专题03 随机事件的概率（知识&考点&公式&5高频&4易错&8重难&5模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材浙教版

专题02随机事件的概率 目录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(6类) 公式清单(4类) 辨析清单(9类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01事件的分类 1. ：在一定条件下，一定发生的事件。(举例：太阳从东方升起) 2. ：在一定条件下，一定不发生的事件。(举例：掷一枚骰子，朝上点数为7)注意：必然事件和不可能事件统称为确定事件。 3. ：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件。(举例：掷一枚硬币，正面朝上)说明：随机事件发生的可能性有大有小；不同随机事件，发生可能性大小一般不同。 知识点02概率的定义 1.概率含义：把事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的 ，记作P(A)。 2.概率取值范围：必然事件的概率：；不可能事件的概率：；随机事件的概率： 。说明：概率越大，事件发生的可能性越大；概率越小，事件发生的可能性越小。 知识点03等可能事件的概率计算 1.适用条件：试验结果有限、每个结果出现的可能性 。 2.计算公式：， 举例：抛掷一枚均匀骰子，朝上点数是偶数的概率： 注意：使用公式前，必须判断试验是否满足等可能性。 知识点04列表法求概率 1.适用场景：一次试验包含 ，并且所有结果数目较多时。 2.步骤： ①分清一次试验的两个因素； ②列出所有等可能结果，制成表格； ③数出总结果数与符合事件要求的结果数； ④代入概率公式计算概率。 说明：注意区分“放回试验”与“不放回试验”,两种情况结果总数不一样。 知识点05树状图法求概率 1.适用场景：一次试验包含 的等可能试验。 2.步骤： ①明确试验步骤与顺序； ②按照顺序画出树状图，列出全部等可能结果； ③统计总结果数和满足条件的结果个数； ④代入公式计算概率。 注意：树状图可以清晰区分放回、不放回；多步试验优先选择树状图。 知识点06用频率估计概率 1.频率定义： 2.规律：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。说明：频率是试验得到的，会变化；概率是理论值，是固定常数；试验次数越大，频率越接近概率。 知识点07简单几何概率 1.几何概率含义：利用图形面积的比值计算概率。 2.计算公式： 举例：转盘游戏，指针落在红色区域的概率=红色区域面积÷转盘总面积注意：前提是指针落在区域内每一处的可能性均等。 考点01事件的分类 考点内容：必然事件、不可能事件、随机事件的定义；确定事件与随机事件的区分；随机事件发生可能性大小的判断。 ①根据文字描述判断事件属于必然事件、不可能事件还是随机事件； ②辨析确定事件包含的两类事件，区分确定事件与随机事件； ③比较多个随机事件发生可能性的大小； ④结合生活实例识别各类事件。 考点02概率的意义与取值范围 考点内容：概率的定义；概率的符号表示；必然事件、不可能事件、随机事件对应的概率取值范围；概率大小与可能性的关系。 ①理解概率P(A)的含义，判断对概率描述语句的正误； ②根据事件类型直接写出概率的取值； ③由概率数值大小，判断事件发生可能性的高低； ④辨析“概率是，就是试验两次一定发生一次”这类错误说法。 考点03等可能条件下概率公式计算 考点内容：等可能试验的条件，概率基本计算公式，简单一步试验求概率。 ①判断试验是否满足等可能性； ②抛掷骰子、摸球、抽卡片等一步试验，直接套用公式求概率； ③已知概率和总结果数，反求符合条件的结果数量； ④结合图形、转盘进行基础概率计算。 考点04列表法求概率 考点内容：列表法适用条件；列表法的解题步骤；放回试验与不放回试验的区别。 ①一次试验含有两个因素，用列表法列举全部等可能结果； ②区分放回、不放回模型，正确列出表格，统计结果数计算概率； ③利用列表法判断游戏是否公平； ④检验列举结果有没有重复、遗漏。 考点05树状图法求概率 考点内容：树状图法适用条件；画树状图的步骤；两步及多步试验的结果列举。 ①两步或者三步的试验，用树状图有序列举所有等可能结果； ②放回、不放回摸球、抽卡片、抛硬币组合问题，用树状图求解； ③对比树状图和列表法，按需选择合适方法； ④根据计算得到的概率，修改游戏规则使其公平。 考点06用频率估计概率 考点内容：频数、频率的概念；频率计算公式；大量重复试验下频率稳定于概率；频率与概率的区别与联系。 ①根据表格数据计算频率； ②由大量试验后的稳定频率，估计事件发生的概率； ③辨析频率是变化值、概率是固定理论值； ④利用估计出的概率，预估多次试验中事件发生的次数。 考点07几何概率 考点内容：几何概率模型几何概率公式；等面积随机落点的前提。 ①转盘类、面积分割图形，利用面积比值计算概率； ②结合正方形、圆、扇形等图形求几何概率； ③判断几何概率试验是否满足落点等可能； ④已知概率，反求阴影部分的面积。 考点08概率的实际应用——游戏公平性问题 考点内容：游戏公平的判定依据；根据概率修改游戏方案。 ①分别算出游戏各方获胜的概率，比较概率判断公平与否； ②当游戏不公平时，重新设计规则、修改得分，使双方获胜概率相等； ③辨析公平的含义：获胜概率相等，不是输赢次数相同； ④结合生活情境设计简单公平游戏。 1.概率基本公式(等可能事件) n：所有等可能的结果总数；m：事件A包含的结果数 取值范围： 必然事件：；不可能事件：；随机事件： 2.频率计算公式： 3.几何概率公式： SA:事件A对应的区域面积；S总：整个图形的总面积 4.利用概率预估发生次数 1.易错点：混淆频率与概率 易错警示：频率是通过试验得到的，会随试验次数变化，概率是事件本身固定的理论值。只能用大量重复试验下稳定的频率去估计概率，不能直接把单次频率当成概率。 2.易错点：误认为概率为试验2次就一定发生1次 易错警示：概率描述的是可能性大小，不是固定的结果分配。概率只表示单次发生的可能性，不保证有限次数试验里一定发生几次。 3.易错点：忽略等可能性前提直接套用 易错警示：只适用于所有结果出现机会均等的试验；如果各个结果可能性不一样，不能直接用这个公式。 4.易错点：放回、不放回试验列举结果时混淆 易错警示放回试验每次可选的总数量不变，不放回试验下一次总数要减少1。画树状图、列表时要分清两种模型，容易多算或者漏算结果。 5.易错点：判断游戏公平只看结果数量，不计算概率 易错警示：游戏公平的标准是各方获胜概率相等，不是获胜对应的结果个数一样；如果每个结果可能性不同，个数相等概率也不一定相等。 6.易错点：几何概率忽略“落点等可能”条件 易错警示：几何概率用面积比计算的前提是随机点落在区域内任意一处可能性相同；转盘如果扇形圆心角不相等，不能直接按份数计算。 7.易错点：事件分类判断出错，混淆随机事件和确定事件 易错警示确定事件包含必然事件、不可能事件，只要条件固定，一定发生或者一定不发生就是确定事件，有可能发生也有可能不发生才是随机事件。 8.易错点：认为概率等于0就是一定不可能发生、概率等于1就必然发生(拓展，适合压轴辨析) 易错警示：初中阶段概率为0就是不可能事件，概率为1就是必然事件；注意区分高中层面的几何概型单点概率，初中不涉及，做题按课本定义判断。 9.易错点：列举结果时有重复、遗漏 易错警示：用列表法、树状图列举，要按顺序有序列举；有序和无序模型不能混用，比如摸两个球，要看题目是否区分先后。 【题型一】事件的分类 【例1】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 【变式1-1】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）下列事件为必然事件的是（     ） A．购买张彩票，一定中奖 B．刷微信小视频，立即出现心里想听的一首歌 C．三角形三个内角的和为度 D．一枚硬币抛掷次，一定有正面向上出现 【变式1-2】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）下列事件中，①车辆随机经过一个路口，遇到红灯；②三条线段首尾相连可以组成一个三角形；③13个学生中至少有2个人的生日在同一个月；④抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数；⑤小明向“豆包”问了一个问题，“豆包”给出了正确答案．确定事件的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】（26-27九年级上·浙江温州·期中）下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【题型二】判断几个事件概率的大小关系 【例2】（26-27九年级上·浙江宁波·期中）盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（     ） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小 【变式2-1】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）下列事件中，概率最大的是（     ） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀” 【变式2-2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）下图表示各袋中球的情况，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南郑州·期中）下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 【题型三】根据概率公式计算概率 【例3】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·期中）如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3-4】（26-27九年级上·全国·期中）“石头、剪刀、布”是广为流传的一种游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次出这三种手势的可能性相同，那么一次游戏中乙获胜的概率是（     ） A． B． C． D． 【题型四】求某个事情的频率 【例4】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 【变式4-1】抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 【变式4-3】数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数______（结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有______． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【题型五】由频率估计概率 【例5】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 【变式5-1】（26-27九年级上·浙江绍兴·期中）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000 合格频数 47 95 188 480 763 949 合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.954 0.949 估计任抽一件衬衣是合格品的概率：________________（结果精确到0.01）． 【变式5-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 【变式5-3】（25-26七年级下·贵州六盘水·期中）频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 【变式5-4】（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 【变式5-5】（25-26七年级下·广东佛山·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 【题型一】混淆频率与概率的定义、关系 【例1】（26-27九年级上·全国·期中）将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（     ） 种植数 100 200 400 600 800 1000 发芽数 92 180 352 546 712 900 发芽率 0.92 0.90 0.88 0.91 0.89 0.90 A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗 B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9 C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率 易错警示 概率是事件本身固定不变的理论值；频率是试验得到的比值，随试验次数变化；频率不等于概率，只有大量重复试验时，频率才稳定在概率附近，不能说“频率就是概率”。 【变式1-1】下列说法合理的是（     ） A．小明做了3次投掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷1次，正面朝上的概率还是 B．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击1次只有两种可能的结果，即中靶与不中靶，所以他中靶的概率是 D．小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 【变式1-2】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【题型二】列举结果时分不清放回与不放回 【例2】（26-27九年级上·全国·期中）下面是五张写有元素周期表中原子序数为的元素的卡片，卡片上除内容不同外，其余均相同，将其背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的元素恰好都是金属元素的概率为______（注：锂和铍为金属元素）． 1  H 氢 1.008 2  He 氦 4.003 3  Li 锂 6.94 4  Be 铍 9.012 5  B 硼 10.82 易错警示 放回试验前后总数量不变；不放回试验，第二次总结果数变少，不能重复选取同一个元素，枚举时容易多算或者漏算情况。 【变式2-1】（25-26九年级下·全国·期中）如下表，有四张大小、材质完全相同的卡片，卡片上分别写有如下条件，现将它们置于暗箱，摇匀后随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的条件恰能正确判定四边形为正方形的概率为________． 四边形是菱形 对角线互相平分 对角线相等 有一个内角是直角 【变式2-2】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______． 【变式2-3】（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【变式2-4】（25-26七年级下·山东济南·期中）在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 【题型一】已知概率求数量 【例1】（25-26九年级下·全国·期中）一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 【变式1-1】（26-27八年级上·四川达州·期中）在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为_______． 【变式1-2】（2022·浙江温州·模拟预测）一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 【变式1-3】（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【变式1-4】（25-26七年级下·山东烟台·期中）不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．小明从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出1个球，这个球是蓝球的概率是__________． 【题型二】几何图形中的概率问题 【例2】（26-27九年级下·全国·期中）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖（若飞镖落在分界线上，则重新投掷），则飞镖落在黑色区域的概率是________． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【变式2-2】（25-26七年级下·四川达州·期中）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．（π取3） 【变式2-3】（25-26七年级下·宁夏中卫·期中）如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 【变式2-4】（25-26八年级下·山东淄博·期中）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【题型三】简单随机事件的概率解答题综合 【例3】（2026·四川宜宾·模拟预测）为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 【变式3-1】（26-27九年级上·山西太原·期中）爱知·名古屋亚运会落下帷幕，中国体育代表团斩获金银铜，总计枚奖牌，创造亚运会境外参赛金牌数历史最佳战绩！一众年轻健儿奋勇拼搏，不断突破自我，交出一份亮眼答卷．九年级开展“亚运逐梦，青春自强”主题班会．老师准备四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分别记为A，B，C，D．                      A．团体项目：女子乒乓球团体            B．团体项目：男子米自由泳接力 （孙颖莎、王曼昱、陈熠、蒯曼、范姝涵）        （徐海博、费立纬、潘展乐、张展硕）                                   C．个人项目：女子米跳台（陈芋汐）        D．个人项目：男子米栏（陈圆将） 现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小明先从中随机抽取一张，不放回，小刚再从剩余图片中随机抽取一张，然后两人根据抽到的图片介绍对应的亚运比赛项目．用画树状图或列表的方法，求小明和小刚介绍的都是团体项目的概率． 【变式3-2】（2026九年级·广东·专题练习）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、，B、，C、，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 【变式3-3】（26-27九年级上·山东东营·期中）某校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 (1)统计表中的______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (2)阅读时间在的众数是______min；20名学生每天阅读时间的中位数是______min； (3)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【变式3-4】为了让学生更加了解广州南沙湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： (1)本次参加测评人数为人，并补全条形统计图； (2)现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少? 【题型四】频率估算概率的简单应用 【例4】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【变式4-1】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）一个盒子中装有颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性约为__________． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 【题型五】概率在转盘抽奖中的应用 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）用力旋转如图所示的甲、乙两个转盘的指针，想一想，哪个转盘的指针停下后指向深绿色的概率比较大？再用重复试验的方法检验一下自己的想法是否正确． 【变式5-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【变式5-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【变式5-4】（25-26七年级下·山西晋中·期中）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【题型六】概率在比赛中的应用 【例6】小明与小颖做游戏，他们连续掷一枚质地均匀的硬币，每掷一次硬币，若正面朝上，则小明得1分，否则，小颖得1分，谁先得3分谁获胜．进行一段时间后，小明得了2分，小颖得了1分，这时，小明有事要离开，游戏即将中断．如果游戏继续，你认为小明和小颖获胜的概率分别是多少？ 【变式6-1】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【变式6-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1、2、3、4、5、6． (1)小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率． (2)你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由． (3)目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏． 【变式6-3】（24-25七年级下·全国·期中）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【题型一】利用列表法求概率 适用场景：两步随机试验，适合放回/不放回，结果数量适中解题流程： ①判断试验是两步，确定第一步、第二步所有等可能结果； ②绘制表格：行代表第一次所有结果，列代表第二次所有结果； ③区分放回、不放回：不放回要剔除对角线上重复选取自身的情况； ④数出表格内全部等可能总结果数； ⑤数出满足目标事件A的结果个数； 符合条件结果数⑥代入概率公式： ⑦检查：确认每个结果可能性相等，没有重复、遗漏。 【例1】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 【变式1-1】小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【变式1-3】用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为________． 【变式1-4】（2026·浙江台州·模拟预测）小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【题型二】利用树状图求概率 适用场景：两步及两步以上的随机试验，放回、不放回都适用 解题流程： ①审题，确定试验一共分几步，判断是放回还是不放回； ②画第一层分支：第一步所有等可能结果； ③在每一个第一层分支后面，画出第二层(第三层)分支；不放回时，后续分支去掉已经选过的元素；放回时，每一层分支完全一样； ④顺着分支读出所有完整结果，统计全部等可能结果总数； ⑤统计符合题意的目标结果数量； ⑥代入概率公式计算； ⑦检验：核对总结果数量，避免漏分支、多分支。 【例2】（2026·四川遂宁·模拟预测）某社区举办了“新税法知多少”的竞答活动，并对答对问题的人员发放小礼品．现打算从报名参加知识竞答活动的三男两女中随机抽取人参加知识竞答，则抽取到的两人刚好是男女的概率是______． 【变式2-1】（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆·期中）一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 【变式2-3】（2026·河南·中考真题）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 【变式2-4】（2026·贵州铜仁·一模）某校九年级（1）班在以“梦想启航，马到成功”为主题的元旦联欢会上共设计了4个小游戏．如果甲同学和乙同学每人随机选择参加其中一个小游戏，则他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是______． 【题型三】游戏的公平性 【例3】（26-27九年级上·浙江金华·期中）现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 【变式3-1】（26-27九年级上·河南郑州·期中）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·期中）有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有及对应的等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． A： B： C： D： (1)用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用表示）； (2)小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？ 【变式3-3】王铮擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．规则如下：连续掷硬币三次，若两次正面朝上，一次正面朝下，则入足球阵营；若两次反面朝上，一次反面朝下，则入篮球阵营． (1)用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果； (2)这个规则对两个球队是否公平?为什么? 【变式3-4】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 技巧 一句话要点 事件分类判断——定义区分法 必然事件一定发生，概率为1；不可能事件一定不发生，概率为0；随机事件可能发生也可能不发生，概率在0到1之间。 判断概率大小关系——占比对比法 在等可能前提下，符合条件的结果占全部结果的比例越大，事件发生的概率就越大。 利用概率公式计算概率——定义公式法 ，公式适用前提：所有结果发生可能性相等。 已知概率反求数量——方程求解法 设未知数量，代入概率公式列出方程求解，算出结果后检验数量必须为正整数。 几何图形概率计算——面积比值法 几何概型中，事件概率等于符合条件区域面积与整个总区域面积的比值。 列举法求概率——枚举穷举法 试验结果较少时，不重不漏写出所有等可能结果，再统计目标事件结果个数，代入概率公式。 列表法求概率——表格枚举法 适合两步试验，列表写出两步所有组合，区分放回与不放回，再统计总结果和符合条件结果。 树状图求概率——分支枚举法 适合两步及以上试验，逐层画分支，不放回试验后续分支剔除已选元素，统计所有分支结果计算概率。 求事件的频率——比值计算法 ，频率随试验次数改变，不是固定值。 频率估计概率——大数稳定法 大量重复试验时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件概率的估计值。 游戏公平性判断——概率对比法 分别算出游戏各方获胜的概率，概率相等则游戏公平，概率不相等则游戏不公平。 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02随机事件的概率 目录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(6类) 公式清单(4类) 辨析清单(9类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01事件的分类 1.必然事件：在一定条件下，一定发生的事件。(举例：太阳从东方升起) 2.不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件。(举例：掷一枚骰子，朝上点数为7)注意：必然事件和不可能事件统称为确定事件。 3.随机事件：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件。(举例：掷一枚硬币，正面朝上)说明：随机事件发生的可能性有大有小；不同随机事件，发生可能性大小一般不同。 知识点02概率的定义 1.概率含义：把事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P(A)。 2.概率取值范围：必然事件的概率：；不可能事件的概率：；随机事件的概率：。说明：概率越大，事件发生的可能性越大；概率越小，事件发生的可能性越小。 知识点03等可能事件的概率计算 1.适用条件：试验结果有限、每个结果出现的可能性相等。 2.计算公式：， 举例：抛掷一枚均匀骰子，朝上点数是偶数的概率： 注意：使用公式前，必须判断试验是否满足等可能性。 知识点04列表法求概率 1.适用场景：一次试验包含两个因素，并且所有结果数目较多时。 2.步骤： ①分清一次试验的两个因素； ②列出所有等可能结果，制成表格； ③数出总结果数与符合事件要求的结果数； ④代入概率公式计算概率。 说明：注意区分“放回试验”与“不放回试验”,两种情况结果总数不一样。 知识点05树状图法求概率 1.适用场景：一次试验包含两个或多个因素的等可能试验。 2.步骤： ①明确试验步骤与顺序； ②按照顺序画出树状图，列出全部等可能结果； ③统计总结果数和满足条件的结果个数； ④代入公式计算概率。 注意：树状图可以清晰区分放回、不放回；多步试验优先选择树状图。 知识点06用频率估计概率 1.频率定义： 2.规律：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。说明：频率是试验得到的，会变化；概率是理论值，是固定常数；试验次数越大，频率越接近概率。 知识点07简单几何概率 1.几何概率含义：利用图形面积的比值计算概率。 2.计算公式： 举例：转盘游戏，指针落在红色区域的概率=红色区域面积÷转盘总面积注意：前提是指针落在区域内每一处的可能性均等。 考点01事件的分类 考点内容：必然事件、不可能事件、随机事件的定义；确定事件与随机事件的区分；随机事件发生可能性大小的判断。 常见考法： ①根据文字描述判断事件属于必然事件、不可能事件还是随机事件； ②辨析确定事件包含的两类事件，区分确定事件与随机事件； ③比较多个随机事件发生可能性的大小； ④结合生活实例识别各类事件。 考点02概率的意义与取值范围 考点内容：概率的定义；概率的符号表示；必然事件、不可能事件、随机事件对应的概率取值范围；概率大小与可能性的关系。 常见考法： ①理解概率P(A)的含义，判断对概率描述语句的正误； ②根据事件类型直接写出概率的取值； ③由概率数值大小，判断事件发生可能性的高低； ④辨析“概率是，就是试验两次一定发生一次”这类错误说法。 考点03等可能条件下概率公式计算 考点内容：等可能试验的条件，概率基本计算公式，简单一步试验求概率。 常见考法： ①判断试验是否满足等可能性； ②抛掷骰子、摸球、抽卡片等一步试验，直接套用公式求概率； ③已知概率和总结果数，反求符合条件的结果数量； ④结合图形、转盘进行基础概率计算。 考点04列表法求概率 考点内容：列表法适用条件；列表法的解题步骤；放回试验与不放回试验的区别。 常见考法： ①一次试验含有两个因素，用列表法列举全部等可能结果； ②区分放回、不放回模型，正确列出表格，统计结果数计算概率； ③利用列表法判断游戏是否公平； ④检验列举结果有没有重复、遗漏。 考点05树状图法求概率 考点内容：树状图法适用条件；画树状图的步骤；两步及多步试验的结果列举。 常见考法： ①两步或者三步的试验，用树状图有序列举所有等可能结果； ②放回、不放回摸球、抽卡片、抛硬币组合问题，用树状图求解； ③对比树状图和列表法，按需选择合适方法； ④根据计算得到的概率，修改游戏规则使其公平。 考点06用频率估计概率 考点内容：频数、频率的概念；频率计算公式；大量重复试验下频率稳定于概率；频率与概率的区别与联系。 常见考法： ①根据表格数据计算频率； ②由大量试验后的稳定频率，估计事件发生的概率； ③辨析频率是变化值、概率是固定理论值； ④利用估计出的概率，预估多次试验中事件发生的次数。 考点07几何概率 考点内容：几何概率模型几何概率公式；等面积随机落点的前提。 常见考法： ①转盘类、面积分割图形，利用面积比值计算概率； ②结合正方形、圆、扇形等图形求几何概率； ③判断几何概率试验是否满足落点等可能； ④已知概率，反求阴影部分的面积。 考点08概率的实际应用——游戏公平性问题 考点内容：游戏公平的判定依据；根据概率修改游戏方案。 常见考法： ①分别算出游戏各方获胜的概率，比较概率判断公平与否； ②当游戏不公平时，重新设计规则、修改得分，使双方获胜概率相等； ③辨析公平的含义：获胜概率相等，不是输赢次数相同； ④结合生活情境设计简单公平游戏。 1.概率基本公式(等可能事件) n：所有等可能的结果总数；m：事件A包含的结果数 取值范围： 必然事件：；不可能事件：；随机事件： 2.频率计算公式： 3.几何概率公式： SA:事件A对应的区域面积；S总：整个图形的总面积 4.利用概率预估发生次数 1.易错点：混淆频率与概率 易错警示：频率是通过试验得到的，会随试验次数变化，概率是事件本身固定的理论值。只能用大量重复试验下稳定的频率去估计概率，不能直接把单次频率当成概率。 2.易错点：误认为概率为试验2次就一定发生1次 易错警示：概率描述的是可能性大小，不是固定的结果分配。概率只表示单次发生的可能性，不保证有限次数试验里一定发生几次。 3.易错点：忽略等可能性前提直接套用 易错警示：只适用于所有结果出现机会均等的试验；如果各个结果可能性不一样，不能直接用这个公式。 4.易错点：放回、不放回试验列举结果时混淆 易错警示放回试验每次可选的总数量不变，不放回试验下一次总数要减少1。画树状图、列表时要分清两种模型，容易多算或者漏算结果。 5.易错点：判断游戏公平只看结果数量，不计算概率 易错警示：游戏公平的标准是各方获胜概率相等，不是获胜对应的结果个数一样；如果每个结果可能性不同，个数相等概率也不一定相等。 6.易错点：几何概率忽略“落点等可能”条件 易错警示：几何概率用面积比计算的前提是随机点落在区域内任意一处可能性相同；转盘如果扇形圆心角不相等，不能直接按份数计算。 7.易错点：事件分类判断出错，混淆随机事件和确定事件 易错警示确定事件包含必然事件、不可能事件，只要条件固定，一定发生或者一定不发生就是确定事件，有可能发生也有可能不发生才是随机事件。 8.易错点：认为概率等于0就是一定不可能发生、概率等于1就必然发生(拓展，适合压轴辨析) 易错警示：初中阶段概率为0就是不可能事件，概率为1就是必然事件；注意区分高中层面的几何概型单点概率，初中不涉及，做题按课本定义判断。 9.易错点：列举结果时有重复、遗漏 易错警示：用列表法、树状图列举，要按顺序有序列举；有序和无序模型不能混用，比如摸两个球，要看题目是否区分先后。 【题型一】事件的分类 【例1】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）下列事件中，是随机事件的是（     ） A．从一只装有红球的袋子里摸出一个黄球 B．抛出的篮球会下落 C．抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数是 D．正数大于负数 【答案】C 【分析】根据事件发生的确定性，判断各选项的事件类型． 【详解】解：A.袋中只装有红球，不可能摸出黄球，为不可能事件； B.抛出的篮球一定会下落，为必然事件； C.抛掷质地均匀的骰子，可能掷出~的任意点数，掷出点数是可能发生也可能不发生，为随机事件； D.正数一定大于负数，为必然事件． 【变式1-1】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）下列事件为必然事件的是（     ） A．购买张彩票，一定中奖 B．刷微信小视频，立即出现心里想听的一首歌 C．三角形三个内角的和为度 D．一枚硬币抛掷次，一定有正面向上出现 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D中的事件均可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； 三角形三个内角的和为度，是必然成立的，属于必然事件，符合题意． 【变式1-2】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）下列事件中，①车辆随机经过一个路口，遇到红灯；②三条线段首尾相连可以组成一个三角形；③13个学生中至少有2个人的生日在同一个月；④抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数；⑤小明向“豆包”问了一个问题，“豆包”给出了正确答案．确定事件的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件． 【详解】解：①车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，不是确定事件． ②三条线段首尾相连，可能组成三角形，也可能不能，是随机事件，不是确定事件． ③一年有个月，个学生中至少有个人的生日在同一月，是必然事件，属于确定事件． ④抛掷质地均匀的骰子，掷出的点数可能是质数，也可能不是，是随机事件，不是确定事件． ⑤小明向“豆包”提问，“豆包”给出的答案可能正确，也可能错误，是随机事件，不是确定事件． 综上，确定事件的个数为． 【变式1-3】（26-27九年级上·浙江温州·期中）下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【分析】直接对各选项的可能性进行分析，判断说法的正误． 【详解】解：A．掷一次骰子，朝上一面的点数最小为，必然大于，是必然事件，不符合题意； B．从装有个白球的袋中摸出红球，是不可能事件，不符合题意； C．明天太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意； D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，可能命中环，也可能不命中，是不确定事件，符合题意． 【题型二】判断几个事件概率的大小关系 【例2】（26-27九年级上·浙江宁波·期中）盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（     ） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小 【答案】B 【分析】计算各颜色球被摸出的概率，逐一判断选项正误. 【详解】解：∵总球数为10，其中红球6个，黄球3个，黑球1个， ∴摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，摸出黑球的概率为， ∵， ∴摸出红球的可能性最大，摸出黑球的可能性最小， A、摸球为随机事件，可能摸到红球，也可能摸到其他颜色的球，并非一定是红球，故A错误； B、摸出红球的可能性最大，故B正确； C、盒中有黑球，因此有可能摸到黑球，并非不可能，故C错误； D、摸出黑球的可能性最小，并非红球，故D错误. 【变式2-1】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）下列事件中，概率最大的是（     ） A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B．投掷飞镖一次，命中靶心 C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D．玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀” 【答案】C 【分析】优先判断事件类型，必然事件概率为，大于所有随机事件的概率，可快速求解． 【详解】解：A、投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上概率为； B、投掷飞镖一次，命中靶心是随机事件，概率小于； C、从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球为必然事件，概率为； D、玩“石头，剪刀，布”，对方出“剪刀”的概率为； 故概率最大的是C． 【变式2-2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）下图表示各袋中球的情况，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算各袋中摸到红球的概率，概率最大的即为可能性最大的． 【详解】解：A袋中红球有0个，总球数为10，摸到红球的概率为； B袋中红球有2个，总球数为10，摸到红球的概率为； C袋中红球有9个，总球数为10，摸到红球的概率为； D袋中红球有10个，总球数为10，摸到红球的概率为； ， ，摸到红球可能性最大的是D． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南郑州·期中）下列四个随机事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一个质地均匀的骰子，朝上的点数是3 C．从52张扑克牌（无大小王）中随机抽一张，抽到红桃 D．从1~10这10个整数中随机抽一个，抽到数字6 【答案】D 【分析】分别计算四个选项中事件发生的概率，概率越小，发生可能性越小，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：A、抛质地均匀的硬币共有2种等可能结果，正面朝上为1种，∴； B、掷质地均匀的骰子共有6种等可能结果，朝上点数为3是1种，∴； C、52张无大小王的扑克牌中红桃共13张，抽牌共有52种等可能结果，抽到红桃是13种，∴； D、1~10共10个整数，抽数共有10种等可能结果，抽到6是1种，∴， ， 最小， 选项事件发生的可能性最小． 【题型三】根据概率公式计算概率 【例3】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：袋子中装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，总球数为． 随机摸出一个球是红球的概率为． 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是一个的正方形网格，其中有5格已经涂上了阴影，若在剩余的20格中随机涂上一格阴影，使得图中形成的阴影部分恰好是一个中心对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知符合题意的涂法有2种， 则概率为． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·期中）如图所示是一条线段，的长为5厘米，的长为1厘米，假设可以随意在线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】概率所求情况数与总情况数之比，先确定线段的长在线段的长度中所占的比例，根据此比例即可解答． 【详解】解：的长为5厘米，的长为1厘米， ∴随意在这条线段上取一个点，那么这个点取在线段上的概率为． 【变式3-3】小夏出行时，携带三位滚轮密码锁的行李箱，但是密码锁的密码忘记了，只记得是由“3，6，9”这三个数字组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数字，一次就能打开行李箱的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵由3、6、9组成的各位数字不同的三位数有369、396、639、693、936、963，共6种等可能的结果，能打开行李箱的结果只有1种． ∴一次就能打开行李箱的概率为． 【变式3-4】（26-27九年级上·全国·期中）“石头、剪刀、布”是广为流传的一种游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，并约定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次出这三种手势的可能性相同，那么一次游戏中乙获胜的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：甲、乙各有3种手势，所有等可能的结果共有种． 乙获胜的情况有3种：甲出石头乙出布，甲出剪刀乙出石头，甲出布乙出剪刀． 乙获胜的概率为． 【题型四】求某个事情的频率 【例4】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 【答案】 【详解】解：这串数字中，共有个数字，其中数字出现了次，则出现的频率为． 【变式4-1】抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率，解题的关键是掌握频率是事件发生次数与总试验次数的比值，计算即可． 【详解】解：出现点数6的次数为5次，总试验次数为20次， 频率． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 【答案】 【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键． 根据频率公式计算即可求解． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为：． 【变式4-3】数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数______（结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有______． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】稳定性 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 【题型五】由频率估计概率 【例5】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 【答案】20 【分析】大量的试验后，频率约等于概率，利用红色卡片的数量除以其频率即可求出总的卡片数量． 【详解】解：根据题意有：． 【变式5-1】（26-27九年级上·浙江绍兴·期中）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000 合格频数 47 95 188 480 763 949 合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.954 0.949 估计任抽一件衬衣是合格品的概率：________________（结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，可用频率的稳定值估计概率，根据表格中频率的变化趋势得到稳定值，再按要求精确即可． 【详解】解：观察表格可得，随着抽取件数增加，合格衬衣的频率逐渐稳定在附近； 最大抽取量为1000件时，合格频率为，将结果精确到得到； 因此估计任抽一件衬衣是合格品的概率为． 【变式5-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出白球的次数 55 618 3032 5957 30104 59995 摸出白球的频率 0.550 0.618 0.606 0.596 0.602 0.600 根据试验所得数据，估计白球有_______个． 【答案】15 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值估计概率，结合球的总数关系列方程求解即可。 【详解】解：观察表格可知，随着摸球试验次数增加，摸出白球的频率逐渐稳定在附近，因此估计摸出白球的概率为； 设袋子中白球有个，根据题意可得：， 解方程得，经检验，是原方程的解，且符合题意； 因此估计袋子中白球有个． 【变式5-3】（25-26七年级下·贵州六盘水·期中）频率反映事件发生的频繁程度，频率越大，该事件发生越频繁，就意味着该事件发生的可能性越大，我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率．下表是某射击运动员在同一条件下进行射击的数据： 射击总次数 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心的频率 0.900 0.800 0.820 0.880 0.840 0.858 0.861 请根据以上数据，估计该运动员射击一次便击中靶心的概率是__________． 【答案】 【分析】大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，可将这个常数作为该事件发生概率的估计值． 【详解】解：观察表格数据可得，随着射击总次数不断增大，击中靶心的频率逐渐稳定在附近，因此估计该运动员射击一次击中靶心的概率为． 【变式5-4】（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是_________． 【答案】0.618 【分析】根据图象，利用频率估算概率即可. 【详解】解：由图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率稳定在0.618附近，故“钉尖向上”的概率是0.618. 【变式5-5】（25-26七年级下·广东佛山·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 【答案】30 【分析】根据表格数据估计摸到黑球的概率，再结合球的总数求得黑球的数量即可． 【详解】解：由表可知，随着摸球次数增加，摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，因此可估计摸到黑球的概率为， 所以黑球的个数约为个． 【题型一】混淆频率与概率的定义、关系 【例1】（26-27九年级上·全国·期中）将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（     ） 种植数 100 200 400 600 800 1000 发芽数 92 180 352 546 712 900 发芽率 0.92 0.90 0.88 0.91 0.89 0.90 A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗 B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9 C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率 【答案】A 【分析】解题突破口是明确概率是频率的稳定估计值，随机事件的结果不具有必然性. 【详解】解：选项A：在此条件下种植颗南瓜种子，发芽种子数为随机事件，无法确定一定为颗，表述错误. 选项B：随着种植种子数量增加，发芽率稳定在附近，可估计该条件下种子发芽概率为，表述正确. 选项C：实验次数越多，频率越接近概率，可用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，表述正确. 选项D：大量重复种植中，随着种植次数与种子数量增加，发芽频率会逐渐稳定，因此可用频率估计概率，表述正确. 易错警示 概率是事件本身固定不变的理论值；频率是试验得到的比值，随试验次数变化；频率不等于概率，只有大量重复试验时，频率才稳定在概率附近，不能说“频率就是概率”。 【变式1-1】下列说法合理的是（     ） A．小明做了3次投掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷1次，正面朝上的概率还是 B．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击1次只有两种可能的结果，即中靶与不中靶，所以他中靶的概率是 D．小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】根据概率的特征及频率估计概率的条件判断各选项即可． 【详解】解：均匀硬币正面朝上的概率为，每次投掷结果互不影响，与之前试验结果无关，故A选项说法合理． 中奖概率仅表示中奖的可能性大小，买100张彩票不一定有5张中奖，故B选项说法不合理． 射击的中靶与不中靶不是等可能事件，不能直接得出中靶概率为，故C选项说法不合理． 3次试验次数过少，不能用频率估计概率，且图钉质地不均匀，钉尖朝上与朝下不是等可能事件，故D选项说法不合理． 【变式1-2】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是（     ） A．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 B．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 C．钉尖着地的频率是0.4 D．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 【答案】A 【分析】大量重复试验中，频率稳定在某个常数附近，但少量试验的结果是随机的，不一定符合整体频率的比例．据此逐一判断选项即可． 【详解】解：频率是大量试验的统计结果，少量试验的结果具有随机性，∴前次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是次，A选项说法错误，符合题意． 前次试验结束后，结果具有随机性，钉尖着地的次数不一定是次，因此B选项说法正确，不符合题意． 大量重复试验后，钉尖着地次数占总次数的，可得，∴C选项钉尖着地的频率是，说法正确，不符合题意． 根据用频率估计概率的性质，随着试验次数增加，钉尖着地的频率会逐渐稳定在一个常数附近，∴D选项说法正确，不符合题意． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江湖州·期中）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴选项D正确. 故选：D. 【题型二】列举结果时分不清放回与不放回 【例2】（26-27九年级上·全国·期中）下面是五张写有元素周期表中原子序数为的元素的卡片，卡片上除内容不同外，其余均相同，将其背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的元素恰好都是金属元素的概率为______（注：锂和铍为金属元素）． 1  H 氢 1.008 2  He 氦 4.003 3  Li 锂 6.94 4  Be 铍 9.012 5  B 硼 10.82 【答案】 【分析】先确定所有等可能的抽取结果总数，再找出两张卡片均为金属元素的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得：从这5种元素中任取两种元素的可能性有：（氢，氦），（氢，锂），（氢，铍），（氢，硼），（氦，锂），（氦，铍），（氦，硼），（锂，铍），（锂，硼），（铍，硼）， 其中两种元素都为金属元素的只有一种，故抽取到两种元素都为金属元素的概率为． 易错警示 放回试验前后总数量不变；不放回试验，第二次总结果数变少，不能重复选取同一个元素，枚举时容易多算或者漏算情况。 【变式2-1】（25-26九年级下·全国·期中）如下表，有四张大小、材质完全相同的卡片，卡片上分别写有如下条件，现将它们置于暗箱，摇匀后随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的条件恰能正确判定四边形为正方形的概率为________． 四边形是菱形 对角线互相平分 对角线相等 有一个内角是直角 【答案】 【分析】先列出抽取两张卡片的所有等可能情况，再判断哪些组合可正确判定正方形，最后利用概率公式计算． 【详解】解：将四张卡片依次记为（四边形是菱形），（对角线互相平分），（对角线相等），（有一个内角是直角），随机抽取两张，所有等可能的组合为：，共种等可能情况． 逐个判断：仅能判定四边形为菱形，不能判定正方形，不符合； ：对角线相等的菱形是正方形，符合要求； ：有一个内角是直角的菱形是正方形，符合要求； 仅能判定四边形为矩形，不能判定正方形，不符合； 仅能判定四边形为矩形，不能判定正方形，不符合； ：对角线相等且有一个内角是直角的四边形不一定是正方形，不符合； 因此符合要求的情况共种，所求概率为． 【变式2-2】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______． 【答案】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点处都是等可能情况，从而得到在四个出口也都是等可能情况，然后直接利用概率公式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有四个，小球最终从点落出的情况只有种情况， 所以小球最终从口落出的概率为． 【变式2-3】（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，当A到B的电路为断路状态，系统不能正常工作．根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是方案________？（选填“一”或“二”）． 【答案】二 【分析】先列举得到方案一和方案二的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：设不能正常工作时表示为，， 方案一，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有1种，所以方案一中电路系统正常工作的概率为， 方案二，从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案二中电路系统正常工作的概率为， 方案二更稳定可靠． 故答案为：二． 【变式2-4】（25-26七年级下·山东济南·期中）在7张完全相同的卡片上分别写上数字1，1，2，2，3，4，5，从中任意抽出一张，抽出标有数字为奇数的卡片的概率为____________． 【答案】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，即可求解． 【详解】解：一共有7张完全相同的卡片，其中数字为奇数的卡片为1，1，3，5，共4张， ∴抽出标有数字为奇数的卡片的概率为． 【题型一】已知概率求数量 【例1】（25-26九年级下·全国·期中）一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 【答案】22 【分析】利用频率估计概率，根据摸到黑球的频率等于黑球个数与总球数的比值，列方程求解即可． 【详解】解：设暗箱里大约有白球个，则暗箱中总球数为个． 用频率估计概率，可得摸到黑球的概率约为， 因此列方程得 交叉相乘化简得， 解得． 即暗箱里大约有白球个． 【变式1-1】（26-27八年级上·四川达州·期中）在一个不透明的盒子里有4个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同．若摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率为，则n的值为_______． 【答案】16 【分析】根据概率公式列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：摸到红球的概率为，总球数为个，红球共个， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 【变式1-2】（2022·浙江温州·模拟预测）一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中有5个红球，从布袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是，若要使摸出红球和白球的概率一样，且保持白球个数不变，则需要再放入红球的个数是_____． 【答案】10 【分析】先根据红球个数和摸出红球的概率求出原有总球数，再计算出白球个数，根据摸出两种球概率相等得出红球个数需等于白球个数，结合白球个数不变，即可求出需要放入红球的个数． 【详解】解：设布袋中原有总球数为个， 由题意得，解得， 原有白球个数为（个）， 要使摸出红球和白球的概率一样，且布袋中只有红球和白球， 红球个数需要等于白球个数， 白球个数保持不变，仍为个， 需要再放入红球的个数为（个）． 【变式1-3】（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 【变式1-4】（25-26七年级下·山东烟台·期中）不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．小明从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出1个球，这个球是蓝球的概率是__________． 【答案】 【分析】先根据概率公式求出三种颜色球的个数，再计算拿出1个红球后剩余球的总个数和蓝球个数，最后根据概率公式求解取出蓝球的概率． 【详解】解：∵袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，取出红球的概率为，取出绿球的概率为， ∴红球个数为（个），绿球个数为（个）， ∴蓝球个数为（个）， ∵拿出个红球后，剩余球的总个数为（个），蓝球个数仍为个， ∴再随机取出个球是蓝球的概率为． 【题型二】几何图形中的概率问题 【例2】（26-27九年级下·全国·期中）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖（若飞镖落在分界线上，则重新投掷），则飞镖落在黑色区域的概率是________． 【答案】 【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份， ∴P（飞镖落在黑色区域）． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 【变式2-2】（25-26七年级下·四川达州·期中）在半径为5的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．（π取3） 【答案】 【分析】根据已知首先求出圆的面积以及正方形的面积，即可得出落在正方形内的概率． 【详解】解：圆的面积为， 正方形的边长为，则其面积为， ∴落在正方形内的概率为. 【变式2-3】（25-26七年级下·宁夏中卫·期中）如图，一只蚂蚁在正方形内爬行，点是对角线的交点，，，分别交线段，于，，若蚂蚁在正方形内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为_________． 【答案】 【分析】先证明，得出，求出，再由几何概率计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为． 【变式2-4】（25-26八年级下·山东淄博·期中）汉末三国初数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，且每个直角三角形的两条直角边的比都为．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】/ 【分析】设两直角边分别为，，表示出大正方形的面积和小正方形面积，根据针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比求解． 【详解】解：∵四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为， ∴设两直角边分别为，， ∴大正方形的面积为，小正方形的边长为， ∴小正方形面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 【题型三】简单随机事件的概率解答题综合 【例3】（2026·四川宜宾·模拟预测）为了贯彻落实教育部“学生体质健康检测”新政策，切实提升青少年身体素质，我校体育组对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为，并补全条形统计图； (2)若我校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间不足4小时的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名作为“运动小先锋”参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 【答案】(1)，， 补全条形统计图如图所示： (2)名 (3) 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出答案；求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用乘以样本中八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中七年级和八年级各名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：该校此次调查共抽取学生人数：（名）． 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为． 组中八年级的学生人数为（名）． 补全条形统计图略； （2）解：根据题意，八年级每周锻炼时间不足小时的学生人数为：（名）． （3）解：将七年级的名同学分别记为甲、乙，八年级的名同学分别记为丙、丁， 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有种等可能的结果，其中恰好选中七、八年级各名同学的情况有种， ∴（恰好选中七、八年级各名同学）． 【变式3-1】（26-27九年级上·山西太原·期中）爱知·名古屋亚运会落下帷幕，中国体育代表团斩获金银铜，总计枚奖牌，创造亚运会境外参赛金牌数历史最佳战绩！一众年轻健儿奋勇拼搏，不断突破自我，交出一份亮眼答卷．九年级开展“亚运逐梦，青春自强”主题班会．老师准备四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分别记为A，B，C，D．                      A．团体项目：女子乒乓球团体            B．团体项目：男子米自由泳接力 （孙颖莎、王曼昱、陈熠、蒯曼、范姝涵）        （徐海博、费立纬、潘展乐、张展硕）                                   C．个人项目：女子米跳台（陈芋汐）        D．个人项目：男子米栏（陈圆将） 现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小明先从中随机抽取一张，不放回，小刚再从剩余图片中随机抽取一张，然后两人根据抽到的图片介绍对应的亚运比赛项目．用画树状图或列表的方法，求小明和小刚介绍的都是团体项目的概率． 【答案】 【分析】先列表得到所有的等可能性的结果数，然后找到两人介绍的都是团体项目的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：所有可能的结果列表如下： 小刚小明 共有种结果，每种结果出现的可能性相同， 两人介绍的都是团体项目的结果有两种：、， ∴两人介绍的都是团体项目的概率是． 【变式3-2】（2026九年级·广东·专题练习）2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A、，B、，C、，D、），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩是：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、74、75、85、90、90、95、96． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 80 众数 82 90 方差 90 117 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________． (2)结合上述信息和所学的数学知识，你认为哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由． (3)现要将八年级的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 【答案】(1)，； (2)七年级更好；理由：七年级和八年级平均数都是81分，但七年级的竞赛成绩的中位数比八年级高，且七年级的方差小于八年级的方差，则七年级的竞赛成绩稳定性高于八年级竞赛成绩的稳定性． (3) 【分析】（1）根据中位数的定义求出a的值，得出位于七年级A组的人数，用A组的人数除以总人数即可求出m的值． （2）利用中位数和方差作决策即可． （3）列出表格求解即可． 【详解】（1）解：七年级10名学生竞赛成绩从小到大排列为：62、72、74、80、81、82、82、90、91、96． ∴中位数为， 在A组之间的人数有3人， ∴， ∴； （2）略 （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ∴共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分到同一组有2种结果，丙、丁两位同学分到一组时甲、乙也在一组的情况有2种结果， ∴甲、乙两位同学分到同一组的概率为：． 【变式3-3】（26-27九年级上·山东东营·期中）某校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 (1)统计表中的______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (2)阅读时间在的众数是______min；20名学生每天阅读时间的中位数是______min； (3)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)5，144 (2)40，40 (3) 【分析】（1）用总数减去其他组的人数求出的值，360度乘以B组人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）根据众数和中位数的确定方法进行计算即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：阅读时间在的数据中出现次数最多的是40； 故众数为40； 将数据排序后，第10个和第11个数据均为40， ∴中位数为：． （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种； （一名男生和一名女生）． 【变式3-4】为了让学生更加了解广州南沙湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： (1)本次参加测评人数为人，并补全条形统计图； (2)现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少? 【答案】(1)100； (2) 【分析】（1）因为C等级的人数和对应扇形占比已知，所以用C等级人数除以其占比即可得到总人数；再根据D等级占比求出D等级人数，用总人数减去A、C、D等级人数得到B等级人数，补全条形统计图； （2）先列出所有等可能的抽取结果，再找出恰好抽到1名A等级和1名B等级的结果数，根据概率公式计算对应概率． 【详解】（1）解：等级有20人，占总人数的， 本次参加测评人数为：（人）， 等级人数：人；等级人数：（人）． 补全条形图略。 （2）解：记2名等级同学为，，2名等级同学为，，列表得所有等可能的抽取结果： 共12种等可能的结果，其中恰好1名等级、1名等级的结果有8种， 恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率为． 【题型四】频率估算概率的简单应用 【例4】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用某个二维码开展数学试验活动，如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______． 【答案】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内白色部分的频率稳定值即可解答． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内白色部分的总面积约为． 【变式4-1】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）一个盒子中装有颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性约为__________． 【答案】 【分析】由频率与概率的关系列式求出盒中红色幸运星的个数即可得到答案． 【详解】解：设袋中红色幸运星有个， 根据题意得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则袋中红色幸运星的个数为个， 若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性为． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 500 1000 3000 合格频数 49 97 481 960 2880 合格频率 0.980 0.970 0.962 0.960 0.960 根据表中的数据，估计出售5000件衬衣，其中合格产品约有______件． 【答案】4800 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率的应用．观察表格可知当抽取件数较大时，合格频率稳定在0.960附近，据此用频率估计合格概率，再计算5000件衬衣中的合格产品数量即可． 【详解】解：由表格数据可知，当抽取件数为1000件和3000件时，合格频率均为0.960，且频率逐渐稳定在0.960附近，因此可估计这批衬衣的合格概率约为0.960． 则出售5000件衬衣时，合格产品约有件． 故答案为：4800． 【题型五】概率在转盘抽奖中的应用 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）用力旋转如图所示的甲、乙两个转盘的指针，想一想，哪个转盘的指针停下后指向深绿色的概率比较大？再用重复试验的方法检验一下自己的想法是否正确． 【答案】这两个转盘的指针停下后指向深绿色的概率相同 【分析】分别计算出两个转盘指针停下后指向深绿色的概率，即可得结论． 【详解】解：∵甲转盘等分成6个扇形，其中深绿色区域占3份， ∴指针停下后指向深绿色的概率为， ∵乙转盘等分成2个扇形，其中深绿色区域占1份， ∴指针停下后指向深绿色的概率为， ∵， ∴这两个转盘的指针停下后指向深绿色的概率同样大． 【变式5-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成18个扇形．商场规定：顾客购买300元及以上的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域（指针落在虚线上，则重新转动转盘），顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券． (1)小刚妈妈在此商场购物消费320元，她获得一次转动转盘的机会． ①求她获得150元、75元、30元购物券的概率分别是多少？ ②小刚妈妈能获得购物券的概率是多少？ (2)若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1)①获得150元、75元、30元的购物券的概率是：，，；②获得购物券的概率是 (2)还需要将2个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；     （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：①转盘被等分成18个扇形，其中红色扇形有1个，黄色扇形有2个，绿色扇形有4个， 指针对准红、黄、绿色区域，顾客就可以分别获得150元、75元、30元的购物券， 小刚妈妈获得150元购物券的概率是， 小刚妈妈获得75元购物券的概率是， 小刚妈妈获得30元购物券的概率是；     ②转盘被等分成18个扇形，其中能够获得购物券的有：红色扇形1个，黄色扇形2个，绿色扇形4个，共7个扇形， 小刚妈妈获得购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 则，     解得：， 若要让转动转盘一次获得30元购物券的概率变为，则还需要将2个无色扇形涂成绿色． 【变式5-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)∵指针指向红色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向黄色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向蓝色区域的结果有4种， ∴P（获得元购物券）； ∵， ∴小军妈妈获得元购物券的概率最大 【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率； （2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大． 【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同， 指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种， ∴（获购物券）． （2）略 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）放暑假前，为了加强学生的安全教育，七年级举办了“防溺水安全”的主题班会，为了激发学生参与热情，王老师制作了一个可以自由转动的转盘，并规定：学生每答对一道题即可获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，若指针正好对应一等奖、二等奖或三等奖，即可获得对应奖品一份．（转盘被平均分成8个扇形）． (1)七（1）班的小艺参与活动并答对1道题，求她获得一等奖的概率； (2)七（2）班的小诚也答对了1道题，求他获奖的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，一等奖占一个， ∴小艺获得一等奖的概率； （2）解：由图可知，转盘被平均分成8个扇形，其中6个有奖品， ∴小诚获奖的概率． 【变式5-4】（25-26七年级下·山西晋中·期中）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益：， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益：， ∵， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 【题型六】概率在比赛中的应用 【例6】小明与小颖做游戏，他们连续掷一枚质地均匀的硬币，每掷一次硬币，若正面朝上，则小明得1分，否则，小颖得1分，谁先得3分谁获胜．进行一段时间后，小明得了2分，小颖得了1分，这时，小明有事要离开，游戏即将中断．如果游戏继续，你认为小明和小颖获胜的概率分别是多少？ 【答案】小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为． 【分析】根据当前比分确定最多再掷2次硬币即可分出胜负，列举所有等可能的结果，结合概率公式计算两人获胜的概率． 【详解】解：由题意得，小明已得2分，小颖已得1分，先得3分者获胜，因此最多再掷2次硬币即可分出胜负． 掷两次硬币，所有等可能的结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种． 若第一次掷出正面，小明累计得3分直接获胜，对应（正，正）、（正，反）2种结果； 若第一次掷出反面，第二次掷出正面，小明累计得3分获胜，对应（反，正）1种结果； 若两次均掷出反面，小颖累计得3分获胜，对应（反，反）1种结果． ∴小明获胜的结果共3种，小颖获胜的结果共1种． ∴（小明获胜），（小颖获胜）． 答：小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为． 【变式6-1】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【答案】不公平，理由如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，质数有2，3，5，7；被5整除的数有5，10， ∴小丽去的概率为，小华去的概率为． ∵， ∴这个游戏不公平． 游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 【分析】分别计算小丽去的概率和小华去的概率，若概率相等则公平，若概率不相等则不公平；要修改游戏规则达到对双方公平的目的，则应使小丽去的概率和小华去的概率相等． 【详解】解：游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，奇数有1，3，5，7，9；偶数有2，4，6，8，10； ∴小丽去的概率为，小华去的概率为， ∴游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去，才能对双方公平． 【变式6-2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）现有一个不透明的盒子里放置6张材质完全相同的卡片，卡片上分别标有数字1、2、3、4、5、6． (1)小深设计了一款游戏，规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．计算，若结果大于2，则甲获胜；若结果小于或等于2，则乙获胜．求甲获胜的概率． (2)你认为小深设计的这个游戏是否公平？请阐述理由． (3)目前该游戏仅支持两人同时玩，请帮小深将其改成可供三个人同时玩的公平游戏． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析； (3)见解析 【分析】（1）根据求出的6个取值对应的值，再根据甲获胜的情况求出概率即可； （2）由甲获胜的概率小于乙获胜的概率分析即可； （3）三个人同时玩的公平游戏，即三个人获胜的概率相等，据此设计游戏即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当时，， 其中，即6种结果中，只有1种结果甲获胜， 甲获胜的概率为． （2）解：不公平， 理由：由（1）可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率明显小于乙获胜的概率，所以游戏不公平； （3）解：规则如下：，从盒中随机抽取1张卡片，卡片上的数字即为．若结果为1或2，则甲获胜；若结果为3或4，则乙获胜；若结果为5或6，则丙获胜． 【变式6-3】（24-25七年级下·全国·期中）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 正确，理由如下： 因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个， 所以（A盘转出的数字大于4）． 因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个， 所以（盘转出数字“4”）， 所以小华的看法正确， 【分析】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域， 所以（A盘转出数字“2”）， 因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域， 所以（盘转出数字“2”）， （2）略 【题型一】利用列表法求概率 适用场景：两步随机试验，适合放回/不放回，结果数量适中解题流程： ①判断试验是两步，确定第一步、第二步所有等可能结果； ②绘制表格：行代表第一次所有结果，列代表第二次所有结果； ③区分放回、不放回：不放回要剔除对角线上重复选取自身的情况； ④数出表格内全部等可能总结果数； ⑤数出满足目标事件A的结果个数； 符合条件结果数⑥代入概率公式： ⑦检查：确认每个结果可能性相等，没有重复、遗漏。 【例1】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能的结果，再得出两次摸到的都是黑球的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：记两个红球分别为A，B，黑球为C，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的都是黑球的结果有1种， ∴两次摸到的都是黑球的概率为． 【变式1-1】小明和小红玩摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再摸出一个球．若两次都摸到红球，则小红赢，否则小明赢．则小红赢的概率是________，这个游戏对双方________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】先列出表格，得出摸球所有等可能结果，计算小红和小明赢的概率，比较概率大小判断游戏公平性即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） ∵所有等可能结果有9种，其中两次都摸到红球的4种，其他的有5种， ∴小红赢的概率为，小明赢的概率为， ∵， ∴游戏对双方不公平． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再逐个验证点是否在二次函数图象上，统计符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：点用列表表示如下： 由表格可知，所有等可能的结果总数为9． 分别代入不同的计算二次函数对应的值， 当时，，可选值中没有，不符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求， ∴符合条件的点共有个， ∴所求概率为． 【变式1-3】用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查利用列表法或树状图法求概率．解题的关键在于准确列出转动转盘两次所有等可能的结果，并从中筛选出能配成紫色(即一次为红色，一次为蓝色)的结果数，最后利用概率公式进行计算． 【详解】由列举法可得： 第一次       第二次 红 蓝 白    红 （红，红） （红，蓝） （红，白） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，白） 白 （白，红） （白，蓝） （白，白） 由表可知，转动转盘两次，共有种等可能结果， 因为红色和蓝色在一起才能配成紫色，观察以上表格满足条件的结果为（蓝，红）和（红，蓝）共2种情况， 所以，转动转盘两次，转盘显示的颜色可以配成紫色的概率为． 【变式1-4】（2026·浙江台州·模拟预测）小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【答案】 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果全部列举出来，用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 羊1 羊2 猴A 猴B 羊1 1，1 1，2 1，A 1，B 羊2 2，1 2，2 2，A 2，B 猴A A，1 A，2 A，A A，B 猴B B，1 B，2 B，A B，B 由列表得：共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片画面不同的有8种， 故两张抽取的卡片画面不同的概率是． 【题型二】利用树状图求概率 适用场景：两步及两步以上的随机试验，放回、不放回都适用 解题流程： ①审题，确定试验一共分几步，判断是放回还是不放回； ②画第一层分支：第一步所有等可能结果； ③在每一个第一层分支后面，画出第二层(第三层)分支；不放回时，后续分支去掉已经选过的元素；放回时，每一层分支完全一样； ④顺着分支读出所有完整结果，统计全部等可能结果总数； ⑤统计符合题意的目标结果数量； ⑥代入概率公式计算； ⑦检验：核对总结果数量，避免漏分支、多分支。 【例2】（2026·四川遂宁·模拟预测）某社区举办了“新税法知多少”的竞答活动，并对答对问题的人员发放小礼品．现打算从报名参加知识竞答活动的三男两女中随机抽取人参加知识竞答，则抽取到的两人刚好是男女的概率是______． 【答案】/ 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率． 【详解】解：由题意可得， ∵共有20种等可能的结果，其中抽取到的两人刚好是1男1女共有12种结果， ∴抽取到的两人刚好是1男1女的概率是：． 【变式2-1】（2026·安徽芜湖·三模）天平左右两端分别放置、物品后倾斜如图所示，现从、、、四件物品中随机选取两件放在左端托盘，天平恢复平衡的概率为_______． 【答案】 【分析】根据题意可知，需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡，使用画树状图法计算概率即可． 【详解】解：， ∴需要在天平左端放置的物品，天平才会恢复平衡， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和为的情况有种， ∴天平恢复平衡的概率为． 【变式2-2】（25-26八年级下·重庆·期中）一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中和为奇数的有4种情况， ∴两次所得标号之和为奇数的概率为． 【变式2-3】（2026·河南·中考真题）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从，，，四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为_______． 【答案】 【分析】先画出树状图，然后求出概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种， ∴发出的声音构成二度音程的概率为． 【变式2-4】（2026·贵州铜仁·一模）某校九年级（1）班在以“梦想启航，马到成功”为主题的元旦联欢会上共设计了4个小游戏．如果甲同学和乙同学每人随机选择参加其中一个小游戏，则他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是______． 【答案】 【分析】先画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足题意的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设4个小游戏分别为. 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲，乙两人恰好选到同一个小游戏的结果数为. 因此两人恰好选到同一个小游戏的概率为． 【题型三】游戏的公平性 【例3】（26-27九年级上·浙江金华·期中）现有一个“传统文化知识竞赛”的参赛名额，小强和小丽都想参加．老师为他们设计了一个抽签游戏：将分别写有数字1，2，2，3，3，3，5，6的8张卡片背面朝上混合均匀，从中任取一张．抽到数字是3的倍数的卡片，小强获得参赛名额；否则，小丽获得参赛名额．（每张卡片除数字外完全相同） (1)求小强抽到写有数字2的卡片的概率． (2)你认为这个抽签方法对小强和小丽公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：公平，理由如下： 共有8种等可能性结果，抽到数字是3的倍数的卡片有3，3，3，6共4种情况，抽到数字不是3的倍数的卡片有1，2，2，5共4种情况， （小强获得参赛名额）（小丽获得参赛名额）； 答：这个抽签方法对小强和小丽是公平的． 【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小强和小丽获得参赛名额的概率，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：（抽到数字2）． （2）略 【变式3-1】（26-27九年级上·河南郑州·期中）在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平．理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵， ∴该游戏规则对甲乙双方不公平． 【详解】略 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·期中）有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有及对应的等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张． A： B： C： D： (1)用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用表示）； (2)小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜；若至少有一个等式成立，则小强胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利？为什么？ 【答案】(1)          第1张 第2张 A B C D A B C D 所有情况共有12种：． (2)游戏不公平，这个规则对小强有利．理由如下： 上述四个等式中，对应的等式正确，对应的等式错误， 小明胜利包含的可能情况有：两种情况， 小强胜利包含的可能情况有种情况， ， （小明胜）（小强胜）， 这个规则对小强有利． 【分析】（1）列出所有等可能的抽取结果； （2）判断每张卡片上的等式是否成立，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏公平性． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-3】王铮擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来确定．规则如下：连续掷硬币三次，若两次正面朝上，一次正面朝下，则入足球阵营；若两次反面朝上，一次反面朝下，则入篮球阵营． (1)用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果； (2)这个规则对两个球队是否公平?为什么? 【答案】(1)画树状图如图． (2)公平．理由如下： ∵两次正面朝上，一次正面朝下有3种结果，概率为；两次反面朝上，一次反面朝下有3种结果，概率为， ∴P（去足球队）（去篮球队）． ∴这个规则对两个球队公平． 【分析】（1）根据题意画树状图即可； （2）分别求出去两个球队的概率，即可解答； 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-4】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字，，，．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为，则甲胜；若两球上的数字之和为，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的列表可知，两球上的数字之和为的结果数有种 ∴乙获胜(记作事件）的概率 ∵， ∴甲获胜的概率小于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 【分析】（1）根据题意，画出树状图，即可得到所有等可能的结果，进行解答，即可； （2）根据树状图，得到甲乙双方的获胜概率，进行解答，即可． 【详解】（1）解：树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种，即：，， ∴甲获胜(记作事件）的概率； （2）略． 技巧 一句话要点 事件分类判断——定义区分法 必然事件一定发生，概率为1；不可能事件一定不发生，概率为0；随机事件可能发生也可能不发生，概率在0到1之间。 判断概率大小关系——占比对比法 在等可能前提下，符合条件的结果占全部结果的比例越大，事件发生的概率就越大。 利用概率公式计算概率——定义公式法 ，公式适用前提：所有结果发生可能性相等。 已知概率反求数量——方程求解法 设未知数量，代入概率公式列出方程求解，算出结果后检验数量必须为正整数。 几何图形概率计算——面积比值法 几何概型中，事件概率等于符合条件区域面积与整个总区域面积的比值。 列举法求概率——枚举穷举法 试验结果较少时，不重不漏写出所有等可能结果，再统计目标事件结果个数，代入概率公式。 列表法求概率——表格枚举法 适合两步试验，列表写出两步所有组合，区分放回与不放回，再统计总结果和符合条件结果。 树状图求概率——分支枚举法 适合两步及以上试验，逐层画分支，不放回试验后续分支剔除已选元素，统计所有分支结果计算概率。 求事件的频率——比值计算法 ，频率随试验次数改变，不是固定值。 频率估计概率——大数稳定法 大量重复试验时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件概率的估计值。 游戏公平性判断——概率对比法 分别算出游戏各方获胜的概率，概率相等则游戏公平，概率不相等则游戏不公平。 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $