第二章 直线和圆的方程全章20大题型（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 常考题型·精准突破 题型1 直线的倾斜角与斜率 题型2 两条直线的位置关系 题型3 两条直线的位置关系求参数 题型4 直线的方程 题型5 直线过定点问题 题型6 点到直线的距离 题型7 两条平行线的距离 题型8 对称与反射问题 题型9 和差最值问题 题型10 面积问题 题型11 圆的方程 题型12 圆的一般方程 题型13 点与圆的位置关系 题型14 圆的弦长问题 题型15 切线问题 题型16 定点到圆上一点距离问题 题型17 圆上一点与直线的距离问题 题型18 直线与圆的位置关系 题型19 圆与圆的位置关系 题型20 圆中的对称问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 直线的倾斜角与斜率 1．(25-26高二下·贵州毕节金沙县·期中)直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2．(26-27高二上·河南南阳方城县第一高级中学·)已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 3．(26-27高二上·河南焦作武陟县第一中学·)若直线的方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】因为，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为. 4．(26-27高二上·云南玉溪第一中学（北校区）·开学考)若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】直线是垂直于轴的直线， 此时斜率不存在，倾斜角为. 5．(26-27高二上·广东深圳外国语学校·)已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为 ，则，得， 即直线的倾斜角为. ◆题型2 两条直线的位置关系 1．(25-26高二上·山东济南商河弘德中学·月考)两直线，的方程分别为和为实常数，为第三象限角，则两直线，的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的结论判断. 【详解】因为为第三象限角， 所以， 故两直线垂直. 故选：A 2．(25-26高二上·河北邯郸武安第一中学·月考)设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】由正弦定理结合两直线方程系数之间的关系进行判断. 【详解】由正弦定理，得， 又两条直线的方程分别为，， 因为两直线的系数满足，所以两直线垂直． 故选：C. 3．(24-25高二上·湖北宜昌协作体·期中)直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 4．直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【答案】B 【分析】判断两条直线的位置关系，分类讨论，通过计算斜率的乘积来确定即可. 【详解】当、都不为时,直线的斜率为，直线的斜率为.因为两条直线斜率的乘积为：，所以两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率不存在. 直线可化为，其斜率为，此时两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率为. 直线可化为，其斜率不存在，此时两条直线垂直. 故选：B. 5．(24-25高二上·重庆第十八中学·)两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【答案】C 【分析】设两直线的斜率分别为，利用根与系数的关系，即可得到，即可判断. 【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直. 故选：C ◆题型3 两条直线的位置关系求参数 1．(26-27高二上·浙江Z20名校联盟·)已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 2．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 3．(25-26高二下·安徽芜湖县第一中学·)已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 4．(25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期末)若直线平行，则实数的值为（    ） A．1或2 B．2 C．1或2 D．1 【答案】D 【详解】∵平面内两条直线平行， ∴，解得或2． 时的方程为，的方程为，两条直线重合． 时的方程为，的方程为，两条直线平行． 因此． 5．(25-26高二下·河北保定蠡县蠡县中学·)若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】D 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得． ◆题型4 直线的方程 1．(26-27高二上·重庆第一中学校·)过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 【答案】或 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 2．已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 【答案】 【详解】因为直线的斜率为，又点在直线l上的投影是, 则直线l的斜率，故直线l的方程为，即． 3．(25-26高二下·贵州部分学校联考·期中)直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的一个法向量为，且过点， 设直线上任意一点，所以， 所以，即， 直线的方程为：. 4．(26-27高二上·广西桂林全州县全州高级中学·)在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由直线方程的两点式得 ，即. （2）设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. （3）设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 5．(25-26高二上·四川阿坝州阿坝县中学·期中)已知的顶点为，，． (1)求过点且平行于直线的直线方程； (2)求边上的中线所在直线方程； (3)求边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； （2）线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即； （3）因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. ◆题型5 直线过定点问题 1．(25-26高二上·福建漳州第三中学·期中)设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P不与点A，B重合，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再根据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可． 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故的最小值是． 故选：B． 2．(25-26高二下·贵州新高考协作体·月考)在中，点在线段BC上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点．若．直线恒过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，结合题意，利用平面向量的线性运算得到，再由三点共线即可得，再代入直线方程即可. 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 则为， 即， 令，解得，则点的坐标为. 3．直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 4．(25-26高二上·江苏常州横林高级中学、戚墅堰高级中学·期末)设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 5．(25-26高二上·河南南阳方城县第一高级中学·期中)已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1) 直线的方程为， 则直线过直线与的交点， 由，解得， 所以直线过定点，其坐标为. (2)或； (3) 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分和两种情况进行讨论即得． 【详解】（1）略 （2）当直线的截距为时，其方程为，即； 当直线的截距不为时，设其方程为， 则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. （3）当时，直线l的方程为，符合题意； 当时，， 则，即，解得或， 综上，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是. ◆题型6 点到直线的距离 1．(26-27高二上·云南玉溪第一中学（北校区）·开学考)点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点到直线的距离为. 2．(25-26高二上·四川成都树德中学·期末)以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 3．已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 4．(25-26高二上·山东桓台第一中学·期中)点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值. 【详解】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 故答案为：.    5．已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】结合表示点到原点的距离，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】表示点到原点的距离, 点到原点距离的最小值为原点到直线的距离. 故选：C ◆题型7 两条线平行的距离 1．(25-26高二·广东湛江港城、海东、崇文三校·期中)直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 2．(26-27高二上·河南南阳方城县第一高级中学·)已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 【答案】D 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 3．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】因为， 则， 即点在直线上，点在直线上， 而的几何意义为点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 所以最小值为. 故选：A. 4．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 5．(25-26高二上·重庆杨家坪中学·月考)已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 若，故，即， 故直线与之间的距离. ◆题型8 对称与反射问题 1．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 2．一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 3．(25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末)一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 4．(25-26高二上·河北大数据应用调研阶段性测评·调研)在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于轴的对称点，则反射光线所在的直线即为直线，求出直线的方程即可. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 5．(26-27高二上·河南新乡第一中学·开学考)已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因，，， 设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为0时，直线过原点和点， 则其方程为，即； 当截距不为0时，依题意，可设直线， 代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）设关于的对称点，则中点在上且， 则， 解得，，故． ◆题型9 和差最值问题 1．(25-26高二·广东湛江港城、海东、崇文三校·期中)著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 2．(24-25高二上·江西萍乡·期末)已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    3．(25-26高二上·安徽芜湖第一中学·期末)已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    4．已知点在轴上，在直线上，，则的周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用对称性变换，再结合两点之间线段最短，即可得最小值. 【详解】 作点关于直线的对称点为， 再作点关于轴的对称点为， 由的周长， 因为， 所以的周长, 故答案为： 5．已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 ◆题型10 面积问题 1．(25-26高二上·安徽黄山屯溪第一中学·)已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两条直线的公共定点，求出它们与坐标轴的交点，建立面积的二次函数表达式，再利用二次函数性质求最小值对应的值. 【详解】直线可化为，由 可得，即直线恒过定点， 直线可化为，由， 解得，即直线恒过定点， 由可得，即直线与轴交点为， 由可得，即直线与轴交点为， 则四边形由点围成， 其面积， 当时，取得最小值. 故选：D. 2．(25-26高二·广东湛江港城、海东、崇文三校·期中)已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)4 【分析】（1）分别考虑直线的横、纵截距是否均为0设方程，代入求出参数，可得结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值． 【详解】（1）当直线的横、纵截距均为0时，设其方程为，代入，得，则得； 当直线的横、纵截距均不为0时，可设，代入点，解得， 则直线方程为， 所以直线的方程为或； （2）由题意直线的斜率存在，可设， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形PQSR面积的最小值为4． 3．已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 4．(25-26高二·浙江台州·期末)已知的三个顶点是. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）求出边所在直线的斜率，根据直线的点斜式方程，写出边所在直线的方程； （2）利用两点间距离公式求边的长度，利用点到直线的距离公式求边上的高，进而求得的面积. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为，即. （2）线段， 设为点到直线的距离，则， . 即的面积为. 5．(25-26高二上·江苏常州武进区洛阳高级中学·)在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求顶点、的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据直线垂直和经过的点坐标求出直线的方程. （2）联立两直线方程即可求得交点坐标. （3）根据点到直线的距离公式和三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由题可设直线的方程为， 把点代入可得，解得. 直线的方程为. （2）设，则，，联立解得，.. 设，则，，联立解得，. . （3）是的中点，，到的距离， 又点到的距离，.    ◆题型11 圆的方程 1．(25-26高二·陕西汉中勉县第二中学·期中)已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 2．(26-27高二上·重庆第一中学校·)已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 3．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 4．(25-26高二上·福建厦门双十中学·月考)已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 5．(26-27高二上·河南南阳方城县第一高级中学·)经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 【答案】 【详解】设圆心为 ，因为圆心在直线 上，故. 圆经过 、，所以圆心到两点的距离相等，可得， 两边平方得， 展开得， 化简， 代入 ，得. 所以圆心为 ，半径. 故圆的标准方程为. ◆题型12 圆的一般方程 1．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 3．(25-26高二上·浙江卓越高中联盟·)下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【详解】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 4．(25-26高二·浙江绍兴上虞区·期末)已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 5．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. ◆题型13 点与圆的位置关系 1．已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 2．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 3．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 4．“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 5．(25-26高二上·广西来宾第八中学·期中)已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆上存在一点，在以为直径的圆外，即可求解. 【详解】依题意，，且圆上存在一点，在以为直径的圆外， 设以为直径的圆的圆心为，半径. 设圆的圆心为，则， 所以，则. 故选：D ◆题型14 圆的弦长问题 1．(25-26高二下·广东广州第二中学·期中)已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 2．(25-26高二下·湖北三所名校·)已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点．    由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 3．(25-26高二·浙江桐乡高级中学·调研)已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取线段的中点，可得，依题意即求的最小值，由图可知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时，最小，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式计算即得. 【详解】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 4．(25-26高二下·广东广州象贤中学·期中)直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 弦长为. 5．(25-26高二下·安徽芜湖县第一中学·)已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 【答案】2 【分析】应用点到直线距离结合弦长公式计算求解参数. 【详解】圆的圆心为， 则圆心到直线的距离， 则，可得. ◆题型15 切线问题 1．(26-27高二上·河南焦作武陟县第一中学·)已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 2．已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 3．(25-26高二下·河南驻马店青铜鸣·)过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 4．(25-26高二上·江苏无锡梁溪区无锡第一中学·期中)过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 5．已知圆的圆心在轴上，若圆过点且与直线相切，则圆的半径为___________． 【答案】 【详解】设圆心坐标为，半径为，则圆方程为， 则，而圆与直线相切，可得， 得到，解得，故圆的半径为． ◆题型16 定点到圆上一点距离问题 1．(25-26高二·贵州贵阳第一中学·)若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在复平面中对应点，， 即，表示点Z在以为圆心，以为半径的圆上. 表示点Z到原点的距离，所以的最小值即为圆M上的点Z到原点O的距离最小值，. 2．(25-26高二·广东潮州·期末)已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 3．(25-26高二下·浙江杭州萧山区第二高级中学等校·期中)设是圆上的动点，是圆上的动点，为坐标原点，则最小值是_________. 【答案】8 【分析】由题可知圆即以和，满足的阿氏圆，将问题转化为求即可求解. 【详解】圆的方程为，其圆心，半径． 设，根据两点间距离公式，由可得：， 两边平方整理得， 因为在圆（即）上， 将代入得：， 即． 由于该式对圆上所有成立， 所以且，解得，即点，且满足． 所以， 而，所以. 4．(25-26高二上·云南保山腾冲·期末)已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 5．(25-26高二下·安徽阜阳临泉县安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·)数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 【答案】 【分析】根据方程确定圆心及半径，再利用定点到圆上的点的距离的范围即可求解． 【详解】可化为， 所以表示圆心为，半径为2的圆上的点. ， 所以的几何意义是圆上的点与的距离的平方减8， ， 所以， 所以． ◆题型17 圆上一点与直线距离问题 1．已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 2．(25-26高二上·福建厦门双十中学·月考)已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 3．(26-27高二上·浙江Z20名校联盟·)已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 4．(25-26高二·河南许昌·期末)已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为 ，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得. 【详解】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. 5．(25-26高二·湖南岳阳华容县·期末)动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】/4.8 【分析】利用两点距离公式求出点的轨迹方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而求圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】设，则，整理得. 所以点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 故点到直线的距离的最大值为. ◆题型18 直线与圆的位置关系 1．(25-26高二·专题9直线与圆的位置关系（练）·)判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 2．（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】利用若直线与圆有交点则圆心到直线的距离不大于半径的性质建立不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 3．若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 4．已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 5．(25-26高二上·江苏南通启东第一中学·)已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或； (2)相交； 【详解】（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. ◆题型19 圆与圆的位置关系 1．(25-26高二上·福建厦门双十中学·月考)已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 2．已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 3．已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线的方程，运算求解即可. 【详解】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 4．已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或， 若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意； 若，由圆与相切，则， 由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切， 如图，过点作，则,，    于是. 5．已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. ◆题型20 圆中的对称问题 1．(25-26高二·山西阳泉·期末)若圆：上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆的圆心，进而得到直线一定过的点. 【详解】由圆：，得圆：，可得圆心， 因为在圆上存在无数对点关于直线对称，所以直线一定过点. 故选：A. 2．(25-26高二·四川广元·期末)已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【分析】圆关于直线对称，说明圆心在该直线上，求出圆的圆心和半径，根据圆的半径与圆心距的关系判断选项. 【详解】由圆得，，圆心，半径， 圆关于直线对称，说明圆心在该直线上， 所以，，解得，故，. 由得，圆心，半径，， ，， 所以，所以两圆外切. 故选：C 3．(25-26高二上·甘肃武威第六中学·期末)过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于对称时，线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线长定理，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可. 【详解】如图所示，圆心，连接， 因为直线关于直线对称， 所以垂直于直线， 故，而， 则. 故选：D 4．(25-26高二上·四川资阳安岳中学·期末)已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 5．(25-26高二上·辽宁大连王府高级中学·期末)已知圆C：关于直线对称. (1)求常数m； (2)已知直线：与圆交于P、Q两点，若，为坐标原点，求实数t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的一般方程，得到圆心和半径，根据题意可得圆心在直线上，进而可求出值； （2）先由题意设，联立直线与圆的方程，由于则，结合韦达定理，即可求出结果. 【详解】（1）圆圆心为 ， 因为圆关于直线对称； 所以圆心在直线上； 所以，解得. （2）由（1）知圆， 已知直线的方程为 ，设 ， 联立方程化简得到； 则， 则 ； 因为，所以， 即，解得. 代入可得：，满足. 故. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成两点间距离的平方，再利用点到直线距离求解. 【详解】由 ，得. 设，当时为增函数，而， 所以. 所以方程转化为. 而即为点到点的距离的平方， 而点满足， 则的最小值即为点到直线距离的平方的最小值， 即的最小值.而， 设，则在为增函数， 所以，则. 所以最小值为. 2．(25-26高二·专题13章末复习与测试（讲）·)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据光线反射的性质将光线从到经过的路程转化为的长度，然后利用勾股定理计算即可. 【详解】 设为点关于轴对称的对称点，则， 根据光线反射的性质可得光线从到经过的路程等于， 圆的方程可整理为，所以圆心，半径， 所以，. 3．(25-26高二下·浙江名校协作体·)已知，q：直线与直线平行，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出的值，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或. 当时，，满足平行条件. 当时，，满足平行条件. 所以，两直线平行时或. 因此是的充分不必要条件. 4．(25-26高二·专题11隐圆的应用（讲）·)已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得点的轨迹是以为直径的圆，求得圆的方程，进而求得圆心到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值. 【详解】由题知直线过定点，直线过定点， 又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 又的中点坐标为，半径， 所以圆的方程为. 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：C. 5．(25-26高二·专题11隐圆的应用（练）·)已知，，若圆C：上存在点P使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，两圆有公共点，根据两圆位置关系列式求解即得. 【详解】设，由得，化简得：， ∴P的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为点P在圆C上，则两圆有公共点，因此两圆圆心距满足：. 又，，则，即， ∴. 故选：C. 6．(25-26高二上·福建福州·)已知圆，圆，为圆上任意一点.若关于直线的对称点都在圆内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆关于直线对称的圆的方程，再根据点与圆的位置关系确定的取值范围. 【详解】已知圆，则圆心为， 圆心关于直线对称的点为， 所以圆关于直线对称的圆的方程为， 因为圆，所以圆心为，半径为， 又因为关于直线的对称点都在圆内， 所以圆上的所有点都在圆内，即圆心距， 根据两点距离公式：， 则，解得， 又因为，所以的取值范围是. 故选：A. 7．(25-26高二上·浙江宁波慈溪·期末)已知点关于直线对称的点在圆上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求进而得出结果. 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点为， 所以与两点所在直线与垂直，故. 因为，且. 所以. 故选：A 二、填空题 8．(25-26高二·专题6直线中的对称问题（练）·)在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 9．(25-26高二上·云南昆明五华区·)已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设点，结合条件得到点的轨迹是一个圆，利用圆与圆的位置关系计算半径的取值范围； 【详解】设点，由， 根据距离公式得， 两边平方并整理得，即 因此满足条件的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 圆的圆心，半径为，该圆与轨迹圆有公共点， 故两圆的圆心距，要使两圆有公共点，需满足， 计算圆心距，代入得， 解得，所以半径的取值范围为， 故答案为：. 10．(25-26高二上·新疆和田墨玉县·期末)已知点，，若圆上的任意一点均满足，则实数__________. 【答案】 【分析】运用特殊值（位置）法，因为圆上任意一点均满足，故可取圆上两个特殊点，根据列出方程，再取交集，即可得解. 【详解】若圆上的任意一点均满足， 则圆上的点与，也满足， 即，. 因为，，故 由，可得，得； 由，可得， 整理得，解得或. 综上所述，取两种情况下的交集，得. 故答案为：. 三、解答题 11．(25-26高二下·贵州新高考协作体·月考)过点作圆的两条切线，切点分别为. (1)求直线AB的方程； (2)已知直线过点且与直线AB平行，为直线上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造出辅助圆，通过两圆方程相减得到公共弦； （2）设出相关点坐标表示出向量数量积，再联立圆与直线方程，结合韦达定理得到坐标间关系，进而求出最小值. 【详解】（1）由得， 所以圆心，半径， 设切点，则， 即在以为直径的圆上， 又的中点为，， 所以以为直径的圆的方程为， 将两圆方程相减：， 整理并化简得：， 所以直线AB的方程为； （2）由（1）和题意可知直线的方程为：， 设，则，， 所以， 因为在圆上，所以，， 且在直线上，满足， 联立圆与直线的方程：， 消并化简可得：， 所以， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最小值为. 12．(26-27高二上·浙江宁波北仑中学·)已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点在的高线上，中点在直线上列方程得到点，根据点在边的中线上，垂直于边上的高线列方程得到点； （2）法一:根据点在上列方程，根据的面积得到到边的距离，然后利用点到直线的距离公式列方程，最后解方程即可； 法二：根据的面积得到到边的距离，然后设过与平行的直线的方程，最后与直线的方程联立即可； 法三：根据与的面积比值得到，然后利用向量求坐标即可. 【详解】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 13．(25-26高二下·湖北新洲一中·)已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2）， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 14．(25-26高二·江苏如皋·期末)已知圆过点，与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若斜率为1的直线与圆交于，两点，，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆与直线相切于点，求出直线的方程，设出圆心坐标，进而求出圆心坐标及半径，即可得到圆的方程. （2）设出直线的方程，根据余弦定理及垂径定理求出圆心到直线的距离，进一步求解即可. 【详解】（1）设圆的圆心为. 由题意可知，直线与直线垂直，所以. 所以直线的方程为，即. 可设圆心坐标为，则，即. 整理得，解得，则圆心坐标为，半径. 所以圆的方程为. （2）在中， ， 则. 设圆心到直线的距离为，根据垂径定理可知. 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离. 所以，即，解得或. 所以直线的方程为或. 15．(25-26高二上·云南昆明官渡区·期末)已知两个定点，动点始终满足．记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点，过点的直线与曲线交于两点（在之间），若（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点，利用，计算即可. （2）由，得，由勾股定理得， ，计算得，，利用，求出直线的斜率计算即可. 法二：设直线为：，点，，由，得：，直线方程与圆方程联立，利用韦达定理得：，代入直线方程计算即可. 【详解】（1）设点， ，， 由题可得， 化简得：， 曲线D的方程为； （2）如图，    取中点为点，则, 由， ，即， 为的中点， 设，则， 由勾股定理得：      ①       ② ①-②，得：， 代入①式得：， ， ， ， 由对称性得， ， 直线的方程为， 即． 法二：由图形特征，直线斜率为0不符合题意， 设直线为：，点，， 由， 为的中点，即， 直线方程与圆方程联立， 整理得：， ， 由韦达定理得：，， ， ，， ，化简得：， ，解得：， ， 直线的方程为：， 即直线的方程为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章直线和圆的方程 内容概览 目常考题型精准突破 题型1直线的倾斜角与斜率 题型2两条直线的位置关系 题型3两条直线的位置关系求参数 题型4直线的方程 题型5直线过定点问题 题型6点到直线的距离 题型7两条平行线的距离 题型8对称与反射问题 题型9和差最值问题 题型10面积问题 题型11圆的方程 题型12圆的一般方程 题型13点与圆的位置关系 题型14圆的弦长问题 题型15切线问题 题型16定点到圆上一点距离问题 题型17圆上一点与直线的距离问题 题型18直线与圆的位置关系 题型19圆与圆的位置关系 题型20圆中的对称问题 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1直线的倾斜角与斜率 1.(25-26高二下贵州毕节金沙县期中)直线经过A1,2、Bm,2m-1两点，且倾斜角是45°，则m= 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.0 B.1 c.2 D.3 2.(26-27高二上河南南阳方城县第一高级中学)已知直线经过点A2,-8,B5,1,则直线的斜率为() 1 1 A.3 B.3 C.3 D.3 3.(26-27高二上河南焦作武陟县第一中学)若直线的方向向量ā=0，-2024)，则直线的倾斜角为() A.6 B.2 c D.0 4.(26-27高二上云南玉溪第一中学（北校区）·开学考)若直线l的方程为X=2028,则直线！的倾斜角是 () A.0 B.4 C.n 5.(26-27高二上广东深圳外国语学校)已知直线1经过A1,2,B0,3两点，则直线的倾斜角为() A. 3π 4 B.3 c 0.6 ◆题型2两条直线的位置关系 1.(25-26高二上山东济南商河弘德中学，月考)两直线，的方程分别为x+y1-c0s0+b=0和 xsin0+yV1+cos0-a=0(a,b为实常数，0为第三象限角，则两直线，1号的位置关系是() A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.平行 D.不确定 2.(25-26高二上河北邯郸武安第一中学.月考)设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边，则直线 sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是() A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法确定 3.(24-25高二上湖北宜昌协作体期中)直线l:x-2y+3=0和直线m:2x+y-3=0的位置关系为() A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 4.直线Cx+dy+a=0与dx-Cy+b=0(c,d不同时为0)的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.相交 D.与a,b,c,d的值有关 5.(24-25高二上重庆第十八中学)两直线的斜率分别是方程x2+2024x-1=0的两根，那么这两直线的位 置关系是() 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.平行 B.斜交 C.垂直 D.重合 ◆题型3两条直线的位置关系求参数 1.(26-27高二上浙江Z20名校联盟)已知a>0,b>0,直线aX+2y-3=0和x+(b-1y+2=0垂直，则 1,2 。+6的最小值为 2.(24-25高二上湖南株洲第二中学.期末)若直线l1:mx+3y-1=0与直线l2:2x+(m-5)y+1=0垂直，则 m=() A.-3 B.-1 C.3 D.6 3.2526商=下安徽无湖县第一-中学到尼知直线l4:x+号y+1=0与，：a+1x+y+2=0,则“a=-2”是 “l1/112”的() A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.(25-26高二上江苏常州田家炳高级中学期末)若直线l1:ax+2y+a+2=0,l2:x+a-1y+2=0平行， 则实数a的值为() A.-1或2 B.2 C.1或-2 D.-1 5.(25-26高二下，河北保定蠡县蠡县中学)若直线2x+m-1y-3=0与x+3y+3=0互相垂直，则m= () A.-2 B.3 C.-2或3 ◆题型4直线的方程 1.(26-27高二上重庆第一中学校)过点2,4且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为 2.已知点M(1,2)在直线1上的投影是H(-1,4),则直线1的方程为 3.(25-26高二下.贵州部分学校联考期中)直线的一个法向量为n=2,1,且过点A2,-1,则直线的方程 为() A.X+2y=0 B.2x+y-5=0 c.x-2y-4=0 D.2x+y-3=0 4.(26-27高二上广西桂林全州县全州高级中学)在平面直角坐标系中，己知O,A,B三个点分别为 O0,0,A1,3),B(6,8). 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求直线AB的方程： (2)求过点O且与直线AB平行的直线的方程： (3)求过点O且与直线AB垂直的直线的方程. 5.(25-26高二上四川阿坝州阿坝县中学.期中)已知△ABC的顶点为A2,4,B7,-1,C-6,1. (1)求过点C且平行于直线AB的直线方程： (2)求AB边上的中线CM所在直线方程： (3)求边AB上的高CD所在直线方程. ◆题型5直线过定点问题 1.(2526高二上福建漳州第三中学.期中)设m∈R,过定点A的动直线x-2my=0和过定点B的动直线 1 4 2mx+y-6m4=0交于点P,点P不与点4，B重合，则PAPB的最小值是（） 1 9 A.5 B.25 D.1 2.(25-26高二下·贵州新高考协作体月考)在△ABC中，点O在线段BC上，且OC=3OB,过点O的直线 分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.若AB=mAM,AC=nAN.直线 1:(2m+1)x+(n+1)y-m-1=0恒过定点P,则点P的坐标为 3.直线l:(m+2)x+(2-2m)y-3=0过定点 4.(25-26高二上江苏常州横林高级中学、戚墅堰高级中学.期末)设直线的方程为 a+1x+y-5-2a=0a∈R, (1)求l经过定点P的坐标： (2)若直线在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程. 5.(25-26高二上河南南阳方城县第一高级中学期中)已知直线l:(2a+3)x-(a-1)y+3a+7=0,a∈R. (1)证明直线1过定点A,并求出点A的坐标： (2)在(1)的条件下，若直线过点A,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线1的方程； (3)若直线1不经过第四象限，求α的取值范围. ◆题型6点到直线的距离 1.(26-27高二上云南玉溪第一中学（北校区）·开学考)点3，-3到直线3x-4y-6=0的距离是() 12 27 A.5 B.3 c.5 0.5 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高二上.四川成都树德中学.期末)以A1,2,B3,4,Px,0为顶点的△ABP的面积为10，则x为 () A.8或-10 B.-8或10 c.9或-11 D.-9或11 3.已知坐标原点到直线l:ax+by+1=0的距离为1，则3a+4b的最大值为 4.(25-26高二上山东桓台第一中学期中)点A-2,1到直线1：mx-y-2m-2=0(m为任意实数)的距离的 最大值是 5.已知点Ma,b在直线：x+2y=5上，则Va2+b2的最小值为() A.1 B.2 C.5 D.5 ◆题型7两条线平行的距离 1.(25-26高二广东湛江港城、海东、崇文三校期中)直线3x-4y-1=0与6x-8y+9=0间的距离是 () 11 1 A.1 B.10 C.2 D.5 2.(26-27高二上河南南阳方城县第一高级中学)已知直线3x-4y-2=0与直线6x-8y+m=0间的距离为 1,则实数m的值为() A.14 B.-14 C.6 D.-14或6 a-c-2-4 3.已知实数a,b,c,d满足6d-33则a-c+b-d的最小值为() 6 A.2 49, 64 B.25 c.25 1 D. 25 4.若P,Q分别为两平行直线l1:3x-4y-1=0,12:6x+my+3=0上任意一点，则m的值为 PQ的最小值为 5.(25-26高二上.重庆杨家坪中学.月考)已知直线l1:a-2x+y-2=0和l2:ax+a-2y+2=0 (1)若l11l2,求实数a的值： (2)当11/12时，求直线l1与l2之间的距离. ◆题型8对称与反射问题 1.直线x-2y-1=0关于直线y+x=0对称的直线方程是() A.2x+y+1=0 B.2x-y-1=0 C.2x-y+1=0 D.x-2y+1=0 2.一束光线从点P-2,-1射出，与直线：x-y=0相交于点Q1,1.经直线反射，则反射光线所在直线 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的方程为() A.3x-2y-1=0 B.2x-3y+1=0 c.3x+2y-5=0 D.2x+3y-5=0 3.(25-26高二上内蒙古巴彦淖尔期末)一条光线从点A-1,0射出，与直线：x+y-3=0相交于点P,经 反射后，经过点B(1,0),则PA+PB=() A.2V3 B.4 c.2V5 D.2V6 4.(25-26高二上河北大数据应用调研阶段性测评，调研)在平面直角坐标系中，由点P(-2,5发出的一条光 线射向y轴上的点Q0,1后，经y轴反射，则反射光线所在的直线方程为() A.2x-y+1=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y+2=0 D.x+2y-2=0 5.(26-27高二上河南新乡第一中学.开学考)已知A1,1,B2,3,C4,0,求（均写出一般式方程）： (1)BC边上的中线所在的直线方程1： (2)过B点且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程l2: (3)求点C关于1的对称点D的坐标. ◆题型9和差最值问题 1.(25-26高二·广东湛江港城、海东、崇文三校期中)著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少 数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：x-α2+y-b可以转化 为平面上点Mx,y与点Na,b的距离.结合上述观点，可得函数fx=Vx2+6x+25+VX-2x+10的 最小值为() A.3V7 B.5V2 C.7 D.V65 2.(24-25高二上江西萍乡期末)已知点P在直线X-y+1=0上运动，点A2,4,B2,1,则|PA-PB的 最大值为() A.1 B.3 C.2 D.5 3.(25-26高二上安徽芜湖第一中学.期末)已知点M1,-2人、N3,4,P是直线l:2X-y+1=0上的动点， 则PM+PN的最小值为 4.已知点A在x轴上，B在直线l:y=X上，C3,1,则△ABC的周长的最小值为 5.已知点Pm,n是直线y=x上一点，则m2+n2-2m+1+m2+n2-8m+4n+20的最小值是 ◆题型10面积问题 6/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26高二上安徽黄山屯溪第一中学)已知0<k<4,直线1：x-2y-2k+8=0和直线2：2x+y-4k- 4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为() 1 1 A.2 B.4 c 0.8 2.(25-26高二广东湛江港城、海东、崇文三校期中)已知直线1过定点M1,1,直线l2的方程是X+y=0. (1)若直线1的横截距为纵截距的3倍，求直线l1的方程. (2)若直线1与x,y轴正半轴分别交于P,Q两点，过P,Q分别作直线l2:x+y=0垂线，垂足分别是 R,S.求四边形PQSR面积的最小值. 3.已知直线：a-1y=2a-3x+1. (1)求证：直线过定点； (2)若P2,1到直线的距离最大，求a的值： (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程， 4.(25-26高二浙江台州·期末)已知△ABC的三个顶点是A4,0,B6,7,C0,3. (1)求边AC所在直线的方程： (2)求△ABC的面积. 5.(25-26高二上江苏常州武进区洛阳高级中学)在△ABC中顶点A0,1,AB边上的高CD所在直线的方 程为X+2y-4=0,AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y-3=0. (1)求直线AB的方程： (2)求顶点B、C的坐标： (3)求△BDE的面积 ◆题型11圆的方程 1.(25-26高二陕西汉中勉县第二中学期中)已知点P0,-1,Q2,1,且线段PQ是圆M的直径，则圆M 的方程为() A.x-12+y2=2 B.x-12+y2=8 c.x2+y-12=4 D.x2+y-12=8 2.(26-27高二上重庆第一中学校)已知圆C:x-a+y-b2=1(Q>0,b>0)上有两点关于直线 X+2y4=0对称，则2+ b的最小值为() A.2V2 B.2 C.4 D.8 3.过点A-1,2,B3,-2的面积最小的圆的标准方程为() 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x+12+y2=8 B.x-12+y2=8 c.x+12+y2=32 D.x-12+y2=32 4.(25-26高二上福建厦门双十中学月考)已知圆C:x-12+y-2?=5,又点M在圆C上运动，点 N4,-2,则线段MN中点P的轨迹方程为 5.(26-27高二上河南南阳方城县第一高级中学)经过A(0,2),B(-1,1)两点，且圆心在直线x+2y-1=0 上的圆的标准方程为 ◆题型12圆的一般方程 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.若方程x2+y2+2x-4y+k=0表示圆，则k的取值范围为() A.-∞，5 B.-0,5 C.5,+∞ D.5,+0o 2.已知a∈R,方程ax2+(a+2)y2+2x+4a=0表示圆，则圆心的坐标为() A.(1,0) B.（-1,0 D 40-1o 3.(25-26高二上浙江卓越高中联盟)下列方程一定表示圆的是（) A.x2+y2-2x-4y-6=0 B.x2+xy+y2-5=0 C.x2+y2+2ax+2by=0a,bE R] D.x2+y+2x+4y+6=0 4.(25-26高二浙江绍兴上虞区期末)已知等腰直角△ABC的三个顶点为A0,1,B2,0,Ca,b川a<0, 且∠A=90°. (1)求点C的坐标： (2)若点D是AC中点，求△BCD的外接圆方程 、即△B○D的外接圆方程为X+y-乙x+二少 +2y-1=0.5.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为 A-1,-3、B1,1、C4,2 (1)求AC边的高线1的直线方程； (2)求AB边的垂直平分线l2的直线方程： (3)求△ABC的外接圆方程. ◆题型13点与圆的位置关系 1.已知圆C的方程为x-12+y=4,则下列点中在圆C内的是() A.1,-2 B.-1,1 c.2,-1 D.0,2 2.点P(m,2)与圆(x-12+(y+1)2=8的位置关系为() A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.与m的值有关 3.若点1,2在圆x2+y+x-y+a=0的外部，则实数a的取值范围是() A.-4,+0∞ ®4 c4, D.-4,2 9/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.“点|-1，-2在圆x2+y2-ax-2y+a2-15=0外部”是“a<-3,或a>2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(25-26高二上广西来宾第八中学.期中)已知点A2,2,B1,-5,圆0：x2+y2=a,若圆0上存在点Q, 使得∠AQB为锐角，则实数a的取值范围为() A.0,2 B.0,2 c.2,+∞l D.(2,+o ◆题型14圆的弦长问题 1.(2526高二下.广东广州第二中学.期中)已知圆x+y2-2x+2y+a=0截直线X+y-2=0所得弦的长度为 4,则实数a的值是() A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 2.(25-26高二下湖北三所名校)已知圆C:x-1+y-3=25,直线：m+2x+2m+1y-7m-8=0, 则直线被圆C截得的最短弦长为() A.2V5 B.4V5 c.2V10 D.4V10 3.(2526高二浙江桐乡高级中学.调研)已知A,B是圆C:x2+y2=1上的动点，|AB=3,点P是直线 1:x+y-22=0上的动点，则函+PB的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26高二下广东广州象贤中学期中)直线1：x-y-1=0交圆x-1+y-2=4于A,B两点，则AB的 弦长为 5.(25-26高二下，安徽芜湖县第一中学)已知圆C:(x-12+y2=r2r>0,直线1：y=x+1与圆C的交点为 A,B.若AB=22,则r= ◆题型15切线问题 1.2627高二上河南焦作武陟县第一中学，已知实数x,y满足方程X2+y-4x+1=0,求之的最大值和最 小值() A.2,0 B.3,0 c.V3,-3 D.2,-V3 2.已知圆C:x-12+y-1=4与直线l:x+ay+1=0相切，则实数a=() 、 A. B.0 C.3 D.0或3 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26高二下河南驻马店青铜鸣，)过点P3,6作圆C:x-1+y-3=5的两条切线，切点分别为 A,B,则四边形PACB的面积为() A.V10 B.2V10 c.V65 D.2V65 4.(25-26高二上江苏无锡梁溪区无锡第一中学期中)过点P1,2作圆C：x-3P+y=8的切线，则切线 方程为 5.已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点(1,0)且与直线y=x+1相切，则圆C的半径为 ◆题型16定点到圆上一点距离问题 1.(25-26高二贵州贵阳第一中学)若复数z=a+bia,b∈R满足z-2-31=2,则z的最小值为() A.13-2 B.V13+2 c.2+V3 D.2-V3 2.(25-26高二·广东潮州期末)已知点M是矩形ABCD内的动点，且MB=2MA,AB=3,AD=4,点N 为边BC上的动点，则MN+ND的最小值为 3.(25-26高二下浙江杭州萧山区第二高级中学等校期中)设M是圆C1:x+y-4=4上的动点，N是圆 C2:x-4+y2=1上的动点，O为坐标原点，则OM+2MN最小值是 4.(25-26高二上云南保山腾冲.期末)已知点A3,0,点P在圆x2+y2-2x-4y+1=0上运动，则PA的取 值范围为 5.(25-26高二下，安徽阜阳临泉县安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）)数学家华罗庚曾说： “数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 V(x-a+(y-b}相关的代数问题，可以转化为点Ax,y与点Ba,b之间的距离的几何问题结合上述观 点，已知x,y满足x2+y2-2x+4y+1=0,则m=x2+y2+4x-4y的取值范围为 ◆题型17圆上一点与直线距离问题 1.己知a∈R,则圆(x-a}+(y-2a?=9上任意一点到直线3x-4y+5a+10=0的距离的最大值为 () A.2 B.3 C.5 D.6 2.(25-26高二上福建厦门双十中学·月考)已知点0是坐标原点，点Q是圆x-3+y+4=1上的动点，点 P是直线x+y+4=0上的一个动点，则PQ+PO的最小值为() A.7 B.6 C.5 D.4 3.(26-27高二上浙江220名校联盟)已知圆x+12+y2=r2(r>0)上到直线x+3y-2=0的距离为1的 点有且仅有3个，则r的值为() 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A.2 .2 5 C. D.2 4.(25-26高二河南许昌期末)已知P为直线：x-y+2=0上一点，M为圆C:(x-12+y2=2上一点，且 PM⊥MC,则PM·PC的最小值为() 1 A.2 B.2 c D.3 5.(25-26高二湖南岳阳华容县期末)动点P与两个定点O0,0,A0,3满足PA=2PO,则点P到直线 1:3x+4y-10=0的距离的最大值为 ◆题型18直线与圆的位置关系 3 1.(25-26高二.专题9直线与圆的位置关系（练）)判断直线y= X与圆C:x-2+y=1的位置关系 () A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.(多选)已知圆C:x+y2=2,直线l:x+y=k若圆C与直线l有公共点，则k的值可能为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.若对任意的k∈R,直线y=kx+1与圆x-52+y=r2(r>0)总有2个公共点，则实数r的取值范 围是() A.4,+∞ B.6,+∞ C.4,+0∞ D.6,+∞ 4.已知直线4x+3y+2m=0与圆C:x+32+y-1=1相交，则实数m的取值范围为 5.(25-26高二上江苏南通启东第一中学)已知圆C:x-22+(y-32=1. (1)过点P3,5作圆C的切线l,求l的方程： (2)已知直线AB:x+2y-7=0,判断直线AB与圆C的位置关系；如果相交，求直线AB被圆C所截得的弦 长 ◆题型19圆与圆的位置关系 1.(25-26高二上福建厦门双十中学.月考)已知圆C1:x2+y2-2x+my+1=0(m≠0)关于直线 x+2y+1=0对称，圆C2:x+22+y-32=16,则圆C1与圆C2的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 2.已知A2,0,若圆x-12+(y-3)2=r2r>0上存在点P,使得PA=1,则r的取值范围为() 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1,+o B.0,3 c.0,1U3,+oo D.1,3 3.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+6x+4y+4=0的交点为P,Q,则直线PQ的方程为() A.3x+2y+4=0B.3x+2y-4=0 C.3x+2y+2=0 D.3x+2y-2=0 4.己知圆C1x+1+y2=1和圆C2:x-22+y2=m2m>0,直线：x+2V2y+n=0与C1,C2均相切， 切点分别为M,N,则MW=() A.3 B.22 C.4 D.23 5.己知圆0：x2+y2=4与圆M:x-22+y-2=r2r>0相交于A,B两点，且MA·MB=0,则r= ◆题型20圆中的对称问题 1.(25-26高二山西阳泉.期末)若圆C:x2+y-6x-8y+15=0上存在无数对点关于直线l对称，则直线！一 定过点() A.3,4 B.6,8 c.-3,-4 D.-6,-8 2.25-26高二四川广元期末已知圆C1:x+y2-2x+my+1=0m∈R关于直线x+2y+1=0对称，圆 C2:x-42+y+5P=16,则圆C1与圆C2的位置关系是() A.内含 B.相交 C.外切 D.外离 3.(25-26高二上甘肃武威第六中学.期末)过直线y=x-1上一点P作圆（x-4)2+y2=3的两条切线l1,12,切 点分别为A,B,当直线l1,l2关于y=x-1对称时，线段PA的长为() A.6 B.2 c.3 V6 0.2 4.(25-26高二上四川资阳安岳中学.期末)已知圆C1经过点A2,2,半径小于5，圆心在直线x+y-1=0上， 直线l:3x-4y+5=0与C1相切；圆C2与圆C1关于直线y=x对称. (1)求圆C2的方程； (2)求圆C1与圆C2的公切线的条数，并求公切线段的长度 5.(25-26高二上辽宁大连王府高级中学.期末)已知圆C:x+y+2x-my+1=0m∈R关于直线 X-y+4=0对称. (1)求常数： (2)已知直线l:x+y+t=0t∈R与圆交于P、Q两点，若OP⊥OQ,O为坐标原点，求实数t的值， 综合攻坚知能拔高 13/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.关于X的方程2+ax++0+b=0在2+1,2+3]上有实数解，其中a、b为实数，则 a2+(b-2的最小值是() 1 3 64 A.72 B.3 C.4 0.9 2.(25-26高二.专题13章末复习与测试（讲）)一条光线从点P(3,0)射出，经y轴反射后，与圆 C:x+y-6y+7=0相切于点M,则光线从P到M经过的路程为() A.3V2 B.4 c.4V2 D.5 3.(25-26高二下·浙江名校协作体)已知p:a=-4,q:直线ax+4y-4=0与直线2x+a+2y+3=0平行， 则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26高二专题11隐圆的应用（讲）)已知直线l1:2ax+y-4a-4=0与l2:x-2ay+4a-4=0相交于 点P,则点P到直线x-y+4=0的距离的最大值为() A.V2 B.2V2 c.3V2 D.4V2 5.(25-26高二.专题11隐圆的应用（练）)已知A1,0,B-2,0,若圆C:x+22+y+a+12=2上存在 点P使得PA+2PB=12,则a的取值范围是() A.-V7+1,V7+1 B.V7-1,V7+1 c.-V7-1,7-1 D.-7-1,7+1 6.(25-26高二上福建福州)已知圆C1:x-12+y-2=r2r>0,圆C2:(x-42+y2=16,P为圆C1上 任意一点若P关于直线y=x的对称点Q都在圆C2内，则r的取值范围是() A.0,4-V5 B.4-V5,4+9V5 c.0,4-9V13 D.4-V13,4+V13 7.(25-26高二上浙江宁波慈溪期末)已知点M- 31 空，号关于直线y=tan0:x0<0s 对称的点在圆 x-3+y2=4上，则0=() 5π A.12 B.3 o君 二、填空题 8.(25-26高二专题6直线中的对称问题（练）)在△ABC中，已知顶点A(3,~1,过点B的角平分线方程 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是x-4y+10=0,过点C的中线的方程是6x+10y-59=0,则直线BC的方程为 9.(25-26高二上云南昆明五华区)已知两点A(1,0),B(4,0),若圆(x-32+(y-42=r2上存在点P满足 PB=2PA|,则半径r的取值范围为 10.(25-26高二上新疆和田墨玉县期末)已知点A0,a,B0,-2,若圆C:x2+y+42=16上的任意一点 M均满足MA=2MB,则实数a= 三、解答题 11.(25-26高二下贵州新高考协作体月考)过点P(-1,0)作圆M:x2+y2-2x-2y-2=0的两条切线，切点 分别为A,B. (1)求直线AB的方程： (2)已知直线过点P且与直线AB平行，Q为直线上的动点，求QA·QB的最小值. 12.(26-27高二上浙江宁波北仑中学)已知△ABC的顶点A(3,2),边AB上的中线所在直线方程为 X-3y+8=0,边AC上的高所在直线方程为2x-y-9=0. (1)求顶点B,C的坐标： (2)若点M为边BC上一点，且△ABM的面积为5，求点M的坐标 13.(25-26高二下湖北新洲一中)已知圆C:x-42+y+32=4,P是直线：x-y+1=0上的一动点，过 点P作圆C的切线，切点分别为A,B. (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程： (2)当点P在直线1上运动时且点P的横坐标xp∈-1,6，求四边形PACB面积的取值范围. 14.(25-26高二江苏如皋期末)已知圆C过点A4,2,与直线y=x相切于点B2,2 (1)求圆C的方程： (2)若斜率为1的直线l与圆C交于M,N两点，∠MCN=120°，求直线l的方程 PA1 15.(25-26高二上·云南昆明官渡区期末)已知两个定点A0,1,B0,4动点P始终满足 PB 2 记动点P 的轨迹为曲线D, (1)求曲线D的方程： (2)已知点Q4,0,过点Q的直线与曲线D交于M,N两点(M在N,Q之间)，若SOON=2 SAOMN(O为 坐标原点)，求直线MN的方程. 15/15