精品解析：贵州遵义市第四中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段性测试数学试卷

遵义四中2028届高二上学期第一次阶段性测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答无效 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 根据复数虚部的定义，的虚部为. 2. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对选项A：若，，则或，故A错误； 对选项B：若，，则与可能平行，也可能相交（如墙角处两两垂直的三个平面），故B错误； 对选项C：由，，根据线面垂直的性质可得； 又，由线面平行的性质可知，平面内存在直线满足，故， 结合，根据面面垂直的判定定理可得，故C正确； 对选项D：若，，，则与的位置关系可能为平行、相交或异面，不一定垂直，故D错误. 3. 若为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则. 4. 下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（ ） A. B. 平面平面BEM C. EF和CD为异面直线 D. 平面DEM 【答案】B 【解析】 【分析】将平面展开图还原为正方体，利用正方体中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断. 【详解】将平面展开图还原为正方体，如图， 对于A：与显然是异面直线，A错误； 对于B：因为，，且，且平面， 平面，所以平面平面，B正确； 对于C：显然，C错误； 对于D：因为，与夹角为，所以与夹角为， 所以平面不成立，D错误. 5. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数、指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以. 6. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式求出体积. 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为；设正四棱台的高为，斜高为. 正四棱台的侧面积为，一个侧面积. ，解得. 在正四棱台中，，即，. . . . 7. 在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性和平移法求出取得最小值时的长度，再利用几何法得到直线与底面所成的角为，然后在中即可计算的正切值． 【详解】因为分别为棱的中点，所以， 在棱上取点，使得，连结， 则四边形为平行四边形，故， 又因为关于的对称点为，连结，则， 因此， 当三点共线时，取得最小值，此时， 由于底面，连结，则直线与底面所成的角为， 而此时， 故当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为． 8. 已知函数的部分图象如图所示，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得，则有，求出的值可求. 【详解】由得， 结合函数图象不妨设，依题意有， 则有，， 由，， 结合五点法作图，有，所以， 则有. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 10. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求解判断. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当且，即时取等号， ∴的最小值为3，故A正确； ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由B项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 11. 如图，在棱长均为的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形，且面积等于 C. 若为棱上的动点，则的最小值为 D. 三棱锥与四棱锥的体积之比为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用三角形中位线定理证明线线平行，进而利用线面平行的判定定理判断； B选项，确定截面形状为等腰梯形，计算其高和面积进行判断； C选项，将侧面展开，利用余弦定理计算两点间距离即为最小值； D选项，利用棱锥体积公式，通过底面积比和高的比进行转换求解． 【详解】选项A：在中，为的中点，为的中点，所以为的中位线，则， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 选项B：因为，分别为，的中点，所以且， 又底面为正方形，所以，则， 故四点共面，截面为四边形， 因为且，所以截面为梯形， 在边长为2的正中，为中点，则，，同理， 所以截面为等腰梯形， 梯形的高， 截面面积，故B错误； 选项C：将与沿展开到同一平面，当，，三点共线时，取得最小值，即为线段的长度， 因为侧面均为边长为2的等边三角形，所以，展开后， 在中，由余弦定理得， 所以，即最小值为，故C错误； 选项D：， 因为，分别为，的中点，所以， 设到平面的距离为，因为为中点，在平面上，所以到平面的距离， 所以， 又， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知：，， 所以． 13. 已知四棱锥的底面是平行四边形，E为的中点，F在上，平面，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形相似和线面平行的判定定理求解. 【详解】 如图所示，连接和相交于点，连接， 因为，所以和相似，且相似比为：，所以，则， 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以和相似，所以 . 14. 《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用鳖臑的几何性质确定外接球球心及半径，通过等体积法求出内切球半径，最后计算两半径之比． 【详解】 由题意，平面，平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，即为直角三角形， 同理，由平面可得，即为直角三角形， 又与均为直角三角形，故该三棱锥四个面均为直角三角形， 取的中点，连接，， 在中，． 在中，， 所以，即点为鳖臑外接球的球心，外接球半径， 在中，，则， 在中，，，则． 所以外接球半径； 设鳖臑内切球的半径为， 三棱锥的体积， 三棱锥的表面积  ， 由等体积法可知， 即，解得， 所以外接球和内切球的半径之比为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，满足：． （1）求证：； （2）若，且的面积为，求角的大小及的值． 【答案】（1）等式左边. 因为，所以，左边. 由已知，所以. 由正弦定理， 设外接圆半径为，则，，， 代入上式得，即. （2）由(1)知，又，所以. 因为的面积，所以，得. 因为，所以或. 由余弦定理，得. 当时，，所以，，又，所以. 当时，，即，与，矛盾，舍去. 综上，，. 【解析】 【分析】（1）切化弦：左边通分化为，利用化简，结合已知得，再由正弦定理边角互化即得证. （2）由及得，代入面积公式求出，需分与两类讨论，结合余弦定理检验，舍去使，无解的情形. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 16. 已知函数，． （1）若为奇函数，求a的值； （2）若有两个不同的零点和，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义可得，解得，再代入检验确实是奇函数即可； （2）由可得，令，则方程有两个不等正根，据此列出不等式即可求解； 【小问1详解】 设函数定义域为， 由题意得， 即， 即， 即， 故. 【小问2详解】 由得， 令，则方程化为， 因此有两个不同的零点和等价于上述方程有两个不等正根， 故，解得， 所以的取值范围是． 17. 学生体质健康状况是评价学生综合素质的一个重要指标，结合新时期青少年体质健康状况和体育教育教学工作实际，高一年级随机抽取了40名学生进行体质测试，成绩分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求抽取的名学生的成绩的中位数； （3）若从抽取的成绩在的学生中任取2人，求这两名学生成绩都在内的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为建立方程求解； （2）根据中位数左侧和右侧的频率均为，结合各组频率确定中位数所在区间并列式计算； （3）先计算出和两组的人数，再利用古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由图可得，解得； 【小问2详解】 由，， 故中位数，有， 解得，即抽取的名学生的成绩的中位数为； 【小问3详解】 ，，故成绩在的学生共人， 其中成绩在的有人，成绩在的有人， 设成绩在的人分别为，成绩在的人分别为， 则从这人中任取人，有、、、、、 、、、、、、、、 、共种不同可能， 这两名学生成绩都在内的可能为，共种， 故这两名学生成绩都在内的概率为. 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、． 为的中点，且． 平面，平面， ，． 又，． 四边形为平行四边形，则． 平面，平面， 平面． AI    （2）证明：为等边三角形，为的中点，． 平面，平面，． ，所以，， 又，平面， 平面． 平面，平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 在平面内，过作于，连接． 平面平面，平面平面，平面， 平面． 为和平面所成的角． 因为，，则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为． 19. （本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，． （1）证明：； （2）记二面角的大小为． （i）若，求直线和所成角的大小； （ii）若二面角的大小为，，求． 【答案】（1）设的中点为，连接，，如图所示， 因与均为等腰直角三角形，， 所以，，， 且平面，平面， 故平面，且平面，即； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接，，证明平面，利用线面垂直的性质即可证明； （2）（i）根据为直线和所成的角或补角，在中，利用余弦定理即可求解； （ii）在平面上，过点作于，连接，可得， 在中，由余弦定理化简可得：，结合即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为故，， 且，由（1）小题可知， （i）因， 则为直线和所成的角或补角， 当时，， 因，， 则，所以， 中，由余弦定理得， 又，所以，则， 即直线和所成的角为； （ii）如图，在平面上，过点作于，连接， 因，所以， 在菱形中，，， 所以， 因为， 所以， 在菱形中，同理可得， 又，则中，由余弦定理得， ， 即，又， 即， 即或（舍去）， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义四中2028届高二上学期第一次阶段性测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答无效 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3. 若为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（ ） A. B. 平面平面BEM C. EF和CD为异面直线 D. 平面DEM 5. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 10. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 如图，在棱长均为的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形，且面积等于 C. 若为棱上的动点，则的最小值为 D. 三棱锥与四棱锥的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，，则________． 13. 已知四棱锥的底面是平行四边形，E为的中点，F在上，平面，则________． 14. 《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，满足：． （1）求证：； （2）若，且的面积为，求角的大小及的值． 16. 已知函数，． （1）若为奇函数，求a的值； （2）若有两个不同的零点和，求a的取值范围． 17. 学生体质健康状况是评价学生综合素质的一个重要指标，结合新时期青少年体质健康状况和体育教育教学工作实际，高一年级随机抽取了40名学生进行体质测试，成绩分成六组：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求抽取的名学生的成绩的中位数； （3）若从抽取的成绩在的学生中任取2人，求这两名学生成绩都在内的概率． 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 19. （本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，． （1）证明：； （2）记二面角的大小为． （i）若，求直线和所成角的大小； （ii）若二面角的大小为，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $