专题02 直线与圆、圆与圆位置关系的六种题型（高效培优专项训练）数学沪教版选择性必修第一册

专题02 直线与圆、圆与圆位置关系的六种题型 题型一：直线与圆的位置关系 题型二：直线与圆相交问题 题型三：圆的切线方程 题型四：圆的弦长问题 题型五：圆与圆的位置关系 题型六：相交两圆的交点和公共弦 题型一：直线与圆的位置关系 1．已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心到直线的距离求解. 【详解】圆心到直线的距离, 若点在圆上，则， 所以，则直线与圆相切，故A正确； 若点在圆内，则， 所以，则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外，则， 所以，则直线与圆相交，故C错误； 若点在直线上，则， 即，所以， 直线与圆相切，故D正确． 故选：C. 2．已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【答案】C 【分析】根据条件，即可圆心到直线的距离，再结合直线与圆位置关系的判断方法，即可判断. 【详解】圆心到直线的距离为 ，即 故直线与圆相交，圆心代入直线方程得到，不符合题意. 故选：C 3．已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，与半径进行对比即可得到答案. 【详解】由点在圆外，可得， 求得圆心到直线的距离， 故直线和圆C相交， 故选:A. 【点睛】判断直线与圆的位置关系主要有两种方法： （1）代数方法：联立方程，利用判断二者位置关系，比较繁琐； （2）几何方法：利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判定，比较简单. 4．直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不确定 【答案】A 【分析】易得直线过定点，判断出点与圆的位置关系即可得出结论. 【详解】由直线，得， 令，则，所以直线过定点， 因为， 所以点在圆内， 所以直线与圆相交. 故选：A. 5．点为圆外一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，结合点到直线的距离公式即可求解； 【详解】因为点为圆外一点， 所以. 圆的圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为 ，即. 所以直线与该圆的位置关系为相交. 故选：A. 6．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【分析】直接由直线与圆的位置关系的解法得出答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相切， 故选：B. 7．直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断. 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 因为圆心到直线的距离为 ， 所以直线和圆相交. 故选：A 8．不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线 过定点 ，接下来只需要将点 分别代入各个选项的圆中，找出值小于25对应的圆即为答案 【详解】 ， 直线恒过点 将点 代入 中可得； 将点 代入 中可得； 将点 代入 中可得； 将点 代入 中可得； 所以直线恒过的定点 在 内， 所以当 为任意实数时，直线都与圆相交， 故选：B 9．直线和的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断； 【详解】解：圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离，则直线与圆相切； 故答案为：相切 10．已知点是圆外一点，则直线与圆的位置关系为 ． 【答案】相交 【分析】 先由点与圆的位置关系得，再利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即可. 【详解】因为点是圆外一点， 所以， 又圆心到直线直线的距离 ， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交. 11．已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)弦长为；直线方程为 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 12．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 题型二：直线与圆相交问题 1．已知圆和直线交于两点，为坐标原点，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】（1）法一取的中点，根据条件，求出的坐标，进而得，，利用题设条件得，再利用，即可求解；法二，设，根据条件得，联立直线与圆的方程，利用根与系数间的关系得，代入即可求解. 【详解】法一：由，得到， 所以圆心为，半径为， 取的中点，则，又直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 由，解得，则， 故，， 由，知，所以， 在中，由，得到，解得. 法二：设，由，知. 又， 所以，即①， 由，消去得， 所以，代入①式得，解得. 故选：C. 2．已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程与直线方程联立，设、 ，利用可得 ，利用韦达定理，即可求出. 【详解】由，得， 则，即， 联立，得， 设，，则，， 则， 因为，所以， 则，即，解得. 故选：C. 3．已知圆C：x2＋y2－4＝0，直线相交于两点，若则（    ） A． B． C．或 D．0 【答案】C 【分析】由题设可得，将直线方程代入圆，结合韦达定理得，即可列方程求m值，注意直线与圆联立所得方程的判别式. 【详解】由题设知：， ∴， ∵是圆与直线的交点，将直线方程代入圆的方程， 得：且，即， ∴， 综上，有，即， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据直线与圆的位置关系，结合韦达定理及条件等式列方程求参数值. 4．直线（t为参数）和圆交于，两点，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把直线的参数方程化为普通方程后代入圆的方程，化简可得，由韦达定理可得，即可得的中点的横坐标为3，代入直线的方程即可得解． 【详解】直线（t为参数）可化为普通方程， 代入圆化简可得，， ，即的中点的横坐标为3， 的中点的纵坐标为， 故的中点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了把参数方程化为普通方程的方法及直线与圆位置关系的应用，属于基础题. 5．如图，直线l与⊙O相交于点，点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即可得解. 【详解】由图可以发现，点A与点B关于原点对称， 由点A的坐标为，所以点B的坐标为 故选：B 6．已知圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，则四边形的面积是（ ） A．24 B．12 C．36 D． 【答案】D 【分析】四边形对角线互相垂直，可以用公式求解. 【详解】令，则，得或，所以，令，则，得，所以，易知，所以四边形的面积 故选：D. 7．设直线和圆相交于A、B两点，则弦AB的垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线与圆的解析式然后利用中点坐标公式求出中点坐标，根据两直线垂直斜率乘积等于，得到中垂线的斜率，即可得到中垂线的解析式. 【详解】联立得：， 解得：， 故点A和点B的中点M的横坐标为， 纵坐标为， 即点A和点B的中点， 又因为直线AB：的斜率为，可知垂直平分线的斜率为， 所以弦AB的垂直平分线方程为，化简得， 故选：C. 【点睛】本题考查学生掌握两直线垂直时的斜率乘积为，会求线段中点的坐标，根据条件能写出直线的一般方程，以及掌握直线与圆的方程的综合应用． 8．已知直线与圆相交于、两点，则的值为 . 【答案】4 【分析】联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求. 【详解】由题意，联立，有，解得，， 若，则，则. 故答案为：4. 9．设圆C：，直线l：x－y－5＝0，则圆C上到直线l距离最近的点的坐标和最远的点的坐标分别为 ． 【答案】最近点；最远点 【分析】先判断直线和圆的位置关系，然后求得过圆的圆心且与直线垂直的直线方程，通过联立方程来求得最近点和最远点的坐标. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 直线的斜率为， 所以过且与直线垂直的直线方程为， 由解得或， 结合图象可知：最近点；最远点. 故答案为：最近点；最远点 10．已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则 ． 【答案】 【分析】由题意求出的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解 【详解】设，则， 整理得． 设，．联立 整理得， 故①，②． 又，故③． 联立①②③，解得． 故答案为： 11．已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设圆心坐标，由圆过的两点建立方程求出圆心半径即得. （2）求出直线方程及线段长，由三角形面积求得点到直线距离，由点到直线距离可得，再求出直线并与圆的方程联立求出点的坐标. 【详解】（1）由圆心在直线上，设点，由圆过点， 得，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由点，得， 由的面积为2，得点到直线的距离为， 直线方程为，即，则点到直线的距离为， 而，即直线不可能过的中点，因此，直线方程为， 由，解得或， 所以或. 12．已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）分别由斜截式得到直线AN和直线BP的方程，再解方程组可得点M的坐标； （2）设，由斜截式得到直线AN的方程，联立曲线方程解出点M的坐标；同理解出点N的坐标，分别讨论当直线MN垂直于x轴时和、、时四种情况可得. 【详解】（1）∵点，∴直线AN的方程为． 令，则．又，∴直线BP的方程为． 由及，解得． （2）设，∵点，∴直线AN的方程为． 由及，解得． ∵点，∴直线BM的方程为． 由及，解得． 当直线MN垂直于x轴时，则，解得， 或，直线MN的方程为； 当时，，直线MN的方程为， 故若直线MN过定点，则该定点为． 当时，直线MN的方程为，显然过点； 当时，，， ∴，∴M，N，C三点共线，即直线MN经过定点． 13．已知为坐标原点，动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为12. (1)求动圆圆心的轨迹的方程; (2)已知是曲线上两点，且，分别延长与交圆于两点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)225 【分析】（1）设动圆的圆心，半径为，则，则根据圆的弦长列式化简即可得出答案； （2）设直线的方程为，点，，联立直线与圆心的轨迹方程，即可得出，联立直线与圆的轨程，即可得出，则根据弦长公式得出，根据已知得出，即可得出，即可求出四边形的面积，即可根据函数单调性或基本不等式得出面积的最小值. 【详解】（1）设动圆的圆心，半径为，则， 所以，即，化简得. 所以动圆的圆心的轨迹方程为：. （2）由题意，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，设点，， 联立，得，由，得， 联立，得，由，得. 所以， 因为 则，所以用代替，得， 故四边形的面积， 令，则，且，所以， 设函数，则， 故在区间内单调递增， 故当，即时，取到最小值225， 所以四边形面积的最小值是225. 题型三：圆的切线方程 1．若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设点、的坐标，结合点、在直线、上，也在圆上，列出式子，化简得到直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 2．过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用切线与切点和圆心所在直线垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率为， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率为, 所以直线的方程为,即. 故选：D 3．过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 4．直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 5．从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 6．已知为直线上一点，过引圆的切线，则切线长的最小值为 【答案】 【分析】圆心，当垂直于直线时，切线长最短，从而可求解. 【详解】由题可得圆的圆心，半径， 设切点为，则， 所以当垂直直线时取到最小值， 此时. 故答案为：. 7．已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是 ． 【答案】或 【分析】求得圆心与半径，由题意求得对称点，分斜率存在与不存在两种情况，设出直线的方程，利用切线的性质及点到直线的距离公式，可得答案． 【详解】圆，即， 则圆心，半径， 设点关于的对称点为， 则线段的中点，直线的斜率， 可得，解得，则点， 若直线的斜率不存在，即直线的方程为，此时直线与圆C相切，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 故圆心到直线的距离，解得， 此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或． 8．过点作圆的切线，切点为，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，求得，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 连接，因为是圆的切线，所以， 又因为，可得， 所以. 故答案为：.    9．已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，得到直线的斜率为，设所求直线的方程为，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 设所求直线的方程为，即， 由圆，可得圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切，可得，解得， 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 10．过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为 . 【答案】4 【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 故答案为：4. 11．已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过且与圆相切的直线方程； (3)设是圆上的动点，求点到直线的最短距离. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）假设圆心，利用可构造方程求得圆心坐标和半径，由圆心和半径可得圆的方程； （2）当直线斜率不存在时，易知其与圆相切；当直线斜率存在时，假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得斜率，进而得到切线方程； （3）利用点到直线距离公式可求得圆心到直线的距离，根据最短距离为可求得结果. 【详解】（1）设圆心， 由得：，解得：， 圆心，半径， 圆的方程为：. （2）当过的直线斜率不存在时，即直线为时，与圆为相切关系，符合题意； 当过的直线斜率存在时，设与圆相切的直线为，即， 圆心到直线的距离，解得：， 该切线为，即； 综上所述：过且与圆相切的直线方程为：或. （3）圆心到直线的距离， 点到直线的最短距离为. 12．已知圆C的圆心为，且圆C经过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； (3)求过点且与圆C相切的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法可求得圆的方程； （2）利用圆中的弦长公式求解即可； （3）分过点的直线斜率是否存在两种情况讨论，存在时，设过与圆相切的直线方程为，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）因为圆C的圆心为，所以设圆的标准方程为：， 又圆C经过点，所以，解得， 所以圆C的标准方程为； （2）圆心到直线的距离， 弦长； （3）因为，所以在圆外； 当过点的直线斜率存在时，设过与圆相切的直线方程为， 即， 因为直线与圆相切，所以，整理得， 两边平方得，解得， 所以切线方程为或； 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，过圆心显然与圆不相切； 综上所述：过点且与圆C相切的直线方程为或．    13．已知圆经过点，，. (1)求圆M的方程； (2)过点作圆的切线l，求l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆的一般式方程概念，以及待定系数法，列出方程组，求出参数，求出结果； （2）根据直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出方程，求出结果即可； 【详解】（1）设圆M的一般式方程为， 把点，，代入得，解得， 所以圆M的一般式方程为，则标准方程为. （2）由（1）可知，圆心，半径为， 则过点的直线l当斜率不存在时，直线方程为，可知到直线的距离为5，此时相切，符合条件； 当直线斜率存在时，设直线，即， 可知点到直线的距离为，解得， 则直线方程为. 14．已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，再按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；进而得到直线方程即可. （2）先确定直线与圆相离，由切线长公式得到，再使分析最小的情况，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【详解】（1）由题意得，则点在圆外，故有2条切线， 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2， 即，解得，所以切线l的方程为， 综上，切线l的方程为或． （2）如图，作出符合题意的图形，且， 由题意得圆心到直线的距离为，可得直线m与圆C相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 故的最小值为． 15．已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； (3)过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆． (2) (3)证明见解析，定点． 【分析】（1）设，根据条件得，化简，即可求解； （2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心到直线的距离为，利用几何关系可知，再利用弦长公式，即可求解； （3）根据条件可得在以为直径的圆上，求出以线段为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的求法，求得直线的方程为，即可求解. 【详解】（1）设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． （2）设圆 ，将点代入圆的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，所以，所以，当且仅当时取得最小值， 故的最小值为． （3）如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线：②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点．    题型四：圆的弦长问题 1．已知直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线所过定点，再利用圆的性质求出最短弦长.. 【详解】直线，即，令，得， 因此直线过定点，圆圆心，半径， ，点在圆内，由圆的性质知，当且仅当直线时，取得最小值， 所以. 故选：C 2．已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程. 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足，所以 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为， 整理得. 故选：B 3．若直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】求出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定最小时的直线与的位置关系，即可得结果. 【详解】直线即恒过， 又，即在圆C内， 要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短， 由，圆的半径为5，所以. 故选：A 4．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接根据圆的弦长公式可得. 【详解】由圆，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 5．圆被直线所截的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】首先把圆的一般方程变形为标准方程，求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，最后利用弦长公式即可求解. 【详解】方程可变形为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，所以弦长 . 故选：D 6．已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由直线斜率存在和不存在结合弦长公式即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径. 当的斜率不存在时，，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为， 由，解得，此时的方程为. 综上，直线的方程为或. 故选：C 7．直线被圆截得的弦长为 ． 【答案】/ 【分析】由圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由圆的方程可得圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：. 8．直线：被圆C：截得的弦长为 . 【答案】 【分析】根据圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】由C：，可知C圆心坐标为，半径为， 点C到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为， 故答案为： 9．已知与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数 ． 【答案】 【分析】由题知到直线的距离为，再根据点线距公式列方程求解即可. 【详解】由题知圆心为的圆的半径为，圆心为， 因为为等边三角形， 所以， 所以，圆心到弦的距离为，即到直线的距离为， 所以，即，解得，即 所以实数. 故答案为： 10．已知直线与圆交于A､B两点，且，则 . 【答案】 【分析】根据弦长可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，即，可得， 即，解得，即. 故答案为：. 11．已知过点的直线l被圆所截得的弦长为，则直线l的方程为 【答案】或 【分析】根据圆中的弦长公式求出弦心距，再根据点到直线的距离公式求出直线的斜率，可得直线方程. 【详解】圆的方程写成标准形式得，可知圆心的坐标为，半径为， 因为直线被圆所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为， 因为直线过点， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，则圆心到直线的距离为，不合题意； 所以所求直线的斜率存在，可设直线的方程为，即， 则，整理得，解得或， 所以所求直线的方程分别为: 或. 故答案为：或. 12．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 【答案】4 【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长. 【详解】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 13．已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，半径为，由题意可得，解得，即可求出圆的方程. （2）设圆心到直线的距离为，由垂径定理求出，再表示出的面积，代入结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设，半径为， 因为圆经过点，且与直线相切， 所以， 即，可得：， 所以，， 所以圆的方程为：. （2）设圆心到直线的距离为，因为直线与圆相交，所以， 所以， 所以的面积为： 令，所以， 当时，， 所以的面积的取值范围为. 14．已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，过三点. (1)求的方程； (2)若过点作的弦，其中最长弦与最短弦分别为，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程求得的坐标，设的方程为，将三点代入求解即可； （2）求出的圆心和半径，先判断点在内部，然后求出最长弦长和最短弦长，即可求解面积. 【详解】（1）对于二次函数， 令，得，所以或， 不妨假设在左侧，则， 令，得，所以， 设的方程为， 将三点代入，得，解得 所以的方程为. （2）的方程可化为， 所以的圆心，半径， 因为，所以点在内部， 所以过点的最长弦为的直径，所以. 设圆心到任意一条弦的距离为，则该弦弦长为， 所以当最大时，弦长最短. 因为，所以最短弦长， 此时，即， 所以四边形的面积为. 15．已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. (1)求圆方程； (2)过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由题意设圆心，则圆的方程为 ，由垂径定理结合弦长即可求解； （2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可. 【详解】（1）设圆心，则圆的方程为 ， 或舍去， 圆的方程为. （2）由题意得，则点到直线的距离， ①当斜率不存在时，此时直线l方程为， 原点到直线的距离为，满足题意. 此时直线方程为 ②当斜率存在时，设直线l的方程为， 原点到直线l的距离，解得， 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16．已知圆关于直线对称，且过点． (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为. (2)直线的方程为：或. 【分析】(1) 圆关于直线对称得到，代入点, 即可得到答案； (2)结合第一问可得圆心到直线的距离，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）圆化为标准方程 ， 因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆过点，所以，所以,所以， 所以圆的方程为：，圆心坐标为，半径为. （2）圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时,直线方程为,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为，即， 所以，得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为：或. 题型五：圆与圆的位置关系 1．圆和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】B 【分析】写出两圆圆心和半径，求圆心距并与两圆半径比较即可得到结果. 【详解】圆心，半径.圆心，半径， ∵， ∴两圆的位置关系是外切. 故选：B. 2．已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】首先根据两圆的圆心距与半径之间的关系判断两圆的位置关系，进而可知公切线的条数． 【详解】由圆：，可知其圆心为，半径为； 由圆：，即，可知其圆心为，半径为． 所以两圆的圆心距为， 所以，所以两圆外切，所以公切线的条数为3． 故选：C． 3．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】先根据圆的面积被直线平分得出直线过圆心，从而求出圆的参数 ，确定圆的圆心和半径，再结合已知圆的圆心和半径，通过计算圆心距并与两圆半径的和差关系作比较，判断两圆位置关系. 【详解】圆可整理为，其圆心. 由题可知，直线经过圆心，即，解得， 因此圆，圆心，. 圆，圆心，. 圆心距，，， ，两圆相交. 故选：A. 4．已知圆，圆；则两圆的公切线条数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析两圆的位置关系即可求解. 【详解】由题得圆的圆心为，半径为， 圆即的圆心为，半径为， 则， 所以两圆外切，则两圆的公切线条数为3. 故选：C 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线. 【详解】由题意设， 知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，由， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故选：B 6．已知圆与圆，动点向两个圆所引的切线长相等，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设动点的坐标为，根据，求得动点的轨迹方程为，取关于直线的对称点为，得到，结合，得到当三点共线时，取得最大值，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由圆，可得化为，可得圆心，半径， 圆，可得，则圆心，半径， 如图所示，设动点的坐标为，过点与圆相切的切点分别为， 因为动点向两个圆所引的切线长相等，即，则 在直角和中，可得和， 可得，所以， 整理得，即动点的轨迹方程为， 取关于直线的对称点为，则， 又因为，所以，所以在直线上， 所以当三点共线时，取得最大值， 由点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即到直线的距离为，所以，即取得最大值. 故答案为：.    7．已知圆C：，，，若圆C上存在点P使，则正数m的值可以是 .（写出一个满足条件的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】设，根据题意得到，再根据的几何意义得到，从而得到答案. 【详解】圆C：，圆心，半径， 设，则，， 因为，所以， 即，， 因为表示圆上点到原点的距离， ， 所以，即. 正数的值可以是（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 8．过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，先设经过两圆交点的圆的方程，求出其圆心，利用条件求得的值，回代即得所求圆的方程. 【详解】因为所求的圆过已知两圆的交点，故可表示为：，（*） 即（*），可得其圆心坐标为. 因为圆心在直线上，代入可得，解得. 代入（*），可得， 整理得即为所求圆的方程. 故答案为：. 9．已知圆，圆是以圆上一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的大小为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得圆必经过原点，圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大，进一步求解即可. 【详解】圆是以圆上一点为圆心， 所以圆必经过原点， 又因为圆经过原点， 所以圆与圆交于原点，设为． 当圆与圆的相交弦刚好是圆的直径时，最大， 此时，而， 所以．    故答案为：. 10．直线与交于点P，圆上有两动点A，B，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据条件可知点P的轨迹是以为直径的圆，其方程为，作，则为的中点，求得最小值即可. 【详解】直线,，因为，所以， 又的方程可化为，所以过定点， 的方程可化为，所以过定点， 所以点P的轨迹是以为直径的圆，去除，其方程为， 其圆心，半径，作，则为的中点， 根据勾股定理易求得， 如图所示，当在同一条直线上时最小， 又， ， 故的最小值为. 故答案为： 11．已知圆：（）与圆：（）外切，则 . 【答案】3 【分析】由两圆外切进行求解． 【详解】圆：（）的圆心为，半径为， 圆：（）的圆心为，半径为， 因为圆外切，则. 故答案为：3 12．圆与圆的公切线的条数为 . 【答案】2 【分析】先判断两个圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】对于圆，可得圆心为，半径为， 对于圆，可得圆心为，半径为， 由两点间距离公式得圆心之间的距离为， 而，则两圆相交， 可得两圆的公切线条数为2. 故答案为：2 13．已知圆和圆，点. (1)若圆与圆内切，求的值； (2)若圆上存在点，使，求的取值范围； (3)过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据两圆内切的条件列出方程求解； （2）由条件化简可得的轨迹方程，然后根据两圆有公共点，利用圆心距与半径之间的关系列出不等式求解即可； （3）设，联立圆的方程，由根与系数的关系可得弦中点的坐标，同理得出点坐标，求出直线的方程，即可得证. 【详解】（1）因为圆与圆内切， 所以，即， 解得. （2）设， 由，可得， 化简可得， 即点的轨迹是圆心为，半径为的圆, 由题意，圆与圆有公共点， 则，即， 解得. （3）设，则 联立得： 设， ， 以替换可得：， 直线的方程为，即：， 当时， 直线过定点. 14．已知圆 被y轴截得的弦长为2，圆 ． (1)求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． (2)在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，外离 (2)或 【分析】（1）先直线与圆的位置关系结合韦达定理求出，从而求出圆的标准方程，得出圆心和半径，结合圆的圆心和半径求出圆心距，再比较圆心距与两圆半径之和的大小确定两圆的位置关系； （2）根据圆切点的性质，结合点在直线上，构造与的关系，再利用条件构造方程求出点坐标． 【详解】（1）圆 被y轴截得的弦长为2， 把代入圆方程，得 设交点坐标为，则， 由弦长公式得，解得，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为， 圆的圆心为，半径为， 圆，的圆心距，， ，故两圆外离． （2） 圆心为，半径为， ， 圆的圆心为，半径为， ， ，，即，整理得， 点在直线，设点， ，， ，整理得，即， 解得或，对应或， 直线上存在点或，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为，满足． 15．已知圆C的方程为：. (1)求的取值范围； (2)当圆与圆外切时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法，结合圆的知识列不等式，由此求得的取值范围. （2）根据圆与圆的位置关系列方程，由此求得的值. 【详解】（1）即为：， 因为方程表示的曲线为圆，所以，即， 故m的取值范围是. （2）圆与圆：外切时，圆心距等于两圆半径之和， 圆的圆心为，设半径为，圆的圆心为，半径为， 所以，解得. 故， 所以实数的值为4. 16．动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆与圆的内切与外切可得圆心间距离与半径的关系，结合椭圆定义可得轨迹方程； （2）设点，利用转化法及坐标法表示向量数量积，结合点在椭圆上，根据椭圆上的点的坐标取值范围可得数量积范围. 【详解】（1）设圆心的坐标为，半径为. 由圆方程知圆心，半径， 由圆方程知圆心，半径， 由圆与圆外切可知由圆与圆内切，可知， 故， 由椭圆定义可知，圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆(除去点)， 其中，且，即， 又， 故轨迹方程为； （2）由题知圆心，半径为， 设且满足，则， ， 又，故，. 题型六：相交两圆的交点和公共弦 1．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心，再判断两圆位置关系，将两圆方程相减可判断选项； 【详解】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为； 故选：D. 2．圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用两圆方程相减可得公共弦方程，再利用一个圆心到公共弦的距离来求弦长即可. 【详解】由圆：可得圆心，半径， 由圆：和圆：方程相减可得公共弦的直线方程：， 由圆心到公共弦的距离为：， 所以公共弦长为， 故选：D. 3．已知两圆，相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系的判断可得两圆相交，从而两圆方程作差即可得到直线方程. 【详解】由两圆方程可得圆心分别为，，半径分别为，， 圆心距，，两圆相交， 两圆方程作差得：，即， 直线的方程为：. 故选：C. 4．已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或0 D．或0 【答案】B 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证即得. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得（公共弦方程不成立，舍去）或， 当时，圆，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为. 故选：B 5．已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆的方程作差可得到两圆的公共弦所在直线方程，联立公共弦所在直线方程与圆，求出交点，即得答案. 【详解】设圆，圆相交于两点， 把圆，化为一般式， ：， ， ， ：， ， ， 两圆作差得： ， ， 公共弦所在直线方程为 . 联立直线方程与圆得：， 解得或， 交点为 和 . . 故选：C    6．已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公共弦直线方程的求解方式，用两圆联立相减即可. 【详解】联立 两式相减可得. 故选：D. 7．若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 8．已知圆：与圆：交于、两点，且四边形的面积为，则 . 【答案】 【分析】设，分析可知点为的中点，由四边形的面积为，可得出的长，利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的值. 【详解】如下图所示： 圆：即，圆心为，半径为， 由题意可知，，，，所以， 所以，所以， 设，则为的中点， 故四边形的面积为，则， 故，所以， 所以，又因为， 所以，解得. 故答案为： 9．在平面直角坐标系中，已知点，，从直线上一点Р向圆引两条切线，，切点分别为C，D.设线段的中点为M，则线段长的取值范围为 . 【答案】 【分析】写出直线的方程，设，利用共圆求得直线的方程，确定其过定点，即可求得点M在以为直径的圆上(除去原点)，进而可求得线段长的取值范围即可. 【详解】因为点,故直线的方程为即， 所以可设，由题可知，四点共圆，设此圆圆心为T，直径是OP， 所以圆T的方程为①， 又圆O的方程为②， ①②得，即直线的方程为， 所以直线过定点 ， 又因为 ，所以点M在以为直径的圆上(除去原点)， 又因为以为直径的圆的方程为，设圆心为, 因为，即A点在圆外， 所以AM的最大值为， AM的最小值为, 故答案为： 10．已知圆，圆，且圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则两圆公共弦的长度为 ． 【答案】 【分析】根据圆心在直线上求出，两圆方程相减求公共弦所在直线方程，然后利用弦长公式求解可得. 【详解】由配方得， 由题知，圆的圆心在直线上，则，得， 故圆的标准方程为，其圆心，半径， 圆的标准方程为，其圆心，半径， 因为， 由，可得两圆相交， 将两圆的方程相减并化简，即得公共弦所在直线的方程为， 则点到直线的距离， 所以两圆的公共弦长为. 故答案为： 11．已知圆经过点，，且圆心在上，圆. (1)求圆的标准方程 (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 【答案】(1) (2)两圆相交，公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【分析】（1）运用圆心在弦的中垂线上，再求交点可得圆心，再由圆心及圆上一点确定半径，进而得到圆的方程； （2）运用圆心距和两个圆半径的关系，判定位置关系，将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，再结合弦长公式计算公共弦长即可. 【详解】（1）的中点坐标，且直线的斜率为， 故直线的垂直平分线的斜率为， 因此直线的垂直平分线的方程， 即，联立方程，解得，即圆心 . 又， 故圆. （2）圆与圆的位置关系为相交. 由题可知，圆的圆心，. 故， 又， 故两圆的位置关系为相交. 设交点为， ，， 两圆方程作差得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为：. 又圆心到直线的距离为， 则公共弦长. 12．已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知，利用待定系数法可得圆的标准方程； （2）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （3）设过两圆的交点的圆为，求出，从而可 得圆的方程. 【详解】（1）设圆的方程为：， 由题意得方程组，解得：， 所求的标准方程为：：. （2）由（1）得圆的一般方程为：， 将两圆的方程作差得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得：， 故到直线的距离为， 所以所求公共弦长为. （3）设所求的圆的方程为：， 整理得到， 该圆圆心为， 因为该圆心在直线，故， 解得， 故所求圆的方程为. 13．已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】(1) (2)①；②（或写：） 【分析】（1）根据两圆外切求出r即可； （2）①先判断两圆的位置关系，再利用垂径定理求出弦长； ②利用圆系方程，设圆，求出即可. 【详解】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 14．已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）根据两圆内含关系得出两圆心距离小于，进而求得的范围. （2）根据圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意，得，半径，半径． 因为两圆内含，所以， 所以，即，解得， 又因为，所以，故的取值范围为． （2）两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程为． 假设存在实数，使得两圆公共弦的长度为2， 因为，半径， 所以点到直线的距离 ． 又因为，所以， 解得，因为，所以． 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆、圆与圆位置关系的六种题型 题型一：直线与圆的位置关系 题型二：直线与圆相交问题 题型三：圆的切线方程 题型四：圆的弦长问题 题型五：圆与圆的位置关系 题型六：相交两圆的交点和公共弦 题型一：直线与圆的位置关系 1．已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 2．已知实数满足，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 3．已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 4．直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不确定 5．点为圆外一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 6．直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 7．直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切 8．不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 9．直线和的位置关系是 ． 10．已知点是圆外一点，则直线与圆的位置关系为 ． 11．已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 12．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 题型二：直线与圆相交问题 1．已知圆和直线交于两点，为坐标原点，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知圆的方程为，直线与圆相交于两点，若(为坐标原点)，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆C：x2＋y2－4＝0，直线相交于两点，若则（    ） A． B． C．或 D．0 4．直线（t为参数）和圆交于，两点，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线l与⊙O相交于点，点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，则四边形的面积是（ ） A．24 B．12 C．36 D． 7．设直线和圆相交于A、B两点，则弦AB的垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与圆相交于、两点，则的值为 . 9．设圆C：，直线l：x－y－5＝0，则圆C上到直线l距离最近的点的坐标和最远的点的坐标分别为 ． 10．已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则 ． 11．已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标． 12．已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 13．已知为坐标原点，动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为12. (1)求动圆圆心的轨迹的方程; (2)已知是曲线上两点，且，分别延长与交圆于两点，求四边形面积的最小值. 题型三：圆的切线方程 1．若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 2．过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 4．直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 5．从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知为直线上一点，过引圆的切线，则切线长的最小值为 7．已知点．若点关于的对称点为点，过作圆的切线，则切线的方程是 ． 8．过点作圆的切线，切点为，则 . 9．已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为 ． 10．过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为 . 11．已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过且与圆相切的直线方程； (3)设是圆上的动点，求点到直线的最短距离. 12．已知圆C的圆心为，且圆C经过点． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长； (3)求过点且与圆C相切的直线方程． 13．已知圆经过点，，. (1)求圆M的方程； (2)过点作圆的切线l，求l的方程. 14．已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 15．已知两个定点，，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线交于，两点，求的最小值； (3)过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（，为切点）．证明：直线过定点，并求该定点坐标． 题型四：圆的弦长问题 1．已知直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．若直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 4．若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 5．圆被直线所截的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 7．直线被圆截得的弦长为 ． 8．直线：被圆C：截得的弦长为 . 9．已知与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数 ． 10．已知直线与圆交于A､B两点，且，则 . 11．已知过点的直线l被圆所截得的弦长为，则直线l的方程为 12．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 . 13．已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点，求的面积的取值范围. 14．已知函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，过三点. (1)求的方程； (2)若过点作的弦，其中最长弦与最短弦分别为，求四边形的面积. 15．已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. (1)求圆方程； (2)过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程. 16．已知圆关于直线对称，且过点． (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 题型五：圆与圆的位置关系 1．圆和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 2．已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 4．已知圆，圆；则两圆的公切线条数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知圆与圆，动点向两个圆所引的切线长相等，则的最大值为 . 7．已知圆C：，，，若圆C上存在点P使，则正数m的值可以是 .（写出一个满足条件的值即可） 8．过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 . 9．已知圆，圆是以圆上一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆交于两点，则当最大时，的大小为 ． 10．直线与交于点P，圆上有两动点A，B，且，则的最小值为 ． 11．已知圆：（）与圆：（）外切，则 . 12．圆与圆的公切线的条数为 . 13．已知圆和圆，点. (1)若圆与圆内切，求的值； (2)若圆上存在点，使，求的取值范围； (3)过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 14．已知圆 被y轴截得的弦长为2，圆 ． (1)求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． (2)在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知圆C的方程为：. (1)求的取值范围； (2)当圆与圆外切时，求实数的值. 16．动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 题型六：相交两圆的交点和公共弦 1．圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 3．已知两圆，相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则的值为（   ） A．2 B． C．2或0 D．或0 5．已知圆，圆，则两圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（   ） A． B． C． D． 7．若圆，圆 的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 8．已知圆：与圆：交于、两点，且四边形的面积为，则 . 9．在平面直角坐标系中，已知点，，从直线上一点Р向圆引两条切线，，切点分别为C，D.设线段的中点为M，则线段长的取值范围为 . 10．已知圆，圆，且圆上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则两圆公共弦的长度为 ． 11．已知圆经过点，，且圆心在上，圆. (1)求圆的标准方程 (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 12．已知圆过点，，且圆心在直线上，圆：. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 13．已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 14．已知圆，圆． (1)若两圆内含，求实数的取值范围． (2)是否存在实数，使得两圆公共弦的长度为2？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $