专题04 联立直线与圆方程的韦达定理应用（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04联立直线与圆方程的韦达定理应用 题型归纳 题型一数量积为定值 题型二垂直关系的代数转化 题型三斜率关系 题型四长度比与面积比 题型专练 题型一：数量积为定值 1.已知0为坐标原点，直线：x+my-3m=0与圆C:x2+(y-1=4交于A,B两点，且OA·OB=6, 则m=() A.±1 B.±V3 C.±2 D.±5 2.已知圆C:x2+y2-6x-4y+12=0,M,N是圆上的两点，点A1,0,且AM=λAN,则AM·AN 的值为() A.7 B.7 c.2V2 D.8 3.已知直线y=-2x+ala>01与圆X+y-9相交于A、B两点，且OA·OB=号，则实数a的值等于 4.己知过点A(0,1)且斜率为k的直线1与圆C:(x-2}+(y-3P=1交于M,N两点.若0M·ON=12, 其中O为坐标原点，则原点到直线的距离是 5.已知在△ABC中，∠A=90°，BC=2,∠A的角平分线与△ABC的外接圆O相交于点D, AD=3,则ABAC=() A.1 B.3 c.V3-1 D.V6-2 6.已知直线l:x+y-2=0与圆O:x+y2=10相交于A,B两点，则AB·OA的值为() 114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-8 B.16 c.-16 D.8 7.己知圆C:x一3P+y一4P=4,直线l1上定点A1,0,若l1与圆相交于P,Q两点线段PQ的中 点为M,又l1与l2:x十2y+2=0的交点为N,则AM:AN的值为 8.已知圆C:x-3+y=4,过点A(2,0)的直线1交圆C于MN两点，且OM·ON=2,则直线1 的方程是一 题型二：垂直关系的代数转化 1.已知圆C:x+y+X-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点，O为坐标原点，若OP.OQ=0, 则实数m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知直线q1:x-ky-5=0与圆O:x2+y2=10交于A,B两点且OA·OB=0,则k=() A.2 B.±2 c.±V2 D.2 3.已知圆C:x2+y-x-8y+m=0和直线X+2y-6=0交于P,Q两点，定点R1,1,若PR⊥QR, 则m的值 4.已知直线y=x+m和圆x2+y=1交于A,B两点，O为坐标原点，若0A·OB=0,则实数m= 5.已知点A(1,4)和B(2,1,点P在y轴上，且∠APB为直角，则点P坐标为() A.0,2 B.0,2或0,3 c.0,2或0,4 D.0,3 6.设O为坐标原点，曲线x2十y2+2x一6y十1=0上有两点P,Q,它们关于直线x+y十4=0对称，且 OP.OQ=0,则直线Pg的方程为() A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1 D.y=x+1 7.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,斜率为1的直线l与C交于A,B,以AB为直径的圆过原点，则直 线的方程为 题型三：斜率关系 1.已知直线l:(m+2)x+(1-2m)y+6m-3=0与圆C:x2+y2-4x=0,设0为坐标原点，若直线1与 214 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆C交于M,N两点，且直线OM,ON的斜率分别为k1,k2,则k1+k2= 2.过点M1,0的直线为l,N为圆C:x2+y-2=4与y轴正半轴的交点.若直线l与圆C交于A,B两点， 则直线AN,BN的斜率之和为· 3.已知圆C:x2+(y-22=1,圆C与y轴交于A0,3,B0,1,斜率存在且过原点O的直线l与圆C相交 于M,N两点，直线AM与直线BN相交于点P,直线AM、直线BN、直线OP的斜率分别为k1,k2,k3, 则() A.k1+6k2=k3 B.k1+2k2=k3 C.2k1+k2=k3 D.k1+k2=k3 4.已知A1,0是圆O:x2+y2=r2上一点，BC是圆O的直径，弦AC的中点为D.若点B在第一象限，直线 AB、BD的斜率之和为O,则直线AB的斜率是( ) 4.、 4 2 c.-5 D.-2V5 5.直线l:y=3x+2与圆C:x-V5+y-2=6交于A,B两点，则直线CA与直线CB的倾斜角之 和为 6.已知直线l:ax+by-b=0与圆C:x-12+y=4交于A,B两点，若直线AC与BC的斜率分别为k1, k2,且k1+k2=0,则ab= 7.设直线：y=kx+号与圆C:x2+y=1交于4，B两点，对于任意的实数k,在y轴上存在定点D0.t小 使得∠ADB的平分线在y轴上，则t的值为 题型四：长度比与面积比 1.过原点O的直线与圆C:x-12+y+2?=9交于A,B两点，若AO=2OB,则直线l的斜率为 2.在平面直角坐标系xOy中，过点A(0,-3)的直线1与圆C:x2+(y-22=9相交于M,N两点，若 SAACM,则直线1的斜率为 3.过点P1,0作直线1交圆C:x2+y2=4于点M,N,若MP=2PN,则点N的横坐标是() 7 A. B.2 V15 C.± 4 D.-2 3/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.过点P-2,0作直线1交圆C:x2+y=1于点M,N,若PM=MN,则点M的横坐标是() 4.、之 8 9 D.4 5.已知过点A-3,V3的直线1与圆x2+y2=12交于A,B两点，过A,B分别作1的垂线与x轴交于C,D 两点，若<A0B号则CD 6.已知圆C的方程为x2+y-4=4,点0是坐标原点.直线1：y=kx与圆C交于M,N两点.设Qm,n 2=1+1 是线段N上的点，且DQP IOMPONP.可将n表示为m的函数为 414可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04联立直线与圆方程的韦达定理应用 题型归纳 题型一数量积为定值 题型二垂直关系的代数转化 题型三斜率关系 题型四长度比与面积比 题型专练 题型一：数量积为定值 1.已知0为坐标原点，直线：x+my-3m=0与圆C:x2+(y-1=4交于A,B两点，且OA·OB=6, 则m=() A.±1 B.±V3 C.±2 D.±5 【答案】B 【分析】设Ax1,y,Bx2,y2,联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表 示得到方程，解得即可。 【解析】设Ax1,y,Bx2,y2,则OA=x,y,OB=x,y2, x+my-3m=0 由×+y-1P=4 消去x整理得m2+1y2-2+6m2y+9m2-3=0, 则4=-2-6m2-4m2+119m2-3=16>0, 所以y1+y2= m2+1,hy=9m23 2+6m2 m2+1 xx2=(3m-my13m-m y2)=9m2-3m2y1+y2+my1y2 =9m2-3m2x2+6m+m2x9m-3=0, m+1 m+1 所O方OB=XX,+yy,=9m3=6,解得m=±3 m2+1 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 2.已知圆C:x2+y2-6x-4y+12=0,M,N是圆上的两点，点A1,0,且AM=λAN,则AM·AN 的值为() A.7 B.7 c.2V/2 D.8 【答案】B 【分析】根据给定条件，设出直线MN的方程，与圆C的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标 表示求解即得」 【解析】圆C:(x-3P+(y-2P=1的圆心C(3,2),半径r=1,由AM=λAN,得点A,M,N共线， ℃ 显然直线MN不垂直于坐标轴，设直线MN的方程为X=ty+1,且1+ 2t-2<1.4-7<<4+7 3 3， x=ty+1 (x-3}+y-2P=1消去x得：(t+1y-4t+1y+7=0,设Mx,y,N(x,, 则y1y2 1AM=(x-1,y)=(tyy),AN=(tyay2). 所以AM·AN=ty1y2+y1y2=(t+1)y1y2=7. 故选：B 3.已知直线y=-2x+ala>0与圆2+y2=9相交于4、B两点，且O方，OB=号，则实数a的值等于 3V15 【答案】 2 【分析】设点坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理以及向量数量积的坐标公式得到关于参数的等式， 即可计算结果 【解析】设Ax1,y1,BX2,y2, y=-2x+a 由x+y2=9 可得5x2-4ax+a2-9=0: 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为直线与圆有两个交点，故△=16a2-20a2-9>0,解得a2<45, 因为a>0,故a<3V5: 根据韦达定理可得x+X,=4 5,￥x2=Q2-9 5 则yy,2x+aj川-2x+a=4xx-2ax+x+a2=g_36 5 因为OA=x1,y,OB=x,y2 则070=%x+yy,-9+日36-d-9 5 5 2解得a=315 2 4.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线与圆C:(x-22+(y-3)2=1交于M,N两点若OM·ON=12, 其中O为坐标原点，则原点到直线的距离是 2 【答案】2 【分析】求出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示，列式求出k,进而求 出点到直线距离 【解析】依题意，直线l:y=kx+1,设M(x1,y1,N(X2y2), y=kx+1 由(x-22+y-3}P=1消去y得1+k2)X-41+k)x+7=0, 1+k2,七 4(1+k) 则水+X2= 1+k2,y1y2=(kx1+1kx3+1)=k2x1x2+k(x1+X2)+1, 于是O应-可N=XX+y-1+k2)XX+kX+x,1-4k1中+8=12，解附k=1, 1+k2 当k=1时，方程(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0中△=82-4×2×7>0，符合题意， 1_V2 所以1的方程为y=x+1,原点到直线的距离是22 故答案为：2 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知在△ABC中，∠A=90°，BC=2,∠A的角平分线与△ABC的外接圆O相交于点D, AD=V3,则AB·AC=() A.1 B.3 c.V3-1 D.V6-V2 【答案】A 【分析】以A为坐标原点，AC为X轴，AB为y轴建系，确定△ABC的外接圆方程，结合∠A的角平 分线方程，求得D的坐标，即可求解. 【解析】 B 以A为坐标原点，AC为X轴，AB为y轴建系， 设Cc,0,B0,b,则b2+c2=4 则BC中点坐标为 22 因为∠A=90°，BC=2, 所以△ABC的外接圆O即为以BC中点为圆心，半径为1的圆， C 方程为： 由∠A的角平分线的平分线方程为：y=X, 两方程联立可得：2x-b+cx=0, 解得X=0或x= b+c 2 b+c b+c 所以D的坐标为2,2 又|AD=3, 即b+c2=6,结合b2+c2=4, 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得：bc=1, 即AB·AC=1, 故选：A 6.己知直线l:x+y-2=0与圆O:x2+y=10相交于A,B两点，则AB·OA的值为() A.-8 B.16 c.-16 D.8 【答案】C 【分析】分别求出A,B坐标，利用向量的坐标运算直接求出AB·OA 【解析】因为直线l:x+y-2=0与圆O:x2+y2=11相交于A,B两点， B X+-2=0 所以 x2+y2=11 +y-2=0 解得：A-1,3,B3,-1. 所以AB·0A=4,-4-1,3=-4-12=-16 故选：C 7.已知圆C:x一32+y一4=4，直线l1上定点A1,0,若l1与圆相交于P,Q两点线段P0的中 点为M,又l1与l2:x十2y+2=0的交点为N,则AM小·AN的值为 【答案】6 【分析】由条件通过联立方程组求出M,N的坐标，结合两点距离公式表示AM小AN并化简可得， 【解析】过点A1,0的斜率不存在的直线为X=1,联立 4可为4 x-32+y-42=4 x=1 即直线x=1与圆C有且只有一个交点，与已知矛盾， 过点A1,0的斜率为0的直线为y=0,联立 x-32+y-42=4 可得(x-32=-12,故方程组 y=0 无解，所以直线y=0与圆C没有交点，与已知矛盾， 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以直线l1斜率必定存在，且不为0，可设直线：11：kx-y-k=0(k≠0， x+2y+2=0, 2k-2 3k kx-y-k=0, 得N 2k+1’2k+1” y=kx-k, 又直线CM与垂直，所以y-4= 1 得M k2+4k+34k2+2k 1+k2 1+k2 所以AM|AN k2+4k+3 4k2+2k 7 2k-2 3k 12 1+k2 1+k2 2k+1 2k+1 =22k+11+.31+K 1+k2 2k+1 =6. 故答案为：6. 8.已知圆C:x-32+y2=4,过点A(2,0)的直线1交圆C于MN两点，且OM·ON=2,则直线1 的方程是 【答案】y=±V3x-2 【分析】当直线的斜率不存在时，求出M,N的坐标，经计算可知，不符合题意：所以直线的斜率存 在，设直线：y=k(x-2),联立直线与圆的方程，根据韦达定理得X1+X2和x1X2,再求出y1y2,根据 OM·ON=X1x2+y1y2=2,解方程得k,即可求出直线的方程. X=2 【解析】当直线的斜率不存在时，1：x=2,联立x-3+y2=4, x=2.「x=2 得y=-3或y=3 不妨设M(2,-3),N(2,3,则OM·ON=2×2-V3×V3=1,不符合题意： 所以直线的斜率存在，设直线：y=k(x-2), y=k(x-2 联立x-32+y=4 消去y并整理得1+k2)x2-(6+4k2)x+4k2+5=0, 4=6+4k2-4(1+k2)(4k2+5)=12k2+16>0, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 1+K,出名=4k+5 则x+名6+4K3 1+k2 6/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则yy=k(x-2小k名-2)=kK(x1X-2(x,++4到=kK(4+5-12+8K+4)=-3 1+k21+k2 +k2 所以O-o六=X6+y,为-4t柜35-2 1+k21+k21+k2 解得k2=3,k=±3， 所以直线1的方程是y=±V3(x-2). 故答案为：y=±3(x-2) 题型二：垂直关系的代数转化 1.己知圆C:x+y+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点，O为坐标原点，若0P.OQ=0, 则实数m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分】①达-取PO的点M。根指条作，求出M的华标，速而得CM-5,OM=5,和 用题设条件得MQ=MO=只5，再利用CQ=r=CM2+MQ尸，即可求解；法二，设 Px1,y1,QX2,y2,根据条件得5y1y2-6y1+y2+9=0,联立直线与圆的方程，利用根与系数间 的关系得y+y。=4,y1y,=12+m 一5，代入即可求解 【解折】法一：由+y+x-6y+m=0,得到x+ +y-32=37 m, 2 4 所以圆心为C 23 半径为r子及 取PQ的中点M,则CM1PQ,又直线x+2y-3=0的斜率为2， 所以直线CM的方程为y-3=2x+号 即2x-y+4=0, x+2y-3=0 由2xy+4=0解得x=-1,y=2,则M(-1,2), 放cM-+1+2-3-51oM=74-5, 由OP.OQ=0,知OP10Q,所以MQ1=|MO=5, 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△CMQ中，由CQ=r=CM+MQ,得到5+号-￥m,解得m=3 2x-y叶40 x+2y-3=0 法二：设Px1,y1,Qx2,y2,由OP.O0=0,知x1x2+y1y2=0. 又X1=3-2y1,X2=3-2y2, 所以3-2y13-2y2+y1y2=0,即5y1y2-6y1+y2+9=0①， x+2y-3=0 x2+y+X-6y+m=0 消去x得5y2-20y+12+m=0, 所议+y)=4,y必=2”，代入①式粉12+m-6×4+9=0,解得m=3 故选：C 2.已知直线q1:x-ky-5=0与圆O:x2+y2=10交于A,B两点且OA·OB=0,则k=() A.2 B.±2 c.±2 D.2 【答案】B 【分析】设A(X1,y1,B(x2,y2,联立直线和圆的方程，由OA·OB=0得X1X2+y1y2=0,利用韦达 定理求解即可」 【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2), x-ky-5=0 将直线和圆方程联立 X2+y2=10得1+k2)y+10ky+15=0, 1+k2,y+y2=-10k 15 所以y1y2= 1+2,xx,=(ky+5(ky2+5=25-10k 1+k2 △=(10k2-4×(1+k2)×15=40k2-60>0, 又因为0A·OB=0, 所以X1X2+y1y2=0,解得k=±2，满足△>0， 故选：B. 8/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知圆C:x2+y-x-8y+m=0和直线x+2y-6=0交于P,Q两点，定点R1,1,若PR⊥QR, 则m的值 【答案】10 【分折1设PX,y,QX,y小根据PR⊥QR,可得P京Q京=5-2X+x+XX,=0,联立 4 方程，结合韦达定理即可求出参数 【解析】由题知，设Px1,y1,Qx2,y2, 因为PR⊥QR, 所以PR·QR=1-x1,1-y1-x2,1-y2 =1-x1+x2+x1x2+1-y1+y2+y1y2 =5-2x+x3+x1x=0, 5 联立 x2+y2-x-8y+m=0 x+2y-6=0 可得5x2+4m-60=0, 所以x+为=0，xX=4m-60 5 所以5+5×4m-60=m-10=0,m=10 4 5 故答案为：10 4.已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点，O为坐标原点，若OA·OB=0,则实数m= 【答案】±1 y=x+m 【分析】联立 x2+y2=1 由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积求出m y=x+m 【解析】联立 x2+y2=1 可得2x2+2mx+m2-1=0, △=4m2-8m2+8=-4m2+8>0,解得-V2<m<V2, 设Axy,B到xy2小，则x+x,=-m,XX,=m1 2 所以y1y2=x1+mx+mj=x1x2+mx1+x2+m, 所以0AOB=x1,y1小x2,y2=x1x2+y1y2=2x1x2+mx1+x2+m2=m2-1-m2+m2=0, 解得m=±1， 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：±1， 5.已知点A(1,4)和B(2,1),点P在y轴上，且∠APB为直角，则点P坐标为() A.0,2 B.0,2或0,3 c.0,2或0,4 D.0,3 【答案】B 【分析】∠APB为直角，故P在以AB为直径的圆上，确定圆方程，取x=O计算得到答案， 【解析】∠APB为直角，故P在以AB为直径的圆上， 圆心为C 35 2-1+4-12_V10 2’2 半径为 2 2 512 5 圆方程为 2 y- 取x=0得到y=2或y=3, 即点P坐标为0,2或0,3. 故选：B 6.设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x一6y十1=0上有两点P,Q,它们关于直线x+w十4=0对称，且 OP.OQ=0,则直线PQ的方程为(） A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1 D.y=x+1 【答案】B 【分析】由P,Q的对称性得圆心过已知直线x+my+4=0,从而求得m值，直线PQ与直线 x+my+4=0垂直，可设出其方程为y=-x+b,同时设P(x1,y1),Q(x2,y2,y=-x+b代入圆方程 应用韦达定理得X1X2,X1+X2,OP.OQ=0得X1X2+y1y2=0,代入X1X2,X1+X2求得b得直线方程（注 意判断直线与圆相交)· 【解析】曲线2+y2+2x-6y+1=0,即曲线(x+12+(y-3}=9,表示圆心为(-1,3)，半径为3的圆， 因为点P,Q在圆上且关于直线x十w十4=0对称， 所以圆心在直线x十y十4=0上，代入可得m=一1，即直线方程为x一y十4=0. 由题意知直线PQ与直线x一y十4=0垂直， 所以可设直线PQ:y=一x十b,P,),Q2,y2, 将y=-x十b代入圆的方程，整理得2x2+2(4-bx+-6b+1=0,△=4(4-b2-4×2(b2-6b+1)>0, 解得2-3V2<b<2+3V2, 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由根与系数的关系得x1十x2=一(4一b),xx2= b2-6b+1 2,%=B-b+x+k= -6b+1+4b. 因为OP·O0=0,所以xx2+w=0,即b-6b+1+4b=0,解得b=1∈(2-32,2+3V2), 所以直线PQ的方程为y=-x+1. 故选：B 7.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,斜率为1的直线与C交于A,B,以AB为直径的圆过原点，则直 线的方程为 【答案】y=x+1或y=x-4 【分析】先设出直线方程，然后联立直线与圆的方程，得到交点坐标的关系，再根据以AB为直径的圆 过原点得出向量垂直的条件，进而求解直线方程 y=x+m 【解析】.直线l的斜率为1，∴.设直线l的方程为y=x+m,联立 x2+y2-2x+4y-4=0得 2x2+2m+1x+m2+4m-4=0, 设Ax1,y.BX,y2以.则x+x,=-m+1,XX,-m+4m=4 2 .ymm+m4m4-Im+Immm+m-2 2 又直线与圆有两个交点，.判别式=2m+1-4×2×m2+4m-4=-4m2-24m+36>0,解得 -3-32<m<-3+32, ,以AB为直径的圆过原点O,.OA⊥OB,.OA·OB=0,即X1x2+y1y2=0, :.m+4m-4+号m2+m-2=0,即m㎡2+3m-4=0,解得m=1或m=-4, 2 ∴.符合题意的直线l有两条，其方程分别为y=x+1或y=x-4. 故答案为：y=x+1或y=x-4 题型三：斜率关系 1.已知直线l:(m+2)x+(1-2m)y+6m-3=0与圆C:x2+y2-4x=0,设0为坐标原点，若直线1与 圆C交于M,N两点，且直线OM,ON的斜率分别为k1,k2,则k1+k2= 【答1号 【分析】先确定直线过定点，再设M,N坐标及直线1方程并与圆方程联立，利用韦达定理计算即可. 【解析】由直线l:(m+2)x+(1-2m)y+6m-3=0得m(x-2y+6)+(2x+y-3)=0, 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 |x-2y+6=0 x=0 令12x*y-3=0 解得y=3' ∴.直线1恒过定点(0,3)】 圆C:x2+y2-4x=0的圆心为2,0，半径为2，直线l过点0,3， 直线I与圆C交于M,N两点，则直线I的斜率存在， 设直线1方程为y=kx+3, y=kx+3 联立x+y-4x=0得1+K)X+(6k-4)x+9=0, 1+k2,米=9 设M(X少，N(x,y,则X+X=-6k-4 1+k2, k+k,=兰+2=kx,+3+k+3-2k+3(X+=2k+346k-4 X1 X2 X1 X2 X1X2 9 -3 4 ∴.k1+k2是定值，定值为3 4 故答案为： 2.过点M1,0的直线为l,N为圆C:x2+y-2'=4与y轴正半轴的交点.若直线l与圆C交于A,B两点， 则直线AN,BN的斜率之和为一 【答案】-4 【分析】设：x=ty+1,与圆C方程联立可得韦达定理的结论，利用两点连线斜率公式表示出直线 AN,BN的斜率之和，结合韦达定理化简整理可得结果. 【解析】由题意得：N0,4, 当直线l斜率为0时，1与圆C相切于点0,0，不合题意： 设直线：x=ty+1,Ax1,y1,Bx2,y2, x=ty+1 2+y-2P=4每：+1y+2t-4y+1=0. 由 剥4=2-4-4+1=-16+12>0，解得：t子 ⅓*%器 ∴kN+kn=4+么4_y4+1+y4y+1 X1 X2 ty1+1ty2+1 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2tyy,+1-4[y+y2-82t+1-4tl4-2t=8t+1-=16t-4=-4, tyiy2+t(y+y2+1 t2+t4-2t+t2+1 4t+1 .直线AN,BN的斜率之和为-4. 故答案为：-4 3.已知圆C:x+(y-2)2=1,圆C与y轴交于A0,3,B0,1,斜率存在且过原点O的直线l与圆C相交 于M,N两点，直线AM与直线BN相交于点P,直线AM、直线BN、直线OP的斜率分别为k1,k2,k3, 则( A.k1+6k2=k3 B.k1+2k2=k3 C.2k1+k2=k3 D.k1+k2=k3 【答案】A 【分析】直线AM和直线BN分别与圆C联立方程组，求出M,N两点的坐标，由koM=koN,得 k1+3k2=0,直线AM和直线BN联立方程组，求出P点的坐标，由koP=k3,得k3=-k1,验证各选项 即可 【解析】由题意得直线AM:y=k1x+3,与圆C方程联立，得k+1x2+2k1X=0, B -2k1k+3 2k23k+1 可求出点M k+1’k+1 同理得点W k+1'k+1 k+33k2+1 由于M,N在直线上，因此-2k 2k, 化简后得k花+3k2k1k2+1=0, 显然k1k2≠-1，否则点P在圆C上，M,N两点重合，与题意矛盾，则k1+3k2=0, 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再联立直线AM:y=k1X+3与直线BN:y=k2X+1,则点P 23k2-k1 k2-k’k2-k1 因此k=3k,k=-k 2 则k3-k1=-2k1=6k2,即k1+6k2=k3,A选项正确，BD选项错误， k3-2k1=-3k1=9k2,即2k1+9k2=k3,C选项错误， 故选：A 4.已知A1,0是圆O:x+y=r2上一点，BC是圆O的直径，弦AC的中点为D.若点B在第一象限，直线 AB、BD的斜率之和为O,则直线AB的斜率是() A.-4 V5 B.- 2 c.-V5 D.-2V5 【答案】C 【分析】由题可得圆的方程，设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=kx-1,代入圆的方程 可得B的坐标，从而可得C,D的坐标，于是根据斜率关系可解得k的值，由于点B在第一象限，对k的值 进行取舍，即可得所求。 【解析】已知A1,0是圆0：x2+y2=r2上一点，所以12+02=r2=1 设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=kx-1,所以 y=k x-1 x2+y2=1 则1+k大-2x+K-1=0,4>0恒成立，所以x+g 1+ 1+k2 由于xA=1,所以XB= 保期%。非装 1+K2,由于BC是圆O的直径， k2-12k 1 k 所以C 1+k2’1+k2 则弦AC的中点为D坐标为1+k'1+及 -2k k 因为直线AB、BD的斜率之和为0，所以kD=+K1+ k2-1 1 -=-k,整理得kk2-5=0 1+k21+k 解得k=0或k=±5，又点B在第一象限，所以k<-1,故k=-V5,即直线AB的斜率是-V5. 故选：C. 5.直线l:y=3x+2与圆C:x-V5+y-2P=6交于A,B两点，则直线CA与直线CB的倾斜角之 14/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和为 π 【答案】3 【分析】联立方程，求出A,B的坐标，设直线CA与直线CB的倾斜角分别为Q,B,分别求出两直线的 斜率，即tana,tan阝，再求出tan a+B即可. 【解析】圆心C5,2, y=3x+2 联立x-5+y-2=6 消y得4x2-2V5x-1=0, 解得x=5±3 4 当x=5+3 2只15+33+2。x=之寸，y=二+2，， 不妨取A 5+3西+352.B53:3距+2 4’ 4 4’4 设直线CA与直线CB的倾斜角分别为Q,β， V15+3V3 +2-2 4 V5+3 则tan a= 5+3-5 3-9i50, 4 15-33+2-2 4 5-3 tanβ=- 5-3-5 -3-店>0， 4 所以a∈ z.x..z 则a+B∈ 2’2 V5+3 V5-3 V3-V15'-V3-V15 则tan (a+β= tan a+tan B 1-tan atan B =-3, 1 9V5+3 V5-3 3-9V15-93-9V15 所以a+B=2 2π 即直线CA与直线CB的倾斜角之和为3： π 故答案为：3 6.已知直线l:ax+by-b=0与圆C:x-1+y=4交于A,B两点，若直线AC与BC的斜率分别为k1, 15/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k2,且k1+k2=0,则ab= 【答案】0 【分析】根据k:+k2=0及对称性求出直线的斜率值即可求得结果 【解析】由题可知，k1+k2=0,直线AC与BC的倾斜角互补 由圆的对称性知，当l⊥x轴或l⊥y轴时，k1+k2=0,此时a=0或b=0, 所以ab=0. 故答案为：0 7,.设直钱：y=kx+号与盟C:X+y=1交于4，B两点，对于任意的实k。在y上存在完点D0,小， 使得∠ADB的平分线在y轴上，则t的值为 【答案】3 【分析】将直线与圆的方程联立，将问题转化为kAD+kBD=0,然后根据韦达定理求解 【解析】设A(X,y小，Bx,xX0.由题得kAD+kB0=0,即+么-=0， X1 X2 整理得，yt+xy2-t0,又y=kx+ 3=kx,+ 3 所kx+写小+xkx日小中o,整理2kx目-小x+x六0@， y-kx+ 联立得k2+1x+号kx- 3 80 x2+y2=1 、8 所以x1+X2= k2+1 X1X3= 代入0并壁理得-2水+号：=0， k2+1 此式对任意的k都成立，所以t=3. 故答案为：3 题型四：长度比与面积比 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.过原点O的直线l与圆C:(X-1)2+y+2P=9交于A,B两点，若A0=2OB,则直线的斜率为 【答案】或1 【分析】首先判断直线的斜率存在，设：y=kx,Ax1,y1,BX2,y2,联立直线与圆的方程，消元， 列出韦达定理，由A0=2OB,可得2x2-X1,代入即可求出k x=0 X=0 X=0 【解析】当斜率不存在时x-1P+y+2=9解得y=-2+22或y=-2-22 因为-2-2V2>-2+2V2且-2-22≠-2-2+22，即不满足A0=2OB,故舍去： 当直线l的斜率存在时，设斜率为k,则：y=kx, 代入圆C:(x-12+y+22=9,得1+k2x2+4k-2x-4=0 显然△>0，设AX1,y1,Bx2,y2, 如1+x三1+2,1专二冬 1+k2, 因为市=20死，肥=-X,晨 1+k2 4k-222 联立可得 1+k平1+R:解得k=1或k=月 故答案为)减1 2.在平面直角坐标系xO,中，过点A(0,-3)的直线1与圆C:x2+(y-2=9相交于M,N两点，若 S△A0N= 则直线1的斜率为 【答案】±34 7 【分析】设Mx1,y1,NX2,y2,直线MN的方程为y=kx-3,联立直线与圆的方程，消元列出韦 达定理，根据根的判定式△>0，求出k的取值范围，根据S△AON= SAACM:即可得到6=2X,即可 5 求出k: 【解析】解：由题意得C(O,2),直线MN的斜率存在，设Mx1,y1,Nx2,y2,直线MN的方程为 y=kx-3,与x2+(y-22=9联立，得k2+1x2-10kx+16=0, 4=100-64+136k-64>0,得k39X+x=0 k2+1x6 K2+1因为 17/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SAAON= S△ACM 所以×3×-号*5×则-2。于是-2x,《由直4及c在 y轴上可判断出X1,X2同号) 10k 3X1= K2+1 所 2 两式消去，有收-9，满足4>0.所k=士314 7 3V14 故答案为：± 7 3.过点P(1,0作直线1交圆C:x2+y2=4于点M,N,若MP=2PN,则点N的横坐标是() 7 A.4 B.2 c运店 4 【答案】A 【分析】设VN(x,y),M(m,n),根据MP=2PN用N的坐标表示M的坐标，再根据MN满足圆的 方程，联立方程组消去y即可求出x. 【解析】 设N(x,y, :点N在圆C:x2+y2=4上，y2=4-x2. 已知P(1,0,则PN=(x-1,y), :MP=2PN,MP=2(x-1,y=(2x-2,2y). 设M(m,n),则MP=(1-m,-n), 1-m=2x-2 则-n=2y 则M(3-2x,-2y). :点M在圆C:x+y2=4上，(3-2x+(-2y2=4. 18/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将y2=4-x2代入上式可得：(3-2x)2+4(4-x2)=4, 解得X= 41 故选：A 4.过点P-2,0作直线1交圆C:x2+y2=1于点M,N,若PM=MN,则点M的横坐标是() 7 7 A.8 B.9 7 c.-10 0.4 【答案】A 【分析】设出点M的坐标，结合题意可得点N的坐标，又两点都在圆C:x+y=1上，代入计算即可得 点M的横坐标. 【解析】设Mm,nl,故有m2+n2=1,即n2=1-m2, 由PM=MN,则点M为PV中点， 故N2+2m,2n,故有2+2m2+2n2=1, 即有2+2m2+41-m2=1,整理得8m+8=1, 即m=-7 8 故选：A 5.已知过点A-3,V3的直线1与圆x2+y=12交于A,B两点，过A,B分别作1的垂线与x轴交于C,D 两点，若<A0B号，则CD 【答案】4 【分析】设出直线方程，利用人A0B=写得到圆，心到直线的距离，进而求出直线的斜率和直线与圆 的交点坐标，再分别写出过点A-3,3、B0,2只3且与直线l垂直的直线，进而求出直线与x轴的交点 即可求解。 【解析】由题意得直线1存在斜率，设直线：y-3=kx+3, 即kx-y+3k+3=0,因为∠AOB=T 3 所以圆心(0,0)到直线的距窝为d=23×33. 19121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Pk+13,群利k= 则K+1 3, x2+y2=12 联立 3 y= x+2V3 得x+3X=0, 3 即直线1与圆的两交点为A-3,3、B0,23: 则过点A-3,3且与直线1垂直的直线为y-V3=-3(x+3), 令y=0,得x=-2,即C(-2,0) 过点B0,2/3且与直线1垂直的直线为y-23=-3x, 令y=0,得X=2,即D(2,0): 所以CD=4 故答案为：4. 6.已知圆C的方程为x2+y-4?=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.设Qm,n 2 1 1 是线段N上的点，且oQP IOMP"IONP.可将n表示为m的函数为一， 【答案1n=15m+180.m1-3,01u10,5 5 【分析】联立直线和圆的方程，设Mx1,kX1,Nx2,kX2,可得k的取值范围以及根与系数的关系， 2-1 +1 表示出0M,0N,OQr结合0QoM10N平进行化简，可得出m,n的关系式，再求出 m,n的范围，即可求得答案 y=kx 【解析】联立X+y4=4得1+Kx-8kx+12=0, y 因为直线1：y=kx与圆C交于M,N两点，故△=-8k2-41+k2×12>0, 即k2>3, 20121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12 腹意可设4.kxN,kx则X十的中 则0M=1+k2x,10N2=1+k2x3,10Q=m2+n2=1+k2m2, 2=1+1 2 1 1 则由OQP IOMF"JON呼得1+K2m1+K1+Kx 即2=号+-x+x-2x￥ mxx号 02 XiX2 118224 2= 1+k2 1+k2 即得 144 即m2=、36 5k2-3 1+k2平 又点Qm,n在直线y=kx上，故n=km,即k= m 5k2-3得5n2-3m2=36,即n2=3m2+36 代入m2=36 5： 由于m2-36 5k2-3k>3,故5k2-3>12,故0<m2<3. 即m∈-/3,0u0,3, 由题意知Qm,n在圆x2+y-42=4内或圆上，故n>0, 所wn-15m+10,me-5,01ul0,3 5 故答案为：n=15m+180,m∈-5,01u10,3 5 21/21面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04联立直线与圆方程的韦达定理应用 题型归纳 题型一数量积为定值 题型二垂直关系的代数转化 题型三斜率关系 题型四长度比与面积比 题型专练 题型一：数量积为定值 1.B 2.B 3. 3V15 2 2 4.2 5.A 6.C 7.6 8.y=±V3x-2 题型二：垂直关系的代数转化 1.C 2.B 3.10 4.±1 5.B 6.B 7.y=x+1或y=x-4 题型三：斜率关系 112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.3 2.-4 3.A 4.C 1 5.3 6.0 7.3 题型四：长度比与面积比 2.±324 7 3.A 4.A 5.4 6.n= 15m+180,m∈-3,0u0,3 5 212