精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学板桥学校2026-2027学年高三上学期十月考试数学试题

高三年级十月考试数学试题 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 A. B. C. D. 4. 已知向量，，若向量与平行，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．若将角的终边逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则“”是“是直角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知向量，，则与的夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数图象的两条相邻对称轴为，，若，，则正整数的取值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是________ 12. 的展开式中的常数项是__________．（用数字作答） 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的一个取值为______________． 14. 已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①任意，函数的最大值与最小值的差为2； ②存在，使得对任意，； ③当时，存在非零实数，； ④当时，存在，，使得对任意，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题 16. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围； （3）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值. 18. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，从以下条件中选择一个，使存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为9． 19. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 20. 已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列三问.注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. （3）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 21. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求证：在上存在唯一的极小值点； （3）设函数，若存在、，使得，求的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级十月考试数学试题 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合M，再利用交集的定义求解作答. 【详解】解不等式得：，即，而， 所以. 故选：B 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A,,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, 是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A. 4. 已知向量，，若向量与平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，则， 又与平行，则，解得． 5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．若将角的终边逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，求得，再由，结合诱导公式，即可求解. 【详解】因为角以为始边，终边经过点，可得， 则， 将角的终边逆时针旋转得到角的终边，可得， 则. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足. 故选：A 7. 在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则“”是“是直角三角形”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简，结合三角函数恒等变形，即可判断选项. 【详解】由正弦定理可知，， 即， 得，因为， 所以，，则， 但是反过来，是直角三角形，不一定， 所以“”是“是直角三角形”充分不必要条件. 故选：B 8. 已知向量，，则与的夹角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的几何意义，将的终点看作以原点为圆心，为半径的圆上的点，通过过的终点作圆的切线计算临界值，即可得到取值范围. 【详解】设原点为，，则， 设，由可知点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 则所求与的夹角即为与（轴正方向）的夹角，其中. 过点作圆的切线，切点为，则. 在中，，故，得， 当为切点时，与轴的夹角最小，为， 当位于轴时，与轴正方向相反，此时夹角最大为， 故的取值范围是. 9. 设函数图象的两条相邻对称轴为，，若，，则正整数的取值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由辅助角公式和最小正周期得到方程，求出，并根据得到的范围，验证后可得时，，满足要求，得到答案 【详解】， 因为为正整数，所以的最小正周期为， ，为图象的两条相邻对称轴，所以， 因为，所以，解得，故， 由题意得， 因为，所以， 所以，， 解得， 当时，，无解，舍去； 当时，，无解，舍去； 当时，，故，满足要求； 综上，，正整数的取值有个 10. 设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出的图象，将恰有5个不同零点转化为与有5个交点即可. 【详解】由题知， 零点的个数可转化为与交点的个数， 当时， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 如图所示： 所以时有最大值： 所以时，由图可知必有两个交点； 当时，因为，， 所以， 令，则 则有且，如图所示： 因为时，已有两个交点， 所以只需保证与有三个交点即可， 所以只需，解得. 故选：D 【点睛】思路点睛：函数零点问题往往可以转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合方便分析求解. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得，解得. 函数的定义域是. 12. 的展开式中的常数项是__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】由的展开式通项为，， 令，解得， 所以的展开式中的常数项为． 13. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的一个取值为______________． 【答案】（答案不唯一，满足均可） 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数的性质，联立三角方程求解的通式即可得到符合条件的取值. 【详解】由题意得：，解得， 而， 所以， 所以. 14. 已知函数，若．则的最小值是______；若的最小值是，则______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】对第一个空，求解分段函数的最小值，需分别分析每一段的单调性与最值： 时利用指数函数的单调性求最小值，时通过二次函数的顶点公式求最小值，再比较两段最小值得到整体最小值；对第二个空已知最小值求参数时，先根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论，确定两段函数的最小值，再令整体最小值等于列方程求解，最后验证解是否符合对应分类的前提条件. 【详解】当时，， 当时，单调递增，因此单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数， 对称轴为（在区间内），最小值为， 比较两段最小值和，得的最小值为； 当时，单调递增，最小值为， 当时，是开口向上的二次函数，对称轴为， 分情况讨论： 若，则对称轴，时单调递减， ，，，所以时无最小值； 令，方程无解，该情况不成立； 若，则对称轴，时二次函数的最小值为 此时段的最小值为， 由题意最小值为，结合，应有， 解方程，得（舍去）或， 当时，，的最小值为，，的最小值为， 所以的最小值为，符合题意， 综上， 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①任意，函数的最大值与最小值的差为2； ②存在，使得对任意，； ③当时，存在非零实数，； ④当时，存在，，使得对任意，都有. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】通过特殊值验证、函数表达式化简、解方程的方法逐一判断即可. 【详解】对于①：取，此时，最大值为1，最小值为0，二者之差为1，故①错误； 对于②：取，此时，， 故，， 此时对，，故②正确； 对于③：因为，， 取，此时，故③正确； 对于④：当时，，取，，对任意， 都有，故④正确. 三、解答题 16. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形. 所以，因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，则根据线面平行的判定定理证明； （2）因为两两垂直，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知平面，所以， 又因为， 所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 所以， 则. 根据题意平面的一个法向量是，设平面的法向量为， 则即， 令，则.于是， 设二面角的平面角为， 则，由图可知为锐角，所以. 17. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围； （3）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，； （2）； （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简三角函数，然后利用三角函数的性质求解即可； （2）先求出三角函数零点的通式，然后结合在区间上有且仅有2个零点，求出的取值范围即可； （3）利用三角函数图象的变换规则得到，再利用三角函数的性质求得最大值与最小值即可. 【小问1详解】 所以最小正周期为， 由三角函数性质，单调递增区间满足 解得单调递增区间为，； 【小问2详解】 因为 令，则，解得， 列举附近的零点分别为，，，， 因为在区间上有且仅有2个零点，所以两个零点分别为，，所以. 【小问3详解】 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 则. ,则， 根据三角函数的性质，当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值. 所以在上的最大值为，最小值为 18. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，从以下条件中选择一个，使存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为9． 【答案】（1） （2）条件①不满足题意，舍去；条件②：；条件③：. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合和差角和诱导公式化简，即可得： （2）选条件①：由余弦定理建立方程，由判别式判断方程无解，即三角形不存在，舍去； 选条件②：由同角三角函数求得，由诱导公式与和差角公式求得，再由正弦定理求得，通过比较得到为唯一，然后由三角形面积公式求得三角形面积； 选条件③，由余弦定理解得，即可求得三角形面积 【小问1详解】 因为， 所以，即， 在中， 所以，因为，所以， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 选条件①：由余弦定理可得， 即，因为， 这样的三角形不存在，舍去. 选条件②：，所以， 所以， 由正弦定理可得，即，解得， 因为，所以，存在且唯一确定， 所以. 选条件③：则，所以，由余弦定理可得， 即，因为，所以，则， 所以为正三角形，此时. 19. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论 【答案】（1） （2）分布列为 0 1 2 3 （3） 【解析】 【小问1详解】 设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件 由表格可得：从抽出的12名学生中，男生和女生各随机选取一人，即样本空间； 其中男生成绩高于女生成绩的有 ，事件A包含17个样本点， 因此． 【小问2详解】 由数据可知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人， 该学生成绩优秀的概率为． 因此从该校高一学生中随机抽取3人， 这3人中成绩优秀人数可取，且， 所以 ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 数学期望或者，所以 . 【小问3详解】 男生的平均成绩为，则； 女生的平均成绩为，则； 由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本， 所以， 则；所以 20. 已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列三问.注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. （3）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）情况1：先根据条件②求出函数的周期和，然后根据条件①求出，进而求得函数解析式； 情况2：选择①③，先根据条件①求出，再根据条件③判断函数是否唯一； 情况3：先根据条件②求出函数的周期和，然后根据条件③求出. （2）先求出函数的单调递减区间，进而求解即可； （3）先根据已知条件求出，然后根据面积相等列出等式，进而求得结果. 【小问1详解】 情况1：选择条件①②，由条件②得，即. 由条件①得，即. 又，故，因此. 情况2：选择条件①③，由条件①得，即. 又，故，因此. 由条件③，得，所以， 又，此时函数存在且不唯一，所以此情况不符合； 情况3：选择条件②③，由条件②得，即. 由条件③，得，所以， 化简得，又，则， 因此. 【小问2详解】 令，解得， 则为的一个单调递减区间， 而在区间上单调递减，故的最大值为. 【小问3详解】 由，得， 因为，所以， 则，解得， 因为为的角平分线，所以， 由得：. 化简得，解得. 21. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求证：在上存在唯一的极小值点； （3）设函数，若存在、，使得，求的所有可能取值． 【答案】（1） （2）由，得， 令，求导得， 又，所以， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 当时，，即，所以在上单调递减， 当时，，即，所以在上单调递增， 所以是在上的唯一极小值点； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导得，令，求导，可得在上单调递增，且存在，使得，即，进而可得结论； （3）利用（2）求得在上的值域为，利用导数求得在的值域为，由题意可得，构造函数，利用导数求得不等式的解即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 由，得，所以， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由（2）可知是在上的唯一极小值点， 所以，又，所以， 所以在上的值域为， 由，得，又， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以的最大值为， 所以在的值域为， 由存在，，使得， 可得， 令，求导得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以不等式有唯一解，所以. 所以的所有可能取值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $