精品解析：重庆市巴蜀中学校2027届高三上学期10月高考适应性考试数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3. 已知向量，，，满足，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 有11个周末听讲座的名额要随机分配给四个班级，每个班至少分一个，则不同的分配方法有（ ） A. 50种 B. 120种 C. 210种 D. 310种 5. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，“六芒星”是以中心为的正三角形各边的两个三分点为顶点再向外作正三角形而形成的，点为该“六芒星”边上的动点，且，则的取值范围为（） A. B. C. D. 8. 设，若关于的方程有五个不同的实数解、、、、，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且，则（ ） A. B. C. D. 的面积大于2 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正项等比数列满足，，成等差数列，则_______． 13. 已知函数在上的值域为，则的取值范围为_______． 14. 已知定义在上的函数的导数为，且满足，，则的解析式为_______；若关于的不等式在内仅有一个整数解，则实数的取值范围为_______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 （1）试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ （2）用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； （3）户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 16. 如图，几何体是底面为菱形的直四棱柱截去三棱锥后剩余的部分，，． （1）求证：平面； （2）设是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若对任意恒成立，求整数的最大值． 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）证明：； （2）若，且的面积等于4． （ⅰ）求内切圆半径的取值范围； （ⅱ）当内切圆半径最大时，若点，，分别是边，和上的动点，且为等边三角形，求边长的最小值． 19. 已知平面上的动点到直线和的距离之积为定值，且． （1）求动点的轨迹的方程； （2），（在的左边）为上的相异的两点，且为线段的中点，过，分别作，的平行线，交于点，过作直线的平行线，交于，（在的左边），再过，分别作，的平行线，交于点，…，一直如此操作下去可得到一点列，，…，． （ⅰ）证明：平分线段； （ⅱ）试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充要条件的判断方法，结合对数函数的性质即得结论. 【详解】因，当时，与均无意义，故充分性不成立； 由且，则必有，即必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 2. 曲线在点处的切线方程为，的导函数为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由切线方程可知，切点坐标为，切线斜率为1， 所以，得. 3. 已知向量，，，满足，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先计算的坐标，再利用平面向量共线的坐标关系求解． 【详解】因为，又，，所以，解得． 4. 有11个周末听讲座的名额要随机分配给四个班级，每个班至少分一个，则不同的分配方法有（ ） A. 50种 B. 120种 C. 210种 D. 310种 【答案】B 【解析】 【分析】对于分组分配问题，可以使用隔板法. 【详解】有11个周末听讲座的名额要随机分配给四个班级，每个班至少分一个，可采用隔板法， 在11个小球之间可放入3个隔板，每个隔板至少分隔一个小球，则有种分配方法. 5. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式，结合因式分解、同角三角函数关系式中的商关系、正弦的诱导公式、两角和的正切公式进行求解即可. 【详解】 . . 6. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心即为右焦点，得出的值，利用向量加法的平行四边形法则（中线向量公式）求出，再结合椭圆的定义求出，最后代入离心率公式即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径， 因为为椭圆的右焦点，所以的坐标为，即， 因为为圆的直径，所以圆心是线段的中点， 根据向量的中点公式，可得， 因为，所以，即， 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可知， 又已知，所以，解得, 所以椭圆的离心率. 7. 如图所示，“六芒星”是以中心为的正三角形各边的两个三分点为顶点再向外作正三角形而形成的，点为该“六芒星”边上的动点，且，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将目标向量拆分为定点向量与动向量之和，把数量积分离为常数项与含动点的投影项，利用动点轨迹的边界约束求投影的最值，从而得到数量积的取值范围. 【详解】正三角形边长为6，中心为其重心与外心，由正弦定理得外接圆半径， 由六芒星的构造对称性，向外所作正三角形的顶点到的距离也为，即，， 所以，，且六芒星上任意点满足， ， 由图形对称性，与夹角为，故与夹角为， 所以， 根据数量积的几何意义，等于在方向上的投影乘以， 由于，当与同向时投影最大，反向时投影最小； 结合六芒星顶点分布，最值可在顶点处取到，因此， 得，故， 所以. 8. 设，若关于的方程有五个不同的实数解、、、、，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的草图，数形结合，根据方程解的个数确定的取值范围. 【详解】作函数的草图如下： 可得当时，方程有3个不同的解；当且时，方程有2个不同的解. 设，则关于的方程有五个不同的实数解，转化成方程有两个解，且，且. 由得， 由得. 故实数的取值范围为. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查复数的基本概念与运算性质，选项A、B直接利用复数模的运算性质即可判断；选项C可利用绝对值不等式（三角不等式）放缩或通过复平面的几何意义求解；选项D通过举反例证伪. 【详解】对于选项A：设，则,， ，两者相等，所以A正确； 对于选项B：若，则，两边取模得，所以B正确； 对于选项C：根据复数模的三角不等式， 可得，即，所以C正确； 对于选项D：取，，满足 ，但，所以D错误. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且，则（ ） A. B. C. D. 的面积大于2 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦定理得，从而求出；再利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式逐项判断． 【详解】由余弦定理，，又，所以． 对于A，由正弦定理得，A正确． 对于B，由余弦定理得，所以，B错误． 对于C，由及两角和的正弦公式，得. 又由正弦定理，，于是，C正确． 对于D，由，得，所以，D错误. 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义判断A；利用复合函数求导法则求导，结合对称性判断B；确定原函数关系判断C；确定函数的周期，进而求解判断D. 【详解】对于A，由上的函数满足为奇函数，得，取，得，A正确； 对于B，由，求导得，即， 而，则，即， 因此函数的图象关于点成中心对称，B错误； 对于C，由，得，则（为常数）， 由，得，则， 取，得，解得，因此，C正确； 对于D，由选项C知，即，又， 则，，函数是周期为4的周期函数， 由，得， 函数是周期为4的周期函数，于是， 因此函数是周期为4的周期函数，， ，， 因此，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正项等比数列满足，，成等差数列，则_______． 【答案】2 【解析】 【详解】设正项等比数列的公比为，由成等差数列， 得，则，即，解得， 所以. 13. 已知函数在上的值域为，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的取值范围，得到的取值范围，再根据给定的函数的值域，可得的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】因为，，所以， 因为函数在上的值域为， 所以. 所以的取值范围为. 14. 已知定义在上的函数的导数为，且满足，，则的解析式为_______；若关于的不等式在内仅有一个整数解，则实数的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：依题意可得，可得，为常数，再根据求解即可； 空二：利用导数分析函数在上的单调性，进而结合图象求解即可. 【详解】空一：由， 得， 则，为常数，即， 所以，则，即. 空二：由， 得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，，， 画出函数在上的图象： 要使关于的不等式在内仅有一个整数解， 则，解得， 故实数的取值范围为. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 随着生活质量的提高，户外运动得到越来越多人的青睐．某市为了了解市民对户外运动的喜欢情况是否存在性别差异，随机抽取了该市名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 女性 合计 （1）试根据的独立性检验，能否认为该市市民喜欢户外运动与性别有关联？ （2）用频率估计概率，现从该市随机抽取名市民，记其中喜欢户外运动的人数为随机变量，求的数学期望和方差； （3）户外运动达人小方每周末都会在爬山和骑行中选一项进行，若他上一个周末选择爬山则这个周末仍选择爬山的概率为，若他上一个周末选择骑行则这个周末选择爬山的概率为．已知小方某月份的第三个周末选择了爬山的概率为，求他该月份第二个周末选择爬山的概率． 附：，． 临界值表： 【答案】（1）认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联 （2）数学期望，方差 （3） 【解析】 【分析】（1）提出 “喜欢户外运动与性别无关联” 的零假设，代入列联表数据计算卡方统计量，与的临界值对比，判断是否拒绝原假设并得出结论； （2）用样本频率估计市民喜欢户外运动的概率，判定随机变量X服从二项分布，代入二项分布的期望、方差公式计算结果； （3）设定对应事件并写出条件概率，利用全概率公式建立第三周爬山概率与第二周爬山概率的等量关系，解方程求得结果． 【小问1详解】 假设：该市市民喜欢户外运动与性别无关联， ， 根据小概率值＝0.01的独立性检验，没有充分的理由认为不成立， 即认为该市市民喜欢户外运动与性别无关联． 【小问2详解】 用频率估计概率，该市市民喜欢户外运动的概率， 抽取名市民中喜欢户外运动的人数X服从二项分布． 由二项分布期望公式得：； 由二项分布方差公式得：． 【小问3详解】 设＝“小方第i个周末选择爬山”（i＝2，3）， 则， ， 所以，解得， 即小方该月第二个周末选择爬山的概率为． 16. 如图，几何体是底面为菱形的直四棱柱截去三棱锥后剩余的部分，，． （1）求证：平面； （2）设是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：在直四棱柱中，CD∥且CD＝． 因为四边形ABCD为菱形，则AB∥CD且AB＝CD，∴AB∥且AB＝， 所以四边形为平行四边形，∴∥． 又⊂平面，平面，∴∥平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直四棱柱的几何性质，结合菱形的几何性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据直四棱柱的几何性质，结合菱形的几何性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由四边形ABCD为菱形，可得ED⊥EC，取的中点F， 连接EF，为直棱柱，则EF⊥平面ABCD． 设AB＝＝2， 则以E为原点，分别以EC，ED，EF为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，． 设平面的法向量为， 则令，得． 设直线与平面所成角为θ， 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）若对任意恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）极小值是，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性即可求解； （2）将已知条件整理为对任意恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为，， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 因此函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 将不等式整理为， 由于对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 令，则， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 而，， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以在处取得最小值，最小值为， 由于，所以， 要使恒成立，则，由于是整数，所以的最大值是. 18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）证明：； （2）若，且的面积等于4． （ⅰ）求内切圆半径的取值范围； （ⅱ）当内切圆半径最大时，若点，，分别是边，和上的动点，且为等边三角形，求边长的最小值． 【答案】（1）证明：∵，∴， 即．∵，∴， ∴． 由正弦定理知（R为△的外接圆半径）， ∴． （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）用二倍角公式化简已知条件，得到角正弦的等量关系，结合与正弦定理，证出边的不等式； （2）（i）先反证推出C为直角，结合面积定值，将内切圆半径转化为关于的函数，利用单调性与基本不等式求范围； （ii）先确定r最大时三角形为等腰直角三角形，引入角度参数，结合正弦定理表示边长，通过三角函数最值求等边边长的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由余弦定理结合（1）有． 又∵,∴， 当时，，又，，且， ∴，∴． 又在上单调递增， ∴， ∴，∴， 即，矛盾， 故C＝，满足，所以△ABC为直角三角形． 由△ABC的面积等于， 且，． 令，则（当且仅当时取等号）， 即，∴． ∵在上单调递增且函数值恒正， ∴在上单调递减， 所以，当时，；当t→＋∞时，r→0，故． （ii）解：由（i）知：当，即A＝B＝时，r最大． 如图，设等边△DEF边长为t，，， 在中，，，． 因为，所以， 在中，， ， 由正弦定理，得． 因为，即， 整理得： 因为，所以时，， 即边长的最小值为． 19. 已知平面上的动点到直线和的距离之积为定值，且． （1）求动点的轨迹的方程； （2），（在的左边）为上的相异的两点，且为线段的中点，过，分别作，的平行线，交于点，过作直线的平行线，交于，（在的左边），再过，分别作，的平行线，交于点，…，一直如此操作下去可得到一点列，，…，． （ⅰ）证明：平分线段； （ⅱ）试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）如图所示， 因为均在上，所以，两式相减得，即，① 又为线段的中点，所以， 所以．设直线的方程为（）， 则，所以，得， 设直线的方程为，又，即， 同理直线的方程为，设， 联立两直线方程，解得，即， 又因为即，即在直线上， 设线段的中点为，同①推导可得， 又，所以，即也在直线上， 又和都在直线上，所以和重合，即平分线段， （ⅱ）是定值，该定值为，理由如下： 设，由（i）可得，直线方程为，即（i）中， 根据（i）可得且在直线上， 所以， 根据弦长公式可得，， 故． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程即可求解； （2）（i）根据题意，得到，设直线的方程为（），联立轨迹得到，从而得到直线和，进而得到的坐标，最后验证和的中点重合即可证明；（ii）设直线方程为，根据在直线上求出，根据弦长公式求出，两式相比即可得到答案. 【小问1详解】 由题知：，即， 又因为，所以，故点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 （i）略； （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $