精品解析：河北省部分学校2026-2027学年高一上学期10月联考数学试题

河北省部分学校2026-2027学年高一上学期10月联考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】使用特称命题的否定求解. 【详解】若，，则是，. 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】判断两个函数为同一函数需同时满足定义域相同、对应关系一致两个条件，据此逐一验证各选项即可. 【详解】选项A：的定义域为，，二者对应关系不同，不是同一函数； 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数； 选项D：对，由可得定义域为，化简被开方数得； 对，由解得定义域为，二者定义域相同，对应关系也完全一致，是同一函数. 【点睛】 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解分式不等式得到其解集，再通过两个条件对应集合的包含关系判断其充分必要性. 【详解】由，得 ，解得 或， 充分性：因为或， 所以“”是“”的充分条件； 必要性：取，“”成立，但是“”不成立， 故“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据幂函数的定义可知 ，解得或； 再根据幂函数单调性性质当时，函数在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，函数在上单调递增，满足题意， 即. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知函数解析式求出定义域及奇偶性，再取一个特殊值验证即可判断. 【详解】因为，所以其定义域为，排除C； 又， 所以是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A； 当时，，排除D. 6. 下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦恩图表示集合运算的意义，结合排除法判断各选项，即可得答案. 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆A外的所有阴影， 表示圆B内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 则表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： 选项ABD不符合.C符合. 7. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为和均为单调函数， 所以欲使则需，得，则 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】首先将已知条件化简，用表示，代入待求式后即可统一变量，利用基本不等式中“1”的代换可求得最值. 【详解】由得. 又，所以，所以. 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查偶函数的判定，需结合偶函数的判定规则：首先函数定义域关于原点对称，其次对定义域内任意都满足，逐个分析选项即可. 【详解】选项A：函数的定义域为，关于原点对称， 且，满足偶函数定义，是偶函数，故A正确； 选项B：函数的定义域为，不关于原点对称， 不满足偶函数的前提条件，不是偶函数，故B错误； 选项C：函数的定义域为，关于原点对称， 且，满足偶函数定义，是偶函数，故C正确； 选项D：函数的定义域为，关于原点对称， 但，属于奇函数， 不是偶函数，故D错误. 10. 已知二次函数的图象过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次函数的图象过点，得；由结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，得的关系，再逐项分析即可. 【详解】由二次函数的图象过点，得； 由， 得不等式的解为， 所以，即 则，即. 所以， 所以. 所以A错误；B正确；C正确；D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 当时，的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，函数图象进行平移变换，对称中心也跟着进行平移；B选项，代数验证法来证明图象的对称性；C选项，判断两个单调递减区间是相互独立的，不能写成并集；D选项，判断函数在定义域内的单调性，再求值域. 【详解】由题意可得，定义域为， 将函数表达式进行变形， 对于A选项，可看成是由向左平移2个单位，再向下平移2个单位， 所以对称中心由进行平移变换为，故A选项正确. 对于B选项，直线对称， 设上的任意一点， ， 所以点也在图象上， 所以的图象关于直线对称，故B选项正确. 对于C选项，在上单调递减，在上单调递减，两个单调区间不能用并集符号连接，故C选项错误. 对于D选项，当时，在上单调递减， 所以当时，有最大值，即 当时，有最小值，即 所以的值域为，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得且，故函数定义域为 13. 设函数是定义在上的奇函数，且，则______. 【答案】1 【解析】 【详解】由题意可得，， 是定义在上的奇函数，所以， 因为， 所以， 又，所以. 14. 若函数在上单调递减，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数在上单调递减，得函数在上单调递增，由此求得的取值范围. 【详解】函数， 因为函数在上单调递减，且恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，， 即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）求，； （2）若集合，且，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用交集与并集的概念计算即可； （2）利用交集的概念建立不等式组计算即可. 【小问1详解】 由题意，或， 可知， 【小问2详解】 由知， 所以当时有，解之得. 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】（1） （2）在上单调递增. 证明：任取，且，则， 所以， 因为，所以，所以，所以， 又，所以，即， 所以在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）对的表达式变形配凑出整体的形式，直接整体代换即可； （2）利用函数单调性的定义，取值、作差、变形、判断符号，即可证明单调性. 【小问1详解】 因为，所以. 【小问2详解】 略 17. （1）设，均为实数，比较与的大小. （2）已知正数，满足. ①求的最大值； ②证明：. 【答案】17. 18. ① ②证明：要证明，即证， 左边展开得， 由①可得，即，即 所以，当且仅当，时等号成立.得证. 【解析】 【分析】（1）运用作差法，分别对式子进行配方，即可求解； （2）①根据基本不等式的应用即可；②要运用第①问的条件，平方代入求解即可证明. 【17题详解】 ， 由于，均为实数，所以，， 即，当且仅当，时等号成立. 【18题详解】 ①因为，为正数，根据基本不等式得， 即， 解得，当且仅当，时等号成立. ②略 18. 如图，某工厂设计一个零件（阴影部分），该零件由2个全等的矩形，和1个等腰直角三角形拼接而成，需从一个半圆形铁片上裁剪.已知零件的总面积为，设，. （1）求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）求能容纳该零件的半圆形铁片面积的最小值. 【答案】（1）关于的函数解析式为，定义域 （2） 【解析】 【分析】（1）由图根据总面积找出两者的关系，求出定义域即可； （2）取中点，连接，作于点，由图分析推得，求出半圆铁片面积的表达式，利用基本不等式求出其最小值. 【小问1详解】 由图可知，在等腰直角三角形中，， 由于矩形，全等， 所以， 故零件总面积为，即， 由，得， 故关于的函数解析式为，. 【小问2详解】 设半圆半径为，那么 如图所示，取中点，连接，作于点， 根据圆的对称性可知，为半圆的圆心，由于为等腰直角三角形， 所以， 又，所以，则， 所以 由（1），得，故，， ， 当且仅当 ，即 时（此时 ，在定义域内），等号成立， 所以能容纳该零件的半圆形铁片面积的最小值为. 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的，，都有，则称函数是函数在上的“函数”. （1）若，，判断是不是在上的“函数”，并说明理由. （2）若，，函数是在上的“函数”，证明：对任意的，，都有. （3）若，，，函数是在上的“函数”，求的取值范围. 【答案】（1）是在上的“函数”. 理由：已知，，任取且， 有，， 因为，则， 所以，即， 所以是在上的“函数”. （2）已知，，因为函数是在上的“函数”， 所以对任意的，，都有， 而，又，所以， 当分别取两端点时等号成立，所以， 即，结论得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）根据“函数”的定义，结合定义域内自变量差值的最大值，放缩即可完成证明； （3）通过分子有理化化简根式，将不等式转化为恒成立问题，再分析式子的下界，即可得到参数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是在上的“函数”，所以对， 有， 即， 对左侧进行分子有理化得：， 所以原不等式变为：， 因为，两边约去，得， 整理得， 因为根式要有意义，即， 所以，所以， 所以只需即可，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省部分学校2026-2027学年高一上学期10月联考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，，，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象过点，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 当时，的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为________. 13. 设函数是定义在上的奇函数，且，则______. 14. 若函数在上单调递减，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）求，； （2）若集合，且，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）求的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明. 17. （1）设，均为实数，比较与的大小. （2）已知正数，满足. ①求的最大值； ②证明：. 18. 如图，某工厂设计一个零件（阴影部分），该零件由2个全等的矩形，和1个等腰直角三角形拼接而成，需从一个半圆形铁片上裁剪.已知零件的总面积为，设，. （1）求关于的函数解析式，并写出定义域； （2）求能容纳该零件的半圆形铁片面积的最小值. 19. 已知函数与的定义域均为，若对任意的，，都有，则称函数是函数在上的“函数”. （1）若，，判断是不是在上的“函数”，并说明理由. （2）若，，函数是在上的“函数”，证明：对任意的，，都有. （3）若，，，函数是在上的“函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $