精品解析：黑龙江哈尔滨市三校联考2026-2027学年度上学期高二学年期中考试数学试题

哈尔滨市三校联考2026-2027学年度上学期 高二学年期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两个圆的方程相减可得直线的方程. 【详解】两圆和， 两圆方程相减可得：， 即相交弦所在的直线方程为， 故选：A 2. 两条平行线l1:,l2:的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两条平行线间距离公式求解距离. 【详解】由题：l1:,l2: 所以两条平行线距离为： 故选：C 【点睛】此题考查平行线间距离公式，关键在于要将两条直线化成： 的形式，方可求解； 或者在一条直线上取一点，求该点到另一条直线的距离. 3. 若且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据垂直的向量表示及数量积的运算律得，再利用数量积的夹角公式求解即可. 【详解】根据，有，即， 所以，设与的夹角为，所以， 又，所以. 故选：B 4. 已知直线：与：交于，两点，当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，再结合圆心角条件求圆心到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式列方程求解． 【详解】已知：， 整理得，即， 可得圆心的坐标为，半径 已知，， 所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为， 则为圆心到直线的距离，且 在中，． 已知直线：， 点到直线的距离公式为：， 则， 两边同时平方得：， 整理得，即， 解得． 5. 曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出表示的曲线，而表示经过定点的一条动直线，利用斜率数形结合可得结果. 【详解】由题意得，即，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过定点的一条动直线，如下图所示，当直线与半圆相切于点时，由得，又点，则，由图可知，即. 故选：A. 6. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C 7. 已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由圆的切线的性质以及向量的数量积公式得到，利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】 已知点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为。 圆的圆心为，半径，根据切线的性质，，，且， 设，则， 在直角三角形中，有，， 向量点积公式为， 由于，， 所以， 令，因为在直线上，所以的最小值为圆心到直线的距离， 其中，所以，即， 利用对勾函数 的性质，其在时取得最小值， 由于，所以， 因此，在定义域内，此时取得最小值， 将代入得，， 所以 的最小值为，故A正确. 8. 已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点， 利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到. 【详解】取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值， 圆的圆心为，半径为， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 点为直线上的动点， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径， ， ，故选项C正确. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B. 已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D. 设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，求出中点的轨迹方程为，转化为利用圆外一点到圆上一点距离的最大值即可求解；对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，写出四边形面积的表达式，利用基本不等式即可求解；对于C，利用切点弦公式求出直线的方程即可求解；对于D，设出切线方程，结合韦达定理写出的表达式即可求解． 【详解】对于A，设中点为，则，且， 故，所以点的轨迹为， 又直线到圆心的距离， 故点到直线距离的最大值，A错误； 对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为， 则，，， 故四边形的面积 当时等号成立，故四边形的面积的最大值为5，B正确 对于C，设，则，设切点， 由于直线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线的方程为，即， 又因为在圆上，故，故切线的方程为， 当时，，切线方程为，上式亦成立， 因此切线的方程为， 又由在切线上可得， 同理，， 所以满足，所以直线的方程为， 代入，得，， 由可得，因此直线过定点，C正确； 对于D，设，设过的切线方程为，即， 则由得，即， 设两根为（两条切线斜率），则， 把代入切线方程可得， 故， 因此， 当时等号成立，故的最小值为，D正确． 11. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】构造长方体，由长方体的特征可判定A项，建立空间直角坐标系，借助空间向量可判定B、C项，利用割补法计算体积可判定D项. 【详解】 如图，构造长方体，因， 则可得，此时四面体符合题目条件. 建立空间直角坐标系，则， 对于A，由长方体的特征可知，又底面为正方形，即， 所以，故A正确； 对于B，易知， 设平面和平面的法向量分别为， 则故可取； 则，故可取. 设锐二面角的平面角为，则，故B错误； 对于C，易知， 则在上的投影为，故C错误； 对于D，由图易知四面体的体积等于长方体的体积减去四个大小相同的小三棱锥的体积， 即，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知圆：，圆：，直线l过两圆圆心，且直线l与圆交于A，B两点，与圆交于C，D两点，点P在x轴上，则的最小值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】分别求出两个圆的标准方程，进而求得圆心和半径，根据直线l过两圆圆心，求得直线的方程，利用向量的线性运算表示，，，，从而可以化简，设出点坐标为，从而将式子变为关于的二次函数，即可求其最小值. 【详解】 圆的标准方程为：，圆心为，半径为1， 圆的标准方程为：，圆心为，半径为2， 因为直线l过两圆圆心， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为， ，， 所以， ， 所以， 设点， 所以 ， 这是关于的二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 所以当时，取得最小值为10. 13. 圆：与圆：相交于，，且，则实数______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】对已知等式变形推出原点在公共弦的垂直平分线上，即两圆圆心连线过原点，利用三点共线的斜率关系求解. 【详解】 由，得 ，整理得， 即，说明原点在弦的垂直平分线上， 根据两圆相交的几何性质，公共弦的垂直平分线为两圆圆心的连线，因此、、三点共线， 由两圆的标准方程得圆心坐标，，三点共线则斜率相等，即 ，代入坐标得，解得. 14. 已知圆：和圆：相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦方程，据此可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】，则两圆公共弦方程为. 因在上，则，从而， 当且仅当，即时取等号. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知，. （1）求向量的坐标； （2）设向量，，求； （3）若，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【小问1详解】 由，得； 【小问2详解】 由（1）得，而， 因此，所以； 【小问3详解】 由（1）知，， 由，得 ，所以. 16. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为E为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，通过构造平行四边形得到线线平行，进而得到结果； （2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求得相关的向量坐标，求出平面的法向量，根据向量的夹角公式求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以，又， 所以两两垂直， 以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则， 取，得，所以． 设平面的法向量为， 则， 取，得，所以． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 的三个顶点分别是，，． （1）求外接圆的方程 （2）求该圆上点到直线距离的最大值和最小值. 【答案】（1）或 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）小问设圆的一般方程，将、、三点代入，列出关于、、的方程组，求解即可； （2）小问利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，则圆上点到该直线的最大值为，最小值为. 【小问1详解】 设的外接圆的方程为， 将，，三点分别代入，可得 ，整理得，解得， 所以的外接圆的方程为， 化为标准方程为. 【小问2详解】 的外接圆的圆心，半径， 直线的一般式为， 圆心到直线的距离， 所以该圆上点到直线距离的最大值为， 该圆上点到直线距离的最小值为. 18. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知点为圆上的动点，求的取值范围； （3）点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由圆上两点坐标，以及圆心在弦的中垂线上，可确定圆心所在直线方程，再通过联立方程组即可求出圆心，然后通过两点间的距离公式求出半径，即可求解； （2）设，可理解为直线，由于点为圆上的动点，即可转化为该直线与圆的位置关系进行处理； （3）设点，点，通过表示出点坐标，再根据，为圆上不同的两点，构造出方程组，由方程的几何意义出发，转化为圆与圆的位置关系，从而再转化不等式恒成立问题，即可求解． 【小问1详解】 已知圆经过点，，则圆心在线段的中垂线上． 又有圆心在直线上，将代入，可得， 则圆心，半径， 故圆的方程为． 【小问2详解】 设，则，即这是斜率为，截距为的直线． 已知点为圆上的动点，则该直线与圆有公共点． 圆心到直线的距离， 化简得，即，则， 故的取值范围为． 【小问3详解】 已知点，点，则，直线的方程为． 设点，则． 设点，且，则． 又有，都在半径为的圆上， 所以，即． 因为关于，的方程组有解， 即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点， 所以． 又因为，所以对成立． 而在上的值域为， 所以且，即． 当时，线段与圆切于点，不满足题意，所以， 故圆的半径的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市三校联考2026-2027学年度上学期 高二学年期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 两条平行线l1:,l2:的距离等于（ ） A. B. C. D. 3. 若且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：与：交于，两点，当时，（ ） A. B. C. D. 5. 曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 7. 已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B. 已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D. 设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 11. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知圆：，圆：，直线l过两圆圆心，且直线l与圆交于A，B两点，与圆交于C，D两点，点P在x轴上，则的最小值为__________． 13. 圆：与圆：相交于，，且，则实数______． 14. 已知圆：和圆：相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知，. （1）求向量的坐标； （2）设向量，，求； （3）若，求的值. 16. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 的三个顶点分别是，，． （1）求外接圆的方程 （2）求该圆上点到直线距离的最大值和最小值. 18. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知点为圆上的动点，求的取值范围； （3）点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $