第3章 实数 知识清单 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第3章　实数 依据浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章在有理数的基础上，把数的范围扩充到实数，共四节：3.1平方根；3.2从有理数到实数；3.3立方根；3.4实数的运算。内容从平方根与算术平方根出发，引入无理数，建立实数概念，再学习立方根与实数的简单运算。 【考点地位】本章是数系从有理数扩充到实数的关键章节，平方根、立方根、无理数与实数的概念是中考高频考点，常与数轴、绝对值、实数大小比较结合考查，也是后续二次根式学习的基础。 【学习目标】①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示；②了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；③会求非负数的平方根和实数的立方根；④知道有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。 【知识结构图】按“章→节→核心知识点”三层呈现如下。 章 节 核心知识点 第3章 实数 3.1 平方根 平方根；开平方；算术平方根 3.2 从有理数到实数 无理数；实数的概念与分类；实数与数轴 3.3 立方根 立方根；开立方 3.4 实数的运算 实数的运算顺序；运算律的推广 二、核心公式定理 【速查表】集中列出本章概念与运算结论，复习时逐条对照教材原文。 名称 公式 说明 平方根 若x的平方等于a，则x叫a的平方根 算术平方根 正数的正平方根；0的算术平方根是0 平方根的个数 正数有两个平方根，互为相反数 0的平方根是0；负数没有平方根 立方根 若x的立方等于a，则x叫a的立方根 立方根的个数 正数一个正立方根，负数一个负立方根 0的立方根是0 实数分类 实数{有理数，无理数} 有理数=有限小数和无限循环小数；无理数=无限不循环小数 实数运算顺序 先乘方和开方，再乘除，最后加减；括号先算 有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用 三、考点知识梳理 （一）3.1　平方根 【平方根的概念】一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。例如，因为5²=25，(−5)²=25，所以25的平方根是5和−5。 图1 面积为1.44平方米的正方形求边长 【平方根的性质】一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 【平方根的表示】正数a的正平方根记作，读作“根号a”；正数a的负平方根记作−。这两个平方根合起来可记作±，读作“正、负根号a”。求一个数的平方根的运算叫作开平方。 【算术平方根】正数a的正平方根也叫作a的算术平方根；0的算术平方根是0。a（a≥0）的算术平方根记作。 （二）3.2　从有理数到实数 【无理数】无限不循环小数叫作无理数。如π，以及开方开不尽的数等。 图2 2×2方格中的阴影正方形 【实数的概念】有理数是有限小数和无限循环小数的统称；有理数和无理数统称实数。 【实数的分类】实数可分为有理数和无理数：有理数包括正有理数、零、负有理数（即有限小数和无限循环小数）；无理数包括正无理数和负无理数（即无限不循环小数）。 【实数与数轴】实数与数轴上的点是一一对应的。数的范围扩充到实数后，相反数、绝对值等概念同样适用。 （三）3.3　立方根 【立方根的概念】一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根。a的立方根记作，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。求一个数的立方根的运算叫作开立方。 【立方根的性质】一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 （四）3.4　实数的运算 【实数的运算顺序】实数运算时，先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；若遇到括号，则先进行括号里的运算。有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】平方根有正负两，零归自己负没有；算术根取正的那，根号上压一小二；立方根不分正负，正数正来负数负；无理数不循环，实数有理加无理。 【对比记忆】平方根与立方根对比： 项目 平方根（二次方根） 立方根（三次方根） 表示 ±（a≥0） （a为任意实数） 正数 有两个，互为相反数 有一个正的立方根 零 平方根是0 立方根是0 负数 没有平方根 有一个负的立方根 【易混对比】无限小数不一定是无理数：无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数；带根号的数也不一定是无理数，如=4是有理数。 五、解题方法总结 题型1　求平方根、算术平方根与立方根 【解题方法】①先判断被开方数的正负；②平方根要写±（正数），算术平方根只取正；③立方根注意负数也有立方根，且为负。 【数学思想】分类讨论思想：按正数、零、负数分类确定根的个数与符号。 题型2　识别无理数与实数分类 【解题方法】①看是否无限不循环；②能化简的先化简，如=4是有理数；③分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。 【数学思想】数形结合：实数与数轴上的点一一对应。 题型3　实数的简单运算与大小比较 【解题方法】①按“乘方开方→乘除→加减”的顺序；②比较大小可平方/立方后比较，或估计在哪两个整数之间。 【数学思想】估算与对应思想：用相邻整数估计无理数的大小。 六、易错点清单 【清单】逐条对照自查，重点防根的个数与符号错误。 易错点 正确做法 求4的平方根只写2（漏掉−2） 正数有两个平方根，应为±2 认为负数也有平方根 负数没有平方根；但负数有立方根 认为无限小数都是无理数 无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数 认为带根号的数都是无理数 能开得尽方的是有理数，如=4 把算术平方根与平方根混为一谈 算术平方根只取正的，平方根要带± 七、高频考点速记 ①若一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 ②正数a的正平方根叫a的算术平方根，记作；0的算术平方根是0。 ③无限不循环小数叫无理数；有理数是有限小数和无限循环小数的统称。 ④有理数和无理数统称实数；实数与数轴上的点一一对应。 ⑤一个数的立方等于a，这个数叫a的立方根，记作；正数有一个正立方根，负数有一个负立方根，0的立方根是0。 ⑥实数运算先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；括号先算。 ⑦有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。 八、学情自测 （一）选择题 1．4的平方根是（ ） A．2 B．−2 C．±2 D．16 2．下列各数中，是无理数的是（ ） A．0 B． C． D． 3．的值是（ ） A．3 B．−3 C．±3 D．81 4．8的立方根是（ ） A．2 B．−2 C．±2 D．4 5．下列说法正确的是（ ） A．无限小数都是无理数 B．带根号的数都是无理数 C．无理数是无限不循环小数 D．有理数就是有限小数 6．−8的立方根是（ ） A．2 B．−2 C．±2 D．4 7．0的算术平方根是（ ） A．0 B．1 C．−1 D．不存在 8．下列各数中，属于有理数的是（ ） A．π B． C． D． 9．下列判断错误的是（ ） A．负数没有平方根 B．0的平方根是0 C．−1的立方根是−1 D．1的平方根只有1 10．估计的值在哪两个整数之间（ ） A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．19和21 11．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．3与 B．2与 C．与− D．与3 12．比较与3的大小，结果是（ ） A．>3 B．<3 C．=3 D．无法比较 13．下列运算正确的是（ ） A．=±4 B．=2 C．=3 D．=−2 （二）填空题 14．=________；=________。 15．比较大小：________2（填“>”“<”或“=”）。 16．写出一个你熟悉的无理数：________。 （三）解答题 17．求下列各式的值：；；。 18．一个正方形的面积是49平方厘米，它的边长是多少厘米？ 九、参考答案 （一）选择题 1．【答案】C 解题步骤： ①因为2²=4，(−2)²=4，所以4的平方根是±2。 【知识点睛】正数有两个互为相反数的平方根，其中正的那个叫算术平方根；0的平方根与算术平方根都是0，负数没有平方根。 2．【答案】C 解题步骤： ①是无限不循环小数，是无理数；0、是有理数，=2也是有理数。 【知识点睛】无理数是无限不循环小数；带根号但开得尽方的数是有理数（如4的算术平方根是2），π是典型的无理数。 3．【答案】A 解题步骤： ①表示9的算术平方根，即正的平方根，等于3。 【知识点睛】算术平方根只取正的那个平方根；9的算术平方根等于3，不要把平方根写成正负两个。 4．【答案】A 解题步骤： ①因为2³=8，所以8的立方根是2。 【知识点睛】任何实数都有唯一的立方根，其符号与被开方数一致：正数的立方根为正，8的立方根是2。 5．【答案】C 解题步骤： ①无理数是无限不循环小数；无限循环小数是有理数；带根号但开得尽方的是有理数。 【知识点睛】无理数是无限不循环小数；无限循环小数是有理数，带根号的数也不一定是无理数。 6．【答案】B 解题步骤： ①因为(−2)³=−8，所以−8的立方根是−2。 【知识点睛】负数的立方根是负数：因为负2的立方等于负8，所以负8的立方根是负2，不要误写成2。 7．【答案】A 解题步骤： ①0的算术平方根是0。 【知识点睛】0的算术平方根是0；正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。 8．【答案】C 解题步骤： ①=4，是有理数；π、、都是无理数。 【知识点睛】能化简的先化简：16的算术平方根是4，是有理数；π和无限不循环小数是无理数。 9．【答案】D 解题步骤： ①1的平方根是±1，不只有1，故D错误。 【知识点睛】1的平方根是正负1，不只有1；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0。 10．【答案】B 解题步骤： ①因为4²=16，5²=25，而16<20<25，所以在4和5之间。 【知识点睛】估计带根号的数在哪两个整数之间，先找相邻完全平方数：16小于20小于25，故它在4与5之间。 11．【答案】C 解题步骤： ①A中＝3，3与3相等；B中＝2，2与2相等，均不互为相反数；②C中＝2，2与−2互为相反数；D中＝3，3与3相等。故选C。 【知识点睛】互为相反数的两数和为0：4的算术平方根是2，与负2互为相反数；先化简带根号的数再判断。 12．【答案】A 解题步骤： ①因为3²=9，而10>9，所以>3。 【知识点睛】比较带根号的数与整数时两边平方：10大于9，故根号10大于3。 13．【答案】B 解题步骤： ①=2正确；A应为4，C应为−3，D中负数没有算术平方根。 【知识点睛】算术平方根只取正：16的算术平方根是4，4的算术平方根是2；负数没有算术平方根。 （二）填空题 14．【答案】4；3 解题步骤： ①表示16的算术平方根，等于4；②表示27的立方根，等于3。 【知识点睛】先看清是平方根、算术平方根还是立方根，再定符号。 15．【答案】> 解题步骤： ①因为2²=4，而5>4，所以>2。 【知识点睛】比较带根号的数与整数，可平方后比较。 16．【答案】π（答案不唯一） 解题步骤： ①π是无限不循环小数，是无理数；、等也都是无理数。 【知识点睛】无理数的本质是无限不循环。 （三）解答题 17．【答案】5；−4；0 解题步骤： ①=5；②=−4；③=0。 【知识点睛】负数的立方根是负数；0的平方根与立方根都是0。 18．【答案】它的边长是7厘米 解题步骤： ①设边长为x厘米，由正方形面积公式得x²=49；②因为7²=49，且边长取正，所以x=7（厘米）。 【知识点睛】实际问题中边长取算术平方根（正数）。 学科网（北京）股份有限公司 $