求出与的面积之比． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 设，， ∴，， ∵将正方形沿翻折，点落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作交于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵，点是边上靠近点的三等分点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型三】利用相似三角形的性质与判定求线段比 【例3】（26-27九年级上·广东深圳·期中）将两个等腰直角三角板和按如图放置，，点D在上，与交于点F．若，则________． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出结合公共角证明利用相似三角形对应边成比例得出,设，利用勾股定理表示和，代入计算即可. 【详解】解：设， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，， 在中，， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-1】（26-27九年级上·上海普陀·期中）如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________． 【答案】 【分析】利用重心的性质得出为中点及的比值，结合平行线分线段成比例定理求出、与的数量关系，进而求出与的关系，最后利用相似三角形性质求解． 【详解】解：点是重心，且、、共线， 为中点，， ，， ，， ， 为中点， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ，即， ， ． 【变式3-2】（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，垂足为点D，如果，，那么______． 【答案】 【分析】利用同角的余角相等证明，结合直角证明，利用相似比及射影定理推论求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 【变式3-3】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，平分交于点D，过D作交于点E，将沿折叠得到，交于点G．若，则_________． 【答案】 【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，再由平行得到求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵平分交于点， ∴, ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴, 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵，，则， ∴ ∴，， ∵ 设，，则，则， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 即 解得 ∴， 则 ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式3-4】（26-27九年级上·辽宁丹东·期中）如图，D，E分别是的边，上的点，且，，连接，交于点F，则的值为______________． 【答案】 【分析】过点C作交的延长线于点K，证明，得到，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作交的延长线于点K， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【题型四】相似多边形的性质解答题综合 【例4】（26-27九年级下·全国·期中）如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形． (1)如图①，当小路的宽度为时，矩形与矩形是否相似？请说明理由； (2)如图②，要使小路的四周围成的矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，则小路的宽度与的比为________． 【答案】(1)解：不相似．理由： ，，小路的宽度为， ，， ，， ， 矩形与矩形不相似． (2) 【分析】（1）根据已知求出与的值，进行比较即可解答； （2）利用相似多边形的性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：∵相对两条小路的宽度相等， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴小路的宽度x与y的比值为． 【变式4-1】如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 【答案】(1)不相似 (2)相邻两条小路宽度的比值为 【分析】（1）根据题意求出小路外边缘矩形的长和宽，根据相似多边形的判定定理计算进行判断即可． （2）设横向小路的宽度为，纵向小路的宽度为，根据两矩形相似得出比例式，求出相邻两条小路宽度的比值即可． 【详解】（1）解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似， 由题意得，小路外边缘矩形的长、宽， ∵， ∴小路内外边缘形成的两个矩形不相似． （2）解：如图，设相邻两条小路的宽度分别是和． ∵相对两条小路的宽度相等， ，． ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴相邻两条小路宽度的比值为． 【变式4-2】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先运用性质结合证明四边形是平行四边形，再根据平分，，推出，证明是菱形，即可求解； （2）先运用菱形性质推出，再根据相似性质推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 【变式4-3】（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值舍）， ∴． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 【变式4-4】）（1）如图①，An系列矩形纸张的规格特征：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，……，纸对裁后可以得到两张纸．根据系列纸张规格特征，求该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比． （2）如图②，已知矩形ABCD中，，在BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的F点处．若四边形ECDF与矩形ABCD相似，求AD的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似多边形，掌握相似多边形的性质是解题的关键． （1）设纸的长和宽分别是（均大于），则纸的长和宽分别为进而根据规格特征可得，根据上述分析，进行解答即可求出的值，即为该系列纸张的长与宽之比； （2）根据沿将向上折叠，使点落在上的点处，可得四边形是正方形．设，则，由四边形与矩形相似，对应边成比例得到，代入数据即可求出的值，即可得到的长． 【详解】（1）设纸的长和宽分别是（均大于0），则纸的长和宽分别为 ， 则，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为． （2）沿将向上折叠，使点落在上的点处， 四边形是正方形． 设， ． 四边形与矩形相似， ， 解得（舍去）． 经检验，是原分式方程的解， 即． 【题型五】求位似图形对应的坐标 【例5】（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标. 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即. 【变式5-1】（26-27九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，点 ∴点的对应点为的坐标为， 则点的坐标为． 【变式5-2】（26-27九年级上·山东聊城·期中）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由位似图形的性质知、、三点共线，且；再由两个三角形分居位似中心的两侧，确定点在点的左侧，用点的横坐标表示点的横坐标． 【详解】解：∵以点为位似中心作的位似图形，且把的边长放大到原来的倍， ∴、、三点共线，且， ∵点、都在轴的上方，在轴的下方，点在轴上， ∴点与点分居位似中心的两侧， ∴点在点的左侧，且点与点的水平距离是点与点的水平距离的倍， ∵点的横坐标为（），点的横坐标为， ∴点与点的水平距离为， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是． 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·期中）如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，，， ，， ， ． ， ， ． 四边形为正方形， ， ． 四边形为正方形， ， ， 点的坐标为． 【变式5-4】（2026·山东东营·模拟预测）如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 【题型六】相似三角形解答题综合之探究问题 【例6】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，，，求证：； 小智是这样思考的，如图②把沿折叠至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 小慧是这样思考的，如图③把绕点A旋转至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 【问题迁移】的直角顶点E在矩形的对角线上运动，斜边交于G点，且， ①如图1，当，，则的值为______；的值为______． 【问题拓展】 ②如图2，在矩形中，，当时，求证：； ③如图3，在矩形中，，，，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】①12，5 ②证明：延长、交于点，将顺时针旋转至，连接、， ， ，， ， ， 又四边形是矩形， ，， ， ，， 又 ， 即， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 又， ， ． ③ 【分析】①利用矩形的性质和勾股定理即可求出，利用旋转的方法将绕点A旋转至，连接，得到，在中，运用勾股定理建立方程求解； ②延长、交于点，将顺时针旋转至，得到，连接、，通过证明三角形全等和角的关系，得到，在中，运用勾股定理得到，再进行等量代换证明； ③将绕点旋转至，并使得，得到， 作，，证明，得到，，证明，得到，进而得到． 【详解】解：①四边形是矩形且， 矩形是正方形， ， 又是正方形的对角线， 根据勾股定理，， ， 把绕点A旋转至，连接，如图， ，，，， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ， 在中，根据勾股定理，， 设，则， ， 解得， ． 故答案为12，5． ②略 ③如图所示，将绕点旋转至，并使得， 四边形是矩形， 又，， ， 作，， ， ， ，， ， 又， ， ，， ， ，， ， 又， 在与中， ， ， ， 又， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．利用旋转的方法将分散的线段集中到一个三角形以便利用勾股定理是解题的关键． 【变式6-1】如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，在Rt中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在Rt中，勾股定理求得，进而根据，即可求出答案． 【详解】（1）在中，，， 在中，，， ，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，，，， ，． 延长交于点，如图所示． ， ， ， ， ，． 由（1）可得， ， ． 在中，． ，， ，， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式6-2】（2025·河南濮阳·一模）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①； ②，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 由①，知， ∴， ∴； （3）BH或． 【分析】（1）根据四边形是菱形，得，，，，由，得到，所以，由此即可求解； （2）①根据菱形的性质，结合题意得到，在四边形中，，，，，即可求解； ②由菱形的性质得到，，则三点共线，，由①知，则，结合相似三角形的判即可求解； （3）根据题意得，分两种情况讨论：①当，时，，，，即，又，，设，则，，，列式求解；②当，时，同理可得，设，则，，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，　 ∵， ∴， ∵， ∴，即； ②略 （3）或， 同（2）①可得， ∵， ∴， 分两种情况讨论：①当，时，如题图3所示， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当，时，如解图所示， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是的中点， 设，则， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，等边对等角的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 【变式6-3】（26-27九年级上·四川达州·期中）综合与探究：如图，点在的平分线上，于点A，且． (1)如图1，过点P作于点，根据题意在图1中画出，图中的度数为________； 【问题探究】 (2)如图2，点在线段上，连接，过点P作交射线于点，判断线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 (3)点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值． 【答案】(1)， (2) 证明：连接，过点作于点，如图所示， 平分，， ， ，， ，， 为矩形，， 为正方形， ，． ， ，， ， ，， ， ． ，， ， ， ． (3)或4 【分析】（1）根据垂直的性质，利用三个角都是的四边形是矩形，从而求出的度数． （2）利用垂直的性质和等腰直角三角形的判定推出正方形，从而证明，再根据角边角证明推出，最后通过等量代换求出，，之间的数量关系． （3）分两种情况：①当点在线段上时，设，则，，，先证出，根据相似三角形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得；②当点在的延长线上时，利用第（2）问的方法证明，设，则，，，先证出，根据相似三角形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：图略， ，，， ， 为矩形， ． （2）略 （3）解：①当在线段上时，延长交于点， 由（2）可知， ， 设，则， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ． ②当在线段的延长线上时，过点作交于点，交于点，如图所示， 由（2）可知，四边形为正方形， ，，， ， ， ，， ， ，， ， ． ，， ， ， ． ， 设，则， ， ． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-4】（26-27九年级上·上海静安·期中）如图1，已知矩形中，点是边上一动点，在右侧作，使得．已知，． (1)当点与点重合时，求四边形的面积； (2)点由点向点移动的过程中（点不与点重合），的长度______，的长度______（填“增大”、“减小”或“不变”），并说明长度变化的理由． (3)当四边形的对角线和互相垂直时，求的长． 【答案】(1) (2)增大；减小 理由：在中，，， ． 当点由点向点移动时，逐渐增大， 逐渐增大． 由得，即， 随着的增大，逐渐减小． (3) 【分析】（1）当点与点重合时，，由勾股定理求出，再由求出相似比，从而求出的面积，四边形的面积等于与的面积之和； （2）在中，，随的增大而增大；再由相似得，据此判断的变化； （3）由得，即平分；当时，可证，代入求出，最后在中用勾股定理求． 【详解】（1）解：当点与点重合时，． 四边形是矩形，，， ，，， ， ． ， ， ，且相似比为． 此时，， ， ． 点、分别在直线的两侧， ． （2）略 （3）解：， ，即平分． 当时，设与交于点，则， 在和中， ，，， ， ． 又由得，即， ， ． 在中，，， ， ． 【变式6-5】（26-27九年级上·四川成都·期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明： 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，直接写出点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)证明：如图，连接，    当时，， ， ，，， ，，， 即， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； (2)线段之间的数量关系为： 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，    当时，， 是的中点， ∴， ， ∴， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ∵， ， ∴， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； (3)点M运动的路径长为 【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答； （2）过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； （3）过点作交的延长线于点，交于点，取的中点，连接，证明，然后确定点的运动轨迹，再确定点的运动路径长即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交的延长线于点，交于点，取的中点，连接 ∵， ∴均为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若点重合时，则重合，点在点的位置， ∴点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径即为的长， ∵， ∴ ∵在等腰中，， ∴， 在中，， ∴， 当点从点运动到点时，此时点运动的路径长为， ∴点运动的路径长为． 【题型一】相似三角形解答题综合之动点问题 【例1】（26-27九年级上·安徽宿州·期中）如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】由矩形性质可得，由勾股定理得，设秒后的面积为，首先表示出线段和线段，然后利用其面积为列出有关的方程求解即可； 分两种情况，或，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设秒后的面积为， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴经过或秒时，的面积为； （2）解：经过秒时，由三点组成的三角形与相似， 由得，，， 当时， ∴， ∴，解得； 当时， ∴， ∴，解得； 综上可知经过或秒时，由三点组成的三角形与相似． 【变式1-1】（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)5； (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）在中由勾股定理算出；再根据动点速度与运动时间t，由得出； （2）分两种对应情况：当时，，列比例式求解；当时，，列比例式求解； （3）作辅助线，由证，通过比例式求出高；代入三角形面积公式化简，结合Q点到C点停止的条件，确定t的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由题意得，点P移动速度为，移动时间为t秒， ∴， ∴； （2）解：当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ ， 解得； 当时，此时， ∴， ∵，，，， ∴ 解得， 综上所述，当t的值为或时，与相似； （3）解：过点P作，垂足为H，如图： 则， ， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∴的面积 ， 由题意得，点Q从B移动到C停止，，速度为， ∴t的取值范围是． 【变式1-2】（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 【答案】(1)或秒 (2)或秒 【分析】（1）设移动秒，表示出，，再列方程即可解答； （2）设移动秒，分和两种情况，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 设移动秒，且，则，， ， 的面积为， 解得，， 所以当移动或秒时，的面积为； （2）解：设移动秒，且，则，， 当时，， 则可得， 解得； 当时，， 则可得， 解得； 所以当移动或秒时，与相似． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 【答案】(1)存在，或 (2)或 【分析】（1）题目存在公共角，分、两种相似对应情况，把，代入比例式，分别解方程得到与，验证两个数值都满足，判定存在对应的时间． （2）利用共角三角形面积比等于夹公共角两边乘积之比，代入、、、，令面积比值等于，整理得到一元二次方程，因式分解求解，得到、，检验两个解都在的取值范围内，即为所求的值． 【详解】（1）解：由勾股定理： 点速度2，点速度1，故： ， 考虑到达需即， 到达需，共同停止条件取较小者，故：， 在和中，（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应， 情形一： 交叉相乘：， 因为，所以符合． 情形二： 交叉相乘： 又因为，也符合． 所以存在两个符合条件的值：和． （2）解：过点作于，过点作于． 因为（都是直角），且（都与角A相同），所以 ， 则有， 从而， 三角形的面积：； 三角形的面积：； 两面积相除：； 代入具体长度：； 根据题意，面积比等于： ， 两边同乘156：， 展开：， 整理：， 用十字相乘法：， 所以或， 两个值都在范围内，都成立． 【变式1-4】（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿的方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，解答下列问题： (1)________；______；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，以为顶点的三角形与相似？ (3)当t为何值时，的面积为面积的？ 【答案】(1)； (2)或 (3)2或8 【分析】（1）先根据勾股定理求得，结合题意用t表示出、即可解答； （2）分两种情况：①当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解之即可；②当时，此时，得到，从而得到关于t的方程，解之即可； （3）先求出的面积，然后过点作于点，此时，得到，从而可用t表示出，然后根据得到关于t的一元二次方程，解方程即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 根据题意可知，， ∴． （2）解：①当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当t为或时，以为顶点的三角形与相似． （3）解：， ∴， 如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 整理得， 解得，， ∴当t为2或8时，的面积为面积的． 技巧 一句话要点 利用相似三角形的性质求线段长度——比例等式法 相似三角形对应边成比例，找准对应顶点写出比例式，代入已知线段列方程求解。 利用相似三角形的性质求周长之比，面积之比——性质直接套用 相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；由面积比求相似比需要开平方。 在网格中画与已知三角形相似的三角形——勾股定边构图法 先用勾股定理算出原三角形三边长，确定相似比，再在网格格点上画出三边比值相等的三角形。 相似三角形的实际应用——建模相似法 将实物图形抽象成两个直角三角形，证明相似，利用对应边成比例，求解高度、距离，注意统一单位。 利用相似三角形的性质与判定求面积比——先判定后求比法 先证明三角形相似，再找到相似比，面积比等于相似比的平方，注意不要直接把相似比当作面积比。 利用相似三角形的性质与判定求线段长度——先证后求法 先通过角的关系证明三角形相似，再根据相似对应边成比例，列式计算目标线段长。 利用相似三角形的性质与判定求线段比——转化比例法 先证相似，借助相似传递线段比值关系，结合线段和差，求出所求线段之比。 利用重心的性质进行相关求解——重心比例法 三角形重心是三条中线交点，重心分中线的比为顶点：中点=2:1，直接利用这个比例计算线段。 利用相似多边形的性质求线段值——相似多边形性质法 相似多边形对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 相似多边形的性质解答题综合——性质综合推导法 先确认多边形相似，灵活使用对应边、周长、面积的比例关系，结合线段和差推导求解。 判断位似图形的位似中心——连线交点法 连接各组对应顶点，连线的交点就是位似中心，位似中心可以在图形内部、边上或者外部。 求两个位似图形的相似比、周长比以及面积比——位似转化法 位似图形一定相似，位似比就是相似比，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形——定点连线缩放法 先确定位似中心，连接中心与各个顶点，按比例延长或者缩短线段，得到新图形顶点再顺次连接。 求位似图形对应的坐标——坐标缩放法 以原点为位似中心，位似比为k，对应坐标为(kx,ky)、(−kx,−ky)；非原点的位似中心不能直接乘系数。 相似三角形解答题综合之动点问题——分类讨论法 设运动时间t，用含t式子表示线段；固定等角不变，分不同对应情况列比例式，检验解的合理性。 相似三角形解答题综合之探究问题——猜想证明法 先猜想线段、角度、面积关系，寻找等角证明相似，借助相似性质转化边与面积的比例关系。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相似三角形（二） 目录 识记类 思维导图 知识清单(3类) 考点清单(8类) 公式清单(4类) 辨析清单(11类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(1类) 答题技巧清单 知识点01相似三角形的性质及应用 1.基础性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2.线段、周长、面积性质 ①对应高、中线、角平分线之比= ；②周长之比= ；③面积之比= 。 注意：面积比一定要加平方，是高频易错点。 3.实际应用 利用相似构造比例，测量不能直接测量的高度、宽度、距离；常见模型：影子测高、标杆测高、镜面反射测距。说明：解题关键是找到两组垂直，构造直角相似三角形。 知识点02相似多边形 1.相似多边形含义：边数 ，对应角 ，对应边成比例的多边形叫做相似多边形。(举例：正方形和正方形相似) 2.相似多边形性质 对应角相等，对应边成比例；周长之比= ；面积之比=相似比的 。 注意：多边形和三角形不同，只对应角相等，或者只对应边成比例，多边形不一定相似。 知识点03图形的位似 1.位似图形含义：两个图形不仅相似，而且对应顶点连线交于同一点，对应边互相平行或者在同一直线上，叫做 ，交点叫做 。 2.位似的性质 位似比等于相似比；任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 注意：位似一定相似，相似不一定位似。 3.坐标系中原点位似 以原点为位似中心，位似比为k，点(x，y)变换为或者。 说明：同向缩放；反向缩放。 考点01相似三角形的性质(对应线段、周长、面积) 考点内容：相似三角形对应角、对应边关系；对应高、中线、角平分线之比；周长比、面积比与相似比的关系。 ①利用相似比求对应高线、中线、角平分线的长度； ②周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方(高频易错); ③已知面积比反推相似比，或者已知相似比求面积比； ④结合性质列方程求解线段长度。 考点02相似三角形的实际应用 考点内容：利用相似三角形解决不可直接测量的高度、宽度、距离问题；影子、标杆、镜面反射模型。 ①太阳光影子测高：太阳光线平行，构造直角三角形相似； ②标杆测高问题，分层构造相似； ③镜面反射测距，利用入射角等于反射角得到等角，构造相似； ④从实际情景中抽象出相似三角形，列出比例式求解。 考点03相似多边形 考点内容：相似多边形定义；相似多边形的性质；多边形相似和三角形相似的区别。 ①判断边数相同的多边形是否相似，必须同时满足对应角相等、对应边成比例； ②利用相似多边形周长比=相似比，面积比=相似比平方进行计算； ③辨析易错点：多边形仅对应角相等，或者仅对应边成比例，不一定相似。 考点04位似图形的概念与性质 考点内容：位似图形定义、位似中心；位似和相似的关系；位似图形的性质。 ①判断两个图形是否是位似图形，掌握三要素：相似、顶点连线交于一点、对应边平行或共线； ②理解：位似一定相似，相似不一定位似； ③利用“对应点到位似中心距离之比等于位似比”求线段长； ④确定位似中心的位置。 考点05平面直角坐标系中的位似变换 考点内容：原点为位似中心的坐标变化规律；位似作图；同向、反向位似。 ①已知原图形点坐标和位似比k,求位似之后点的坐标(kx，ky)或者(-kx，-ky); ②k>0同向放大缩小，k<0反向缩放； ③根据坐标画出位似图形； ④已知一组对应点反求位似中心、位似比。 考点06相似经典几何模型综合 考点内容：A型、反A型、8字型、母子型、一线三等角、旋转手拉手相似模型识别、结论运用。 ①快速识别图形模型，直接找到等角、成比例线段； ②母子型(射影模型),直接使用射影定理等积式计算； ③一线三等角(K型)模型，推导角相等证明相似； ④手拉手旋转相似，证明相似、推导线段比例、角度关系。 考点07相似三角形动点综合问题 考点内容：动点在边上运动，分类讨论三角形相似；分类思想、方程思想。 ①动点运动，设运动时间，表示出线段长度； ②分多种对应情况讨论相似，避免漏解； ③结合相似性质列方程，求解时间或者线段长度； ④结合自变量取值范围检验解是否符合题意。 考点08相似压轴综合(二次函数、内接图形、多结论) 考点内容：相似与三角形内接矩形、二次函数、最值、多结论判断综合。 ①三角形内接矩形，利用相似建立边长关系，求面积最值； ②相似和二次函数结合，求动点坐标； ③多结论选择题，逐个利用相似性质判断命题对错； ④相似结合勾股定理、方程进行复杂计算证明。 1.相似三角形对应线段关系： 若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k 对应中线的比对应角平分线的比=k 2.相似图形周长关系： 3.相似图形面积关系： 补充：相似多边形同样满足上面两条周长、面积公式 4.射影定理(母子型直角三角形) 在， 辨析01相似比的顺序误区 相似比是有先后顺序的，△ABC∽△DEF的相似比，和△DEF∽△ABC的相似比互为倒数，数值不相等，不能当成同一个相似比。 辨析02混淆相似判定里的夹角与对角 SAS判定相似，必须是两边的夹角相等；两边对应成比例，其中一边的对角相等(SSA),不能判定三角形相似，这是高频易错陷阱。 辨析03相似性质：面积比和相似比的关系混淆 相似三角形周长比、对应高中线、角平分线的比=相似比，面积比=相似比的平方，经常忘记平方，直接把面积比等同于相似比，是考试最高频丢分点。 辨析04相似多边形判定误区 多边形相似，需要同时满足：边数相同、对应角相等、对应边成比例；只对应角相等(如矩形)或者只对应边成比例(如菱形),多边形不一定相似，和三角形不一样。 辨析05位似与相似概念混淆 位似图形一定是相似图形，但是相似图形不一定是位似图形；位似额外满足：对应顶点连线交于同一个位似中心。对应边互相平行或者在同一直线上。 辨析06坐标位似漏写两种情况 以原点为位似中心，位似比为k时，坐标变化有两种：和;做题常常只算出正方向缩放，漏掉反向位似这一组解。 辨析07动点相似问题，漏分类讨论 动点型相似题，没有固定对应顶点，需要分多种对应情况讨论；只按一种对应关系计算，容易漏掉部分符合题意的解。 辨析08射影定理适用条件混淆 射影定理(母子型结论)只适用于直角三角形斜边上作高的图形；普通三角形、非直角三角形不能套用这一组等积结论，不要随便套用模型公式。 辨析09模型套用误区，强行套模型做题 看到图形长得像A型、一线三等角、手拉手模型，先确认模型满足的条件；图形外观相似但缺少相等角或者比例条件时，不能直接套用模型结论。 辨析10相似实际应用题，找错直角、错找相等角 影子、镜面反射题型，镜面反射利用入射角等于反射角；太阳光光线是平行；不要自己凭空构造等角，要从题意里找平行、垂直关系推导。 辨析11网格相似三角形计算错误 网格里判断相似，先用勾股定理算出所有边长；边长计算出错，直接导致三边比例判断错误；注意斜边长度不要算错。 【题型一】利用相似三角形的性质求线段长度 【例1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（     ） A．4 B．2 C．3 D．6 【变式1-2】（26-27九年级下·全国·期中）如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值为（     ） A．5 B． C．5或 D．5或 【变式1-3】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【题型二】利用相似三角形的性质求周长之比，面积之比 【例2】．（26-27九年级上·陕西西安·期中）已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·山东潍坊·期中）若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，，，则（     ） A．9 B．10 C．21 D．25 【变式2-3】（26-27九年级上·广东佛山·期中）已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（     ） A．相似比为 B．面积比为 C．对应中线的比为 D．对应高的比为 【题型三】利用重心的性质进行相关求解 【例3】（26-27九年级上·上海·期中）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，连接，如果，那么___________． 【变式3-1】（26-27九年级上·四川·期中）如图，中，，为边上一点，为延长线上一点，连接，，为中点，连接交于点，，，则______． 【变式3-2】（2026·浙江台州·模拟预测）两个等腰直角三角形和的位置如图所示，点、、和点、、分别在一直线上，，，，点、分别是、的重心，联结，那么______． 【变式3-3】（25-26八年级下·上海普陀·期末）在中，，，，那么的重心G到斜边的中点的距离是_____________． 【变式3-4】（25-26七年级下·广东揭阳·期中）如图，三边的中线，，的公共点为，若，则图中阴影部分面积为_____________． 【题型四】判断位似图形的位似中心 【例4】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式4-1】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【变式4-2】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型五】求两个位似图形的相似比、周长比以及面积比 【例5】（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是，则四边形的周长是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ）． A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，已知与是位似图形，位似中心是，若与的周长比为，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【变式5-3】（25-26九年级下·重庆南岸·期中）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【题型一】网格画相似三角形时相似比、对应关系出错而致错 【例1】（26-27九年级上·吉林长春·期中）在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 易错警示 画图时仅凭肉眼判断形状，没有先用勾股定理计算边长验证三边成比例；容易把相似比颠倒，也容易出现顶点不在格点上的问题。 【变式1-1】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【变式1-3】（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 【变式1-4】（2026·吉林长春·模拟预测）在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点的一条边重合，且与相似． 【题型二】位似作图忽略对应连线交于位似中心、漏方向而致错 【例2】（26-27九年级上·江苏镇江·期中）如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 易错警示 位似图形所有对应顶点连线必须经过同一个位似中心；放大、缩小可以在位似中心两侧，经常只画出一侧；画图时比例控制错误。 【变式2-1】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的；②画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是位似图形，请直接写出位似中心的坐标为_________． 【变式2-2】（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． (1)是________三角形 (2)以点B为位似中心，在点B的下方画出,使与位似，且位似比为． (3)若内部有一点，直接写出经过（2）中位似变换后的对应点的坐标为________ 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点、、对应，且点在第一象限； (2)在（1）的条件下，与的面积比为． 【变式2-4】（26-27九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)以原点O为位似中心，相似比为1∶2，在y轴的左侧画出放大后的； (3)如果点在线段上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点的坐标． 【题型三】相似多边形判定条件混淆误用性质而致错 【例3】（26-27九年级上·江西鹰潭·期中）如图，在矩形中，，，点Q在对角线上，且，连接并延长，与边交于点P，则线段________． 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分情况后的三条线段能否构成三角形. 【变式3-1】（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，将沿着折叠得到与相交于点E，则的长是_____． 【变式3-2】（26-27九年级上·山东东营·期中）如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 【变式3-3】（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，，延长至，使．连接，平分交于点，则的长为________． 【变式3-4】（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，高，正方形的边在上，点分别在上，交于点，则的长为______． 【题型一】相似三角形的实际应用 【例1】（26-27九年级上·陕西西安·期中）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了相似三角形以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度 测量数据 ①；②；③；④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直 根据活动报告，求天堂的高度．（结果精确到） 【变式1-1】如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在边，上．若这个矩形的长是宽的2倍，求这个矩形的长、宽各是多少． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南安阳·期中）悟颖塔，相传为唐代和尚悟颖所建，位于河南省驻马店市汝南县，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔．如图，某校数学兴趣小组利用自制的硬纸板来测量悟颖塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与悟颖塔顶在同一直线上，已知米，米，点到地面的距离米，到悟颖塔的水平距离米，求悟颖塔的高度． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东茂名·期末）路边有一口废弃的圆柱形枯并，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径，然后在处立一根长的铁管（），用聚光笔从铁管的顶端点照射井底点，光线与直径交于点O，测得． (1)求证： (2)求填平这口井需要泥土的体积．（结果精确到，参考数据：） 【变式1-4】（2026·河南周口·模拟预测）某“创意设计”组设计了一组光源测高仪器，仪器是一根圆柱，在顶部处设计一对投射光源，射出的光线根据所需可进行角度调整．如图，这是在晚上对校园旗杆测量的示意图，，，测量时两束光源恰好垂直，即．已知，，，．求旗杆的高度（结果精确到整数）．      【题型二】利用相似三角形的性质与判定求面积比 【例2】（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，E为上一点，连接交于点F，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（26-27九年级上·重庆·期中）如图所示，在正方形中，点是边上靠近点的三等分点，将正方形沿翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，且与交于点，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【题型三】利用相似三角形的性质与判定求线段比 【例3】（26-27九年级上·广东深圳·期中）将两个等腰直角三角板和按如图放置，，点D在上，与交于点F．若，则________． 【变式3-1】（26-27九年级上·上海普陀·期中）如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________． 【变式3-2】（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，垂足为点D，如果，，那么______． 【变式3-3】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，平分交于点D，过D作交于点E，将沿折叠得到，交于点G．若，则_________． 【变式3-4】（26-27九年级上·辽宁丹东·期中）如图，D，E分别是的边，上的点，且，，连接，交于点F，则的值为______________． 【题型四】相似多边形的性质解答题综合 【例4】（26-27九年级下·全国·期中）如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形． (1)如图①，当小路的宽度为时，矩形与矩形是否相似？请说明理由； (2)如图②，要使小路的四周围成的矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，则小路的宽度与的比为________． 【变式4-1】如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 【变式4-2】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在中，点分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【变式4-3】（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． 【变式4-4】）（1）如图①，An系列矩形纸张的规格特征：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，……，纸对裁后可以得到两张纸．根据系列纸张规格特征，求该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比． （2）如图②，已知矩形ABCD中，，在BC上取一点E，沿AE将向上折叠，使B点落在AD上的F点处．若四边形ECDF与矩形ABCD相似，求AD的长． 【题型五】求位似图形对应的坐标 【例5】（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27九年级上·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心，在第四象限内将按相似比缩小，得到，若点的对应点为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27九年级上·山东聊城·期中）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是（），则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·期中）如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2026·山东东营·模拟预测）如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【题型六】相似三角形解答题综合之探究问题 【例6】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，，，求证：； 小智是这样思考的，如图②把沿折叠至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 小慧是这样思考的，如图③把绕点A旋转至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 【问题迁移】的直角顶点E在矩形的对角线上运动，斜边交于G点，且， ①如图1，当，，则的值为______；的值为______． 【问题拓展】 ②如图2，在矩形中，，当时，求证：； ③如图3，在矩形中，，，，请直接写出线段、、的数量关系． 【变式6-1】如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【变式6-2】（2025·河南濮阳·一模）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【变式6-3】（26-27九年级上·四川达州·期中）综合与探究：如图，点在的平分线上，于点A，且． (1)如图1，过点P作于点，根据题意在图1中画出，图中的度数为________； 【问题探究】 (2)如图2，点在线段上，连接，过点P作交射线于点，判断线段，，之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 (3)点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值． 【变式6-4】（26-27九年级上·上海静安·期中）如图1，已知矩形中，点是边上一动点，在右侧作，使得．已知，． (1)当点与点重合时，求四边形的面积； (2)点由点向点移动的过程中（点不与点重合），的长度______，的长度______（填“增大”、“减小”或“不变”），并说明长度变化的理由． (3)当四边形的对角线和互相垂直时，求的长． 【变式6-5】（26-27九年级上·四川成都·期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明： 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，直接写出点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【题型一】相似三角形解答题综合之动点问题 【例1】（26-27九年级上·安徽宿州·期中）如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【变式1-1】（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，在直角三角形中，直角边，．设P，Q分别为、上的动点，在点P自点A沿方向向B作匀速移动的同时，点Q自点B沿方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当Q点到达C点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，与相似？并说明理由． (3)写出的面积关于移动时间t秒的函数关系式，并写出t的取值范围． 【变式1-2】（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 【变式1-3】（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 【变式1-4】（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿的方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，解答下列问题： (1)________；______；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，以为顶点的三角形与相似？ (3)当t为何值时，的面积为面积的？ 技巧 一句话要点 利用相似三角形的性质求线段长度——比例等式法 相似三角形对应边成比例，找准对应顶点写出比例式，代入已知线段列方程求解。 利用相似三角形的性质求周长之比，面积之比——性质直接套用 相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；由面积比求相似比需要开平方。 在网格中画与已知三角形相似的三角形——勾股定边构图法 先用勾股定理算出原三角形三边长，确定相似比，再在网格格点上画出三边比值相等的三角形。 相似三角形的实际应用——建模相似法 将实物图形抽象成两个直角三角形，证明相似，利用对应边成比例，求解高度、距离，注意统一单位。 利用相似三角形的性质与判定求面积比——先判定后求比法 先证明三角形相似，再找到相似比，面积比等于相似比的平方，注意不要直接把相似比当作面积比。 利用相似三角形的性质与判定求线段长度——先证后求法 先通过角的关系证明三角形相似，再根据相似对应边成比例，列式计算目标线段长。 利用相似三角形的性质与判定求线段比——转化比例法 先证相似，借助相似传递线段比值关系，结合线段和差，求出所求线段之比。 利用重心的性质进行相关求解——重心比例法 三角形重心是三条中线交点，重心分中线的比为顶点：中点=2:1，直接利用这个比例计算线段。 利用相似多边形的性质求线段值——相似多边形性质法 相似多边形对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 相似多边形的性质解答题综合——性质综合推导法 先确认多边形相似，灵活使用对应边、周长、面积的比例关系，结合线段和差推导求解。 判断位似图形的位似中心——连线交点法 连接各组对应顶点，连线的交点就是位似中心，位似中心可以在图形内部、边上或者外部。 求两个位似图形的相似比、周长比以及面积比——位似转化法 位似图形一定相似，位似比就是相似比，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 画已知图形放大或缩小n倍的位似图形——定点连线缩放法 先确定位似中心，连接中心与各个顶点，按比例延长或者缩短线段，得到新图形顶点再顺次连接。 求位似图形对应的坐标——坐标缩放法 以原点为位似中心，位似比为k，对应坐标为(kx,ky)、(−kx,−ky)；非原点的位似中心不能直接乘系数。 相似三角形解答题综合之动点问题——分类讨论法 设运动时间t，用含t式子表示线段；固定等角不变，分不同对应情况列比例式，检验解的合理性。 相似三角形解答题综合之探究问题——猜想证明法 先猜想线段、角度、面积关系，寻找等角证明相似，借助相似性质转化边与面积的比例关系。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $