专题1.1 空间向量及其运算专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.1 空间向量及其运算 考点预览 考点一 空间向量的概念与表示 考点二 空间向量的线性运算 考点三 共线向量定理的应用 考点四 共面向量定理的应用 考点五 空间向量的数量积及其应用 一、知识填空 1．空间向量 （1）在空间中，既有 又有 的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做向量的 （或模），记作 ；向量 的起点是 、终点是 时，也可记作 。 （2）长度为 的向量叫做零向量，记作 ；模为 的向量叫做单位向量；与向量 长度相等而方向相反的向量叫做 的 向量，记作 。 （3）方向 且模 的两个向量叫做相等向量；方向相同或相反的非零向量叫做 向量（也叫共线向量）；规定 与任意向量 。 2．空间向量的线性运算 （1）加法： 仍是一个向量，可以用 法则或 法则作出；向量加法的交换律为 ，结合律为 。 （2）减法：，把两个向量的 连接，方向指向 向量的终点，即 。 （3）数乘：实数 与向量 的积 仍是一个向量，其模为 ；当 时与 方向 ，当 时与 方向 ，当 时 。 3．共线向量定理 对空间任意两个向量 （）， 与 共线的充要条件是存在 的实数 ，使 ； 三点共线的充要条件是 。 4．共面向量定理 （1）如果两个向量 不共线，那么向量 与 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 。 （2） 四点共面的充要条件（ 为空间任意一点）：，且 。 5．空间向量的数量积 （1），它的结果是 而不是向量；规定 ，且 。 （2）性质： （ 为非零向量）； ； 。 （3）运算律： （交换律）； ； （分配律）。 （4）常用结论： ； 。 二、考点专练 考点一 空间向量的概念与表示 方法与技巧： 1. 识别信号：题目出现“空间向量”“零向量”“单位向量”“相等向量”“共线向量”等概念辨析，或判断几种说法是否正确。 1. 操作流程：抓住大小与方向两个要素——两者都相同才是相等向量；方向相同或相反的非零向量共线；向量可以自由平移，与起点位置无关。 1. 技巧·口诀：“模等向同才相等，零向量方向任意、与谁都共线”。 1. 易错点：单位向量的模都相等但方向未必相同；模相等的两个向量不一定相等；向量之间不能比较大小。 【例题精讲】 1．下列说法中正确的是（　　） A．两个有共同起点的单位向量是相等向量 B．零向量与任意向量都共线 C．若 ，则 D．空间中任意两个向量都可以比较大小 2．如图，在平行六面体 中，写出所有与向量 相等的棱向量。 【变式训练】 1．下列各量中是空间向量的为（　　） A．海拔 B．温度 C．重力 D．质量 2．下列说法中正确的是（　　） A．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 B．所有的单位向量都相等 C．互为相反向量的两个向量模相等 D． 是 的充要条件 3．在正方体 中，与向量 共线且方向相反的向量是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．下列说法中正确的是（　　） A．零向量的模等于 0，方向是任意的 B．零向量没有方向 C．零向量与任何向量都不共线 D．零向量的方向与任意向量的方向都相反 2．空间中，两个向量相等的充要条件是（　　） A．两个向量的模相等 B．两个向量的方向相同 C．两个向量的模相等且方向相同 D．两个向量的起点相同 3．下列命题中为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．空间中的向量可以比较大小 D．若 与 共线，则 4．下列说法中错误的是（　　） A．空间向量可以在空间中自由平移 B． 与 是相等向量 C．所有单位向量的方向都相同 D．相反向量的模相等 5．在平行六面体 中，与向量 相等的棱向量共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．下列条件中，能说明 的是（　　） A． B． 与 共线 C． 与 的方向相同 D． 与 的方向相同且 7．若非零向量 是单位向量，则下列向量中一定是单位向量的是（　　） A． B． C． D． 8．在空间中，下列说法正确的是（　　） A．两条平行直线的方向向量一定共线 B．两个共线的向量所在的直线一定重合 C．零向量是单位向量 D．模为 1 的向量只有两个 考点二 空间向量的线性运算 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出平行六面体、四面体、正方体等图形，或直接给出向量的加减、数乘式子要求化简、求值。 1. 操作流程：加法用三角形法则（首尾相接，）；减法统一写成“加上相反向量”，即 ；数乘只改变模与方向，不改变共线关系。 1. 技巧·口诀：“首尾相连用加法，起点相同指向终点是减法；中间字母相同的可以消去”。 1. 易错点：只有相邻两个向量末尾字母与开头字母相同时才能合并；化简 时应先把减法化为加法再消去。 【例题精讲】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 2．在平行六面体 中，化简 。 【变式训练】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 2．在四面体 中， 等于（　　） A． B． C． D． 3．设 是 的边 的中点，则 等于（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 2． 等于（　　） A． B． C． D． 3．在平行六面体 中， 等于（　　） A． B． C． D． 4．若 不共线，且 ，则 用 可表示为（　　） A． B． C． D． 5．在四面体 中， 是 的中点，则 等于（　　） A． B． C． D． 6．在空间四边形 中， 分别是 的中点，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．设 是 的重心，则 等于（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 考点三 共线向量定理的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目出现“三点共线”“两向量共线”“”，或求使 共线的参数。 1. 操作流程：先用同一组不共线的基底把两个向量分别表示出来，再令二者成倍数关系 ，由系数对应相等列出方程（组）。 1. 技巧·口诀：“共线就是倍数关系，系数成比例出参数”。 1. 易错点：定理的前提是 ；由 得三点共线，必须交代两向量有公共点 。 【例题精讲】 1．已知 ，，其中 不共线。若 ，则 等于（　　） A．1 B．2 C．-2 D．-1 2．已知 三点满足 ，，其中 不共线。判断 三点是否共线，并说明理由。 【变式训练】 1．若 不共线，，，则 与 的关系是（　　） A．共线 B．相等 C．不共线 D．无法判断 2．已知 ，，，其中 不共线，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 3．已知 不共线，，。若 ，则 等于（　　） A． B． C．2 D．-2 【巩固练习】 1．已知 不共线，下列条件中能推出 三点共线的是（　　） A．， B． C． D． 2．已知 不共线，，。若 ，则 等于（　　） A．4 B．-4 C．2 D．-2 3．已知 ，，其中 不共线。若 三点共线，则 等于（　　） A． B． C． D． 4．已知 为空间任意一点，若 ，且 ，则（　　） A． 三点共线 B． 三点构成三角形 C． 与 重合 D．无法确定 5．若 满足 ，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 6．已知 ，，，其中 不共线。若 三点共线，则 等于（　　） A．-8 B．8 C．-4 D．4 7．已知 不共线，若 ，则（　　） A． B． C． D． 8．已知 不共线，，。若 与 共线，则实数 的值为（　　） A． B． C．6 D．-6 考点四 共面向量定理的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目出现“四点共面”“向量与两个向量共面”“”或“”并要求求参数。 1. 操作流程：把待判定的向量用同一组不共线基底表示；若 则 与 共面；判断四点共面常用系数和为 1： 且 。 1. 技巧·口诀：“同基底表示出系数，四点共面看系数和等于 1”。 1. 易错点：作为基底的 必须不共线；系数和为 1 的结论只适用于以同一个点为起点的三个向量；判断共面常需先把向量统一到同一基底。 【例题精讲】 1．对空间任意一点 和不共线的三点 ，若 ，则 四点共面的充要条件是（　　） A． B． C． D． 2．已知 三点不共线， 为空间任意一点，若 ，判断 四点是否共面，并说明理由。 【变式训练】 1．对空间任意一点 与不共线的三点 ，下列条件中能说明 四点共面的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 不共线，，，，则（　　） A． 四点共面 B． 四点不共面 C． 三点共线 D． 三点共线 3．已知 三点不共线， 为空间任意一点，若 ，且 四点共面，则 等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．任意实数 【巩固练习】 1．若 不共线，，，，则（　　） A． 共面 B． 不共面 C． D． 2．已知 三点不共线， 为空间任意一点，若 ，则（　　） A． 四点共面 B． 在直线 上 C． 与 不共面 D． 与 重合 3．已知 ，，，其中 不共线，则（　　） A． 四点不共面 B． 四点共面 C． 三点共线 D． 三点共线 4．已知 ，，，其中 不共面，则（　　） A． 四点共面 B． 四点不共面 C． 三点共线 D． 三点共线 5．已知 不共线， 是与 都不共面的向量，则下列向量中一定与 共面的是（　　） A． B． C． D． 6．已知 四点不共面，若 ，则（　　） A． 四点共面 B． 四点共面 C． 四点共面 D．以上都不对 7．若 四点共面， 为空间任意一点（ 不在该平面内），且 ，则 等于（　　） A．-1 B．0 C．1 D．无法确定 8．已知空间四点 满足 ，则 四点（　　） A．一定共面 B．一定不共面 C．一定共线 D．无法判断 考点五 空间向量的数量积及其应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目出现“数量积”“夹角”“模”“垂直”，或给出两个向量的长度与夹角要求进行运算。 1. 操作流程：先明确 与 ，代入 ；求模先算平方 ，最后开方。 1. 技巧·口诀：“求模先平方，求角先算数量积；证垂直只需数量积为零”。 1. 易错点：数量积的结果是实数，不是向量； 不能推出 或 ；夹角的取值范围是 。 【例题精讲】 1．已知 ，，，则 等于（　　） A．3 B． C．6 D． 2．已知 ，，，求 。 【变式训练】 1．已知 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，，则 等于（　　） A． B．13 C． D． 【巩固练习】 1．若非零向量 满足 ，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．相等 D．不能确定 2．已知 ，，，则 等于（　　） A．3 B． C．-3 D． 3．已知 ，，，则 等于（　　） A．3 B． C． D． 4．已知 ，，则 等于（　　） A．5 B． C．13 D． 5．已知 ，，，则 等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知 ，，，若 与 垂直，则 等于（　　） A． B． C．3 D．-3 7．已知 ，，则 等于（　　） A．4 B． C． D．2 8．已知 ，，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 三、达标检测 1．下列命题中正确的是（　　） A．零向量没有方向 B．单位向量的模都是 1 C．共线的两个向量一定相等 D．空间向量不能平移 2． 等于（　　） A． B． C． D． 3．在平行六面体 中， 等于（　　） A． B． C． D． 4．已知 不共线，，，则 与 （　　） A．共线 B．相等 C．不共线 D．无法判断 5．已知 不共线，若 与 共线，则 等于（　　） A．-6 B．6 C． D． 6．对空间任意一点 与不共线的三点 ，若 ，且 四点共面，则 等于（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，，则 等于（　　） A． B． C．4 D． 8．已知 ，，，则 等于（　　） A．-9 B．9 C．3 D．-3 9．若 ，，，则 等于（　　） A．3 B． C．5 D． 10．已知 均为非零向量，则“”是“ 与 同向”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．在四面体 中， 分别是 的中点，，且 。（1）用向量 表示 ；（2）求 。 12．已知空间中三点 满足 ，，其中 不共线。（1）判断 三点是否共线，并说明理由；（2）若 ，判断 能否用 表示，若能，求出表达式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 空间向量及其运算 考点预览 考点一 空间向量的概念与表示 考点二 空间向量的线性运算 考点三 共线向量定理的应用 考点四 共面向量定理的应用 考点五 空间向量的数量积及其应用 一、知识填空 1．空间向量 （1）在空间中，既有 又有 的量叫做空间向量；空间向量的大小叫做向量的 （或模），记作 ；向量 的起点是 、终点是 时，也可记作 。 （2）长度为 的向量叫做零向量，记作 ；模为 的向量叫做单位向量；与向量 长度相等而方向相反的向量叫做 的 向量，记作 。 （3）方向 且模 的两个向量叫做相等向量；方向相同或相反的非零向量叫做 向量（也叫共线向量）；规定 与任意向量 。 2．空间向量的线性运算 （1）加法： 仍是一个向量，可以用 法则或 法则作出；向量加法的交换律为 ，结合律为 。 （2）减法：，把两个向量的 连接，方向指向 向量的终点，即 。 （3）数乘：实数 与向量 的积 仍是一个向量，其模为 ；当 时与 方向 ，当 时与 方向 ，当 时 。 3．共线向量定理 对空间任意两个向量 （）， 与 共线的充要条件是存在 的实数 ，使 ； 三点共线的充要条件是 。 4．共面向量定理 （1）如果两个向量 不共线，那么向量 与 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ，使 。 （2） 四点共面的充要条件（ 为空间任意一点）：，且 。 5．空间向量的数量积 （1），它的结果是 而不是向量；规定 ，且 。 （2）性质： （ 为非零向量）； ； 。 （3）运算律： （交换律）； ； （分配律）。 （4）常用结论： ； 。 自检自纠： 1．（1）大小；方向；长度； （2）0；1；相反 （3）相同；相等；平行；共线 2．（1）三角形；平行四边形；； （2）起点；被减； （3）；相同；相反； 3．唯一；； 4．（1） （2） 5．（1）实数；0； （2）；； （3）；； （4）； 二、考点专练 考点一 空间向量的概念与表示 方法与技巧： 1. 识别信号：题目出现“空间向量”“零向量”“单位向量”“相等向量”“共线向量”等概念辨析，或判断几种说法是否正确。 1. 操作流程：抓住大小与方向两个要素——两者都相同才是相等向量；方向相同或相反的非零向量共线；向量可以自由平移，与起点位置无关。 1. 技巧·口诀：“模等向同才相等，零向量方向任意、与谁都共线”。 1. 易错点：单位向量的模都相等但方向未必相同；模相等的两个向量不一定相等；向量之间不能比较大小。 【例题精讲】 1．下列说法中正确的是（　　） A．两个有共同起点的单位向量是相等向量 B．零向量与任意向量都共线 C．若 ，则 D．空间中任意两个向量都可以比较大小 【答案】B 【详解】两个单位向量的模都是 1，但方向可以不同，故 A 错；规定零向量与任意向量共线，故 B 正确； 只说明两个向量的模相等，方向未必相同，故 C 错；向量不能比较大小，只有向量的模可以比较大小，故 D 错。故选 B。 2．如图，在平行六面体 中，写出所有与向量 相等的棱向量。 【答案】、、 【详解】相等向量要求方向相同且模相等。棱 、、 都与棱 平行且方向相同、长度相等，故 。注意 、、 与 方向相反，只共线不相等。 【变式训练】 1．下列各量中是空间向量的为（　　） A．海拔 B．温度 C．重力 D．质量 【答案】C 【详解】向量既有大小又有方向。海拔、温度、质量都只有大小没有方向，是数量；重力既有大小又有方向，是向量。故选 C。 2．下列说法中正确的是（　　） A．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 B．所有的单位向量都相等 C．互为相反向量的两个向量模相等 D． 是 的充要条件 【答案】C 【详解】当 时， 与 可以共线也可以不共线，故 A 错；单位向量方向可以不同，故 B 错；相反向量长度相等、方向相反，模一定相等，故 C 正确；模相等是必要不充分条件，故 D 错。故选 C。 3．在正方体 中，与向量 共线且方向相反的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与 共线且方向相反，说明它与 是相反向量。、、 都与 方向相同，只有 与 方向相反且模相等。故选 B。 【巩固练习】 1．下列说法中正确的是（　　） A．零向量的模等于 0，方向是任意的 B．零向量没有方向 C．零向量与任何向量都不共线 D．零向量的方向与任意向量的方向都相反 【答案】A 【详解】零向量的模为 0，方向是任意的（规定它与任意向量共线），故 A 正确，B、C 错；零向量的方向不是“相反”，故 D 错。故选 A。 2．空间中，两个向量相等的充要条件是（　　） A．两个向量的模相等 B．两个向量的方向相同 C．两个向量的模相等且方向相同 D．两个向量的起点相同 【答案】C 【详解】向量由大小和方向两个要素唯一确定，模相等且方向相同才是相等向量，与起点无关。故选 C。 3．下列命题中为真命题的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．空间中的向量可以比较大小 D．若 与 共线，则 【答案】B 【详解】模相等的向量方向未必相同，A 假；相等的向量模一定相等，B 真；向量不能比较大小，C 假；共线的两个向量方向可能相反，D 假。故选 B。 4．下列说法中错误的是（　　） A．空间向量可以在空间中自由平移 B． 与 是相等向量 C．所有单位向量的方向都相同 D．相反向量的模相等 【答案】C 【详解】向量平移后仍表示同一个向量，A 正确；零向量的模都是 0，方向任意，两个零向量是相等向量，B 正确；单位向量模都为 1，但方向可以各不相同，C 错误；相反向量长度相等，D 正确。故选 C。 5．在平行六面体 中，与向量 相等的棱向量共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【详解】与 方向相同且长度相等的棱向量有 、、，共 3 个。故选 C。 6．下列条件中，能说明 的是（　　） A． B． 与 共线 C． 与 的方向相同 D． 与 的方向相同且 【答案】D 【详解】只有模相等或只有方向相同都不能保证相等；共线的两个向量方向可能相反。方向相同且模相等才是相等向量。故选 D。 7．若非零向量 是单位向量，则下列向量中一定是单位向量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 是单位向量；，模为 2；；。故选 A。 8．在空间中，下列说法正确的是（　　） A．两条平行直线的方向向量一定共线 B．两个共线的向量所在的直线一定重合 C．零向量是单位向量 D．模为 1 的向量只有两个 【答案】A 【详解】两条直线平行，它们的方向向量方向相同或相反，一定共线，A 正确；共线向量所在直线可能平行，B 错误；零向量的模为 0，不是单位向量，C 错误；模为 1 的向量方向有无数种，D 错误。故选 A。 考点二 空间向量的线性运算 方法与技巧： 1. 识别信号：题目给出平行六面体、四面体、正方体等图形，或直接给出向量的加减、数乘式子要求化简、求值。 1. 操作流程：加法用三角形法则（首尾相接，）；减法统一写成“加上相反向量”，即 ；数乘只改变模与方向，不改变共线关系。 1. 技巧·口诀：“首尾相连用加法，起点相同指向终点是减法；中间字母相同的可以消去”。 1. 易错点：只有相邻两个向量末尾字母与开头字母相同时才能合并；化简 时应先把减法化为加法再消去。 【例题精讲】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由三角形法则 ，所以原式 （起点相同，指向被减向量的终点 ）。故选 B。 2．在平行六面体 中，化简 。 【答案】 【详解】因为 是平行四边形，所以 ；又 是平行四边形，，故 。即 。 【变式训练】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以原式 。故选 A。 2．在四面体 中， 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角形法则，，，故原式 。故选 A。 3．设 是 的边 的中点，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取 的中点 ，则 ，于是 。故选 B。 【巩固练习】 1． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依次首尾相接：，。故选 A。 2． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以原式 。故选 A。 3．在平行六面体 中， 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故原式 （体对角线向量）。故选 A。 4．若 不共线，且 ，则 用 可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。故选 A。 5．在四面体 中， 是 的中点，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 是 的中点，故 ，于是 。故选 B。 6．在空间四边形 中， 分别是 的中点，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又 ，两式相加得 ，故 。故选 A。 7．设 是 的重心，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 为 中点，则 ，而重心 在 上且 ，故 。故选 A。 8．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，。当 与 方向相反时模最大，为 ；方向相同时模最小，为 。故取值范围是 。故选 C。 考点三 共线向量定理的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目出现“三点共线”“两向量共线”“”，或求使 共线的参数。 1. 操作流程：先用同一组不共线的基底把两个向量分别表示出来，再令二者成倍数关系 ，由系数对应相等列出方程（组）。 1. 技巧·口诀：“共线就是倍数关系，系数成比例出参数”。 1. 易错点：定理的前提是 ；由 得三点共线，必须交代两向量有公共点 。 【例题精讲】 1．已知 ，，其中 不共线。若 ，则 等于（　　） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【答案】B 【详解】 且 ，故存在实数 使 ，即 。因为 不共线，由系数对应相等得 ，。故选 B。 2．已知 三点满足 ，，其中 不共线。判断 三点是否共线，并说明理由。 【答案】共线 【详解】因为 ，所以 ；又这两个向量都从点 出发，有公共点 ，故 三点共线（此时 是线段 的中点）。 【变式训练】 1．若 不共线，，，则 与 的关系是（　　） A．共线 B．相等 C．不共线 D．无法判断 【答案】A 【详解】，故 与 共线（模之比为 ，方向相同）。故选 A。 2．已知 ，，，其中 不共线，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】B 【详解】，故 ，有公共点 ，所以 三点共线。故选 B。 3．已知 不共线，，。若 ，则 等于（　　） A． B． C．2 D．-2 【答案】B 【详解】设 ，即 。由系数对应相等得 ，即 ，于是 。故选 B。 【巩固练习】 1．已知 不共线，下列条件中能推出 三点共线的是（　　） A．， B． C． D． 【答案】B 【详解】A 中两向量不成倍数关系（系数比 ），不共线；B 中 ，两向量共线且有公共点 ，三点共线；C 只能说明两向量模相等；D 说明两向量垂直。故选 B。 2．已知 不共线，，。若 ，则 等于（　　） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】B 【详解】设 ，则 ，由系数对应相等得 ，，。故选 B。 3．已知 ，，其中 不共线。若 三点共线，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】三点共线即 ，于是 ，得 ，即 ，，故 。故选 B。 4．已知 为空间任意一点，若 ，且 ，则（　　） A． 三点共线 B． 三点构成三角形 C． 与 重合 D．无法确定 【答案】A 【详解】由 得 ，于是 ，即 ，所以 ，有公共点 ，故 三点共线。故选 A。 5．若 满足 ，则（　　） A． 三点共线 B． 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】B 【详解】，即 ，故 三点共线（ 在 上）。故选 B。 6．已知 ，，，其中 不共线。若 三点共线，则 等于（　　） A．-8 B．8 C．-4 D．4 【答案】A 【详解】。由 共线得 ，即 ，于是 ，。故选 A。 7．已知 不共线，若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若 ，则 ，即 与 共线，与已知矛盾，故 ，进而 ，。故选 A。 8．已知 不共线，，。若 与 共线，则实数 的值为（　　） A． B． C．6 D．-6 【答案】D 【详解】设 ，则 ，得 ，，故 。故选 D。 考点四 共面向量定理的应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目出现“四点共面”“向量与两个向量共面”“”或“”并要求求参数。 1. 操作流程：把待判定的向量用同一组不共线基底表示；若 则 与 共面；判断四点共面常用系数和为 1： 且 。 1. 技巧·口诀：“同基底表示出系数，四点共面看系数和等于 1”。 1. 易错点：作为基底的 必须不共线；系数和为 1 的结论只适用于以同一个点为起点的三个向量；判断共面常需先把向量统一到同一基底。 【例题精讲】 1．对空间任意一点 和不共线的三点 ，若 ，则 四点共面的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当 时，，即 ，故 与 共面，从而 四点共面；反之四点共面时必可写成 ，即 。故选 B。 2．已知 三点不共线， 为空间任意一点，若 ，判断 四点是否共面，并说明理由。 【答案】共面 【详解】因为 ，所以 ，即 。由共面向量定理知 与 共面，故 四点共面。 【变式训练】 1．对空间任意一点 与不共线的三点 ，下列条件中能说明 四点共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】逐个检验系数和：A 中为 ，B 中为 0，C 中为 3，D 中为 1。只有系数和为 1 时 四点共面。故选 D。 2．已知 不共线，，，，则（　　） A． 四点共面 B． 四点不共面 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】A 【详解】设 ，则得方程组 ，，解得 ，，即 ，故 与 共面，四点共面。又因 与 不成倍数关系，三点不共线。故选 A。 3．已知 三点不共线， 为空间任意一点，若 ，且 四点共面，则 等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．任意实数 【答案】B 【详解】四点共面时 ，即 ，整理得 ，故 。故选 B。 【巩固练习】 1．若 不共线，，，，则（　　） A． 共面 B． 不共面 C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则 ，，解得 ，，即 ，故三向量共面。又 系数比不成比例，不共线。故选 A。 2．已知 三点不共线， 为空间任意一点，若 ，则（　　） A． 四点共面 B． 在直线 上 C． 与 不共面 D． 与 重合 【答案】A 【详解】系数和 ，由共面向量定理知 四点共面（此时 为 的重心）。故选 A。 3．已知 ，，，其中 不共线，则（　　） A． 四点不共面 B． 四点共面 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】B 【详解】设 ，得 ，，解得 ，，即 ，故四点共面；又 不成倍数关系，不共线。故选 B。 4．已知 ，，，其中 不共面，则（　　） A． 四点共面 B． 四点不共面 C． 三点共线 D． 三点共线 【答案】B 【详解】 都在由 确定的平面内，而 中含有 的项，不能用 表示，故四点不共面。故选 B。 5．已知 不共线， 是与 都不共面的向量，则下列向量中一定与 共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与 共面即能写成 的形式。 符合；A、B、D 中都含 ，不能表示成 的组合。故选 C。 6．已知 四点不共面，若 ，则（　　） A． 四点共面 B． 四点共面 C． 四点共面 D．以上都不对 【答案】C 【详解】系数和 ，故 四点共面；若 共面则需要 ，即 的系数为 0，与题设不符。故选 C。 7．若 四点共面， 为空间任意一点（ 不在该平面内），且 ，则 等于（　　） A．-1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】C 【详解】由 四点共面得 ，即 ，故 ，从而 。故选 C。 8．已知空间四点 满足 ，则 四点（　　） A．一定共面 B．一定不共面 C．一定共线 D．无法判断 【答案】A 【详解】由 知 可以用不共线的 线性表示，故 与 共面，从而 四点共面。故选 A。 考点五 空间向量的数量积及其应用 方法与技巧： 1. 识别信号：题目出现“数量积”“夹角”“模”“垂直”，或给出两个向量的长度与夹角要求进行运算。 1. 操作流程：先明确 与 ，代入 ；求模先算平方 ，最后开方。 1. 技巧·口诀：“求模先平方，求角先算数量积；证垂直只需数量积为零”。 1. 易错点：数量积的结果是实数，不是向量； 不能推出 或 ；夹角的取值范围是 。 【例题精讲】 1．已知 ，，，则 等于（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】。故选 A。 2．已知 ，，，求 。 【答案】 【详解】，所以 。 【变式训练】 1．已知 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又 ，故 。故选 B。 2．已知 ，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 。故选 C。 3．已知 ，，，则 等于（　　） A． B．13 C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 【巩固练习】 1．若非零向量 满足 ，则 与 （　　） A．平行 B．垂直 C．相等 D．不能确定 【答案】B 【详解】，而 ，，故 ，即 ，两向量垂直。故选 B。 2．已知 ，，，则 等于（　　） A．3 B． C．-3 D． 【答案】C 【详解】。故选 C。 3．已知 ，，，则 等于（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】，故 。故选 B。 4．已知 ，，则 等于（　　） A．5 B． C．13 D． 【答案】B 【详解】，，故 。故选 B。 5．已知 ，，，则 等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，原式 。故选 C。 6．已知 ，，，若 与 垂直，则 等于（　　） A． B． C．3 D．-3 【答案】B 【详解】。由垂直得 ，故 。故选 B。 7．已知 ，，则 等于（　　） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【详解】，，故 。故选 D。 8．已知 ，，且 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得 ，，故夹角为 。故选 A。 三、达标检测 1．下列命题中正确的是（　　） A．零向量没有方向 B．单位向量的模都是 1 C．共线的两个向量一定相等 D．空间向量不能平移 【答案】B 【详解】零向量的方向是任意的，A 错；单位向量的模都是 1，B 正确；共线的两个向量方向可能相反、模可能不等，C 错；向量可以自由平移，D 错。故选 B。 2． 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故原式 。故选 A。 3．在平行六面体 中， 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又 ，故原式 。故选 B。 4．已知 不共线，，，则 与 （　　） A．共线 B．相等 C．不共线 D．无法判断 【答案】C 【详解】若 与 共线，则 ，显然不成立，故两向量不共线。故选 C。 5．已知 不共线，若 与 共线，则 等于（　　） A．-6 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则 ，得 ，，。故选 A。 6．对空间任意一点 与不共线的三点 ，若 ，且 四点共面，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由四点共面得系数和为 1，即 ，解得 。故选 A。 7．已知 ，，，则 等于（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选 A。 8．已知 ，，，则 等于（　　） A．-9 B．9 C．3 D．-3 【答案】A 【详解】，原式 。故选 A。 9．若 ，，，则 等于（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】，，故 。故选 B。 10．已知 均为非零向量，则“”是“ 与 同向”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】，故 等价于 ，等价于 与 同向，是充要条件。故选 C。 11．在四面体 中， 分别是 的中点，，且 。（1）用向量 表示 ；（2）求 。 【答案】（1）　（2） 【详解】（1）因为 分别是 的中点，所以 ，，故 。（2）由已知 。于是 ，故 ，得 。 12．已知空间中三点 满足 ，，其中 不共线。（1）判断 三点是否共线，并说明理由；（2）若 ，判断 能否用 表示，若能，求出表达式。 【答案】（1）不共线　（2） 【详解】（1）若 与 共线，则存在 使 ，比较系数得 且 ，矛盾，故 与 不共线， 三点不共线。（2）设 ，即 ，由系数对应相等得 ，，解得 ，，故 。 学科网（北京）股份有限公司 $