专题05 圆锥曲线的方程（期中真题汇编，黑吉蒙专用）高二数学上学期

专题05 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  3．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）点与椭圆的位置关系为（       ） A. 在椭圆上 B. 在椭圆内 C. 在椭圆外 D. 不能确定 5．（2026·吉林吉林·调研）椭圆的焦点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天链三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天链三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天链三号卫星运行的轨迹的长半轴长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 8．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  9．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）下列选项中，与椭圆有相同焦点的椭圆是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）若椭圆的长轴比短轴长，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）在直角坐标系中，椭圆的右焦点为是上一点，且轴，若直线的斜率为2，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（       ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 13．（2026·吉林吉林·调研）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（     ） A. 6 B.  C.  D. 12 15．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（       ） A.  B. 椭圆的离心率 C. 的最大值是 D. 面积的最大值为 16．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知点F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，点P在双曲线上，△F1F2P为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的离心率为（　　） A.  B.  C. 2 D.  18．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（       ） A.  B. 5 C.  D.  19．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）（多选）已知P为曲线M：（）上的动点，，，，，则下列结论正确的有（       ） A.  B. 面积的最大值为 C. 直线PC与PD的斜率之积为定值 D. 当，时， 21．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）（多选）已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（       ） A.  B. 的焦距为 C. 的最小值为1 D. 的最大值为5 22．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（       ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 25．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）已知点，直线，且动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在点使得点到点的距离是点到直线的距离的一半，则称该直线为“最远距离直线”，下列结论中正确的是（        ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最大值为 D. 点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有公共点） 27．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知椭圆：()的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（       ） A.  B.  C.  D. 2 28．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是　　　　　　. 29．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知焦距为10的椭圆C：过点. （1）求椭圆C的标准方程和离心率； （2）若点P在椭圆C上，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，求外接圆的方程. 30．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 31．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为　　　　　　　　　　. 32．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为　　　　　　　. 33．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为　　　　　　. 34．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，．若的面积为1，求直线的方程． 35．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则　　　　　　　． 36．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则　　　　　　． 37．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为，点是直线上的动点，设直线斜率分别为. （1）求椭圆的离心率； （2）求证：为定值； （3）若直线与椭圆的另一个交点分别为，试判断直线与直线的位置关系. 38．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为32，则椭圆的方程为　　　　　　　　　　. 39．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则　　　　　　. 40．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为　　　　　　　；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为　　　　　　　． 41．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 42．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 43．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 44．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）已知点在椭圆上，椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 45．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    （1）求椭圆的标准方程； （2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 46．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.    （1）求异面直线与所成的角； （2）求的取值范围. 47．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. （1）求椭圆C的方程. （2）若直线l的斜率为，求的面积. （3）设点Q满足，求点Q的轨迹方程. 48．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知椭圆的左、右焦点分别，左、右顶点分别为，若______．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答.（若都选择，则按照第一个解答给分） ①，． ②椭圆长轴长为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的弦与椭圆相交于两点.当点变化时，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 49．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点. ①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； ②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值. 50．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 51．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已知椭圆及其蒙日圆，且椭圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形的面积的比值为　　　　　　． 52．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆：（且）是椭圆的相似椭圆． （1）求椭圆及椭圆的标准方程； （2）过椭圆上一点作椭圆的切线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求证：的面积为定值； （3）如图1，为坐标原点，椭圆的右顶点、上顶点、下顶点分别为，点在线段上运动，点．如图2，将所在平面沿直线折成直二面角，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）双曲线的渐近线方程为（          ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 椭圆的长轴长为，短轴长为 D. 双曲线的离心率 3．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）（多选）已知，分别为双曲线的实轴端点，，是双曲线上关于原点对称的两点（异于实轴端点），且，则下列说法中正确的是（       ） A. 双曲线的离心率不确定 B. 双曲线的离心率为 C. 的值不受点，位置的影响 D. 双曲线的渐近线方程为 4．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）双曲线E：（，）的离心率为，则双曲线E的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）若双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  10．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（          ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 12．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，求的面积. 13．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，实轴长为2.直线与双曲线相交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若的中点为，求直线的方程． 14．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，点为右支上一动点，直线与双曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当点在第四象限且轴时，直线为的等线. （1）求双曲线的标准方程； （2）若是四边形的等线，求四边形的面积； （3）设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线. 考点03 抛物线 1．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知抛物线C：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（       ） A.  B.  C. 8 D. 4 2．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则　　　　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线的方程 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．B 2．A 3．B 4．B 5．B 6．A 7．C 8．A 9．B 10．D 11．B 12．C 13．C 14．D 15．ACD 16．B 17．D 18．D 19．A 20．ABC 21．AC 22．A 23．D 24．ACD 25．B 26．ABC 27．C 28．【答案】 【分析】 根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】 椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为： 29．【答案】（1）椭圆的标准方程：，离心率为.     （2）      【分析】 （1）根据条件，列方程组，求的值即可. （2）利用椭圆的定义，判断的形状，再求其外接圆方程. (1) 小问详解： 由题意： . 所以椭圆的标准方程为，其离心率为. (2) 小问详解： 如图：    因为点在椭圆上，所以，又， 所以，，又， 因为，所以为直角三角形. 所以外接圆是以为圆心，5为半径的圆， 其方程为. 30．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意可得 ，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. (1) 小问详解： 由题意，得 ，解得， 则椭圆C的方程为. (2) 小问详解： 设， 联立 ，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为，    则，解得或，满足， 则或. 31．【答案】6 【分析】 根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义可求出的值，根据三边关系即可求出面积. 【详解】 由题可知，的离心率为2，则的离心率为，则. 根据对称性，不妨设在第一象限，则 ，解得 ， 则，所以为直角三角形， 则的面积为. 故答案为：6. 32．【答案】 【详解】根据题意，方程表示椭圆，列出不等式组，解可得答案． 【详解】 解：方程表示椭圆，即方程表示椭圆，则 ，解得且，即． 故答案为：． 33．【答案】 【分析】 先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】 在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴ ，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 34．【答案】（1）     （2）或或      【分析】 （1）设，由，可得答案； （2）分直线斜率存在和不存在，分情况表示出的面积，从而得到直线方程. (1) 小问详解： 设，则， 所以可得动点P的轨迹C的方程为 (2) 小问详解： 由（1）可得， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时到的距离为，， 此时，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，， 联立 ，可得， 所以 ， 到直线距离为， ，解得， 此时直线方程为或， 综上，直线的方程或或. 35．【答案】 【分析】 根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】 根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 36．【答案】 【分析】 根据题意，结合正弦型函数的性质以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】 设圆柱的底面直径为，由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分， 可得，且，所以圆柱的底面直径， 则椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，可得，所以， 所以，解得． 故答案为： 37．【答案】（1）     （2） 不妨设， 又， 则，即为定值；     （3）平行      【分析】 （1）根据椭圆方程及离心率公式计算即可； （2）利用两点斜率公式计算即可； （3）设直线方程、方程与椭圆联立，结合（2）的结论及韦达定理表示出C、D坐标，计算其斜率即可判定两直线关系. (1) 小问详解： 设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为：， 则由； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设， 联立直线与椭圆C方程 ， 所以， 设， 同理联立直线与椭圆C方程 ， 所以 ， 所以， 易知，所以. 38．【答案】 【分析】 设椭圆标准方程为，根据条件求出即可. 【详解】 因为焦点，在轴上，所以可设椭圆标准方程为， 由题意可得，即， 又的周长为，所以，则，所以， 故椭圆方程为． 故答案为：． 39．【答案】 【分析】 先求出，然后利用椭圆定义求得，进而在中求解即可. 【详解】 由椭圆的方程得，因为， 所以可设，又在椭圆上，所以，解得， 所以，由椭圆定义知， 所以. 故答案为： 40．【答案】①     ② 【分析】 根据椭圆的定义结合余弦定理得出，最后应用面积公式计算即可；设内切圆半径为，根据面积等式，结合椭圆的定义，求得，再结合正弦定理得出，最后代入题设条件计算即可求解. 【详解】 第一空：令，， 则由椭圆定义可得  ① ， 由三角形余弦定理得  ② ，     有，即，∴的面积. 若，则的面积. 对于第二空：设内切圆半径为，则的面积， 所以，故， 又由正弦定理可得， 由可得 整理得：即， 又，即，解得. 故答案为：；. 41．【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）先根据长轴长及焦点列式结合计算求解椭圆方程； （2）法一：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可；法二：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可. (1) 小问详解： 由题知，，则，又， 所以椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立 消去，得， 因为恒成立，所以， ， 所以的面积， 化简得， 解得（负值舍去），所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 42．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）由题，联立方程组求出a，b即可得解； （2）① 将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量得到，代入计算即可；② 利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式，再利用换元法及二次函数得到其范围即可． (1) 小问详解： 由题可得： ，解得： ， 所以椭圆的方程为：； (2) 小问详解：    设直线交于，两点，点在椭圆内， ① 若直线的斜率不存在，易得，，不满足， 故设直线的方程为， 联立 ，化简得：， 所以，（1）， 又，，， 所以（2）， 由（1）（2）两式解得：，所以直线的方程为； ② 当直线的斜率不存在时，直线与的交点为，，则， 当斜率为0时，直线过点，故不能构成三角形， 当斜率存在且不为0时， 由① 知， ， 点到直线的距离， 所以， 令，则，， 则， ， 因为，所以， 综上，的面积的取值范围为． 【点睛】 关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中三角形面积范围问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及三角形面积公式代入计算. 43．【答案】（1）     （2）     （3）方法一：点为线段的中点，理由如下：由题知直线的斜率存在，如下图所示： 设过点的直线的方程为，即． 联立 ，得． 整理得． 由，得． 设， 则 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 要证点为线段的中点，只需证明，即 因为 ， 即， 所以点为线段的中点 方法二：要证点为线段的中点，只需证明：． 只需证明： 只需证明：． 设直线的方程为，即． 由得． 整理得 由得 所以 显然，原命题为真． 【分析】 （1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）设，再根据点差法求解即可； （3）方法一：设过点的直线的方程为，联立椭圆方程，得出韦达定理，再证明即可； 方法二：化简可得只需证明：，再设直线的方程为，联立椭圆的方程，构造可得，进而根据韦达定理证明. (1) 小问详解： 由题可知 ，得． 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 设，已知RS的中点坐标为，则 所以，所以， 直线的方程为：，即 所以直线的方程为： (3) 小问详解： 略 44．【答案】（1）     （2）① 证明：联立 ，消元整理得， 时， 设，，则，， AI 由， 得， 所以， 所以， 化简得，即， 所以或， 当时过点，不合题意，舍去， 所以，即，此时过定点. ②      【分析】 （1）由点在椭圆上、离心率定义、即关系求出即可； （2）① 直曲联立得到出韦达定理，表示出斜率，化简得到与的关系即可； ② 由弦长公式求出，再由点到直线的距离公式求出，然后结合基本不等式求出范围即可； (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 此时，所以，设到直线的距离为， 则，， ， 当且仅当时，当时， 所以. 【点睛】 方法点睛：本题第二问的第一小问求直线过定点时，需利用韦达定理化简得到与的关系；第二小问求面积范围时，结合基本不等式讨论即可； 45．【答案】（1）     （2）①，直线的方程为. 联立该直线与椭圆方程得，化简得. 由，解得. 设，（）， 由韦达定理可得. 所以 ， 所以为定值，定值为. ②      【分析】 （1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可. （2）① 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果.②先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，利用换元法令转化为的函数求值域即可. (1) 小问详解： 由题意知， 因为，所以，所以. 所以，解得，则. 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ②设直线的方程为，即. 令，则，所以. 设直线的方程为，同理可得. 则由① 知，所以， 所以； . 又，所以. 由方程（）， 可得 所以， 令， 则 所以的范围是. 46．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）作出异面直线与所成的角，解三角形求得所成角的大小. （2）建立空间直角坐标系，根据列方程，结合椭圆的标准方程求得的取值范围. (1) 小问详解： 如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点， 则有是异面直线与所成的角或其补角. ，， ，， ，，平面， 平面，平面，， ，，为锐角， ，即异面直线与所成的角为. (2) 小问详解： 如图，过的中点分别作，的平行线，， 以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴， 过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意可知，，设，， 则，， 从而， 且. 所以.    因为，，， 所以，， 所以，即, 所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为, 点，所以. 47．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由题意得，结合可求出，从而可求出椭圆方程； （2）设，求出直线的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可求出的面积； （3）设，，由，得，将代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合前面的式子得 ，两式相比化简可求得，代入其中的一个化简可求得点Q的轨迹方程. (1) 小问详解： 由题意得 ，由得，得， 所以，得，则， 故椭圆C的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，则， 因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 设， 由 ，得， 所以， 所以， 因为点到直线的距离为， 所以的面积为； (3) 小问详解： 设，， 则， 因为， 所以， 所以（*）， 直线l的方程为， 由 ，得， ， 则， 所以 ， 代入（*），可得： ， 当时，，得（且）， 所以， 化简整理得 当时，得，，即，满足上面的方程， 所以点Q的轨迹方程为 48．【答案】（1）     （2）是，      【分析】 （1）选① ，由题可得 ，由此解得得解；选② ，可得由此解得得解； （2）由题可知直线和与轴都不平行，设直线：与椭圆方程联立，求得点的坐标，进而表示直线的方程，令，求得为定值，得解. (1) 小问详解： 由题意，椭圆焦点在轴上， 若选① ，则 ，则， 所以椭圆的标准方程为. 若选② ，则，得，所以， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题可知直线和与轴都不平行， 设直线：，联立 ，消去得：， 设，则. 设，用代替得. 所以直线的方程为， 令，得， 所以直线过定点. 49．【答案】（1）     （2）① 由相似比可知，，解得 ，所以椭圆：， 设，则直线的方程为，即， 记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以， 又点在椭圆上， 所以， 所以，为定值．    ②      【分析】 （1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得； （2）① 设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案； ②由题知椭圆的标准方程为，进而结合点在椭圆上得，故设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而得其对应的方程，再与椭圆联立方程并结合韦达定理，弦长公式得、，进而得． (1) 小问详解： 对于椭圆：，长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 依题意可得，所以， 则椭圆的离心率. (2) 小问详解： ① 略 ② 由相似比可知，，解得 ，所以椭圆：， 其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点， 设，易知直线、的斜率均存在且不为， 所以， 因为在椭圆上，所以，即， 所以． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由 ，得， 设，，则，， 所以 ， 同理可得， 所以． 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 50．【答案】（1）     （2）设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，． 将代入，整理得， 解得或，则， 可得． 将代入可得，解得或， 则，所以． 直线的斜率为， 因此直线方程为， 化简得，于是直线经过定点． 【分析】 （1）依题意可得 ，解得、即可； （2）设、的斜率分别为、，，即可得到，，联立直线与曲线方程求出、点坐标，即可求出直线的方程，从而求出定点坐标. (1) 小问详解： 依题意可得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． （2）动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 51．【答案】 【分析】 根据蒙日圆的定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可. 【详解】 蒙日圆的标准方程为，不妨设为蒙日圆与轴正、负半轴交点，为蒙日圆与轴负、正半轴交点， 可知. 则直线的方程为， 由 ，消得到， 令， 解得，， 所以，所以， 所以四边形的面积为， 易知四边形为正方形，且， 所以四边形的面积为， 所以四边形与四边形的面积的比值为， 因为椭圆离心率为 ，所以，得，即， 所以. 故答案为：. 52．【答案】（1），     （2）证明见解析     （3）．      【分析】 （1）由题意可得，，结合，求解即可；将代入即可得的标准方程； （2）（法一）分直线斜率存在与不存在，结合韦达定理及三角形面积公式，求得，即可得证； （法二）分直线斜率是否为0，结合韦达定理及三角形面积公式，求得，即可得证； （法三）利用两点间的距离公式求得，利用点到线的距离公式求得点到直线的距离，最后根据三角形面积公式，求得，即可得证； （3）利用空间向量求解即可. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为． 因为椭圆离心率为 所以， 又因为 所以， 因为 所以， 所以椭圆的标准方程为． 当时，椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： （法一）证明：当直线斜率不存在时，直线方程为， 当时，代入椭圆，得 所以，则． ． 当直线斜率存在时，设直线方程为， 设， 联立 ， 消去，得． 则， 化简得． 联立 ， 消去，得． 因为， 由韦达定理得． ． 综上，的面积为定值． （法二）证明：当直线斜率为0时，直线方程为， 当时，代入椭圆，得 所以，则． ． 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ， 消去，得． 则， 化简得． 联立 ， 消去，得． 因为，由韦达定理得，． ． 综上，的面积为定值． （法三）利用，化简得， 则，点到直线的距离， 所以． (3) 小问详解： 折叠后，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则． 点在线段上运动， 设． 因为， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则． 则 ， 取，则， 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则． 所以，解得或（舍）． 所以， 即点是线段的中点， 所以． 即的长为． 考点02 双曲线 1．C 2．BD 3．BCD 4．D 5．D 6．B 7．B 8．D 9．B 10．B 11．【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. (1) 小问详解： 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组 ，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； (2) 小问详解： 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由双曲线实轴长为2可得，再利用右焦点到的距离为可得，即可求得双曲线的方程； （2）联立直线和双曲线方程容易解出，两点坐标即可求得的面积. (1) 小问详解： 设双曲线的焦距为， 因为双曲线的实轴长为2，所以，解得. 因为右焦点到的距离为，所以，解得或. 因为，所以.可得， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立直线和双曲线 可得， 即，或 不妨设，，所以. 所以. 即的面积为 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. (1) 小问详解： 根据题意，已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则 实轴长为2.，则，解得， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 解法一：由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立 ，化简得， 则，且， ， 由为的中点，得 ，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 解法二：由（1）知，双曲线的方程为 设，， 则 ，化简得， 由为的中点，得， 则， 所以直线的方程为，经过点，所以，经验证此时直线与双曲线有两个交点， 所以直线的方程为. 14．【答案】（1）     （2） ；     （3） 设，由，所以， 又，所以，即， 故曲线的方程为. 由（*）知切线为，也为，即，即， 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为， 由（2）知， ， 由得 ， 因为， 所以直线为的等线.      【分析】 （1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可. （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）设，求出直线的方程，然后计算出点到的距离，结合“等线”的定义证明即可. (1) 小问详解： 由题意知，显然点在直线的下方， 因为直线为的等线，所以，又， 解得，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，切线，代入， 得， 故， 该式可以看作关于的一元二次方程，方程仅一个根， 所以，即方程为，当的斜率不存在时，也成立. 渐近线方程为，不妨设在上方， 联立得，故， 所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等， 则过点的等线必定满足:到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为， 由 ，解得 ，故. 所以， 所以， 所以，所以. (3) 小问详解： 略 考点03 抛物线 1．C 2．【答案】8 【分析】 因为抛物线的准线为，是上一点，所以设点，，利用，求得，即可求得答案. 【详解】 抛物线的准线的方程为，焦点为. 设点，， ，即 ， 可得： ，即 ，代入 解得： ，即 由两点间距离公式可得: . 故答案为：8. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线的方程 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程. 【详解】 错解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：D. 错因： 忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件. 正解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：B. 2．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即可求出，再根据，即可得解； 【详解】 解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为， 即 ，又，所以， 由，所以； 故选：A 3．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆方程标准形式可得 ，从而得解. 【详解】 若曲线表示椭圆， 则 ，解得且， 所以实数的取值范围是． 故选： B． 4．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）点与椭圆的位置关系为（       ） A. 在椭圆上 B. 在椭圆内 C. 在椭圆外 D. 不能确定 【答案】B 【详解】将点的坐标代入椭圆方程，根据不等关系可判断出点与椭圆的位置关系. 【详解】 ，可知点在椭圆内． 【分析】 故选：B. 5．（2026·吉林吉林·调研）椭圆的焦点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定的椭圆方程直接求出焦点坐标. 【详解】 椭圆的焦点在轴上，半焦距， 所以所求焦点坐标为. 故选：B 6．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆定义、离心率和椭圆关系可直接求得椭圆方程； 【详解】 由椭圆定义知：，解得， 又离心率，，， 所以椭圆的标准方程为：. 故选：A 7．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天链三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天链三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天链三号卫星运行的轨迹的长半轴长为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【分析】 根据题意可得，即可. 【详解】 根据椭圆的定义，设长轴长为2a， 由题可知，，即万千米， 故选：C. 8．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 由方程可得，根据椭圆的性质即可得结果. 【详解】 由题意知，则， 所以椭圆上的点到焦点距离的最小值为． 故选：A． 9．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）下列选项中，与椭圆有相同焦点的椭圆是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出椭圆的半焦距，得焦点坐标，再判断各选项． 【详解】 由题意已知椭圆方程得，，焦点为， C中椭圆焦点在轴，显然不合题意， A中椭圆的，不合题意， B中椭圆的，，焦点为，满足题意， D中椭圆的，不合题意． 故选：B． 10．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）若椭圆的长轴比短轴长，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断与的值，再由即可求得. 【详解】 因为，所以， 所以结合椭圆方程，可得，，即，， 由题意可知，即，解得． 故选：D. 11．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）在直角坐标系中，椭圆的右焦点为是上一点，且轴，若直线的斜率为2，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，求出点的坐标，借助斜率坐标公式列式计算即得. 【详解】 依题意，点在第一象限，设，则，解得， 由直线的斜率为2，得，即，于是， 即，又，解得， 所以的离心率为. 故选：B 12．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（       ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】C 【分析】 先求出线段的中垂线的方程，判断其经过椭圆右焦点，再利用线段中垂线的性质和椭圆的定义即可求得. 【详解】 如图，由知，则， 于是,则线段的中垂线的方程为， 取，解得，即直线经过椭圆的右焦点, 连接,则, 于是的周长为 故选：C. 13．（2026·吉林吉林·调研）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设出的坐标为，直接利用斜率公式表示出关于，的方程，化简即得结论． 【详解】 设，因为， 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 故选：C． 14．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（     ） A. 6 B.  C.  D. 12 【答案】D 【分析】 利用椭圆的定义求解出的周长. 【详解】 的周长为， 故选：D. 15．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）（多选）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（       ） A.  B. 椭圆的离心率 C. 的最大值是 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】 由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；设根据二次函数的性质判断C；面积，结合的范围判断D 【详解】 因为椭圆C的方程，故， 由椭圆的定义可知，故A正确； 离心率，故B错； 由椭圆性质可知，所以的最大值是3，故C对； 因为，又， 当时，即P在短轴的顶点时面积的取得最大值， ，故D对； 故选：ACD 16．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系，结合共线向量的坐标表示公式、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】 由题意可知，设该椭圆右焦点坐标为， 因为直线的斜率， 所以设直线的方程为， 与椭圆方程联立，得 ， 设，则有， 因为，所以， 所以有，消去，得 ， 故选：B 【点睛】 关键点睛：本题的关键是利用，得到，进而利用一元二次方程根与系数关系进行求解. 17．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知点F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，点P在双曲线上，△F1F2P为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的离心率为（　　） A.  B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】由题意可设点在双曲线的右支上，且在中，，求得，运用双曲线的定义和离心率公式，可得所求值． 【详解】由题意可设点在双曲线的右支上, △F1F2P为等腰三角形，且顶角为120°, 则且. 所以 由双曲线的定义有： 则 所以， 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，性质，考查等腰三角形的性质，以及余弦定理，考查运算能力，属于基础题． 18．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知点P是椭圆 上的动点，则点P到直线的距离最小值为（       ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意设，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线的距离，结合辅助角公式化简即可求得答案. 【详解】 由题意点P是椭圆 上的动点，设， 则点P到直线的距离为 ，其中， 当时，取最小值， 故选：D 19．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 中点弦的问题，利用点差法求解即可. 【详解】 易知点在椭圆内部，则弦所在直线与椭圆必然有两个交点， 设过点与椭圆相交于，两点， 则 ， 两式相减，得， 又，， 所以，即直线的斜率为. 所以直线的方程为：，即. 故选：A 20．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）（多选）已知P为曲线M：（）上的动点，，，，，则下列结论正确的有（       ） A.  B. 面积的最大值为 C. 直线PC与PD的斜率之积为定值 D. 当，时， 【答案】ABC 【分析】 明确点轨迹，根据椭圆的性质，可判断各选项是否正确. 【详解】 因为，. 所以点的轨迹为椭圆位于轴下方的部分，且，，. 所以，为椭圆的焦点，，为椭圆的左右顶点.如图：    根据椭圆的定义，，故A正确； 当点位于椭圆下顶点时，的面积最大，为，故B正确； 设，则，， 则为定值，故C正确； 当，时， ， 因为，故D错误. 故选：ABC 21．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）（多选）已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（       ） A.  B. 的焦距为 C. 的最小值为1 D. 的最大值为5 【答案】AC 【分析】 先利用椭圆的几何性质，求得，得到，由椭圆的定义，可判定A正确；由椭圆的焦距为，可判定B不正确；由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，设点，求得，得到，结合二次函数的性质和圆的性质，可判定C正确，D不正确. 【详解】 由椭圆：的离心率为，可得， 解得，所以，则， 对于A中，由椭圆的定义，可得，所以A正确； 对于B中，椭圆的焦距为，所以B不正确； 对于C中，如图所示，圆，则圆心为，半径， 设点，其中，则满足，可得， 则， 当时，取得最小值，，此时，所以C正确； 当时，取得最大值，，此时，所以D不正确. 故选：AC. 22．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）若椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两焦点距离之和等于，则该椭圆的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用椭圆的定义求出，利用即可求解. 【详解】 由题意有：， 故选：A. 23．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若，，，则椭圆C的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】根据椭圆的定义及已知求得，再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程 【详解】 设，有， 由可知， 又由椭圆的定义有， 可得，解得， 可得， ，， 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 24．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（       ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 【答案】ACD 【分析】 设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可得判定A；根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可判定B；根据椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用，可判定C；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D. 【详解】 对于A，由椭圆，可得，则， 设，则，可得， 所以，故A正确； 对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得， 则，故B错误； 对于C，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 即有最小值，故C正确； 对于D，因为，则点Q在椭圆外，由 如图所示，设直线与椭圆相交于，又， 则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 25．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】 设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点，    所以点，所以直线的斜率为， 所以 由 ，得，， 中，根据余弦定理可知，整理为， 即，， 解得： 所以椭圆的离心率为. 故选：B 26．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）（多选）已知点，直线，且动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在点使得点到点的距离是点到直线的距离的一半，则称该直线为“最远距离直线”，下列结论中正确的是（        ） A. 点的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最大值为 D. 点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有公共点） 【答案】ABC 【分析】 设点，根据题意列方程化简可得方程判断A；判断直线与点的轨迹方程是否有交点判断B；设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义将转化为，结合图形判断C；举例子即可排除D. 【详解】 对于A，设，因为点到点的距离是点到直线距离的一半， 所以，化简可得，故A正确； 对于B， 联立 ，解得 ， 故存在点，即直线是“最远距离直线”，故B正确； 对于C，由A，设椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 当且仅当（点在之间）三点共线时，取得最大值为5，故C正确； 对于D，圆圆心为，半径为，易得点的轨迹与圆交于点，故D错误. 故选：ABC. 27．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知椭圆：()的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 由椭圆的定义，几何性质，余弦定理解焦点三角形得出结果. 【详解】 不妨设，，焦距， 由的面积为，得， 由余弦定理，得， 则 ， 所以，即， 所以，所以，易得， ，所以， 所以，由椭圆定义知， 所以，所以， 所以，， 所以． 故选： C． 【点睛】 关键点睛：本题考查椭圆的定义，性质，焦点三角形的面积计算等知识，计算量较大.具体做法可画出图形，辅助理解；由椭圆的定义，几何性质，余弦定理解焦点三角形得出结果. 28．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】 椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为： 29．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知焦距为10的椭圆C：过点. （1）求椭圆C的标准方程和离心率； （2）若点P在椭圆C上，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，求外接圆的方程. 【答案】（1）椭圆的标准方程：，离心率为.     （2）      【分析】 （1）根据条件，列方程组，求的值即可. （2）利用椭圆的定义，判断的形状，再求其外接圆方程. (1) 小问详解： 由题意： . 所以椭圆的标准方程为，其离心率为. (2) 小问详解： 如图：    因为点在椭圆上，所以，又， 所以，，又， 因为，所以为直角三角形. 所以外接圆是以为圆心，5为半径的圆， 其方程为. 30．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1）求C的方程； （2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意可得 ，进而解出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解. (1) 小问详解： 由题意，得 ，解得， 则椭圆C的方程为. (2) 小问详解： 设， 联立 ，得， 则，解得， 且， 所以， 点到直线的距离为，    则，解得或，满足， 则或. 31．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为　　　　　　　　　　. 【答案】6 【分析】 根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义可求出的值，根据三边关系即可求出面积. 【详解】 由题可知，的离心率为2，则的离心率为，则. 根据对称性，不妨设在第一象限，则 ，解得 ， 则，所以为直角三角形， 则的面积为. 故答案为：6. 32．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为　　　　　　　. 【答案】 【详解】根据题意，方程表示椭圆，列出不等式组，解可得答案． 【详解】 解：方程表示椭圆，即方程表示椭圆，则 ，解得且，即． 故答案为：． 33．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】 在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴ ，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 34．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，．若的面积为1，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或或      【分析】 （1）设，由，可得答案； （2）分直线斜率存在和不存在，分情况表示出的面积，从而得到直线方程. (1) 小问详解： 设，则， 所以可得动点P的轨迹C的方程为 (2) 小问详解： 由（1）可得， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时到的距离为，， 此时，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，， 联立 ，可得， 所以 ， 到直线距离为， ，解得， 此时直线方程为或， 综上，直线的方程或或. 35．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】 根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 36．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，结合正弦型函数的性质以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】 设圆柱的底面直径为，由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分， 可得，且，所以圆柱的底面直径， 则椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，可得，所以， 所以，解得． 故答案为： 37．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为，点是直线上的动点，设直线斜率分别为. （1）求椭圆的离心率； （2）求证：为定值； （3）若直线与椭圆的另一个交点分别为，试判断直线与直线的位置关系. 【答案】（1）     （2） 不妨设， 又， 则，即为定值；     （3）平行      【分析】 （1）根据椭圆方程及离心率公式计算即可； （2）利用两点斜率公式计算即可； （3）设直线方程、方程与椭圆联立，结合（2）的结论及韦达定理表示出C、D坐标，计算其斜率即可判定两直线关系. (1) 小问详解： 设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为：， 则由； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设， 联立直线与椭圆C方程 ， 所以， 设， 同理联立直线与椭圆C方程 ， 所以 ， 所以， 易知，所以. 38．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为32，则椭圆的方程为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 设椭圆标准方程为，根据条件求出即可. 【详解】 因为焦点，在轴上，所以可设椭圆标准方程为， 由题意可得，即， 又的周长为，所以，则，所以， 故椭圆方程为． 故答案为：． 39．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）已知分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出，然后利用椭圆定义求得，进而在中求解即可. 【详解】 由椭圆的方程得，因为， 所以可设，又在椭圆上，所以，解得， 所以，由椭圆定义知， 所以. 故答案为： 40．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上异于左、右顶点的一点，且．若，则的面积为　　　　　　　；设的内心为，其外接圆的半径为，记的面积分别为，若，则椭圆的离心率为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据椭圆的定义结合余弦定理得出，最后应用面积公式计算即可；设内切圆半径为，根据面积等式，结合椭圆的定义，求得，再结合正弦定理得出，最后代入题设条件计算即可求解. 【详解】 第一空：令，， 则由椭圆定义可得  ① ， 由三角形余弦定理得  ② ，     有，即，∴的面积. 若，则的面积. 对于第二空：设内切圆半径为，则的面积， 所以，故， 又由正弦定理可得， 由可得 整理得：即， 又，即，解得. 故答案为：；. 41．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或．      【分析】 （1）先根据长轴长及焦点列式结合计算求解椭圆方程； （2）法一：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可；法二：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可. (1) 小问详解： 由题知，，则，又， 所以椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： 法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立 消去，得， 因为恒成立，所以， ， 所以的面积， 化简得， 解得（负值舍去），所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 42．（25-26学年高二上·内蒙古赤峰喀喇沁旗锦山中学·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （1）由题，联立方程组求出a，b即可得解； （2）① 将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量得到，代入计算即可；② 利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式，再利用换元法及二次函数得到其范围即可． (1) 小问详解： 由题可得： ，解得： ， 所以椭圆的方程为：； (2) 小问详解：    设直线交于，两点，点在椭圆内， ① 若直线的斜率不存在，易得，，不满足， 故设直线的方程为， 联立 ，化简得：， 所以，（1）， 又，，， 所以（2）， 由（1）（2）两式解得：，所以直线的方程为； ② 当直线的斜率不存在时，直线与的交点为，，则， 当斜率为0时，直线过点，故不能构成三角形， 当斜率存在且不为0时， 由① 知， ， 点到直线的距离， 所以， 令，则，， 则， ， 因为，所以， 综上，的面积的取值范围为． 【点睛】 关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中三角形面积范围问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及三角形面积公式代入计算. 43．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）方法一：点为线段的中点，理由如下：由题知直线的斜率存在，如下图所示： 设过点的直线的方程为，即． 联立 ，得． 整理得． 由，得． 设， 则 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 要证点为线段的中点，只需证明，即 因为 ， 即， 所以点为线段的中点 方法二：要证点为线段的中点，只需证明：． 只需证明： 只需证明：． 设直线的方程为，即． 由得． 整理得 由得 所以 显然，原命题为真． 【分析】 （1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）设，再根据点差法求解即可； （3）方法一：设过点的直线的方程为，联立椭圆方程，得出韦达定理，再证明即可； 方法二：化简可得只需证明：，再设直线的方程为，联立椭圆的方程，构造可得，进而根据韦达定理证明. (1) 小问详解： 由题可知 ，得． 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 设，已知RS的中点坐标为，则 所以，所以， 直线的方程为：，即 所以直线的方程为： (3) 小问详解： 略 44．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）已知点在椭圆上，椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 【答案】（1）     （2）① 证明：联立 ，消元整理得， 时， 设，，则，， AI 由， 得， 所以， 所以， 化简得，即， 所以或， 当时过点，不合题意，舍去， 所以，即，此时过定点. ②      【分析】 （1）由点在椭圆上、离心率定义、即关系求出即可； （2）① 直曲联立得到出韦达定理，表示出斜率，化简得到与的关系即可； ② 由弦长公式求出，再由点到直线的距离公式求出，然后结合基本不等式求出范围即可； (1) 小问详解： 由题意得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 此时，所以，设到直线的距离为， 则，， ， 当且仅当时，当时， 所以. 【点睛】 方法点睛：本题第二问的第一小问求直线过定点时，需利用韦达定理化简得到与的关系；第二小问求面积范围时，结合基本不等式讨论即可； 45．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知椭圆的离心率为点 在椭圆上，直线 与x轴交于点B.    （1）求椭圆的标准方程； （2）过点B的直线交椭圆于C，D两点（C在D的左侧），直线AC，AD分别与直线交于 E， F 两点，直线AC，AD的斜率记为. ①求证：为定值； ②点G为CF中点，若求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）①，直线的方程为. 联立该直线与椭圆方程得，化简得. 由，解得. 设，（）， 由韦达定理可得. 所以 ， 所以为定值，定值为. ②      【分析】 （1）根据离心率的值和椭圆上一点求得，进而求得椭圆方程即可. （2）① 设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理对进行化简即可验证结果.②先根据三角形面积公式将表达式用列出来，然后根据求根公式整理为关于的式子，利用换元法令转化为的函数求值域即可. (1) 小问详解： 由题意知， 因为，所以，所以. 所以，解得，则. 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ②设直线的方程为，即. 令，则，所以. 设直线的方程为，同理可得. 则由① 知，所以， 所以； . 又，所以. 由方程（）， 可得 所以， 令， 则 所以的范围是. 46．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）如图，，，垂足分别为，，异面直线，所成角为，，点，点分别是直线，上的动点，且，设线段的中点为.    （1）求异面直线与所成的角； （2）求的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）作出异面直线与所成的角，解三角形求得所成角的大小. （2）建立空间直角坐标系，根据列方程，结合椭圆的标准方程求得的取值范围. (1) 小问详解： 如图，过点作的平行线，过点作的平行线交于点， 则有是异面直线与所成的角或其补角. ，， ，， ，，平面， 平面，平面，， ，，为锐角， ，即异面直线与所成的角为. (2) 小问详解： 如图，过的中点分别作，的平行线，， 以为坐标原点，的外角平分线、内角平分线分别为轴，轴， 过点并且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意可知，，设，， 则，， 从而， 且. 所以.    因为，，， 所以，， 所以，即, 所以点的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为, 点，所以. 47．（25-26学年高二上·内蒙古期中学·期中）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. （1）求椭圆C的方程. （2）若直线l的斜率为，求的面积. （3）设点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由题意得，结合可求出，从而可求出椭圆方程； （2）设，求出直线的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可求出的面积； （3）设，，由，得，将代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合前面的式子得 ，两式相比化简可求得，代入其中的一个化简可求得点Q的轨迹方程. (1) 小问详解： 由题意得 ，由得，得， 所以，得，则， 故椭圆C的方程为； (2) 小问详解： 由（1）可知，则， 因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 设， 由 ，得， 所以， 所以， 因为点到直线的距离为， 所以的面积为； (3) 小问详解： 设，， 则， 因为， 所以， 所以（*）， 直线l的方程为， 由 ，得， ， 则， 所以 ， 代入（*），可得： ， 当时，，得（且）， 所以， 化简整理得 当时，得，，即，满足上面的方程， 所以点Q的轨迹方程为 48．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知椭圆的左、右焦点分别，左、右顶点分别为，若______．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答.（若都选择，则按照第一个解答给分） ①，． ②椭圆长轴长为，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的弦与椭圆相交于两点.当点变化时，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 【答案】（1）     （2）是，      【分析】 （1）选① ，由题可得 ，由此解得得解；选② ，可得由此解得得解； （2）由题可知直线和与轴都不平行，设直线：与椭圆方程联立，求得点的坐标，进而表示直线的方程，令，求得为定值，得解. (1) 小问详解： 由题意，椭圆焦点在轴上， 若选① ，则 ，则， 所以椭圆的标准方程为. 若选② ，则，得，所以， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题可知直线和与轴都不平行， 设直线：，联立 ，消去得：， 设，则. 设，用代替得. 所以直线的方程为， 令，得， 所以直线过定点. 49．（2026·黑龙江牡丹江东宁第一中学·联考）椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点. ①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； ②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值. 【答案】（1）     （2）① 由相似比可知，，解得 ，所以椭圆：， 设，则直线的方程为，即， 记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以， 又点在椭圆上， 所以， 所以，为定值．    ②      【分析】 （1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得； （2）① 设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案； ②由题知椭圆的标准方程为，进而结合点在椭圆上得，故设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而得其对应的方程，再与椭圆联立方程并结合韦达定理，弦长公式得、，进而得． (1) 小问详解： 对于椭圆：，长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 依题意可得，所以， 则椭圆的离心率. (2) 小问详解： ① 略 ② 由相似比可知，，解得 ，所以椭圆：， 其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点， 设，易知直线、的斜率均存在且不为， 所以， 因为在椭圆上，所以，即， 所以． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由 ，得， 设，，则，， 所以 ， 同理可得， 所以． 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 50．（25-26学年高二上·吉林联盟校考试·期中）已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 【答案】（1）     （2）设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，． 将代入，整理得， 解得或，则， 可得． 将代入可得，解得或， 则，所以． 直线的斜率为， 因此直线方程为， 化简得，于是直线经过定点． 【分析】 （1）依题意可得 ，解得、即可； （2）设、的斜率分别为、，，即可得到，，联立直线与曲线方程求出、点坐标，即可求出直线的方程，从而求出定点坐标. (1) 小问详解： 依题意可得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． （2）动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 51．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已知椭圆及其蒙日圆，且椭圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形的面积的比值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据蒙日圆的定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可. 【详解】 蒙日圆的标准方程为，不妨设为蒙日圆与轴正、负半轴交点，为蒙日圆与轴负、正半轴交点， 可知. 则直线的方程为， 由 ，消得到， 令， 解得，， 所以，所以， 所以四边形的面积为， 易知四边形为正方形，且， 所以四边形的面积为， 所以四边形与四边形的面积的比值为， 因为椭圆离心率为 ，所以，得，即， 所以. 故答案为：. 52．（2026·吉林吉林·调研）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆：（且）是椭圆的相似椭圆． （1）求椭圆及椭圆的标准方程； （2）过椭圆上一点作椭圆的切线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求证：的面积为定值； （3）如图1，为坐标原点，椭圆的右顶点、上顶点、下顶点分别为，点在线段上运动，点．如图2，将所在平面沿直线折成直二面角，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长． 【答案】（1），     （2）证明见解析     （3）．      【分析】 （1）由题意可得，，结合，求解即可；将代入即可得的标准方程； （2）（法一）分直线斜率存在与不存在，结合韦达定理及三角形面积公式，求得，即可得证； （法二）分直线斜率是否为0，结合韦达定理及三角形面积公式，求得，即可得证； （法三）利用两点间的距离公式求得，利用点到线的距离公式求得点到直线的距离，最后根据三角形面积公式，求得，即可得证； （3）利用空间向量求解即可. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为． 因为椭圆离心率为 所以， 又因为 所以， 因为 所以， 所以椭圆的标准方程为． 当时，椭圆的标准方程为． (2) 小问详解： （法一）证明：当直线斜率不存在时，直线方程为， 当时，代入椭圆，得 所以，则． ． 当直线斜率存在时，设直线方程为， 设， 联立 ， 消去，得． 则， 化简得． 联立 ， 消去，得． 因为， 由韦达定理得． ． 综上，的面积为定值． （法二）证明：当直线斜率为0时，直线方程为， 当时，代入椭圆，得 所以，则． ． 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立 ， 消去，得． 则， 化简得． 联立 ， 消去，得． 因为，由韦达定理得，． ． 综上，的面积为定值． （法三）利用，化简得， 则，点到直线的距离， 所以． (3) 小问详解： 折叠后，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则． 点在线段上运动， 设． 因为， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则． 则 ， 取，则， 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则． 所以，解得或（舍）． 所以， 即点是线段的中点， 所以． 即的长为． 考点02 双曲线 1．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）双曲线的渐近线方程为（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 令，化简即得双曲线的渐近线方程. 【详解】 令，整理即得. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 椭圆的长轴长为，短轴长为 D. 双曲线的离心率 【答案】BD 【分析】 根据椭圆和双曲线的性质求解即可. 【详解】 对于A：因为椭圆方程为：， 所以，焦点在轴上， 又，所以椭圆的焦点坐标为，故A错误； 对于B：因为双曲线的方程为：，所以，焦点在轴上， 所以该双曲线的顶点坐标为，故B正确； 对于C：因为椭圆方程为：，所以， 所以长轴长为，短轴长为，故C错误； 对于D：因为双曲线的方程为：，所以， 所以，所以离心率，故D正确； 故选：BD 3．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）（多选）已知，分别为双曲线的实轴端点，，是双曲线上关于原点对称的两点（异于实轴端点），且，则下列说法中正确的是（       ） A. 双曲线的离心率不确定 B. 双曲线的离心率为 C. 的值不受点，位置的影响 D. 双曲线的渐近线方程为 【答案】BCD 【分析】 设，由及双曲线的方程可得到关于的方程，进一步可判断选项. 【详解】 设，则，设，， 得，则， 所以，故B正确，A不正确． 由于，是双曲线上关于原点对称的两点（异于实轴端点）， 因为四边形为平行四边形，所以，所以，故C正确． 由于，则渐近线方程为，故D正确． 故选：BCD． 4．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意求出的值，即可求得答案. 【详解】 双曲线中，半焦距为，即， 又双曲线一个顶点坐标为，即，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 5．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）双曲线E：（，）的离心率为，则双曲线E的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，可知该双曲线焦点在轴上，则它的渐近线方程为，再根据双曲线离心率，求出的值，从而可求出该双曲线的渐近线方程. 【详解】 根据题意，双曲线的离心率， 可知该双曲线焦点在轴上，则它的渐近线方程为， 而，则，所以， 故渐近线方程为， 故选：D. 6．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解 【详解】 因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B 7．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】 因为的渐近线上一点满足，且，    所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：B 8．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用离心率公式与渐近线方程公式定义计算即可得. 【详解】 由的焦点在轴上， 故， 故的渐近线方程为. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）若双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  【答案】B 【详解】利用渐近线与圆相切得到圆心到渐近线的距离，列出方程得到a和b的关系，再由a，b，c的关系得到a和c的关系，最后求除双曲线的离心率即可． 【详解】 取双曲线的渐近线，即， ∵双曲线（，)的渐近线与相切， ∴圆心到渐近线的距离， ∴，化为， 两边平方得， 再由a，b，c的关系可得即， ∴，又，所以. 故选：B. 【点睛】 本题考查双曲线简单几何性质的应用，考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于常考题. 10．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）如图所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且 ，，则的离心率为（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意设，结合双曲线定义可得，在中，由勾股定理列式求得，得解. 【详解】 如图，由，得，设， 由双曲线定义，得， 所以，， 在中，可得，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B. 11．（25-26学年高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】（1）或     （2）      【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. (1) 小问详解： 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组 ，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； (2) 小问详解： 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 12．（25-26学年高二上·吉林地区普通高中友好学校·期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由双曲线实轴长为2可得，再利用右焦点到的距离为可得，即可求得双曲线的方程； （2）联立直线和双曲线方程容易解出，两点坐标即可求得的面积. (1) 小问详解： 设双曲线的焦距为， 因为双曲线的实轴长为2，所以，解得. 因为右焦点到的距离为，所以，解得或. 因为，所以.可得， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立直线和双曲线 可得， 即，或 不妨设，，所以. 所以. 即的面积为 13．（25-26学年高二上·黑龙江伊春嘉荫县第一中学·期中）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，实轴长为2.直线与双曲线相交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若的中点为，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. (1) 小问详解： 根据题意，已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则 实轴长为2.，则，解得， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 解法一：由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立 ，化简得， 则，且， ， 由为的中点，得 ，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 解法二：由（1）知，双曲线的方程为 设，， 则 ，化简得， 由为的中点，得， 则， 所以直线的方程为，经过点，所以，经验证此时直线与双曲线有两个交点， 所以直线的方程为. 14．（25-26学年高二上·黑龙江龙东十校联·期中）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，点为右支上一动点，直线与双曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当点在第四象限且轴时，直线为的等线. （1）求双曲线的标准方程； （2）若是四边形的等线，求四边形的面积； （3）设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线. 【答案】（1）     （2） ；     （3） 设，由，所以， 又，所以，即， 故曲线的方程为. 由（*）知切线为，也为，即，即， 易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为， 由（2）知， ， 由得 ， 因为， 所以直线为的等线.      【分析】 （1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可. （2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可. （3）设，求出直线的方程，然后计算出点到的距离，结合“等线”的定义证明即可. (1) 小问详解： 由题意知，显然点在直线的下方， 因为直线为的等线，所以，又， 解得，所以的方程为. (2) 小问详解： 设，切线，代入， 得， 故， 该式可以看作关于的一元二次方程，方程仅一个根， 所以，即方程为，当的斜率不存在时，也成立. 渐近线方程为，不妨设在上方， 联立得，故， 所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等， 则过点的等线必定满足:到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为， 由 ，解得 ，故. 所以， 所以， 所以，所以. (3) 小问详解： 略 考点03 抛物线 1．（2026·内蒙古通辽部分学校·联考）已知抛物线C：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（       ） A.  B.  C. 8 D. 4 【答案】C 【分析】 先判断的形状，再结合抛物线的几何性质求的边长. 【详解】 如图：    因为抛物线方程为，所以焦点，准线：. 因为直线的倾斜角为，且轴，所以. 又点在抛物线上，所以，故为等边三角形. 过作轴的垂线，垂足为，则，且，所以. 所以. 故选：C 2．（25-26学年高二上·黑龙江哈尔滨道外区·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则　　　　　　　　　　　　　. 【答案】8 【分析】 因为抛物线的准线为，是上一点，所以设点，，利用，求得，即可求得答案. 【详解】 抛物线的准线的方程为，焦点为. 设点，， ，即 ， 可得： ，即 ，代入 解得： ，即 由两点间距离公式可得: . 故答案为：8. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $