3.3.1 抛物线及其标准方程常见的七种题型（基础卷）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

抛物线及其标准方程常见的七种题型（基础卷） 目　录 题型一　抛物线的定义与轨迹方程 题型二　焦半径与距离最值 题型三　标准方程与焦点准线 题型四　焦点弦与中点弦 题型五　实际应用与抛物线性质辨析 题型六　抛物线方程与弦长解答题 题型七　圆锥曲线综合与定点定值 题型一　抛物线的定义与轨迹方程 【解题技巧】抛物线定义是解题的钥匙：平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹（l不过F）。看到到焦点距离立即转化为到准线距离，许多最值与轨迹问题靠这一转化化斜为直。求轨迹方程时先判断谁是定点、谁是定直线：距离差等于定点到定直线距离时为抛物线，大于时为双曲线一支，等于零时为射线。设方程先定开口方向，用待定系数法设y²=2px或x²=2py，动圆与定圆、定直线相切类问题转化为圆心距关系后再判断曲线类型。 1．一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 2．已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 3．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 题型二　焦半径与距离最值 【解题技巧】焦半径的核心转化：抛物线y²=2px上点P到焦点的距离等于P的横坐标加p/2。求|PA|+|PF|型最值，把|PF|换成P到准线的距离，化为垂线段最短；与圆结合时，用圆心到焦点的距离减半径，再加焦半径转化，逐段拆解。中点弦问题用点差法：设两端点坐标代入方程相减，得到斜率与中点坐标的关系，配合判别式检验直线是否存在。涉及三角形周长最小值时，同样用定义把两段折线拉直处理。 1．已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 2．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．若拋物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是（    ） A． B． C．0 D．2 6．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为_______． 7．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为________． 四、解答题 题型三　标准方程与焦点准线 【解题技巧】四种标准方程y²=2px、y²=-2px、x²=2py、x²=-2py的焦点分别在x轴正方向、x轴负方向、y轴正方向、y轴负方向上距原点p/2处，准线方程与焦点关于顶点对称。p的几何意义是焦点到准线的距离，p/2才是焦点到顶点的距离。已知准线或焦点反求参数时，先由位置定开口方向，再由距离列方程。含参数m的方程x²=my中p=|m|/2，一次项变量决定对称轴，系数符号决定开口，讨论正负避免漏解。 1．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则___________. 4．已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上的一动点，则（    ） A．焦点的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 5．顶点在原点，经过点，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线上的点到其焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 题型四　焦点弦与中点弦 【解题技巧】过焦点的弦性质丰富：通径最短为2p；焦点弦长|AB|=x1+x2+p；两端的焦半径之和等于弦长；以AB为直径的圆与准线相切；x1x2=p²/4为定值，y1y2=-p²。中点弦问题优先点差法：把A、B坐标代入方程相减得斜率与中点横坐标的关系，由中点坐标直接求斜率，再用判别式确认直线存在。 1．已知抛物线的焦点为，若上一点到轴的距离为3，到的准线的距离为4，则直线的倾斜角为（    ） A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150° 2．已知某抛物线的焦点为，抛物线上一点在的正上方，过点的直线与抛物线交于另一点，满足，则钝角（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接交抛物线C于点Q，则（    ） A． B． C．3 D．2 4．已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（    ） A．线段长度的最小值为4 B．当直线斜率为-1时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 题型五　实际应用与抛物线性质辨析 【解题技巧】抛物线应用题（拱桥、隧道、吊桥、天线）建模四步：建系、设标准方程、代入已知点求p、回代求解。拱桥问题以拱顶为原点、对称轴竖直，设x²=-2py；天线与探照灯问题以顶点为原点、对称轴水平，反射性质是平行于轴的入射线经反射后过焦点。多选题围绕定义、标准方程、焦半径、焦点弦性质逐项判断：先算准p与开口方向，再用定义转化距离，每一项都要有计算或推理依据，切勿凭图形直觉猜答案。 1．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 2．一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 题型六　抛物线方程与弦长解答题 【解题技巧】解答题求抛物线方程用定义法或待定系数法：由焦点、准线直接写方程，由焦半径建立关于p的方程，注意点P在何种开口的曲线上。直线与抛物线联立消元后得二次方程，设而不求：韦达定理给出x1+x2与x1x2，弦长等于根号下(1+k²)乘以判别式开方除以二次项系数的绝对值。中点问题用点差法并验证判别式大于零。直线过焦点时套用焦点弦性质简化运算。最后结果回代检验是否满足题设的范围与交点个数条件。 1．设抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 2．已知抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过两点作准线的垂线，垂足分别为、两点，以线段为直径的圆过点，求圆的方程． 3．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线于M，N两点，点A到C的准线的距离为3. （1）求抛物线C的方程； （2）若的面积为，求直线l的方程. 4．已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 5．已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为． (1)求抛物线的方程； (2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求． 题型七　圆锥曲线综合与定点定值 【解题技巧】抛物线与椭圆、双曲线组合的综合题，先抓公共元素：焦点重合、顶点重合或公共点，由此建立参数关系求出各曲线方程。第二问通常设直线与曲线联立，用韦达定理表示目标量（弦长、面积、定点、定值），化为关于参数的函数求最值或验证恒成立。定点问题的套路是把含参数的式子整理成恒等式，令系数为零解出定点坐标。联立后的判别式、截距范围与点在曲线上的限制是最易失分处，计算量大时步步回检。 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、，线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 2．已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为. (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)过点的直线l与椭圆交于不同的两点，点关于x轴的对称点为，证明：当直线绕点旋转时，直线经过定点. 《3.3.1抛物线及其标准方程常见的七种题型》参考答案 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 题型一　抛物线的定义与轨迹方程 1．D 【详解】设动圆M的半径为r，依题意：， 点M到定直线的距离为， 所以动点M到定点的距离等于到定直线的距离， 即M的轨迹为以F为焦点，为准线的抛物线， 所以此动圆的圆心M的轨迹方程是. 故选：D． 2．C 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 3．A 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 4．(1) (2)． 【详解】（1）依题意得该动圆的圆心到点的距离到直线的距离相等． 又点不在直线上， 所以根据抛物线的定义可知该动圆圆心的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线，所以曲线C的方程为． （2）设，，则， 两式相减得，即． 因为线段AB的中点坐标为，所以， 则，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即， 经检验，直线与曲线相交，满足题意， 所以直线l的方程为. 题型二　焦半径与距离最值 1．D 【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 如图所示，设点关于的对称点为，则， 可得，当且仅当点为直线与的交点时，取得最小值， 则， 即的最小值为. 故选：D. 2．D 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 3．C 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 4．C 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线定义得， 圆的圆心，半径，则， 因此， 当且仅当分别是线段与抛物线和圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 5．A 【详解】化为标准形式为，故焦点坐标为，准线方程为， 由焦半径可得，解得. 故选：A 6． 【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为， 又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 7． 【详解】过点作垂直于抛物线准线，垂足为点，如下图所示： 抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 所以. 当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为. 故答案为：. 题型三　标准方程与焦点准线 1．A 【详解】因为抛物线的标准方程为，所以准线方程为， 故选：A. 2．D 【详解】由题意，抛物线标准方程形如，焦点坐标为， 所以，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 3． 【解析】根据抛物线性质可得结果. 【详解】由化为标准方程，准线方程，故由题意， 得. 故答案为： 4．ACD 【详解】由抛物线方程得焦准距，，准线方程为，故A正确，B错误； 对于C，点在抛物线，时，代入抛物线方程得， 故，C选项正确； 对于D，根据焦半径公式，，由于， 故，当且仅当在原点时取得等号，故D选项正确. 故选：ACD 5．D 【解析】设出抛物线方程为或，代入点的坐标求出参数值可得． 【详解】设抛物线方程为，则，，方程为， 或设方程为，则，，方程为． 所以抛物线方程为或． 故选：D． 6．C 【详解】对于椭圆，， 则，则椭圆的右焦点为， 即抛物线的焦点为，故， 所以抛物线上的点到其焦点的距离为. 故选：C. 题型四　焦点弦与中点弦 1．B 【详解】过上一点作准线的垂线，垂足为，与轴的交点为，连接， 由题意可得，，的方程为， 所以，解得，所以的方程为，则，且， 当时，的斜率，此时的倾斜角为60°； 当时，的斜率，此时的倾斜角为120°； 所以直线的倾斜角为60°或120°， 故选：B 2．D 【详解】由题知，抛物线的焦点为，准线方程为， 因为点在的正上方，所以点的坐标为， 因为为钝角，则点在轴下方， 所以，解得， 即点坐标为（舍去）或． 因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 故钝角． 故选：D. 3．D 【详解】如图：相关交点如图所示， 由抛物线，得 ， 则， 与抛物线联立得， 即， 解得 ， 又 则为等边三角形 ， ， 由抛物线的对称性可得， 故选：D. 4．BCD 【详解】A选项，，，准线方程为， 若直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，舍去， 设过点的直线方程为， 联立与得，， 易知，则， 则， 过点分别作垂直于直线于点， 由抛物线定义可知，， 故当时，即直线与轴垂直时，最短，最短长度为2，A错误； B选项，此时直线为， 法一．与联立得， ，故中点为， 法二．设AB中点坐标为，，两式相减有， 故，故，故中点为；B正确； C选项，设中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义知， ， 故以线段为直径的圆与直线相切，C正确； D选项，设直线为，与联立得， 易知，则， ， 故，D正确. 故选：BCD 题型五　实际应用与抛物线性质辨析 1．C 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 2．(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； (2) 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；    （2）设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 题型六　抛物线方程与弦长解答题 1．(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 故抛物线的方程为． （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即． 2．(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离， 所以抛物线的标准方程是. （2）由（1）得抛物线的标准方程是，焦点，准线方程， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 由消去并化简得，， 设， 则， ，所以，即， ， 所以圆的方程为， 即，将代入得，解得， 所以圆的方程为. 3．（1）；（2）. 【详解】解：（1）由抛物线，得其准线方程为， 因为点到准线的距离为3.所以，解得， 所以抛物线方程为. （2）由（1）得， 设直线l的方程为， 联立消去y得， 设， 由韦达定理知， 所以， 因为，所以F到直线l的距离， 所以的面积， 所以，解得， 所以直线l的方程为. 4．(1) (2) 【详解】（1）解：双曲线的一条渐近线为， 又抛物线的焦点的坐标为，         由题可得：，解得，故抛物线方程为：. （2）解：设过点与抛物线相切的直线方程为， 联立抛物线方程可得， 则，又，则， 所以，，                 设点的坐标为，则，即，代入， 可得，又，故； 则点的轨迹方程为：. 5．(1) (2) 【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为关于抛物线的准线的对称点为， 所以有； （2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得 ，设， 因此有， 则有 题型七　圆锥曲线综合与定点定值 1．(1) (2)设直线的方程为，其中，设点、， 联立， ，所以，， ，故点， 同理可得点， 所以，， 所以，直线的方程为，即， 因此，直线过定点. 【详解】（1）抛物线焦点为，故，易知点， 设点，其中，，且， ，整理可得， 即，，解得，所以，， 所以，，则，， 因此，椭圆的方程为. （2）略 2．(1)， (2) 证明：由题知，直线l的斜率存在， 设直线l：，，，则， 联立，消去y得， ∴，， 直线EN的方程为，即为， 即， ∴， ∴当直线l绕点A旋转时，直线EN经过定点 【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得，∴， ∵椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，∴，得， ∴， 将代入抛物线的方程，可得，∴， ∵过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为， ∴，即，解得，∴，， 由，可得， ∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：. （2）略 第 页 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $