广东省惠州市泰雅实验高中2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026—2027 学年惠州市泰雅实验高中高二第一次月考试题 数学 本试卷共 4 页，19 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在正方体 ABCD—A₁B₁C₁D₁ 中，与向量 相等的向量有（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 2. 已知向量 = (2, −1, 3)， = (−4, 2, x)，且 ，则 x 的值为（　　） A. 　　　　B. 5　　　　C. 10　　　　D. −6 3. 已知直线 l₁，l₂，l₃ 的倾斜角分别为 40°，115°，60°，斜率分别为 k₁，k₂，k₃，则（　　） A. k₁ < k₂ < k₃　　　　B. k₂ < k₁ < k₃ C. k₁ < k₃ < k₂　　　　D. k₃ < k₁ < k₂ 4. 已知直线 l₁：ax + y = 0 与 l₂：(a + 1)x + ay − 3 = 0，则“a = −2”是“l₁⊥l₂”的（　　） A. 充分不必要条件　　　　B. 必要不充分条件 C. 充要条件　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件 5. 一条光线从点 A(1, 2) 射出，与 x 轴相交于点 B(5, 0)，经 x 轴反射后，反射光线所在直线的方程为（　　） A. 2x − y + 5 = 0　　　　B. 2x + y + 5 = 0 C. x − 2y − 5 = 0　　　　D. x + 2y − 5 = 0 6. 已知实数 x，y 满足 4x − 2y + 3 = 0，则 的最小值为（　　） A. 8　　　　B. 　　　　C. 5　　　　D. 7. 如图，在长方体 ABCD—A₁B₁C₁D₁ 中，AA₁ = 2AB = 2BC，P 为线段 BC₁ 的中点，则异面直线 DP 与 B₁C 所成角的正弦值为（　　） A. 　　　　B. C.　　　　D. 8. 若直线 l₁：y = m(x + 2)，l₂：(n + 1)x − ny + 1 = 0 互相平行，其中 m∈R，n∈R，则 l₁ 与 l₂ 之间距离的最大值为（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 3　　　　D. 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知直线 l：y = kx + 6k − 9，则下列说法正确的是（　　） A. 若 k = 0，则 l 与 y 轴垂直 B. 若 k = 0，则点 M(2, 3) 到 l 的距离为 11 C. 若 l 在 x 轴上的截距为 3，则 k = 1 D. 若 k ≥ ，则 l 的倾斜角 α 的取值范围为 [, π) 10. 下列说法正确的是（　　） A. 直线 x + 2y − 3 = 0 的一个方向向量为 (2, −1) B. 若直线 ax + by + c = 0 经过第三象限，则 ab > 0，bc < 0 C. 若点 P(1, 2) 在直线 Ax + By + C = 0（A² + B² ≠ 0）上，则直线方程还可以写成 A(x − 1) + B(y − 2) = 0 D. 直线 2x − y + 3 = 0 关于直线 x − y = 0 对称的直线方程为 x − 2y + 3 = 0 11. 设正方体 ABCD—A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，F 为棱 CC₁ 上的一个动点，则在点 F 运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A. BD⊥AF B. 存在点 F，满足 A，B，F，D₁ 四点共面 C. 直线 AF 与平面 A₁ADD₁ 所成角为定值 D. 当 F 为 CC₁ 的中点时，三棱锥 F—ABC 外接球的体积为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 在长方体 ABCD—A₁B₁C₁D₁ 中，AB = 3，AD = 1，AA₁ = 2，则点 B₁ 到直线 AC 的距离为 ________。 13. 已知过点 P(3, 2m) 和 Q(m, 2) 的直线与过点 M(−2, 1) 和 N(−3, 4) 的直线平行，则 m 的值为 ________。 14. 已知直线 l 的倾斜角 α 满足 tan 2α = −，且 l 过点 A(2, −1)，当 l 与直线 m：x – y + 1 = 0 的交点在第一象限时，l 的方程为 ________。 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分 13 分） 已知直线 l 过点 (1, 1)。 (1) 若直线 l 与直线 2x – y = 0 平行，求直线 l 的方程； (2) 若直线 l 在 y 轴上的截距是 l 在 x 轴上截距的 2 倍，求直线 l 的方程。 16.（本小题满分 15 分） 如图，在直三棱柱 ABC—A₁B₁C₁ 中，D，E 分别为棱 BC，CC₁ 上的点（点 D 异于点 C），且 AD⊥DE。 (1) 求证：AD⊥BC； (2) 若 △ABC 为正三角形，BC = CC₁，且三棱柱 ABC—A₁B₁C₁ 的体积是三棱锥 E—ADC 体积的 12 倍，求 A₁E 与平面 ADE 所成角的余弦值。 17.（本小题满分 15 分） 已知 l₁：x + y – 2 = 0 与 l₂：m²x + (3m – 2)y – 2m = 0 是两条不重合的直线，m 为实数。 (1) 若 l₁∥l₂，求 m 的值； (2) 若 l₁⊥l₂，求 m 的值； (3) 若 l₁ 与 l₂ 相交，求 m 的取值范围。 18.（本小题满分 17 分） 在斜三棱柱 ABC—A₁B₁C₁ 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，侧棱 AA₁ = 2，∠BAA₁ = ∠CAA₁ = 60°，M 为侧棱 AA₁ 的中点。 (1) 求线段 BM 的长度； (2) 求证：BC₁⊥平面 B₁CA₁。 19.（本小题满分 17 分） 如图，在四棱锥 P—BCDE 中，底面 BCDE 为菱形，PD = PE = DE = 2，PB = ，∠CDE = ，O 为棱 DE 的中点。 (1) 证明：PO⊥CD； (2) 求点 B 到平面 PCD 的距离； (3) 设 M 为棱 PD 上的动点，若平面 ECM 与平面 BCDE 夹角的余弦值为，求直线 EM 与平面 PCD 所成角的正弦值。 学科网（北京）股份有限公司 $