29.2.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章 圆 29.2.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 圆周角的概念 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 圆周角定理 9. 对接中考 6. 知识点3 圆周角定理的推论 1. 理解圆周角的概念. 2.了解圆周角定理及其推论. 3.能利用圆周角定理进行相关证明和计算，增强推理能力. 学习目标 知识回顾 顶点在圆心的角叫做圆心角. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 圆心角 弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 弧、弦与圆心角关系定理的推论 新课导入 如图，把圆心角的顶点O拉到圆上，得到. 问题1：有什么特点？它与有何异同？ 问题2：你能仿照圆心角的定义给取一个名字并下定义吗？ A O C B 新课讲解 知识点1 圆周角的概念 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 . 圆周角可以是锐角、直角或钝角. 圆周角 如图，在⊙O中，∠A的顶点在圆上，点B，C是∠A的两边与圆的交点. O A B C 圆周角的条件： 第一，顶点在圆上； 第二，两边都与圆相交. 新课讲解 想一想 顶点在圆内 顶点在圆外 圆周角 圆心角 · C O A B C O B C A B A B C O A B C O B A A 下列各图中的∠BAC是否为圆周角，并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） C （4） 边AC没有与圆相交 圆周角 O 新课讲解 例 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1. 如图，四边形中， ，，三点均在上，点在 外，则图中的圆周角有 ( ) A 新课讲解 练一练 角的两边不与圆相交. 角的其中一边不与圆相交. 角的顶点不在圆上. 角的顶点不在圆上. 1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 新课讲解 练一练 C 2. 下列四个图中， 是圆周角的是 ( ) A. B. C. D. 新课讲解 圆心角和圆周角的区别与联系 名称 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 联系 角的两边都与圆相交 新课讲解 知识点2 圆周角定理 思考 如图，连接BO，CO，得到圆心角∠BOC. 可以发现，圆周角 ∠BAC 与圆心角 ∠BOC 对着同一条弧 ，它们之间是否存在一定的关系？ 分别测量图中 所对的圆周角 ∠BAC 和圆心角∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？ O A B C 115° 57.5° ∠BAC = ∠BOC. 是不是在同一个圆中，同弧所对的圆周角与圆心角都具有这样的关系呢？ 探究 新课讲解 利用信息技术工具，改变 ，测量 ∠BAC，∠BOC 的大小，上述关系是否仍然成立？ ∠BAC = ∠BOC. 你能证明你发现的结论吗？ 探究 新课讲解 思考 可以发现，圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有三种： (3)圆心在圆周角的外部. (2)圆心在圆周角的内部； (1)圆心在圆周角的一条边上； 圆心 O 与圆周角 ∠BAC 的位置关系有几种？ 新课讲解 (1) 圆心在圆周角的一条边上； ∵ OA=OC， ∴∠A=∠C. 又∵ ∠BOC=∠A+∠C， ∴ ABOC. 思考 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 新课讲解 思考 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ (2) 圆心在圆周角的内部； 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 D，由第一种情况的结果，得 ∠BAD∠BOD， ∠CAD∠COD， ∴ (∠BOD+∠COD) 即 ∠BAC∠BOC. 新课讲解 思考 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ (3) 圆心在圆周角的外部. 连接 AO 并延长交 ⊙O 于点 D，由第一种情况的结果，得 ∠BAD=∠BOD， ∠CAD=∠COD, ∴ ∠CAD-∠BAD=(∠COD-∠BOD)， 即 ∠BAC=∠BOC. 新课讲解 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ∠BAC = ∠BOC. 圆周角定理： 几何语言： O A B C 1. 定理中的圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧，这是定理成立的条件，也是运用定理时容易出现错误的地方. 2. “同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角. 注意 新课讲解 例 解：∵⊙O是△ABC的外接圆，OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=50°， ∴∠BOC=80°， ∴∠A= ∠BOC= ×80°=40°. 2. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° A 新课讲解 例 A.3 B. C. D. 3. 如图，是 的直径，是的弦，于点，连接 .若 ，，则 的半径长为 ( ) D 解：如图，连接 是的直径，是 的弦，， ， ， ， ，. 在 中，由勾股定理，得 ， 的半径长为 . 新课讲解 练一练 1. 如图，点A， B， C 在 ⊙ O上，AC⊥ OB，垂足为D，若∠ A=35°，则∠ C的度数是(　　) A.20° B.25° C.30° D.35° 解： ∵∠ A=35°， ∴∠ O=2 ∠ A=70° . ∵ AC ⊥ OB， ∴∠ CDO=90° . ∴∠ C=90°－∠ O=90°－70°=20°. A 新课讲解 练一练 2. 如图，，，是 上的三点，， ，连接，，则 的半径长为 ( ) A.2 B. C.4 D.8 解：由题图可知， 所对的圆周角和圆心角分别为，， ， ， 又， 是等边三角形，， 的半径长为4. C 新课讲解 知识点3 圆周角定理的推论 思考 前面我们学习了圆心角、弧、弦三个量之间关系的结论，即： 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等（知一推二）. 探究 圆周角与弧、弦也有这样的关系吗？ (1) 如图，在优弧上任取两点 C，D，同弧所对的圆周角∠C与∠D有什么关系？ 如图，连接 OA，OB. ∴ ∴ ∠C=∠D. ∵ 点 C，D 的位置具有任意性， ∴ 同弧所对的圆周角相等. 新课讲解 探究 (2) 如图(2)，在  上任取 ，它们所对的圆周角 ∠E与∠F 有什么关系？ 如图，连接 OA，OB，OC，OD. ∵ ， ∴ ∠AOB=∠COD. 又 ∴∠E=∠F. ∵  和  的位置具有任意性， ∴ 等弧所对的圆周角相等. 新课讲解 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，AB 为直径，在圆上任取一点 C，你能尝试求出圆周角∠ACB 的度数吗？ 在与 ∠ACB 相对的另一半圆上任取一点 D，连接 DC，DO，DA. ∵∠BCD=​∠BOD，∠ACD=​∠AOD，∠BOD+∠AOD=180°， ∴∠BCD+∠ACD=(∠BOD+∠AOD)=90°， ∴ ∠ACB=90°. ∵ 点 C，D 的位置具有任意性， ∴ 半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 反过来，圆周角是90°的角，所对的弦会是直径吗？ 新课讲解 探究 如图 ，在以点 O 为圆心的圆中，∠ACB=90°，AB 为 ∠ACB 所对的弦，AB是直径吗？ 如图，连接 CD 与 ⊙O 交于点 D，连接 BO，AO. ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°，∠BCD∠BOD，∠ACD∠AOD， ∴∠ACB(∠BOD+∠AOD)=90°，∴∠BOD+∠AOD=180°. ∵ ∠BOD 和 ∠AOD 具有共同的顶点和一条共同的边， ∴ ∠AOB=180°，∴ A，O，B 三点共线， ∴ AB 是圆的直径. ∵ ∠ACB 的位置具有任意性， ∴ 90°的圆周角所对的弦是直径. 新课讲解 同弧或等弧所对的圆周角相等. 圆周角定理推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 拓展 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径. 新课讲解 例 4. 如图，BC 是 ⊙O 的直径，A 是 ⊙O 上一点，∠OAC=32°，则 ∠B 的度数是（ ） A. 58° B. 60° C. 64° D. 68° 解：方法一 ∵ BC 是直径， ∴ ∠BAC=90°，依据“直径所对的圆周角是直角” ∴ ∠OAB=∠BAC-∠OAC=90°-32°=58°. ∵ OA=OB，∴ ∠B=∠OAB=58°. 方法二 ∵ OA=OC，∴ ∠C=∠OAC=32°， ∴ ∠AOC=180°-32°-32°=116°， ∴ ∠B=∠AOC=58°. 将求圆周角的度数转化为求对应的圆心角的度数 A 新课讲解 例 5. 如图， 是圆的直径，，，，的顶点均在上方的圆弧上， ，的一边分别经过点，，则 的度数为 ( ) B A. B . C . D . 解：方法一：如图，连接，， ，则 （依据：直径所对的圆周角为直角）， ，， （依据：同弧所对的圆周角相等）， . 方法二： 是圆的直径， 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为 ，，， 所对的弧的和为半圆， . 新课讲解 练一练 1. 有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心,暂时只有一块足够大的直角三角尺（无刻度）可以使用.为此需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径 的方法正确的是 ( ) B A B C D 新课讲解 练一练 2. 如图，⊙O 的直径 AB 的长为10，弦 AC 的长为6，∠ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 解：如图，连接 OD. ∵ AB 是 ⊙O 的直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90°. ∵在 Rt△ABC 中，AB=10，AC=6，∴ BC8. ∵ CD 平分 ∠ACB，∴ ∠ACD=∠BCD. 在 ⊙O 中，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD， ∴ ∠AOD=∠BOD. ∴ AD=BD. 又在 Rt△ABD 中，， ∴ AD=BD. 课堂小结 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 半圆（或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆周角定理 当堂小练 A C B O 1. 如图，，， 都是  的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC. 证明：由圆周角定理知，∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC. ∵∠AOB=2∠BOC， ∴∠BOC=∠ACB， ∴∠ACB=2∠BAC. 当堂小练 解：能.方法有多种. 如利用三角尺的直角可以找出两条直径(90°的圆周角所对的弦是直径)，两直径交点就是圆心. 2. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？ 当堂小练 3. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分 ， 为得到同样大小的 镜 面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得 AB=12 cm，BC=5 cm，则圆形镜面的半径为 _______. 当堂小练 解：连接 ， . ， ， . . . . 4. 如图，点，，在半径为2的 上， ，，垂足为 ，交于点，连接，则 的长度为___． 1 当堂小练 5. 如图，内接于 ，连接，且平分，是上一点，连接， .若 ，则 的度数为____. 解：如图，连接 ，由圆周角定理得 . ， . 平分 ， . ， . 当堂小练 6. 如图，在 ⊙O 中，，∠ACB=60°. (1) 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. (2) 若 D 是  的中点，求证：四边形 OADB 是菱形. 证明：(1) ∵ ，∴ . 又 ，∴  是等边三角形， ∴ ，∴ . (2) 连接 ，如图 . ∵  是  的中点，∴ ， ∴ . 又 ， ∴  和  都是等边三角形， ∴ ，， ∴ ，∴ 四边形  是菱形. 当堂小练 7. 如图，是的直径，点，分别是弦， 的中点，，，则 的长是_____． 4 解：是的中点， 是的直径， . ， ， 是弦的中点，是直径的中点， 是的中位线. ，. ，， 三点共线. ． 当堂小练 8. 如图，是的直径，点， 在上，且， 的延长线与的延长线交于点，连接 ，若 ，则 的度数是____． 解：连接 ， . ，. ， . 又 ， . 当堂小练 9. 如图，是的直径，点， 为圆上两点，若点为的中点，连接 并延长与交于点，与的延长线交于点 .若，， ，则___， ___. 6 解： 点为的中点， ， 在中， ，且 ， ，. 如图，连接 ，设是的直径， . . ， . ， . 根据圆周角定理得 ， 是 的外角， . ，. 在 和 中，由勾股定理，得 ， ，解得 . . 对接中考 B 解：∵ AB是⊙O的直径， ∴∠ ACB=90°. ∴∠ BAC+ ∠ B=90°. ∵∠ BAC=50°， ∴∠ B=40 °. ∴∠ D= ∠ B=40 °. 1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ BAC=50 °，则∠D= (　　) A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 对接中考 2. 如图，AB 是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50 ，则∠ A的度数 为( ) A. 65° B. 55° C. 50° D. 75° A 解：∵∠AOD=50°， ∴∠ABD= ∠AOD=25°. ∵ BA 平分∠CBD， ∴∠ABC= ∠ABD=25°. ∵ AB 是⊙O的直径， ∴∠C=90°. ∴∠ A 拓展与延伸 1. 如图， ⊙ O是 △ ABC 的外接圆， D 是 直 径 AB 上 一点， ∠ ACD 的平分线交 AB 于点 E，交⊙于另一点 F， FA=FE． (1)求证： CD ⊥ AB； 证明： ∵ FA=FE， ∴∠ FAE=∠ AEF. ∵∠ FAE 与∠ BCE 都是 所对的圆周角， ∴∠ FAE=∠ BCE. ∴∠ AEF=∠ BCE. ∵∠ AEF=∠ CEB， ∴∠ CEB=∠ BCE. ∵ CE平分∠ ACD， ∴∠ ACE=∠ DCE. ∵ AB是⊙ O 的直径， ∴∠ ACB=90° . ∴∠ CEB+∠ DCE=∠ BCE+∠ ACE=∠ ACB=90 . ∴∠ CDE=90° ，即CD ⊥ AB． 拓展与延伸 1. 如图， ⊙ O是 △ ABC 的外接圆， D 是 直 径 AB 上 一点， ∠ ACD 的平分线交 AB 于点 E，交⊙于另一点 F， FA=FE． (1)求证： CD ⊥ AB； (2)设 FM ⊥ AB，垂 足 为 M，若 OM=OE=1，求 AC 的长． 解：由(1)知， ∠ CEB= ∠ BCE，∴ BE=BC. ∵ FA=FE， FM ⊥ AB，∴ MA=ME=MO+OE=2. ∴ AE=4. ∴ 圆的半径OA=OB=AE－OE=3. ∴ BC=BE=OB－OE=2. 在△ ABC中， AB=2OA=6， BC=2， ∴ AC= = =4 . 拓展与延伸 2. 如图，直径为的 上有一点，连接，将绕点逆时针旋转一定角度得到 ，点恰好落在直径 上. (1) 若，则 ____； (2) 若与相交于点，且，则 _ ___. 解：由旋转的性质可得和是等弧， 所对的圆周角度数等于所对的圆周角度数. ，的度数等于 所对的圆周角度数的一半. 连接，易得 是 的直径， ， ， ， ， ， ， . Lavf57.25.100 cm $