第三章实数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材浙教版

第三章 实数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 平方根 1.1 平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫作 的平方根，也叫作 的二次方根。 示例：因为 ，，所以 和 都是 的平方根。 1.2 平方根的性质 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 示例： 的平方根是 ； 的平方根是 ； 没有平方根。 1.3 平方根的表示 一个正数 的正平方根用表示（读作”根号 “）； 的负平方根用 表示（读作”负根号 “），因此，一个正数 的平方根就用 表示（读作”正、负根号 “），其中 叫作被开方数。 示例： 的正平方根是 ，负平方根是 ，所以 的平方根是 。 1.4 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此，可以运用平方运算求一个数的平方根。 示例：求 的平方根，就是找一个数，使这个数的平方等于 。 1.5 算术平方根 正数的正平方根称为算术平方根， 的算术平方根是 。一个数 （）的算术平方根记作 。 示例： 的算术平方根是 ，即 。 注意： 表示算术平方根，其结果一定是非负数。 2. 从有理数到实数 2.1 无理数 像 这种无限不循环小数叫作无理数。 示例：、、 都是无限不循环小数，所以都是无理数。 注意：无限不循环小数既不是有限小数，也不是无限循环小数，不能化为分数。 2.2 无理数的分类 和有理数一样，无理数也可分为正无理数和负无理数。 示例：、、、 都是正无理数；、、、 都是负无理数。 2.3 实数 如果我们把整数看作小数部分为零的有限小数，那么有理数便是有限小数与无限循环小数的统称。有理数和无理数统称实数。 示例：、、 是有理数；、 是无理数；它们都是实数。 2.4 实数与数轴上的点一一对应 在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。我们说实数和数轴上的点一一对应。 示例： 对应数轴上的原点， 对应原点右边 个单位长度的点。 2.5 实数的相反数与绝对值 把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用。 示例： 与 互为相反数；。 2.6 实数的大小比较 有理数的大小比较法则也适用于实数。在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。 示例：在数轴上， 在 的左边，所以 。 3. 立方根 3.1 立方根的定义 一般地，一个数的立方等于 ，这个数就叫作 的立方根，也叫作 的三次方根，记作 。其中 是被开方数， 是根指数，符号 读作”三次根号”。 示例：因为 ，所以 是 的立方根，即 ；因为 ，所以 是 的立方根，即 。 注意： 中的根指数 不能省略，要写在根号的左上角。 3.2 开立方 求一个数的立方根的运算，叫作开立方。开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方运算求一个数的立方根。 示例：求 的立方根，就是找一个数，使这个数的立方等于 。 3.3 立方根的性质 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 示例：；；。 4. 实数的运算 4.1 实数运算的顺序 实数运算的顺序是：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。若遇到括号，则先进行括号里的运算。 示例：。 4.2 运算法则和运算律的推广 数从有理数扩展到实数后，有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用。 示例：，说明加法交换律在实数范围内仍然成立。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 算术平方根的双重非负性 具有双重非负性：被开方数 ，且 。凡题目中出现 ，则 自动满足 ， 表示一个非负数。 1.2 与 的区别 （）；，即当 时 ，当 时 。 【使用提醒】 的结果是非负数，先把 写成 ，再根据 的符号去掉绝对值。 1.3 立方根的符号与被开方数一致 ；互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 1.4 算术平方根、立方根随被开方数增大而增大 当 时，，；被开方数越大，其算术平方根（立方根）越大。据此可比较大小、估算无理数的范围。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求平方根、立方根的规范步骤 先写出”因为……，所以……“的完整依据。求平方根：先由 定出 ，再写 的平方根是 ；求立方根：先由 定出 （符号与被开方数一致），再写 的立方根是 。如求 ：因为 ，所以 。 2.2 估算无理数大小的夹逼法 先找相邻整数 、 使 （或 ），确定整数部分；再逐步逼近十分位、百分位……如 ，故 。 2.3 化简 型式子的方法 先把 写成 ，再根据 的符号去掉绝对值： 时结果取 ， 时结果取 。如 。 2.4 实数大小比较的方法 正数可直接平方（或立方）比较：、 为正数时，若 则 ；也可取无理数的近似值比较，或在数轴上用”右边的数总比左边的大”来比较。如 与 ：，故 。 3. 大小比较 / 化简 / 估算小技巧 技巧 要点 示例 熟记常用平方与立方 熟记 ～ 及 ～ 的值，开方时直接对号入座 ， 熟记常用无理数近似值 记 、、，比较大小、近似计算时直接代 完全平方数的末位特征 完全平方数的末位只能是 、、、、、，据此快速判断能否开得尽 个位是 、、、 的数一定不是完全平方数 奇次方根符号判断 立方根符号与被开方数相同，先定符号再求值 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：混淆”平方根”与”算术平方根” 典例：求 的平方根。 错解： 的平方根是 。 正解：因为 ，所以 的平方根是 ；而 的算术平方根才是 ，即 。 原因：概念理解错误。学生把”平方根”与”算术平方根”混为一谈，只记住”开方得到一个正数”的直觉。“平方根”是一个正数的正、负两个根，“算术平方根”特指其中非负的那一个（记作 ），两者不能等同。凡问”平方根”必须写 ，问”算术平方根”只写非负的那一个。 易错点 2：化简 时漏掉绝对值 典例：计算 。 错解：。 正解：。 原因：概念理解错误。学生把”开方”与”乘方”简单抵消，误以为 。实际上 表示 的算术平方根，其结果必须是非负数，所以要先写成 ，再根据 的符号去掉绝对值。当被开方数里的数是负数时，最容易直接照搬 而出错。 易错点 3：误认为负数没有立方根 典例：判断下列说法是否正确：“ 没有立方根”。 错解：正确，因为负数不能开方。 正解：错误。 的立方根是 ，即 （因为 ）。一个负数有一个负的立方根。 原因：思维迁移错误。学生把”负数没有平方根”这一性质不加区分地迁移到立方根上。平方根是平方运算的逆运算，而任何数的平方都非负，所以负数没有平方根；但立方是奇次方，负数的立方仍为负数，因此负数有立方根且为负数。偶次方根与奇次方根对负数的处理不同。 易错点 4：忽略被开方数的非负性 典例：求使 有意义的 的取值范围。 错解：。 正解：被开方数必须是非负数，由 ，得 。 原因：忽略隐含条件。 只有当 时才有意义，这是开平方运算成立的前提。学生看到字母 就默认 ，没有把”被开方数 （整个式子）“作为一个必须检验的条件。凡含 的式子，先由被开方式 确定自变量的取值范围。 易错点 5：化简含无理数的绝对值时不判断符号 典例：计算 。 错解：。 正解：因为 ，所以 ，，故 。 原因：忽略绝对值的定义。去掉绝对值前必须先判断绝对值符号内的式子的符号； 是”无理数减有理数”，其符号取决于 与 的大小，不能想当然认为 。应先比较 与 （可用平方比较法），再决定是否变号。 学科网（北京）股份有限公司 $