北京市中国人民大学附属中学2026-2027学年度高三年级第一学期数学统练三

人大附中2026—2027学年度高三年级第一学期统练三 一．单选题（4×10＝40） 1．已知集合，，若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和为，且，，则（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，且，点在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点．若经过的圆弧的长为，则点的纵坐标为（ ） A． B． C． D． 5．已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 6．若关于的方程（且）有实数解，则的值不可以为（ ） A． B． C． D． 7．设无穷等比数列的首项，公比，其前项积为．则“”是“有最大值”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．形如（是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据，，，，都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 9．在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知数列中各项均为正数，且（，，，…），给出下列四个结论： ①对任意的，都有； ②数列可能为常数列； ③若，则当时，； ④若，则数列为递减数列． 其中正确结论有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题（5×5＝25） 11．函数的定义域为________． 12．若，且，则的值为________． 13．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，则________．若为锐角三角形，则的取值范围为________． 14．已知在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为________． 15．已知，其中，给出下列个结论： ①在上既有最大值又有最小值； ②与至少有个公共点； ③使得恰有个零点； ④时，方程有个不同的实根 其中正确结论的序号是________． 三．解答题 16．（13分）已知函数（，）的最小正周期为，且的图象经过点________． 从下列三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一确定． ①；②；③． （1）求的解析式； （2）若在区间和上均有零点，求的取值范围． 17．（13分）已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18．（14分）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若，，求的取值范围． 19．（15分）某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，．（注：，，，在同一平面内） （1）求的面积； （2）求点，之间的距离． 20．（15分）已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求在上极值点个数； （3）设函数，是否存在、，使得？若存在，求的所有可能取值；若不存在，请说明理由． 21．（15分）对于无穷数列，记，，称是的“收缩数列”．其中，，分别表示，，…，中的最大数和最小数． （1）若，直接写出的前项； （2）证明：的“收缩数列”仍是； （3）记的前项和为，若，，求所有满足该条件的． 学科网（北京）股份有限公司 $