精品解析：北京交通大学附属中学2026-2027学年第一学期10月阶段性检测练习高三数学试题

北京交大附中2026-2027学年第一学期10月阶段性检测练习 高三数学 2026.10 说明：本试卷共21道题，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（   ） A. B. 80 C. D. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 已知函数 是奇函数，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 6. 已知非零向量，，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形ABCD中，， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 9. 设函数，若实数满足，则 A. B. C. D. 10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 73 C. 74 D. 75 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. ，则______________． 12. 若关于的不等式在上恒成立，则__________． 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是_______. 14. 海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数， （1）求函数的单调递减区间 （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 17. 在中，． （1）求； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 18. 已知函数，在处的切线过点． （1）求； （2）证明：． 19. 某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内) （1）求的面积； （2）求点之间的距离. 20. 已知函数定义域为，.曲线在处的切线为. （1）设，求的最小值； （2）证明：曲线与直线有且仅有一个公共点； （3）设，记直线与曲线、直线交于点，，直线与曲线、直线交于点，.比较与的大小关系，并说明理由. 21. 对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，（，，…，；，，…，）.对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质： ①，； ②. （1）以下给出数表1和数表2. 数表1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 数表2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 （i）数表1是否具有性质？说明理由； （ii）是否存在正整数，使得数表2具有性质？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由； （2）是否存在数表具有性质？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由； （3）给定偶数，对每一个，将集合具有性质中的最小元素记为.求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2026-2027学年第一学期10月阶段性检测练习 高三数学 2026.10 说明：本试卷共21道题，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】，则． 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式、复合函数求导法则及常数的导数性质逐一判断各选项正误. 【详解】对选项A：根据余弦函数的求导公式，，故A错误； 对选项B：将变形为，由幂函数求导公式（为常数）， 可得，故B正确； 对选项C：令，可得，故C错误； 对选项D： 是常数，可得 ，故D错误. 3. 已知向量，若，则（   ） A. B. 80 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 向量，，且， ∴，解得. ∴ ，. 4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象的平移变化规律求解即可. 【详解】向左平移个单位后得到，故A错误. 向左平移个单位后得到，故B正确. 向右平移个单位后得到，故C错误. 向右平移个单位后得到，故D错误. 5. 已知函数 是奇函数，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质求出的可能取值，再根据判断函数单调性，筛选得到的正确值. 【详解】因为函数是奇函数，所以对定义域内任意，都有成立. ， 由得：， 交叉相乘整理得：对任意定义域内恒成立， 因为，故，解得.将变形为，是上的增函数. 当时，，此时为减函数，故为增函数，，不符合条件； 当时，，此时在，上单调递减，单调递减，满足，符合题意.综上，. 6. 已知非零向量，，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 即，所以，所以； 当时，， 所以. 所以“”是“”的充分必要条件. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于，当时，， 结合图象可知，当时，，所以，即． 8. 如图，在平面四边形ABCD中，， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先推得为等腰三角形，为等边三角形，设，将所求数量积转化为关于t的二次函数，利用函数的性质即可求得最小值. 【详解】平面四边形ABCD中，， 则有，连接BD，AC， ，，所以为等边三角形， 又为等腰三角形，则， 由余弦定理得， 则有，设， ， 因，则当时，取得最小值. 9. 设函数，若实数满足，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以. 考点：利用导数求函数的单调性. 【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知的零点， 所以∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0， f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0． 即. 10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 73 C. 74 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【详解】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为74. 故选：C. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. ，则______________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】由诱导公式可知，所以，直接代入公式即可求出结果. 【详解】因为， 所以. 12. 若关于的不等式在上恒成立，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题设，转化不等式恒成立，分类讨论即可求出答案. 【详解】不等式在上恒成立， 当，即时， ，即恒成立，所以； 当，即时， ，即恒成立，所以； 综上. 13. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得，设，得到，求得的坐标，根据向量的坐标运算，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意可得：，，， 因为，可得， 即，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为，可得， 则， 可得 ， 令，可得， 则，其中， 因为， 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 所以的取值范围为. 14. 海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同时间的水深情况如下表所示（3.1时即为凌晨3点06分）： 时间时 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深米 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数（，）来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则这个函数的解析式为__________．若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，先画出散点图，判断出函数的大致走势，再根据函数走势计算出，再根据已知条件计算出货船一天中可以在港口中停靠的最长时长. 【详解】如图所示，作出符合题意的图象， 由函数图象可知，周期， 所以，函数解析式为， 把代入得 ， 而， 所以，函数解析式为； 由于货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米， 安全条例规定，船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米， 那么港口水深要不低于米才安全， 则令，得 ， ， 当时，货船停靠的时长为； 当时，， 可得货船停靠的时长为； 当时，不存在符合实际意义的解； 所以货船在一天(小时)内，存在两个这样的区间，可以在港口中停靠的最长时长为. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】取特殊值判断①，当时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④. 【详解】当时，，显然函数的最小值为，故①正确； 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，由可得， 此时，时，，在上单调递减，所以， 与最小值为矛盾， 若时，的对称轴方程为，当时， 即时，，若，则与矛盾， 当时，在上单调递减，无最小值， 综上，当时，函数的最小值不为，故②错误； 由②知，时，时，单调递减且，当时，且，所以函数恰有2个零点，故③正确； 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 综上时，有且只有1个零点，而在上至多有2个零点， 所以时，函数没有4个零点，当时，函数有无数个零点，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分类讨论，利用导数研究上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数， （1）求函数的单调递减区间 （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数为正弦型标准式，再结合正弦函数单调递减区间解不等式得到的单调减区间； （2）先根据范围求出内层角范围，得到值域，再将绝对值恒成立不等式转化为关于的不等式组，解出的取值范围. 【小问1详解】 由，， 解得，， 故函数的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由得， 则， 所以． 由得在上恒成立， 所以 解得，即m的取值范围是． 17. 在中，． （1）求； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1） （2）条件①：不存在，不存在面积；条件②：；条件③： 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式即可； （2）若选条件①：利用余弦定理分析即可；若选条件②：利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解即可；选条件③：利用余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理， 得． 所以． 所以． 因为，所以． 所以． 所以． 【小问2详解】 选条件①：，， 由余弦定理， 得， ，不存在. 选条件②：， 由，可得， 由正弦定理， 得， 由余弦定理得： ， 整理得， 解得，或（舍）， 所以的面积． 条件③：， 因为，且，所以， 由余弦定理， 得， 解得，或（舍）， 所以的面积为： ． 18. 已知函数，在处的切线过点． （1）求； （2）证明：． 【答案】（1） （2）由（1）知，则，函数定义域为， ，令，， 所以在上单调递增， ，， 所以，使得，即， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以的最小值为， 由可得， 所以， 因为，所以， 取等的条件为，故不能取等， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出处的切线，将代入得到，令，根据函数的单调性求出方程的解且解唯一； （2），再次求导可得在定义域上单调递增，根据零点存在性定理可知，使得，从而得到的单调性，求出的最小值为，证明即可证明. 【小问1详解】 由题意，， ，又因为， 所以处的切线方程为， 将代入，得，化简得， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，所以方程有唯一解，解为. 【小问2详解】 略. 19. 某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内) （1）求的面积； （2）求点之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理依次求出即可求解； （2）先由题设得到，接着依次求出，再在中，由余弦定理 【小问1详解】 在中，，，则. 因为，， 所以由正弦定理得， 所以的面积为； 【小问2详解】 在中，，， 则，， 因此，. 在中，由余弦定理 ， 因此. 20. 已知函数定义域为，.曲线在处的切线为. （1）设，求的最小值； （2）证明：曲线与直线有且仅有一个公共点； （3）设，记直线与曲线、直线交于点，，直线与曲线、直线交于点，.比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）1 （2）证明：依题意，，则曲线在处的切线方程为， 设，则， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上也单调递增，且， 则当时，，当时，， 故函数在上有且仅有1个零点为0， 因此曲线与直线有且仅有一个公共点； （3），理由如下： 根据题意，可得，则， 又因，则， 因，，设， 则，则函数在上单调递减， 故，即，故. 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性即得其最小值； （2）先求出切线方程，构造函数，通过求导判断其单调性，推得函数在上有且仅有1个零点为0，即可得证； （3）先推得，，构造函数，利用求导判断其单调性，可得，即可比较与的大小. 【小问1详解】 ，， 则，设，则， 因，则，即函数在上单调递增，又因， 故当时，，即，则函数在上单调递减； 当时，，即，则函数在上单调递增. 故当时，取得最小值； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ，理由略. 21. 对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，（，，…，；，，…，）.对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质： ①，； ②. （1）以下给出数表1和数表2. 数表1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 数表2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 （i）数表1是否具有性质？说明理由； （ii）是否存在正整数，使得数表2具有性质？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由； （2）是否存在数表具有性质？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由； （3）给定偶数，对每一个，将集合具有性质中的最小元素记为.求的最大值. 【答案】（1）（i）数表不具有性质． 由，不满足条件②， 所以数表不具有性质． （ii）存在． 由图表可知， 故时，数表具有性质． （2）不存在数表具有性质． 假设存在使得数表具有性质， 则有， 即在这两行中，有列的数不同，设其中有列是第行的数为，第行的数为， 则有列是第行的数为，第行的数为， 所以从第行到第行，一共增加了个，的个数的奇偶性不变． 所以任意两行中，的个数的奇偶性相同， 与数表第一行有个，最后一行有个矛盾， 所以，不存在具有性质的数表． （3） 【解析】 【分析】（1）（i）根据数表具有性质的定义即可判断；（ii）根据条件②，分别计算即可求出的值； （2）假设存在使得数表具有性质，根据题意可推出任意两行中，的个数的奇偶性相同，与数表第一行有个，最后一行有个矛盾，进而可得结论； （3）定义行列的数表，满足设定的条件其第i行第j列为，（），在其条件下先证明，再证时，，综合可得，，进而即可求出的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的最大值为． 定义行列的数表： 其第i行第j列为，（）， 则，且表示，两数相同，表示，两数不同， 因为数表的第行确定，所以给定数表后，数表唯一确定． ① 先证． 按照如下方式，构造数表：对于第行和第行，， 令，，，， 且在这两行其余的列中，任选相同的列都为，其他列都为， 于是可得到具有性质的数表如下： 第1列 第2列 第3列 第4列 第n－1列 第n列 第1行 1 1 1 1 … 1 1 第3行 0 0 1 1 … 1 1 第5行 0 0 0 0 … 1 1 … 第行 0 0 0 0 … 0 0 即对于每个，当时，都存在数表具有性质． 所以． ② 再证时，． 记（）． 因为是奇数，所以与的奇偶性不相同（）． 因为，，所以是奇数， 考虑的第行和第行， 因为，所以这两行中都有列为，列为， 若这两行相同，则数表的第i行和第行相同，； 若这两行不同，设其分别在第p，q列为0， 则数表的第i行和第行只在第p，q列上不同，其他列都相同，． 因为，，其中是偶数． 所以， 所以，即． 结合 ①，． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $