专题02 二次函数（二）（知识&考点&公式&5高频&4易错&8重难&5模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材浙教版

专题02二次函数（二） 目录 识记类 思维导图 知识清单(2类) 考点清单(5类) 公式清单(2类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(8类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01二次函数与一元二次方程 1.函数与方程的联系 对于二次函数,得到一元二次方程：。方程的实数根就是抛物线图像与x轴交点的横坐标。 2.判别式 决定抛物线与x轴交点个数： ①:方程有两个不相等实数根；抛物线与x轴2个交点； ②:方程有两个相等实数根；抛物线与x轴1个交点(顶点落在x轴上); ③:方程没有实数根；抛物线与x轴无交点。 3.二次函数与一元二次不等式(数形结合) 观察抛物线图像在x轴上方或者下方对应的x取值范围： ：抛物线图像在x轴上方部分对应的x; ：抛物线图像在x轴下方部分对应的x。 例：，抛物线交x轴，且 解集：或 解集： 4.用图像求一元二次方程近似解 画出二次函数图像，观察抛物线与x轴交点横坐标，估算方程根的近似值。 知识点02二次函数与一元二次方程 1.5二次函数的应用 核心思路：把实际问题抽象，建立二次函数模型，利用二次函数性质求解，一定要检验自变量取值范围。 1.利润最值模型 基本等量关系： 单件利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售量 涨价/降价会带来销量变化，列出二次函数，在自变量允许范围内求最大利润。 2.几何图形最值模型 矩形、三角形等图形，利用边长约束，写出面积关于边长的二次函数，求面积最大值；注意边长必须>0。 3.抛物线运动模型(拱桥、投篮、抛射物体) ①建立合适平面直角坐标系； ②根据图像上点坐标求二次函数解析式； ③代入自变量，求高度、水平距离等； ④结合实际舍去不符合题意的解。 4.应用题通用解题步骤 ①审题，找出变量，分清自变量、因变量； ②设未知数； ③根据等量关系列出二次函数表达式； ④确定自变量的实际取值范围； ⑤在取值范围内，利用顶点或端点求最值； ⑥检验结果是否符合实际； ⑦写出完整作答。 考点01二次函数与一元二次方程 考点内容：时二次函数转化为一元二次方程，判别式，和抛物线与x轴交点个数的对应关系，二次函数与一元二次不等式。 常见考法： ①由△判断抛物线和x轴交点个数； ②已知交点个数，反过来求参数的取值范围； ③利用图像求解、对应的x解集； ④根据图像估算一元二次方程的近似根； ⑤利用抛物线对称性求交点横坐标。 考点02二次函数的实际应用——利润最值问题 考点内容：总利润=单件利润×销售量；建立二次函数模型；结合自变量范围求最大利润。 常见考法： ①根据涨价、降价的数量关系列出利润二次函数； ②在取值范围内求利润最大值； ③已知利润，求对应的售价； ④限制售价、销量条件下，求最值。 考点03二次函数的实际应用——几何最值问题 考点内容：利用几何边长关系建立面积、线段长的二次函数；边长大于0的限制。 常见考法： ①矩形、三角形等图形面积最值求解； ②利用墙长等限制条件确定自变量范围； ③求线段的最大值、最小值； ④结合图形动点问题建立二次函数。 考点04二次函数的实际应用——抛射模型(拱桥、投篮) 考点内容：建立平面直角坐标系，抛物线上点的实际含义；代入求值求解距离、高度。 常见考法： ①根据实际图像上的点求抛物线解析式； ②已知水平距离求高度，或者已知高度求水平距离； ③判断物体能否越过某高度； ④拱桥、喷水、球类运动类情景计算。 考点05二次函数综合压轴 考点内容：函数、几何结合；动点、存在性问题；数形结合、分类讨论。 常见考法： ①抛物线上是否存在点满足面积相等、距离相等； ②平行四边形、直角三角形、等腰三角形存在性； ③线段最值、周长最值； ④函数图像上动点的坐标求解。 1.判别式公式(判断和x轴交点)： ①：2个交点；②：1个交点（顶点在x轴）；③无交点 2.韦达定理(根与系数关系) 若的两根为: ， 辨析01二次函数与一元二次方程辨析，分清交点个数 ，抛物线与x轴有2个交点；，抛物线与x轴只有1个交点(顶点落在x轴)；，抛物线与x轴无交点；方程的根就是交点横坐标，不要把当成无交点。 辨析02交点式辨析，注意使用前提 交点式仅当、抛物线和x轴有交点时才能使用；、是抛物线与x轴交点的横坐标，不是顶点横坐标，代入时注意符号。 辨析03抛物线对称性辨析 抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，对称轴等于两点横坐标的平均数；抛物线上到对称轴距离相等的点，函数值相等，不要用纵坐标计算对称轴。 辨析04二次函数不等式识图辨析 对应抛物线在x轴上方的部分，对应抛物线在x轴下方的部分，开口向上开口向下时解集形式不同，看图写解集容易把不等号方向、区间写反。 辨析05实际应用问题辨析，不要忽略自变量实际意义 利润、几何面积、拱桥模型等应用题，求出顶点最值之后，要检验顶点横坐标是否在自变量取值范围内；长度、销量、售价都要大于0，不能直接套用顶点结果。 辨析06函数变换辨析(翻折、旋转) 抛物线沿x轴翻折，a变号，顶点横坐标不变，沿y轴翻折，a不变，绕顶点旋转180°,顶点不变，a变为相反数，变换时不要随意改动顶点坐标。 【题型一】求抛物线与x轴的交点 【例1】（26-27九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】明确抛物线与轴交点的纵坐标为，通过令函数，求解对应的值，进而得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 【变式1-1】（26-27九年级上·山东济南·期中）抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，利用两点到对称轴的距离相等求解点的坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称． ∴点、到对称轴的距离相等． ∵点到对称轴的距离为． ∴点的横坐标为． ∴点的坐标为． 【变式1-2】（26-27九年级上·浙江湖州·期中）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】二次函数的图象与轴的交点的横坐标，是一元二次方程的解． 【详解】解：由图可得，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，即为一元二次方程的解． 故选：C． 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西安康·期中）若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质计算另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 且抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为， 设另一个交点为， ∴． 解得． ∴另一个交点坐标为． 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 【题型二】抛物线与y轴的交点 【例2】（26-27九年级上·河北邢台·期中）抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 【变式2-1】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（     ） A． B． C．5 D．7 【答案】D 【分析】由题意得当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高，代入求出即可． 【详解】解：∵线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点， ∴当函数的图象经过点A时该函数图象与y轴的交点最高， 则， 解得：． 【变式2-2】（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 【变式2-3】（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出且点一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴，进而确定n的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为；当时，， ∴抛物线与轴的交点纵坐标， ∵，两点的坐标分别为，，抛物线的图象与线段有交点， ∴该抛物线的顶点的纵坐标，即， 又∵当时，， ∴点一定在抛物线的下方， ∴①当点在抛物线的上方时一定满足条件， 即当时，， 解得， ∵，是关于的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴； ②当点在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴， 此时对于，当时，取得最小值0，当时，取得最大值10， ∴， 综上，的取值范围是． 【变式2-4】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数（m为常数）的图象与y轴的交点为，则m的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与y轴的交点问题，属于基本题型，正确代入、准确计算是关键．根据二次函数图象与y轴的交点特征，令代入函数解析式即可求出m的值． 【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与y轴交于点， ∴当时，， 代入解析式：，即． 故选：C． 【题型三】已知二次函数函数值求自变量的值 【例3】（2026·福建三明·三模）将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据两抛物线顶点坐标确定平移规律，表示出点的坐标后代入的解析式求解． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为向左平移3个单位，向下平移4个单位 点在抛物线上，对应点为， ∴的坐标为，即 在抛物线上， 将代入得， 整理得， 解得或， 的值为或， 即点的横坐标可以是． 【变式3-1】（25-26九年级下·贵州贵阳·期中）已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴、轴的交点，由抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标得出当时，，或，即可得出结果．抛物线的对称轴以及抛物线的性质；理解时，得出的值是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴交于点， ∴当时，， 即纵坐标为的点是或， ∴或， ∴关于的一元二次方程有个解． 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的函数值．正确计算是解题的关键． 将点代入求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 【变式3-3】（26-27九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，将点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，则__________． 【答案】 【分析】根据点的平移规则得到平移后点的坐标，代入二次函数解析式列方程，结合舍去负根得到结果． 【详解】解：根据点的平移规则，点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，得到的新点坐标为． ∵新点在二次函数的图象上， ∴将，代入解析式得： 展开整理得： 因式分解得 解得， ∵ ∴舍去，得． 【变式3-4】（25-26九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 【题型四】根据二次函数的图象确定一元二次方程根的情况 【例4】（26-27九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用二次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的解的关系求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴一元二次方程的解为，． 【变式4-1】（26-27九年级上·山东日照·期中）函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．以上都不对 【答案】A 【分析】观察图象得：函数的最大值为4，可得函数的图象与直线有一个交点，从而得到方程有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】解：观察图象得：函数的最大值为4， ∴函数的图象与直线有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 即方程有两个相等的实数根． 【变式4-2】（26-27九年级上·福建厦门·期中）二次函数图象的对称轴为，若它与x轴的一个交点横坐标约为，则方程的另一个根的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象与x轴两交点关于对称轴对称的性质，计算另一根的范围． 【详解】解：设方程的另一根为，已知其中一根约为． ∵二次函数的图象对称轴为，与轴的两交点关于对称轴对称． ∴两根横坐标的中点为对称轴与x轴的交点，即． 解得． ∵， ∴． 【变式4-3】（26-27九年级上·山西大同·期中）如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的对称性可确定另一根的范围，再由题意进一步缩小范围即可． 【详解】解：， 对称轴为， 方程的一个根在1和之间， 另一个根在和之间， 当时，， 这个根在和之间， 这个根更接近． 【变式4-4】（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个异号的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】二次函数的图象与x轴交点的横坐标，就是所对应的方程的根，根据交点个数即可确定一元二次方程的根的情况． 【详解】解：一元二次方程可化为， 二次函数的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程的根， 由图可知，二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【题型五】根据表格确定根的值 【例5】已知二次函数（）中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程的一个根所在范围的是（     ） x y A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格数据可知，当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根在范围内． 【变式5-1】（26-27九年级上·安徽亳州·期中）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数值的正负变化确定方程解的区间，再对比选项判断． 【详解】解：时，，时，， 方程的一个解在之间，选项中只有在该区间内． 故C符合题意． 【变式5-2】（26-27九年级上·安徽阜阳·期中）已知二次函数的部分取值如表所示，由数据得，关于x的一元二次方程的解是（     ） x … 0 1 2 3 … … 0 0 … A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将方程变形为，结合表格中二次函数的对应值求解． 【详解】解：方程可变形为， 即求二次函数中函数值为时对应的值． 由表格数据得， 当时，； 当时，． 故方程的解为，． 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·单元测试）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程的解对应二次函数中时的值， 由表格可知，当时，；当时，； ∴方程的一个解的范围是． 【题型一】混淆判别式Δ与交点个数关系 【例1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】抛物线为二次函数，因此二次项系数不为；抛物线与轴有两个不同交点，说明对应一元二次方程的判别式大于，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵是抛物线，即是二次函数， ∴， ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 将，，代入得： ， 解得：， ∴的取值范围是且． 易错警示 易错警示：△>0两个交点，△=0一个交点，△<0无交点；注意题干是否说明是抛物线，不能漏掉a≠0；还要看清是“有交点”还是“两个不同交点”。 【变式1-1】（26-27九年级上·天津武清·期中）若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 【答案】 【分析】抛物线与轴只有一个交点，说明对应的一元二次方程根的判别式等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴ 化简得， 解得． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海静安·期中）若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】题目明确是二次函数，因此二次项系数不为0，图像与轴有交点说明对应一元二次方程的判别式大于等于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵该函数是二次函数， ∴二次项系数满足，得， ∵二次函数图像与轴有交点， ∴对应一元二次方程的判别式满足，其中，，， 代入得：，解得， 综上，的取值范围是且． 【变式1-3】（26-27九年级上·广东广州·期中）如图，把抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．若直线与这个新图象恰好有个公共点，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】先求出原抛物线与轴交点、顶点坐标，写出翻折后轴下方部分对应的函数解析式，结合图形分析直线和新图像交点个数，找到恰好个交点时的范围． 【详解】解：令，， ， ， 解得：． ，原抛物线顶点为，开口向下． 轴下方部分沿轴翻折到轴上方：翻折后的抛物线开口向上，顶点变为，解析式为（或）． 当：直线就是轴，与图像交于，只有2个交点； 当：直线刚好经过原抛物线顶点，此时只有3个交点； 当时，水平线和新图像会产生4个交点； 当，只有2个交点． 综上，的取值范围是． 【变式1-4】（26-27九年级上·上海浦东新·期中）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_____． 【答案】 【分析】抛物线与轴无交点，对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式小于0列不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴一元二次方程无实数根， ∴根的判别式， 解不等式得． 【题型二】解一元二次不等式忽略开口方向 【例2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 易错警示 解集和抛物线开口方向强相关；开口向上和开口向下，不等号方向对应的解集完全相反，不能直接照搬根的区间。 【变式2-1】（2026·四川遂宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ ∴时，自变量的取值范围是． 【变式2-2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为2和， ∵， 即寻找抛物线图象位于直线图象下方（包括交点）时自变量x的范围， 由图象可知：当或时，抛物线在直线下方， ∴不等式的解集为：或； 【变式2-3】（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【答案】或 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 【题型三】由交点写不等式解集搞反区间 【例3】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据图象即可得出时，直线在抛物线的上方，即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线的交点为，， 从图象看，当时，直线在抛物线的上方，即． 易错警示 先看开口，再看图像在x轴上方还是下方；经常搞反“大于0取两边，小于0取中间”，开口向下时结论相反 【变式3-1】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】利用对称性找出抛物线与轴的另一个坐标，再根据图象作答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的其中一个交点为 ∴根据对称性，抛物线与轴的另一个坐标为， ∴由题意可得：时，的取值范围为：． 【变式3-2】（26-27九年级上·福建龙岩·期中）抛物线的部分如图所示，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先求出抛物线与x轴另一交点的坐标，再利用函数图像即可得出结论． 【详解】解：抛物线的部分图像如图所示， 抛物线与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线， 抛物线与x轴另一交点的坐标是， 当时，或． 【变式3-3】（26-27九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】找出二次函数图象在一次函数图象的上方部分即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，当时，则x的取值范围是或． 【变式3-4】如图，二次函数（）与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将原不等式化为，然后得到该表达式的解集即为抛物线不在直线上方时，对应的取值范围． 【详解】解：点B在轴上且是两图象的交点，所以抛物线与直线交点的横坐标为和． 由B是公共点知， 于是等价于， 即抛物线不在直线上方． 由图象，这在两交点之间成立，故解集为． 【题型四】实际问题忽略自变量实际取值范围 【例4】（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（墙足够长，）．长方形的面积为，的长为． (1)写出长方形的面积与之间的函数解析式，并求出的范围； (2)当为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当时，长方形面积最大，面积最大为 【分析】（1）首先表示出长方形的长，根据长方形面积长宽列出函数关系式； （2）将函数关系式配方成二次函数顶点式，即可知其最大值． 【详解】（1）解：当长方形的宽时，其长， 故长方形的面积，， 即，其中； （2）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，长方形面积最大，面积最大为， 答：当时，长方形面积最大，面积最大为． 易错警示 列出函数后，自变量要符合现实意义（长度、数量大于0）；求最值、解方程时，直接套用顶点而不检验是否在合理范围。 【变式4-1】（26-27九年级上·福建龙岩·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面带地（地长70米），另外三边用木栏围成，所用木栏总长120米，如图2所示． (1)求长方形花圃面积的最大值． (2)在长方形花圃面积最大的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米，求出网红打卡点的面积． 【答案】(1)长方形花圃面积的最大值为1800平方米 (2)网红打卡点的面积为平方米 【分析】（1）设米，长方形花圃的面积为平方米，根据三边所用木栏总长米，写出与的函数关系式，即可求解； （2）设网红打卡点的边长为米，根据空白的面积=长方形花圃的面积-花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设米，长方形花圃的面积为平方米，则米， 根据题意，得：， ∵， ∴， ∴当时，有最大值1800， 答：长方形花圃面积的最大值为1800平方米； （2）解：由（1）可知，长方形花圃面积的最大时，宽为30米，长为（米）， 设网红打卡点的边长为米， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴网红打卡点的面积为（平方米）， 答：网红打卡点的面积为平方米． 【变式4-2】（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，取最大值，最大值为108 【分析】（1）根据篱笆总长列方程：三条竖直段（、中间隔墙、）各长米，水平段扣除两个1.5米宽的门后使用篱笆，总长33米，由此表示，再用矩形面积公式得与的关系． （2）将关于的二次函数配方为顶点式，结合确定的取值范围，在范围内求最大值． 【详解】（1）解：篱笆用于、、中间隔墙和（扣除两个门）， ， ， ． （2）解：， 墙长18米，， ，解得， 又， ，解得， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值108． 【变式4-3】（26-27九年级上·山东济宁·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． (1)写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】(1)． (2)（）． 【分析】（1）由篱笆总长m且只围、两边，得，矩形面积； （2）树距墙为m、距墙为m，把树围在花园内需且，得；配方，由对称轴位置知在上随的增大而增大，故时取最大值． 【详解】（1）解：∵篱笆只围、两边，篱笆总长m，， ∴， ∴． （2）解：∵点与墙的距离是，花园在墙上方的竖直宽度为，要把树围在花园内，需； ∵点与墙的距离是，花园从墙起的水平宽度为，需，即， ∴． ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最大值（）． 【题型一】求x轴与抛物线的截线长 【例1】抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 【变式1-1】（26-27九年级上·上海浦东新·期中）若二次函数的图像与x轴的两个公共点之间的距离为4，则m的值是______． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用二次函数与轴交点关于对称轴对称的性质，得到交点横坐标，代入解析式即可求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴横坐标为直线， ∵二次函数图像与轴的两个交点关于对称轴对称，两点距离为， ∴单个交点到对称轴的距离为， ∴两个交点的横坐标分别为和， 将点代入得， 解得． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海闵行·期中）已知一个二次函数图像的对称轴是直线，在x轴上截得的线段长为4，与y轴交点的坐标为，则这个二次函数的表达式为________． 【答案】 【分析】根据对称轴和x轴截得的线段长，可先求出二次函数与x轴的两个交点坐标，再设交点式解析式，代入y轴交点坐标求出系数，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，在轴上截得的线段长为， ∴两个交点关于直线对称，每个交点到对称轴的距离为， ∴二次函数与轴的两个交点坐标为和， 设二次函数的表达式为， ∵二次函数图像过点， ∴将代入表达式得： ， 整理得， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【变式1-3】（26-27九年级上·上海杨浦·期中）二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 【答案】1或 【分析】设二次函数与轴交点横坐标为，根据根与系数的关系得到，根据交点距离得到，利用完全平方公式变形列方程求解，验证判别式后得到结果． 【详解】解：设二次函数与轴交点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵两个交点间的距离为， ∴， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， ∴， 整理得， 解得或， 验证判别式：， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上所述，的值为或． 【变式1-4】（26-27八年级上·上海虹口·期中）已知二次函数图像与轴有两个交点、，且．则的值是____________． 【答案】 0或4 【分析】先求解二次函数与轴的交点横坐标，再根据两点间距列绝对值方程求解． 【详解】解：令，可得方程， 对方程因式分解得， 解得方程的两个根为，， ∴， 整理得， 即或， 解得或， 经检验，和都满足方程有两个不相等的实数根， ∴或． 【题型二】实际问题与二次函数之图形运动问题 【例2】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，当时，的面积最大，则． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴, ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理可得， ∴ 解得：或， ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题可得：， ∵， ∴当时，的面积最大，则． 【变式2-1】（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 【答案】(1)， (2)当运动时间为或运动时间为时，的长度等于 (3)存在，时间为2秒时，四边形的面积等于面积的 (4)小，15 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，，，结合已知解答即可； （2）根据勾股定理，列式计算即可； （3）根据列式计算即可； （4）求出四边形的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴； （2）解：∵，， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． （3）解：∵，，， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． （4）解： ， 可知当时，四边形的面积有最小值，最小值为15． 【变式2-2】（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，，点P从点B出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点A运动．当点P不与A、B重合时，过点P作于点D，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，设点P的运动时间为t（秒）． (1)求线段的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在线段上时，求t的值； (3)设与重叠部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点的运动时间为（秒），可证是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可表示，； （2）可知是等腰直角三角形，进而根据勾股定理构造方程即可求解； （3）当时，如图②，与重叠部分图形的面积就是的面积；当时，如图③，与重叠部分图形的面积就是四边形的面积，分这两类讨论即可求解． 【详解】（1）解：点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动． 设点的运动时间为（秒）， ． 在中，，， ． ， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ． （2）解：如答图①，当点落在边上时， 由（1）得． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． 由勾股定理，得． ，， ， ， ， 解得． （3）解：由（2）可知，当点落在边上时，， 当时，如图②，与重叠部分图形的面积就是的面积， ，， ； 当点与点重合时，， 解得， 当时，如图③，与重叠部分图形的面积就是四边形的面积， ，， 四边形是平行四边形， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ∴四边形为矩形． 是等腰直角三角形， ， ， ． 综上所述，与的函数关系式为 【变式2-3】（2026·吉林·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)的值为2 (3) 【分析】（1）先得出，又四边形是矩形，则，，从而有，所以，然后通过勾股定理得，再代入即可求解； （2）可得、、都是等腰直角三角形，又四边形是矩形，则，，根据，列式求出的值即可； （3）分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，， ． 四边形是矩形， ，， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：当点落在边上时，如图， 同（1）可得、、都是等腰直角三角形， 四边形是矩形， ，． 在中，，， 由勾股定理，得， ，即， 解得， 当点落在边上时，的值为． （3）解：当点与点重合时，， ． 当时，重叠部分的面积就是矩形的面积，此时，； 当时，如图． 、、都是等腰直角三角形． ，， ， ， ． 综上所述，． 【题型三】实际问题与二次函数之拱桥问题 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，然后把分别代入抛物线对应的函数解析式解方程组即可； （2）先求出拱顶到x轴的距离，即顶点坐标的纵坐标，然后求出点的横坐标，代入表达式，求出纵坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，． 把分别代入抛物线对应的函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为． （2）解：， ∴顶点坐标为， ∴拱顶到x轴的距离为． 由题意得， 将代入中， 解得， ， ∴除湿板与仓顶间的距离为． 【变式3-1】（26-27九年级上·辽宁鞍山·期中）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．（为原点） 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．（为原点） 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由题意知方案一中抛物线的顶点，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）在中，令求得或，从而可得，再根据计算面积，然后比较即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ∴； ∴表达式为； （2）解：在中，令得； 解得或， ∴， ∴； ∵，， ∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（26-27九年级上·上海闵行·期中）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1) (2)隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴． （2）略 【变式3-3】（26-27九年级上·四川南充·期中）综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)确定桥拱形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 【答案】(1)直角坐标系见详解， (2)， 【分析】（1）以拱顶为原点建立平面直角坐标系，这样抛物线的顶点就是，已知水面宽，拱顶离水面，那么抛物线过点，据此求解即可； （2）分析安全条件，该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，分析悬挂点的纵坐标需满足的条件即可． 【详解】（1）解：以拱顶为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：，把点代入得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：． 【题型四】实际问题与二次函数之销售问题 【例4】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． (1)请直接写出与之间的函数关系式； (2)当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 【答案】(1) (2)当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元 (3)在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元 【分析】（1）根据每周的销售利润单件的利润每周的销售量，即可求解； （2），根据二次函数的性质即可求解； （3）先根据进货成本不超过元，求出的范围，再令求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ，抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数有最大值，最大值是， 答：当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元； （3）解：进货成本不超过元， ， 解得， 每周能获得元，则， 解得，， ， 不合题意，舍去， 即在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元． 【变式4-1】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且是整数） (2)（，且是整数） (3)电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由题意可得： ， 解得． （，且是整数）． （2）解：根据题意，得（，且是整数）． （3）解：， ，且是整数， 或41时，最大为5060． 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元． 【变式4-2】（26-27九年级上·山西运城·期中）综合与实践 项目主题 运城盐湖景区“七彩盐湖”文创产品销售策划 项目情境 随着运城盐湖“山海经·盐泽神境”夜游项目的火爆，景区决定推出一款名为“七彩盐湖”的文创冰箱贴，景区运营部对这款产品的销量和利润进行了调研与测算． 素材1 运营部发现，该系列文创产品上市第一年（2024年）售出10万件，随着景区夜游项目的加持，第三年（2026年）售出14.4万件． 素材2 该冰箱贴每件成本为20元，最初定价为每件40元时，每天可售出100件．为了配合国庆黄金周的宣传，景区决定降价促销．经市场调查发现：售价每降低1元，每天可多售出10件． 问题解决 驱动问题一 (1)求这两年间该文创产品销量的年平均增长率． 驱动问题二 (2)若景区希望每天获得2240元的利润，且为了扩大宣传效果、尽可能增加销量，每件冰箱贴应该降价多少元？ 驱动问题三 (3)当每件冰箱贴降价______元时，每天获得的利润最大，最大利润为______元． 【答案】(1)这两年间该文创产品销量的年平均增长率为； (2)每件冰箱贴应该降价6元； (3)5，2250． 【分析】（1）设年平均增长率为，因为初始销量为10万件，经过2年增长后销量为14.4万件，所以根据复利增长公式列一元二次方程求解即可． （2）设每件降价元，因为单件利润为元，销量为件，所以根据“总利润=单件利润×销量”列一元二次方程，求解后选择对应销量更大的解． （3）设总利润为元，降价元，因为总利润和降价金额满足二次函数关系，所以将函数整理为顶点式，结合二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设这两年间销量的年平均增长率为。已知第一年销量为10万件，经过两年增长到第三年的14.4万件． 根据增长率公式可列方程：，解得：，开方得． ∵增长率为正， ∴舍去负解，得． （2）解：设每件冰箱贴降价元。单件利润为元，降价后日销量为件， 根据总利润=单件利润×销量，列方程： 整理得： 解得， 题目要求尽可能增加销量，降价越多销量越高，因此选择． （3）解：设每天总利润为元，降价元时， ， 这是开口向下、对称轴为的二次函数，当时，取得最大值2250． 【变式4-3】（26-27九年级上·四川眉山·期中）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式． (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大利润为9800元． (3)定价应为43元． 【分析】（1）以每千克利润乘日销售量等于总利润为等量关系列函数，结合盈利条件确定自变量取值范围； （2）利用二次函数的顶点坐标求最大值； （3）令总利润为9750列方程，结合让利于民的要求选取合适的解计算定价． 【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元，日销售量为千克． ， ∵保证盈利， ∴， 解得． 又∵降价金额非负， ∴． 即． ∴． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值． 当时，取得最大值， 将代入解析式得． ∴当降价4元时，每天利润最大，最大为9800元． （3）解：令，则， 整理得， 解得，． ∵要让利于民，需降价幅度更大， ∴取，此时定价为（元）． 答：定价应为43元． 【变式4-4】（26-27九年级上·湖北武汉·期中）某电影院销售《牛来》电影票，已知每张电影票的成本为15元．若每张以30元销售，平均每天可售出50张；价格每降低1元，平均每天多售出5张．设每张降价元（为整数），每天销售量为张． (1)直接写出每天销售量与之间的函数关系式：__________；（不写的取值范围） (2)若某天销售《牛来》电影票的利润为770元，为了让观众获得更多实惠，该电影院每张《牛来》电影票的定价为多少元？ (3)为了促进市场良性竞争，《牛来》电影票的销售单价不得高于28元，不得低于22元，当销售单价为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)26元 (3)当销售单价为27元或28元时，利润最大，最大利润是780元 【分析】（1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定x的取值范围，设所获利润为w元，再列出利润w关于x的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：∵平均每天可售出50张，价格每降低1元，平均每天多售出5张， ∴每天销售量与之间的函数关系式：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为了让观众获得更多实惠， ∴x取4，此时， 答：该电影院每张《牛来》电影票的定价为26元； （3）解：根据题意得：， 解得：， 设所获利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大，当时，w随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当x取2或3时，w取得最大值，最大值为780，此时销售单价分别为28或27， 答：当销售单价为27元或28元时，利润最大，最大利润是780元． 【题型五】实际问题与二次函数之投球问题 【例5】（26-27九年级上·广东广州·期中）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下部分数据： x/米 0 0.2 0.4 0.6 1 1.4 1.6 1.8 … y/米 0.24 0.33 0.4 0.45 0.49 0.45 0.4 0.33 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)①试根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映乒乓球与桌面的高度和与端点A的水平距离的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； ②求出当乒乓球落在桌面时，其落点与端点A的水平距离是多少米？ (3)当乒乓球落在桌面上弹起后，已知y与x之间满足．且球网高度为米，球桌长米．乒乓球弹起后，是否有机会在某个击球点可以将球沿直线扣杀到端点A？请说明理由． 【答案】(1)如图即为所求； (2)①；②2.4； (3)有机会，理由如下： ∵球网高度为0.14米，球桌长米， ∴球网顶端的坐标为， 设点和球网顶端所在直线的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴， 将和联立得，， 解得，， ∴直线和抛物线有交点， ∴有机会在某个击球点可以将球沿直线扣杀到端点A． 【分析】（1）根据表格中的坐标描点即可； （2）①观察表格数据发现y是x的二次函数，然后设出顶点式，利用待定系数法求解；②将代入表达式求解即可； （3）先求出扣杀直线的解析式，然后与抛物线联立求解判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由表格得，y是x的二次函数，当和时，y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴设， 将代入得， 解得 ∴； ②当时， 解得，（舍去） ∴当乒乓球落在桌面时，其落点与端点A的水平距离是2.4米； （3）略 【变式5-1】（26-27九年级上·湖北荆州·期中）在物理课中，小明学习到：在不考虑空气阻力的情况下，竖直上抛物体离地面的高度h（米）与时间t（秒）近似满足关系，其中是初始速度（米/秒），是初始高度（米）．小明将一个篮球从离地面2米处竖直上抛，球的初始速度为8米/秒． (1)写出篮球离地面高度h与时间t的函数关系式； (2)篮球经过多长时间达到最高点？最高点离地面多少米？ (3)经过多长时间篮球落地？（结果用含根号的式子表示即可） 【答案】(1) (2)篮球经过秒达到最高点，最高点离地面米 (3)经过秒篮球落地 【分析】（1）把代入关系式，解答即可； （2）利用配方法把抛物线的关系式写成顶点式的形式，确定函数的最值即可； （3）令，求得方程的根，取正实数根即可． 【详解】（1）解：根据题意，把代入，得 ． （2）解：根据题意，得 ， ， 有最大值，且当时，函数取得最大值，且最大值为， 故篮球经过秒达到最高点，最高点离地面米． （3）解：令，得， ， 或（时间不能为负，舍去）， 故， 故经过秒篮球落地． 【变式5-2】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·期中）掷实心球是辽宁省初级中学招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据初中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分1分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)如果这个女同学想得满分，那么这个女同学的出手高度至少为几米？ 【答案】(1) (2)该女生在此项考试中不能得满分，理由如下： 由题意得，当时， 解得（舍去）， ， 该女生在此项考试中不能得满分； (3)出手高度至少约为 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解； （3）设出手高度为h米，根据题意可得，重新投掷的情况下新抛物线为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：当水平距离为时，实心球行进至最高点处， 设， 经过点， 解得， ； （2）略 （3）解：由于投掷的力度和角度不变，抛物线的形状与对称轴保持不变， ∴设出手高度为h米，则抛物线解析式为， 当时，， 代入得 ∴， ∴解析式为， ∵要使水平距离大于等于， ∴临界情况为时（刚好落地）， 代入得 解得， ∴出手高度至少约为． 【变式5-3】2025年世界人形机器人运动会将在北京举行，其中"篮球投篮机器人挑战赛"成为热门项目，篮球飞行轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足二次函数关系（）． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度（米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系． (1)根据上述数据，机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为________； (2)求机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式（）； (3)若篮球在水平距离5米处的竖直高度满足，视为有效投篮，则机器人投篮________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮________（填“有效”或“无效”）． 【答案】(1)篮球飞行竖直高度的最大值为米． (2) (3)有效；无效 【分析】（1）根据数据表，然后根据抛物线的对称性确定顶点坐标即可解答； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）结合数据表和挑战者的函数解析式，求得的函数值，再根据判断即可． 【详解】（1）解：根据表格数据知， ∵当和时，纵坐标都是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点为． ∴篮球飞行的竖直高度的最大值为米． （2）解：设， 将代入得，解得． 所以机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式． （3）解：机器人：时由数据表，满足，故机器人投篮有效； 挑战者：时，不满足，故挑战者投篮无效． 【变式5-4】（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，小明在平地向上抛掷一个小球，小球的运动路线是抛物线．以小球抛出点在地面的投影为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系．已知小球抛出时的高度为，抛出后水平前进时，达到最大高度．设小球运动的水平距离为（单位：），竖直高度为（单位：）． (1)求小球运动轨迹对应的二次函数解析式； (2)小球抛出后，水平前进多少米时，高度恰好为？ (3)小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车（车头方向为轴正方向）；小球能否越过大货车安全落地？ 【答案】(1) (2)小球抛出后水平前进1米和3米时，高度恰好为； (3)小球不能越过大货车安全落地． 【分析】（1）根据题意设二次函数的顶点式，进而将代入求解即可； （2）将代入解析式求解即可； （3）由题意，小明在原点位置，前方1米是车头，货车长3米，因此货车占据的水平范围是到的区间，货车高度为2米，需验证该区间内小球的最小高度是否大于2米即可． 【详解】（1）解：∵抛出后水平前进时，达到最大高度， ∴设二次函数的顶点式为：， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：将代入解析式得， 解得：，， ∴小球抛出后水平前进1米和3米时，高度恰好为； （3）解：∵小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车， ∴货车占据的水平范围是到的区间， ∵， ∴当时，y有最大值， 当时，， 当时，， ∴当时，，存在的情况， 即小球不能越过大货车安全落地． 【题型六】实际问题与二次函数之喷水问题 【例6】某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即可求出自变量的取值范围； （）由题意得调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点，设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 令，得， 解得， ∴第一象限部分图象对应的自变量的取值范围为； （2）解：由题意得，调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点， 设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴调整后水管的最大长度为． 【变式6-1】（26-27九年级上·甘肃平凉·期中）某市周末夜晚的音乐喷泉表演吸引了大量市民前往观赏．如图，以喷头所在处为原点、水平方向为轴建立平面直角坐标系，水柱的竖直高度（米）与水柱离喷头的水平距离（米）满足． (1)水柱的最大高度是多少米？ (2)水柱落地点到喷头的水平距离是多少米？ 【答案】(1)水柱的最大高度是4米 (2)水柱落地点到喷头的水平距离是4米 【分析】（1）先化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （2）令，解方程求得x值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，y取得最大值，最大值为4， 答：水柱的最大高度是4米； （2）解：令，解方程得，（舍去）， 答：水柱落地点到喷头的水平距离是4米． 【变式6-2】（26-27九年级上·内蒙古赤峰·期中）综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据题意得到抛物线顶点坐标，进而设抛物线顶点式为，求解即可； （2）根据已知条件设抛物线顶点式为，得到，根据对称性可知无论a取何负值，水流均能经过第一层水池，进而根据喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上得到当时，，将代入求出a的值，根据“的绝对值越大开口越小”可知a的范围； （3）根据题意求出（2）中抛物线解析式，根据二次函数的平移规律求出第二层喷头的抛物线解析式，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，水流最高点距立柱（y轴）水平距离为，高度为， 因此抛物线顶点坐标为． 设抛物线顶点式为， 又喷头A在y轴上、距地面，即抛物线过点， 将代入解析式：， 解得， 因此抛物线解析式为； （2）解：已知抛物线顶点横坐标恒为1，且过喷头， 设抛物线顶点式为，代入得， 即， 因此抛物线解析式可整理为：， ∵顶点横坐标恒为1，且过喷头， ∴水流过，在C点上方，即无论a取何负值，水流均能经过第一层水池； ∵喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上， ∴当时，， 当时，，解得， ∴； （3）解：底部围挡高度为，要求水流刚好落到围挡高度处时，水池半径最小，即求水流落点最远处距y轴的距离． 第二层边缘加装的喷头与A喷头水流形状完全相同，当（2）中取最大值时，抛物线开口最大，水流落点最远． 此时（2）中抛物线解析式为， ∵，， ∴将A向右移动3个单位，再向下移动个单位得到E， ∵第二层和喷头喷出的水流形状始终相同， ∴第二层喷头的抛物线解析式为， 将代入抛物线解析式得， 解得：（舍去） 因此底部圆形水池的最小半径为． 【变式6-3】（26-27九年级上·全国·期中）第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的网球出口C离地竖直高度米．如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程． 【答案】(1)，网球射出的最大射程为6米 (2)最小力量时网球射出的最大射程为2米 【分析】（1）根据题意可得点的坐标，把对应的函数解析式设为顶点式，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出时的值即可得到答案； （2）根据对称性得到点的对称点为，那么最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得是最大力量时网球发射出去得到的抛物线的顶点，则设其函数解析式为． ∵抛物线经过点， ， ， ∴最大力量时网球发射出去得到的抛物线的函数解析式为． 当时，， 解得，（舍去）， ∴网球射出的最大射程为6米． （2）解：∵最大力量时网球发射出的抛物线的函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的， ∴将点A向左平移4米得到点B的坐标为，即最小力量时网球射出的最大射程为2米． 【题型七】实际问题与二次函数之增长率问题 【例7】（26-27九年级上·山东济南·期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为 (2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 （2）解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 【变式7-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴， 答：第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【变式7-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 【答案】 【详解】解：根据两种商品两轮涨价后的最终价格相等，得， 去括号，得， 移项得， 系数化为1，得． 【变式7-3】某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【答案】 【详解】解：∵去年一年投入资金1500万元，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x， ∴明年将投入的资金量． 【题型八】实际问题与二次函数之其他问题 【例8】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 如图，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，图是桌面轮廓的俯视图，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． (2)如图，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得坐标；设上方抛物线的函数表达式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得平移后的抛物线函数表达式，令，求得，的坐标，进而求得的长． 【详解】（1）解：上方抛物线顶点到的距离为，最大宽度， 顶点的坐标为． 设上方抛物线的函数表达式为．将点代入得： ， 解得：， 上方抛物线的函数表达式为； （2）解：将上方抛物线向下平移后，所得抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得：，， ，， ． 【变式8-1】（26-27九年级上·福建福州·期中）小王计划建造一个150平方米的矩形大棚种植各类水果，整个过程中有以下几个需要解决的重要问题： (1)【种植计划】小王在调查某类水果时发现：当每平方米种植4株时，平均产量为；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减小．那么，每平方米计划种植多少株时，能获得最大的产量？大棚最大产量是多少？请自行设函数变量，解决问题． (2)【顶棚设计】如图2是大棚顶部建好后的侧面图，已知房屋外墙长为12米，相关数据如图，顶棚曲线满足抛物线形状，小王需要给内部两侧距离中心线2米的点A，点B处安装日照灯，试建立合适的坐标系，计算日照灯的安装高度． 【答案】(1)每平方米计划种植6株时，能获得最大的产量；大棚最大产量是． (2)日照灯的安装高度约为3.76米． 【分析】（1）根据题意建立总产量与种植株数增加量之间的函数关系，利用配方法求最大值． （2）需建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，再代入横坐标求纵坐标． 【详解】（1）解：设每平方米种植增加x株，则产量每株减少；每平方米产量为，则 ∴当时，即每平方米种植（株），产量y最大，最大值为； ∴大棚最大产量为：（） 答：每平方米计划种植6株时，能获得最大的产量；大棚最大产量是． （2）直角坐标系建立如图所示， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的图象解析式为：， ∵外墙长为12米， ∴抛物线过点， 将两个点代入函数解析式得 解得： ∴ 当米时，（米）， 答：日照灯安装的高度约为3.76米． 【变式8-2】（26-27九年级上·河北沧州·期中）问题情境：某景区能欣赏到精彩的打铁花表演，它也被称作打铁水．滚烫的铁水被挥洒至空中，漫天星火绚烂夺目，我们将铁水的溅射轨迹抽象为抛物线，研究其运动规律．实验数据：铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模：用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，且对称轴不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)不在安全范围内，理由如下： 由题意可知，新抛物线可由抛物线向上平移5个单位得到， ∴新抛物线对应的函数解析式为，即， 当时，， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新的落地点距离表演台中心约， 观众席与落地点的距离为：， ∵， ∴该位置不在安全范围内 【分析】（1）根据题意确定抛物线顶点坐标，设顶点式，代入已知点求出，得到解析式； （2）将代入解析式，求出两个的值，差值即为水平距离； （3）抛物线形状、对称轴不变，图像向上平移得到新抛物线，求出落地横坐标，计算观众位置与落地点距离，对比判断安全性． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线的最高点距地面， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为； （2）由（1）可知，该抛物线对应的函数解析式为， ∴当时，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，， ∵， ∴铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有； （3）略． 【变式8-3】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·期中）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．六中数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习； 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度．，，碗口宽，茶盖的最高点离的距离，碗体呈抛物线形状（碗体厚度不计）． 【任务探究】 (1)任务一：已知一件白瓷盖碗的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件．为扩大销量，文旅公司决定降价销售此款盖碗，经调查发现，售价每降低元，每天可以多售出件．求售价定为多少时，每天获得的利润最大？ (2)任务二：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为（，），点坐标为（，），求碗体的抛物线解析式； (3)任务三：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口处，喝掉一部分后，水面下降至处（），水面的宽度为．求此时碗中茶水的深度（即水面到碗内最低点的垂直距离）． 【答案】(1)售价定为73元时，每天获得的利润最大； (2)；； (3)． 【分析】（1）设售价定为元、每天获得的利润为元，根据“售价每降低元，每天多售出件”列出关于的二次函数，配方求最大值； （2）由得、的横坐标分别为、，由得，再由、得；抛物线顶点为，设，代入点求解析式； （3）由、及抛物线的对称性得水面端点的横坐标为，代入解析式求出水面所在的高度，它与点的纵坐标之差即为碗内茶的深度． 【详解】（1）解：设售价定为元，每天获得的利润为元． 根据题意，得， 即． ∵， ∴当时，取最大值，最大值为元， ∴售价定为元时，每天获得的利润最大． （2）解：∵，点为的中点， ∴， ∴，． ∵茶盖最高点距的距离， ∴． ∵盖碗高度， ∴点在点的下方cm处，即． ∵，点在点的上方， ∴，即． ∴点坐标为，点坐标为． ∵碗体所在抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为． 把代入，得，解得， ∴碗体所在抛物线的解析式为． （3）解：∵，， ∴点、的纵坐标相等， ∵碗体所在抛物线关于轴对称， ∴线段被轴垂直平分， ∴点的横坐标为． 当时，， ∴水面所在的高度为． ∵点的纵坐标为， ∴此时碗内茶的深度为， ∴此时碗内茶的深度为． 【题型一】二次函数综合压轴-面积问题 适用：抛物线上动点，求三角形、四边形面积最值或者已知面积求点解题流程： ①先求出抛物线解析式、定点坐标、对称轴； ②设出动点P的横坐标t,写出; ③选割补法(铅垂高法最常用):以定点连线为底，计算动点到定直线的铅垂高； ④面积公式： ⑤得到关于t的二次函数，结合t取值范围求最值；已知面积则列方程求解； ⑥检验解是否在自变量范围内，舍去不合理解，写出所有点坐标。 【例1】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与轴交于点C，连接． (1)请直接写出三点坐标和直线的函数表达式； (2)P为抛物线上一点，且在上方．若的面积为27，求P点坐标． 【答案】(1)；；；直线的解析式为． (2)点的坐标为或 【分析】（1）对于抛物线，分别令和并求解，即可确定三点坐标；然后设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先结合三点坐标，易得为等腰直角三角形，，结合的面积为27，可解得中边上的高；过点C作的垂线，在垂线上截取，过E点作交y轴于点D，确定点坐标，进而可得直线的解析式；联立直线的解析式和抛物线解析式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，可得， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 对于抛物线， 令，可得， ∴； 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 若的面积为27， 则中边上的高， 如下图，过点C作的垂线，在垂线上截取， 过E点作交y轴于点D， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∴满足条件的P点就是直线DE与抛物线的交点， 解方程组，得或， ∴点的坐标为或． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点． (1)请直接写出此二次函数的解析式为______； (2)试判断点是否在抛物线上，并说明理由； (3)抛物线对称轴交于点，求线段的长； (4)直接写出的面积为______． 【答案】(1) (2)点在抛物线上，理由： ∵当时，， ∴点在抛物线上； (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）将横坐标代入抛物线的解析式验证纵坐标是否一致即可； （3）将抛物线的解析式转化为顶点式，得到顶点坐标，以及与轴交点的坐标，继而得到直线的解析式，根据点在抛物线的对称轴上，代入横坐标的值得到点的坐标，即可得到答案； （4）根据，利用的高即是点的横坐标和横坐标的差，代入计算后即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入抛物线的解析式，得：， 解得：， ∴此二次函数的解析式为； （2）略； （3）解：∵，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标和点坐标分别代入解析式， 得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴交于点， ∴点的横坐标为， ∴将点的横坐标代入直线的解析式，得：， ∴点的坐标为， ∴； （4）解：∵点坐标， ∴， 由（3）可知， ∴， ∴． 【变式1-2】（26-27九年级上·广东梅州·期中）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． 【变式1-3】（26-27九年级上·江西赣州·期中）已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． (1)设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值． (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据点A的横坐标和点B的纵坐标可求出A、B两点的坐标，再把点A的坐标代入一次函数解析式求出a的值即可； （2）设直线交x轴于点C，求出点C的坐标，根据列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，，解得， ∴， 把点A的坐标代入得，解得； （2）解：如图所示，设直线交x轴于点C， 由（1）得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1-4】（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点，与轴相交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)连结，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）已知顶点优先用顶点式求解析式； （2）令求与轴交点，不规则四边形用分割法拆成两个三角形，以坐标轴上的线段为底、对应点的横纵坐标为高分别求面积，再相加． 【详解】（1）解：已知顶点，设顶点式． 把代入： ， ， ， 抛物线解析式为． （2）解：令，则 解得，． ∵在左侧， ，． （3）解：如图所示，连接，把四边形分割为和： ， ， ． 【题型二】二次函数综合压轴-角度问题 适用：满足指定角度(45°、30°、等角、倍角、直角)找点解题流程： ①算出基础点坐标，画出草图； ②角度转化：直角→斜率乘积为-1；45°→构造等腰直角三角形；等角→利用相似、三角函数；③设动点坐标，根据角度条件构造辅助线(作垂直、构造K型全等); ④列方程求解； ⑤多情况分类(角度可以在直线两侧); ⑥检验、舍去不符合图像位置的解，汇总答案。 【例2】（26-27九年级上·湖北武汉·期中）如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧） (1)直接写出点，，的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）分别计算当时，的值，当时，的值，即可求解； （2）由条件可得点在轴下方，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，作轴于点，证明，可得，再可得直线的解析式，再联立二次函数，即可求解； （3）过点、作轴的垂线，过点、作轴的垂线，交于点、、、，可得是矩形，设，，由四边形为平行四边形，由平移可得，代入，可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧）， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵点为抛物线上一点，， ∴点在轴下方， 如图，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，作轴于点，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得，， 当时，点与点重合； 当时，； ∴点的坐标为． （3）解：如图，过点、作轴的垂线，过点、作轴的垂线，交于点、、、，则是矩形， ∵的对称轴为直线，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点， ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， 由平移可得，， 把代入得，， 整理得， ∴，，，，，， ∴，，，， ，， ∴ ， ∵四边形面积为， ∴，整理得，， 解得，， ∵， ∴， 当时，，， ∴点的坐标为． 【变式2-1】（26-27九年级上·重庆涪陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的一动点，为y轴上的动点，在的下方，满足，连接，当面积最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为平移后新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为；的最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接用待定系数法把已知点的坐标代入解析式解答即可； （2）过点作轴的垂线，交轴于点交于点，用含的代数式表示出点的坐标，把用含的代数式表示出来，再把用含的代数式表示出来，求出当面积最大时点的坐标，再利用轴对称的性质解答即可； （3）过点作轴的垂线，交轴于点，连接，用含的代数式表示出点的坐标，把用含的代数式表示出来，再利用三角函数解答即可． 【详解】（1）解：把点、点代入得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：如图， 抛物线的函数表达式为， 令，得， 点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ， ， ， 当时，的面积最大，此时点的坐标为． 在上截取，作点关于轴的对称点，连接， 则点的坐标为，点的坐标为，四边形是平行四边形， ,， ， ， 的最小值就是的最小值加上， 当三点在同一直线上时的值最小， 此时，， 的最小值为． （3）解：如图， ， 向右平移个单位，向上平移个单位变为：， 其对称轴为直线，点的坐标为， 过点作轴的垂线，交轴于点，连接， 设点，则，， 点、点， ， ， ， ， ， ， 或， 整理得：或， 或或或， 当点在对称轴左侧时，， 点只能在对称轴的右侧，即， 或， 点的坐标为或． 【变式2-2】（26-27九年级上·重庆巴南·期中）已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)解：将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线的解析式为：， ∵，A向左平移1个单位得到， ∴， ∵， ∴，， ∵点Q是抛物线上一动点，且， ∴此时点Q的位置分情况讨论： 情况1：当点Q位于点下方时： 如图，过点C作交的延长线于点K，过点K作轴于点L， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， ∴， 情况2：当点Q位于点上方时： 如图，作射线交新抛物线于点Q，使得，过点C作交于点R，过点R作轴交y轴于点T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， 综上，Q点坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法将点C和点A代入即可求得抛物线解析式； （2）作轴交于H，设，先求出直线的解析式，再设，从而得到的表达式，由三角形面积公式得出其表达式，利用二次函数的最值得到此时点P的坐标，紧接着利用轴对称的性质得到，当、M、N、四点共线时，取最小值，利用勾股定理即可求得最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，从而得到平移后的点的坐标，再根据点Q是抛物线上一动点，且，分情况讨论点Q的位置：当点Q位于点下方时，当点Q位于点上方时；利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质推导出相关点的坐标，进而利用待定系数法求一次函数后，联立新抛物线解析式即可得出点Q的坐标． 【详解】（1）解：将，代入抛物线， 得到：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，作轴交于H， ∵P是线段下方抛物线上的一动点， ∴设， 设直线的解析式为：， 将A，C两点坐标代入直线得到：， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 作点P关于y轴的对称点，点C关于抛物线对称轴的对称点， ∴，， ∴，， ∴， ∴当、M、N、四点共线时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． （3）略 【变式2-3】（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点D的坐标为 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）通过待定系数法将点B坐标代入即可求得b的值，从而得到抛物线表达式； （2）先求出直线的解析式，再求出点A的坐标，由，得到直线的解析式，设，则，得出的表达式，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P，利用平移的性质，平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质得出面积的表达式，当时，面积有最大值即可求出，最终可得到点D的坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，点M是新抛物线上的动点，且，此时点M分情况讨论：点M在点D左侧，点M在点D右侧，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和勾股定理等即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵直线经过原点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线与x轴交原点和点A， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，点E在直线上，点D在抛物线上， 设，则， ∴， 如图，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为，点D的坐标为． （3）解：设原拋物线向右平移m个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵点M是新抛物线上的动点，且， 此时点M分情况讨论： ①当点M在点D左侧时， ∵点O为原抛物线与x轴交点， 要使，则点M为新抛物线与x轴交点，即点， ∴， 令，则， ∴，（舍去）， ∴； ②当点M在点D右侧时， 如图，作，交新抛物线于点，过点D作轴交x轴于点Q，过点D作交于点N，连接交于点T，过点N作轴交x轴于点R， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， 即， 在中，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【题型三】二次函数综合压轴-特殊三角形存在性问题（等腰、直角三角形） ①固定两个已知点A,B,动点P在抛物线上； ②等腰三角形：分三类讨论：PA=PB、PA=AB、PB=AB; 直角三角形：分三类讨论：∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°; ③两点距离公式表示边长，或者垂直斜率关系列式； ④解方程，得到动点横坐标； ⑤验证该点在抛物线上、符合图像位置； ⑥整理全部符合条件的点。 【例3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 【变式3-1】（2026·吉林·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点E为抛物线上的一个动点，且横坐标为n，点F的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，把抛物线的解析式化为顶点式求出点P的坐标，再求出点A的坐标，根据列式求解即可； （3）根据等腰三角形的定义得到，则，据此建立方程求解即可； （4）根据题意可求出，，讨论n的取值范围，确定点E和点F的相对位置，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． 将点、点的坐标分别代入，得， 解得 二次函数的表达式为． （2）解：如图①，连接． ， ， ，． 当时，得， 解得，， ， ， ． （3）解：∵点在对称轴上， ∴可设， 由（2）知，． 是以为底边的等腰三角形， ，则， ， 解得， ． （4）解：点为抛物线上的一个动点，且横坐标为， ． 点的横坐标为，且线段轴， 点，的纵坐标相等， ． 如图②，当时，，重合， 解得． 线段与抛物线有两个公共点， 不符合题意． 当时，，且，则在左侧．如图③， 此时，线段与抛物线有一个交点，不符合题意； 当时，，在左侧．如图④， 点关于直线的对称点的横坐标为． 当点与点重合或在点左侧时，线段与抛物线有两个公共点， ， 解得， ； 当时，，在右侧，如图⑤． 点关于直线的对称点的横坐标为． 当与重合或在点右侧时，线段与抛物线有两个公共点， ， 解得， 综上所述，或． 【变式3-2】（26-27九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，交轴于点，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作于点，证明，在中，，解得，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【详解】（1）解：将点，点代入，得 ，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：过点作于点， ，， 平分，， ，， ， ， ， ， 在中，，解得， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴． （3）解：， 设直线的解析式为， 当时， 解得，， ∴，， ∴， 当，时， ， 解得或（舍）， 当时， ， 解得或（舍）， 当，时， ， ∴， 解得或（舍）， 综上所述：点纵坐标为2或． 【变式3-3】（26-27九年级上·山东济宁·期中）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【题型四】二次函数综合压轴-特殊四边形存在性问题（平行四边形、矩形、菱形、正方形） ①分清题型：两个定点+两个动点/三个定点+一个动点； ②平行四边形核心模型：对角线中点重合(中点坐标公式); ③设动点坐标，分情况确定哪两个点为对角线端点； ④矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直或者对角线相等； ⑤菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等；正方形同时满足矩形+菱形； ⑥列方程求解； ⑦检验四点不能共线，剔除无效解。 【例4】（26-27九年级上·江西赣州·期中）如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用抛物线解析式求出点的坐标，利用的面积减去的面积即可； （3）设点，，利用平行四边形对角线互相平分的性质构造方程组，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：假设存在， 设点，， ①当为对角线时， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴， 解得， ∴； ②当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； ③当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； 综上所述，假设成立，点的坐标为或或． 【变式4-1】（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)P点的坐标为，， (3) (4)存在，坐标为和 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）设，根据题意，得，解绝对值方程即可； （3）过点P作轴交直线于点M，设，则，且，则，构造面积的二次函数，解答即可． （4）设，则，根据，确定点E的坐标，再利用平移的思想，确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点为，， ， 解得， 函数表达式为：． （2）解：根据题意，点为抛物线上的一动点， 设， ，， ， 面积为8， ， 或， 或， 解得或， ∴或或． （3）解：与y轴交于点C， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴交直线于点M， 设，则，且， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，面积最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 为菱形， ， 设，则 ， 解得， 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故； 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故． 坐标为或， 【变式4-2】（26-27九年级上·广东广州·期中）已知关于的二次函数，把二次函数图象向上平移个单位，得到新的函数的图象为抛物线，如图所示，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，． (1)当时，求新的函数与直线的交点坐标． (2)若四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)和 (2)5 【分析】（1）先求出平移后的函数解析式，再将、代入计算即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】（1）解：∵把二次函数图象向上平移个单位，得到新的函数的图象为抛物线， ∴抛物线的函数解析式为， 将、代入得， 解得：， 即新的函数与直线的交点坐标为和； （2）解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 【变式4-3】（26-27九年级上·天津武清·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【分析】（1）根据对称性求出点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求出点C，顶点D的坐标，进而得到点P的坐标，将点P向左平移1个单位长度，得到点，连接，，得到四边形是平行四边形，因此．作点关于x轴的对称点，连接，，则，得到，即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．根据两点间距离公式求出，从而求出最小值．运用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求出点E的坐标； ②根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴． ∴将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴． ∵抛物线， ∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，， ∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则， 连接，， 则，且轴， ∵在x轴上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 作点关于x轴的对称点，连接，， 则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴． ∴最小值为． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中 由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴，符合题意， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 【题型五】二次函数综合压轴-相似三角形问题 ①先找一组固定相等角(公共角、对顶角、同角的余角); ②标记已知三角形边长，确定对应关系；无固定字母对应，必须分类讨论； ③列出比例式： ④设抛物线上动点坐标，用距离公式表示线段长度； ⑤解方程； ⑥检验点的位置、自变量范围，舍去不合理的解，写出全部符合条件的点。 【例5】（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，抛物线过点、，点为线段上一个动点，（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、N． (1)求直线和抛物线的表达式． (2)当的面积最大时，求此时m的值． (3)如果点P是的中点，那么求此时点N的坐标． (4)当与相似时，求点M的坐标． 【答案】(1)直线表达式为，抛物线表达式为 (2) (3) (4)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； (2)根据题意得出，，求出，根据三角形面积公式求出，再根据二次函数性质进行求解即可； （3）由（2）可知：，，则，再由得出方程，求解即可； （4）分两种情况进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点为线段上一个动点，（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、N， ∴，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值； （3）解：由（2）可得：，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； （4）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵ ∴当与相似时，存在以下两种情况： ①当时，则， ∴， 解得：或或， 当时，，， ∴是原方程的增根，舍去； 当时，点P、点N、点B重合，不能构成三角形，舍去， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， 解得；或或， 当时，，， ∴是原方程的增根，舍去； 当时，点P、点N、点B重合，不能构成三角形，舍去， ∴； ∴点M的坐标为或． 【变式5-1】（2026·山东枣庄·模拟预测）一个二次函数的图象上任一点的坐标满足方程． (1)求此二次函数的解析式； (2)若此二次函数与x轴的交点分别为A，B(A在B的左边)，与y轴的交点为C，在此二次函数的图象上与x轴上分别找一点D，E(点D不同于点C)，使得以A，D，E为顶点的三角形与相似．求出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)或或或或 【分析】（1）将两边平方，即可得出结果； （2）先证明是以为直角的直角三角形，进而得到是直角三角形，分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：两边平方得， ， 整理得， ∴． （2）解：当时，解得，当时，， ∴，． ∴，，， ∴，， ∴． ∴是以为直角的直角三角形． ∵以A，D，E为顶点的三角形与相似， ∴是直角三角形， ∵点在抛物线上，点在轴上， ∴①当时，即轴， 设，则， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或或， ∴ ∴或． 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或（舍去）或， ∴； ②， 当，如图1，则， ∴， 由①可知，此时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 当时，如图2， 同法可得：， ∴，即， 综上：或或或或. 【变式5-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系得，结合题意求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）连接，过点作轴，交于点，求出，则，求出，当的面积取最大值时，四边形的面积最大，设，且，求出直线的解析式为，则点的坐标为，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）设，则，分以下两种情况讨论：①点在直线下方时；②点在直线上方时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，是方程的两根， ， 由， 解得， ，， ， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：如图③，连接，过点作轴，交于点， 抛物线的对称轴为直线， ∴由（1）可得， ， 的面积为定值，， 当的面积取最大值时，四边形的面积最大， 设，且， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， 当时，面积最大为， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： ①如图④，点在直线下方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），（舍去）， ②如图⑤，点在直线上方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），． 综合①②可得点的坐标为或或． 【点睛】相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式5-3】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线的对称轴为_____； (3)当与的面积相等时，求m的值； (4)若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为； （2）先化为顶点式，由对称轴公式求解即可； （3）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到或经过的中点，进而求解即可； （4）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，由题意，，则，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得， ∴该抛物线的解析式为， （2）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵抛物线与轴交于点， ∴)， ∵点是抛物线上的一个动点，与的面积相等， ∴当时或当经过的中点时满足条件， 当时，点B、点D关于直线对称， ∴点的横坐标为2，即； 当经过的中点时，设中点为，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得，， ∴点D的横坐标， 综上，或； （4）解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意，，则，，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ①当时， 则， ∴ 解得 ∵， ∴； ②当时， 则， ∴， 解得或(不合题意舍去)， 综上，或． 题型名称 核心要点 求抛物线与x轴的交点——零点代入法 ，解方程，方程的根就是交点横坐标，交点坐标。 求抛物线与y轴的交点——x=0代入法 令，求得，抛物线与y轴交点固定为(0,)。 已知二次函数函数值求自变量的值——方程转化法 将给定函数值代入解析式得到一元二次方程，解方程求出对应的自变量，注意解的个数。 由图像确定一元二次方程根的情况——数形结合法 抛物线与轴交点个数对应方程根的情况；Δ>0两个不等实根，Δ=0一个实根，Δ<0无实数根。 求x轴与抛物线的截线长——根差公式法 先求出抛物线与轴交点横坐标、，截线长度| 图象法确定一元二次不等式的解集——图像分区法 观察抛物线在轴上方/下方部分，结合开口方向，确定自变量取值范围；开口方向改变，解集规律反转。 实际问题二次函数销售利润问题——利润建模法 总利润=单件利润×销售数量；设涨价/降价变量，列出二次函数，结合自变量取值范围求利润最值。 实际问题二次函数拱桥、投球、喷水问题——建系建模法 合理建立平面直角坐标系，设抛物线解析式，代入已知点求出函数，再求解高度、宽度、落点等问题。 二次函数压轴-面积问题——铅垂高模型法 ①求解析式、定点坐标；②设动点；③；④构造二次函数求最值或列方程求动点。 二次函数压轴-特殊三角形存在性问题——分类讨论法 固定两点，动点在抛物线上；等腰三角形分、、三类；直角三角形分三个顶点分别为直角顶点讨论，结合距离公式列式求解。 二次函数压轴-平行四边形存在性问题——中点坐标模型法 利用平行四边形对角线中点重合；分清定点、动点，分情况讨论对角线组合，列方程求解，剔除四点共线的无效解。 二次函数压轴-相似三角形问题——等角分类法 先找到一组相等角，对剩余边的对应关系分类讨论，列出比例式；设动点坐标，用距离公式表示线段长，解方程并检验取值。 1/70 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数（二） 目录 识记类 思维导图 知识清单(2类) 考点清单(5类) 公式清单(2类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(8类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01二次函数与一元二次方程 1.函数与方程的联系 对于二次函数,得到一元二次方程：。方程的实数根就是抛物线图像与x轴交点的横坐标。 2.判别式 . 决定抛物线与x轴交点个数： ① ：方程有两个不相等实数根；抛物线与x轴2个交点； ② ：方程有两个相等实数根；抛物线与x轴1个交点(顶点落在x轴上); ③ ：方程没有实数根；抛物线与x轴无交点。 3.二次函数与一元二次不等式(数形结合) 观察抛物线图像在x轴上方或者下方对应的x取值范围： ：抛物线图像在x轴上方部分对应的x; ：抛物线图像在x轴下方部分对应的x。 例：，抛物线交x轴，且 解集：或 解集： 4.用图像求一元二次方程近似解 画出二次函数图像，观察抛物线与x轴交点横坐标，估算方程根的近似值。 知识点02二次函数与一元二次方程 1.5二次函数的应用 核心思路：把实际问题抽象，建立二次函数模型，利用二次函数性质求解，一定要检验自变量取值范围。 1.利润最值模型 基本等量关系： 单件利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售量 涨价/降价会带来销量变化，列出二次函数，在自变量允许范围内求最大利润。 2.几何图形最值模型 矩形、三角形等图形，利用边长约束，写出面积关于边长的二次函数，求面积最大值；注意边长必须>0。 3.抛物线运动模型(拱桥、投篮、抛射物体) ①建立合适平面直角坐标系； ②根据图像上点坐标求二次函数解析式； ③代入自变量，求高度、水平距离等； ④结合实际舍去不符合题意的解。 4.应用题通用解题步骤 ① ，找出变量，分清自变量、因变量； ② ； ③根据等量关系列出二次函数表达式； ④确定自变量的实际取值范围； ⑤在取值范围内，利用顶点或端点求最值； ⑥检验结果是否符合实际； ⑦写出完整作答。 考点01二次函数与一元二次方程 考点内容：时二次函数转化为一元二次方程，判别式，和抛物线与x轴交点个数的对应关系，二次函数与一元二次不等式。 ①由△判断抛物线和x轴交点个数； ②已知交点个数，反过来求参数的取值范围； ③利用图像求解、对应的x解集； ④根据图像估算一元二次方程的近似根； ⑤利用抛物线对称性求交点横坐标。 考点02二次函数的实际应用——利润最值问题 考点内容：总利润=单件利润×销售量；建立二次函数模型；结合自变量范围求最大利润。 ①根据涨价、降价的数量关系列出利润二次函数； ②在取值范围内求利润最大值； ③已知利润，求对应的售价； ④限制售价、销量条件下，求最值。 考点03二次函数的实际应用——几何最值问题 考点内容：利用几何边长关系建立面积、线段长的二次函数；边长大于0的限制。 ①矩形、三角形等图形面积最值求解； ②利用墙长等限制条件确定自变量范围； ③求线段的最大值、最小值； ④结合图形动点问题建立二次函数。 考点04二次函数的实际应用——抛射模型(拱桥、投篮) 考点内容：建立平面直角坐标系，抛物线上点的实际含义；代入求值求解距离、高度。 ①根据实际图像上的点求抛物线解析式； ②已知水平距离求高度，或者已知高度求水平距离； ③判断物体能否越过某高度； ④拱桥、喷水、球类运动类情景计算。 考点05二次函数综合压轴 考点内容：函数、几何结合；动点、存在性问题；数形结合、分类讨论。 ①抛物线上是否存在点满足面积相等、距离相等； ②平行四边形、直角三角形、等腰三角形存在性； ③线段最值、周长最值； ④函数图像上动点的坐标求解。 1.判别式公式(判断和x轴交点)： ①：2个交点；②：1个交点（顶点在x轴）；③无交点 2.韦达定理(根与系数关系) 若的两根为: ， 辨析01二次函数与一元二次方程辨析，分清交点个数 ，抛物线与x轴有2个交点；，抛物线与x轴只有1个交点(顶点落在x轴)；，抛物线与x轴无交点；方程的根就是交点横坐标，不要把当成无交点。 辨析02交点式辨析，注意使用前提 交点式仅当、抛物线和x轴有交点时才能使用；、是抛物线与x轴交点的横坐标，不是顶点横坐标，代入时注意符号。 辨析03抛物线对称性辨析 抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，对称轴等于两点横坐标的平均数；抛物线上到对称轴距离相等的点，函数值相等，不要用纵坐标计算对称轴。 辨析04二次函数不等式识图辨析 对应抛物线在x轴上方的部分，对应抛物线在x轴下方的部分，开口向上开口向下时解集形式不同，看图写解集容易把不等号方向、区间写反。 辨析05实际应用问题辨析，不要忽略自变量实际意义 利润、几何面积、拱桥模型等应用题，求出顶点最值之后，要检验顶点横坐标是否在自变量取值范围内；长度、销量、售价都要大于0，不能直接套用顶点结果。 辨析06函数变换辨析(翻折、旋转) 抛物线沿x轴翻折，a变号，顶点横坐标不变，沿y轴翻折，a不变，绕顶点旋转180°,顶点不变，a变为相反数，变换时不要随意改动顶点坐标。 【题型一】求抛物线与x轴的交点 【例1】（26-27九年级上·广东江门·期中）抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（26-27九年级上·山东济南·期中）抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·浙江湖州·期中）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西安康·期中）若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【题型二】抛物线与y轴的交点 【例2】（26-27九年级上·河北邢台·期中）抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）如图，线段的两个端点的坐标分别是、，函数的图象与线段有公共点，当该函数图象与轴的交点最高时，则的值是（     ） A． B． C．5 D．7 【变式2-2】（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数（m为常数）的图象与y轴的交点为，则m的值（   ） A． B． C． D． 【题型三】已知二次函数函数值求自变量的值 【例3】（2026·福建三明·三模）将抛物线：进行平移得抛物线：，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（25-26九年级下·贵州贵阳·期中）已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式3-3】（26-27九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，将点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，则__________． 【变式3-4】（25-26九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【题型四】根据二次函数的图象确定一元二次方程根的情况 【例4】（26-27九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（26-27九年级上·山东日照·期中）函数的图象如图所示，关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．以上都不对 【变式4-2】（26-27九年级上·福建厦门·期中）二次函数图象的对称轴为，若它与x轴的一个交点横坐标约为，则方程的另一个根的大致范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（26-27九年级上·山西大同·期中）如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-4】（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况为（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个异号的实数根 D．有两个不相等的实数根 【题型五】根据表格确定根的值 【例5】已知二次函数（）中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程的一个根所在范围的是（     ） x y A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27九年级上·安徽亳州·期中）根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27九年级上·安徽阜阳·期中）已知二次函数的部分取值如表所示，由数据得，关于x的一元二次方程的解是（     ） x … 0 1 2 3 … … 0 0 … A．， B．， C．， D．， 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·单元测试）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（，为常数）的一个解的范围是（     ） A． B． C． D． 【题型一】混淆判别式Δ与交点个数关系 【例1】（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是________． 易错警示 易错警示：△>0两个交点，△=0一个交点，△<0无交点；注意题干是否说明是抛物线，不能漏掉a≠0；还要看清是“有交点”还是“两个不同交点”。 【变式1-1】（26-27九年级上·天津武清·期中）若抛物线与x轴有且只有一个交点，则________． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海静安·期中）若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是______． 【变式1-3】（26-27九年级上·广东广州·期中）如图，把抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．若直线与这个新图象恰好有个公共点，则的取值范围是______________． 【变式1-4】（26-27九年级上·上海浦东新·期中）若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_____． 【题型二】解一元二次不等式忽略开口方向 【例2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 易错警示 解集和抛物线开口方向强相关；开口向上和开口向下，不等号方向对应的解集完全相反，不能直接照搬根的区间。 【变式2-1】（2026·四川遂宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【变式2-2】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 【变式2-3】（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【题型三】由交点写不等式解集搞反区间 【例3】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是__________． 易错警示 先看开口，再看图像在x轴上方还是下方；经常搞反“大于0取两边，小于0取中间”，开口向下时结论相反 【变式3-1】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________． 【变式3-2】（26-27九年级上·福建龙岩·期中）抛物线的部分如图所示，当时，x的取值范围是________． 【变式3-3】（26-27九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，当时，则x的取值范围是________． 【变式3-4】如图，二次函数（）与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是________． 【题型四】实际问题忽略自变量实际取值范围 【例4】（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（墙足够长，）．长方形的面积为，的长为． (1)写出长方形的面积与之间的函数解析式，并求出的范围； (2)当为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 易错警示 列出函数后，自变量要符合现实意义（长度、数量大于0）；求最值、解方程时，直接套用顶点而不检验是否在合理范围。 【变式4-1】（26-27九年级上·福建龙岩·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面带地（地长70米），另外三边用木栏围成，所用木栏总长120米，如图2所示． (1)求长方形花圃面积的最大值． (2)在长方形花圃面积最大的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米，求出网红打卡点的面积． 【变式4-2】（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【变式4-3】（26-27九年级上·山东济宁·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设，矩形的面积为． (1)写出与的函数关系式（不需写出x的取值范围）； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【题型一】求x轴与抛物线的截线长 【例1】抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【变式1-1】（26-27九年级上·上海浦东新·期中）若二次函数的图像与x轴的两个公共点之间的距离为4，则m的值是______． 【变式1-2】（26-27九年级上·上海闵行·期中）已知一个二次函数图像的对称轴是直线，在x轴上截得的线段长为4，与y轴交点的坐标为，则这个二次函数的表达式为________． 【变式1-3】（26-27九年级上·上海杨浦·期中）二次函数与轴两个交点间的距离是，那么的值为_____． 【变式1-4】（26-27八年级上·上海虹口·期中）已知二次函数图像与轴有两个交点、，且．则的值是____________． 【题型二】实际问题与二次函数之图形运动问题 【例2】（26-27九年级上·浙江杭州·期中）在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 【变式2-2】（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，，点P从点B出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点A运动．当点P不与A、B重合时，过点P作于点D，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，设点P的运动时间为t（秒）． (1)求线段的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在线段上时，求t的值； (3)设与重叠部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式． 【变式2-3】（2026·吉林·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【题型三】实际问题与二次函数之拱桥问题 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【变式3-1】（26-27九年级上·辽宁鞍山·期中）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．（为原点） 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在轴上，，．（为原点） 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【变式3-2】（26-27九年级上·上海闵行·期中）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【变式3-3】（26-27九年级上·四川南充·期中）综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)确定桥拱形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 【题型四】实际问题与二次函数之销售问题 【例4】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． (1)请直接写出与之间的函数关系式； (2)当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 【变式4-1】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【变式4-2】（26-27九年级上·山西运城·期中）综合与实践 项目主题 运城盐湖景区“七彩盐湖”文创产品销售策划 项目情境 随着运城盐湖“山海经·盐泽神境”夜游项目的火爆，景区决定推出一款名为“七彩盐湖”的文创冰箱贴，景区运营部对这款产品的销量和利润进行了调研与测算． 素材1 运营部发现，该系列文创产品上市第一年（2024年）售出10万件，随着景区夜游项目的加持，第三年（2026年）售出14.4万件． 素材2 该冰箱贴每件成本为20元，最初定价为每件40元时，每天可售出100件．为了配合国庆黄金周的宣传，景区决定降价促销．经市场调查发现：售价每降低1元，每天可多售出10件． 问题解决 驱动问题一 (1)求这两年间该文创产品销量的年平均增长率． 驱动问题二 (2)若景区希望每天获得2240元的利润，且为了扩大宣传效果、尽可能增加销量，每件冰箱贴应该降价多少元？ 驱动问题三 (3)当每件冰箱贴降价______元时，每天获得的利润最大，最大利润为______元． 【变式4-3】（26-27九年级上·四川眉山·期中）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式． (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 【变式4-4】（26-27九年级上·湖北武汉·期中）某电影院销售《牛来》电影票，已知每张电影票的成本为15元．若每张以30元销售，平均每天可售出50张；价格每降低1元，平均每天多售出5张．设每张降价元（为整数），每天销售量为张． (1)直接写出每天销售量与之间的函数关系式：__________；（不写的取值范围） (2)若某天销售《牛来》电影票的利润为770元，为了让观众获得更多实惠，该电影院每张《牛来》电影票的定价为多少元？ (3)为了促进市场良性竞争，《牛来》电影票的销售单价不得高于28元，不得低于22元，当销售单价为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 【题型五】实际问题与二次函数之投球问题 【例5】（26-27九年级上·广东广州·期中）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下部分数据： x/米 0 0.2 0.4 0.6 1 1.4 1.6 1.8 … y/米 0.24 0.33 0.4 0.45 0.49 0.45 0.4 0.33 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)①试根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映乒乓球与桌面的高度和与端点A的水平距离的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； ②求出当乒乓球落在桌面时，其落点与端点A的水平距离是多少米？ (3)当乒乓球落在桌面上弹起后，已知y与x之间满足．且球网高度为米，球桌长米．乒乓球弹起后，是否有机会在某个击球点可以将球沿直线扣杀到端点A？请说明理由． 【变式5-1】（26-27九年级上·湖北荆州·期中）在物理课中，小明学习到：在不考虑空气阻力的情况下，竖直上抛物体离地面的高度h（米）与时间t（秒）近似满足关系，其中是初始速度（米/秒），是初始高度（米）．小明将一个篮球从离地面2米处竖直上抛，球的初始速度为8米/秒． (1)写出篮球离地面高度h与时间t的函数关系式； (2)篮球经过多长时间达到最高点？最高点离地面多少米？ (3)经过多长时间篮球落地？（结果用含根号的式子表示即可） 【变式5-2】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·期中）掷实心球是辽宁省初级中学招生体育考试的选考项目．如图1是一名学生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据初中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分1分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)如果这个女同学想得满分，那么这个女同学的出手高度至少为几米？ 【变式5-3】2025年世界人形机器人运动会将在北京举行，其中"篮球投篮机器人挑战赛"成为热门项目，篮球飞行轨迹可近似看作抛物线．以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足二次函数关系（）． 机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离（米） 0 1 2 3 4 5 竖直高度（米） 挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系． (1)根据上述数据，机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为________； (2)求机器人投篮时篮球飞行的竖直高度满足的函数关系式（）； (3)若篮球在水平距离5米处的竖直高度满足，视为有效投篮，则机器人投篮________（填“有效”或“无效”），挑战者投篮________（填“有效”或“无效”）． 【变式5-4】（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，小明在平地向上抛掷一个小球，小球的运动路线是抛物线．以小球抛出点在地面的投影为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系．已知小球抛出时的高度为，抛出后水平前进时，达到最大高度．设小球运动的水平距离为（单位：），竖直高度为（单位：）． (1)求小球运动轨迹对应的二次函数解析式； (2)小球抛出后，水平前进多少米时，高度恰好为？ (3)小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车（车头方向为轴正方向）；小球能否越过大货车安全落地？ 【题型六】实际问题与二次函数之喷水问题 【例6】某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【变式6-1】（26-27九年级上·甘肃平凉·期中）某市周末夜晚的音乐喷泉表演吸引了大量市民前往观赏．如图，以喷头所在处为原点、水平方向为轴建立平面直角坐标系，水柱的竖直高度（米）与水柱离喷头的水平距离（米）满足． (1)水柱的最大高度是多少米？ (2)水柱落地点到喷头的水平距离是多少米？ 【变式6-2】（26-27九年级上·内蒙古赤峰·期中）综合与实践． 项目名称 为广场三层叠泉喷泉景观设计抛物线形水流轨迹 问题情境 如图1，某广场计划修建一个三层叠泉喷泉景观，喷泉的水流轨迹可以用抛物线来刻画．喷头位于最高点，距地面，已知从上往下数，第一层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为，第二层圆形水池水面距地面的高度为，其半径为． 收集信息 ①调整喷头流速时，水流最高点距离立柱的水平距离始终为；②喷泉底部围挡高度为． 抽象模型 图2为喷泉单侧示意图，以地面所在直线为轴，喷泉中心立柱为轴，建立平面直角坐标系．点为喷头，为第一层水池半径，为第二层水池半径． (1)若喷头喷出的水流最高点离地面的高度为，求抛物线的函数解析式． (2)为了形成“叠泉”效果，要求喷头喷出的水流能落在第二层水池的水面上，通过适当调整喷头的流速，使水流最高点距离立柱的水平距离始终为，求该抛物线二次项系数的取值范围． (3)在任务二的基础上，现计划在第二层水面边缘加装若干同样效果的喷头装置，第二层加装的喷头和喷头喷出的水流形状始终相同，直接写出喷泉底部圆形水池的半径的最小值． 【变式6-3】（26-27九年级上·全国·期中）第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的网球出口C离地竖直高度米．如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程． 【题型七】实际问题与二次函数之增长率问题 【例7】（26-27九年级上·山东济南·期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【变式7-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【变式7-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 【变式7-3】某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年投入资金1500万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百分率x．写出明年将投入的资金量y（单位：万元）关于每年增加的百分率x的函数解析式． 【题型八】实际问题与二次函数之其他问题 【例8】（26-27九年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 如图，这是一款实木茶几，茶几桌面边缘轮廓可认为是由两条抛物线组成的，经测量桌面最大长度，最大宽度，图是桌面轮廓的俯视图，上方抛物线顶点到的距离为，下方抛物线顶点到的距离为，直线为竖直轮廓的对称轴，且．以所在直线为轴，过点垂直于所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)请你直接写出点的坐标，并求出上方抛物线的函数表达式． (2)如图，为了美化桌面图案，丰富视觉效果，计划将上方抛物线向下平移，将下方抛物线向上平移若干厘米，两条新抛物线相交于上的点，点，求的长． 【变式8-1】（26-27九年级上·福建福州·期中）小王计划建造一个150平方米的矩形大棚种植各类水果，整个过程中有以下几个需要解决的重要问题： (1)【种植计划】小王在调查某类水果时发现：当每平方米种植4株时，平均产量为；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减小．那么，每平方米计划种植多少株时，能获得最大的产量？大棚最大产量是多少？请自行设函数变量，解决问题． (2)【顶棚设计】如图2是大棚顶部建好后的侧面图，已知房屋外墙长为12米，相关数据如图，顶棚曲线满足抛物线形状，小王需要给内部两侧距离中心线2米的点A，点B处安装日照灯，试建立合适的坐标系，计算日照灯的安装高度． 【变式8-2】（26-27九年级上·河北沧州·期中）问题情境：某景区能欣赏到精彩的打铁花表演，它也被称作打铁水．滚烫的铁水被挥洒至空中，漫天星火绚烂夺目，我们将铁水的溅射轨迹抽象为抛物线，研究其运动规律．实验数据：铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为． 数学建模：用如图1所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ (3)如图2，为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台上（位于表演台中心正上方）击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变，即抛物线的形状不变，且对称轴不变，为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请判断观众席中，与表演台中心水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内，并说明理由．（参考数据：） 【变式8-3】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·期中）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．六中数学社团的同学们在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习； 【数学建模】 图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度．，，碗口宽，茶盖的最高点离的距离，碗体呈抛物线形状（碗体厚度不计）． 【任务探究】 (1)任务一：已知一件白瓷盖碗的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件．为扩大销量，文旅公司决定降价销售此款盖碗，经调查发现，售价每降低元，每天可以多售出件．求售价定为多少时，每天获得的利润最大？ (2)任务二：如图2，以碗口宽的中点为原点，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为（，），点坐标为（，），求碗体的抛物线解析式； (3)任务三：如图3，盖碗中的茶水加满至碗口处，喝掉一部分后，水面下降至处（），水面的宽度为．求此时碗中茶水的深度（即水面到碗内最低点的垂直距离）． 【题型一】二次函数综合压轴-面积问题 适用：抛物线上动点，求三角形、四边形面积最值或者已知面积求点解题流程： ①先求出抛物线解析式、定点坐标、对称轴； ②设出动点P的横坐标t,写出; ③选割补法(铅垂高法最常用):以定点连线为底，计算动点到定直线的铅垂高； ④面积公式： ⑤得到关于t的二次函数，结合t取值范围求最值；已知面积则列方程求解； ⑥检验解是否在自变量范围内，舍去不合理解，写出所有点坐标。 【例1】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与轴交于点C，连接． (1)请直接写出三点坐标和直线的函数表达式； (2)P为抛物线上一点，且在上方．若的面积为27，求P点坐标． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点． (1)请直接写出此二次函数的解析式为______； (2)试判断点是否在抛物线上，并说明理由； (3)抛物线对称轴交于点，求线段的长； (4)直接写出的面积为______． 【变式1-2】（26-27九年级上·广东梅州·期中）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【变式1-3】（26-27九年级上·江西赣州·期中）已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． (1)设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值． (2)连接，求的面积． 【变式1-4】（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点，与轴相交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)连结，，求四边形的面积． 【题型二】二次函数综合压轴-角度问题 适用：满足指定角度(45°、30°、等角、倍角、直角)找点解题流程： ①算出基础点坐标，画出草图； ②角度转化：直角→斜率乘积为-1；45°→构造等腰直角三角形；等角→利用相似、三角函数；③设动点坐标，根据角度条件构造辅助线(作垂直、构造K型全等); ④列方程求解； ⑤多情况分类(角度可以在直线两侧); ⑥检验、舍去不符合图像位置的解，汇总答案。 【例2】（26-27九年级上·湖北武汉·期中）如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧） (1)直接写出点，，的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 【变式2-1】（26-27九年级上·重庆涪陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的一动点，为y轴上的动点，在的下方，满足，连接，当面积最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为平移后新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【变式2-2】（26-27九年级上·重庆巴南·期中）已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【变式2-3】（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【题型三】二次函数综合压轴-特殊三角形存在性问题（等腰、直角三角形） ①固定两个已知点A,B,动点P在抛物线上； ②等腰三角形：分三类讨论：PA=PB、PA=AB、PB=AB; 直角三角形：分三类讨论：∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°; ③两点距离公式表示边长，或者垂直斜率关系列式； ④解方程，得到动点横坐标； ⑤验证该点在抛物线上、符合图像位置； ⑥整理全部符合条件的点。 【例3】（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【变式3-1】（2026·吉林·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点E为抛物线上的一个动点，且横坐标为n，点F的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【变式3-2】（26-27九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，交轴于点，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【变式3-3】（26-27九年级上·山东济宁·期中）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【题型四】二次函数综合压轴-特殊四边形存在性问题（平行四边形、矩形、菱形、正方形） ①分清题型：两个定点+两个动点/三个定点+一个动点； ②平行四边形核心模型：对角线中点重合(中点坐标公式); ③设动点坐标，分情况确定哪两个点为对角线端点； ④矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直或者对角线相等； ⑤菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等；正方形同时满足矩形+菱形； ⑥列方程求解； ⑦检验四点不能共线，剔除无效解。 【例4】（26-27九年级上·江西赣州·期中）如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式4-1】（26-27九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 【变式4-2】（26-27九年级上·广东广州·期中）已知关于的二次函数，把二次函数图象向上平移个单位，得到新的函数的图象为抛物线，如图所示，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，． (1)当时，求新的函数与直线的交点坐标． (2)若四边形为正方形，求的值． 【变式4-3】（26-27九年级上·天津武清·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【题型五】二次函数综合压轴-相似三角形问题 ①先找一组固定相等角(公共角、对顶角、同角的余角); ②标记已知三角形边长，确定对应关系；无固定字母对应，必须分类讨论； ③列出比例式： ④设抛物线上动点坐标，用距离公式表示线段长度； ⑤解方程； ⑥检验点的位置、自变量范围，舍去不合理的解，写出全部符合条件的点。 【例5】（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，抛物线过点、，点为线段上一个动点，（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线和抛物线分别交于点P、N． (1)求直线和抛物线的表达式． (2)当的面积最大时，求此时m的值． (3)如果点P是的中点，那么求此时点N的坐标． (4)当与相似时，求点M的坐标． 【变式5-1】（2026·山东枣庄·模拟预测）一个二次函数的图象上任一点的坐标满足方程． (1)求此二次函数的解析式； (2)若此二次函数与x轴的交点分别为A，B(A在B的左边)，与y轴的交点为C，在此二次函数的图象上与x轴上分别找一点D，E(点D不同于点C)，使得以A，D，E为顶点的三角形与相似．求出所有满足条件的点E的坐标． 【变式5-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线的对称轴为_____； (3)当与的面积相等时，求m的值； (4)若点D在第一象限内抛物线上，过点D作轴于点E，交于点P，且满足与相似，直接写出m的值． 题型名称 核心要点 求抛物线与x轴的交点——零点代入法 ，解方程，方程的根就是交点横坐标，交点坐标。 求抛物线与y轴的交点——x=0代入法 令，求得，抛物线与y轴交点固定为(0,)。 已知二次函数函数值求自变量的值——方程转化法 将给定函数值代入解析式得到一元二次方程，解方程求出对应的自变量，注意解的个数。 由图像确定一元二次方程根的情况——数形结合法 抛物线与轴交点个数对应方程根的情况；Δ>0两个不等实根，Δ=0一个实根，Δ<0无实数根。 求x轴与抛物线的截线长——根差公式法 先求出抛物线与轴交点横坐标、，截线长度| 图象法确定一元二次不等式的解集——图像分区法 观察抛物线在轴上方/下方部分，结合开口方向，确定自变量取值范围；开口方向改变，解集规律反转。 实际问题二次函数销售利润问题——利润建模法 总利润=单件利润×销售数量；设涨价/降价变量，列出二次函数，结合自变量取值范围求利润最值。 实际问题二次函数拱桥、投球、喷水问题——建系建模法 合理建立平面直角坐标系，设抛物线解析式，代入已知点求出函数，再求解高度、宽度、落点等问题。 二次函数压轴-面积问题——铅垂高模型法 ①求解析式、定点坐标；②设动点；③；④构造二次函数求最值或列方程求动点。 二次函数压轴-特殊三角形存在性问题——分类讨论法 固定两点，动点在抛物线上；等腰三角形分、、三类；直角三角形分三个顶点分别为直角顶点讨论，结合距离公式列式求解。 二次函数压轴-平行四边形存在性问题——中点坐标模型法 利用平行四边形对角线中点重合；分清定点、动点，分情况讨论对角线组合，列方程求解，剔除四点共线的无效解。 二次函数压轴-相似三角形问题——等角分类法 先找到一组相等角，对剩余边的对应关系分类讨论，列出比例式；设动点坐标，用距离公式表示线段长，解方程并检验取值。 1/70 学科网（北京）股份有限公司 $