专题03 圆的弦长与公共弦问题（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03圆的弦长与公共弦问题 题型归纳 题型一圆里的弦长计算 题型二圆里的弦与三角形 题型三圆里的弦长最值 题型四圆里的弦中点、向量与距离 题型五两圆公共弦的方程与弦长 题型六两圆公共弦与参数条件 题型七两圆公共弦衍生的面积与范围 题型专练 题型一：圆里的弦长计算 1.圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为27，则该圆的半径为( ) A.1 B.3 C.7 D.9 2.已知圆x2+y-2x+4y=0与直线3x-4y+m=0交于A,B两点，若AB=4,则实数m的值为( ) A.6 B.-16 C.6或16 D.-6或-16 3.已知圆O:x+y=4,直线：y=kx+2与圆O相交于A,B两点若AB=2V2,则实数k=() A.±3 B.±1 c婴 D.±V2 4.记O为坐标原点，若直线y=kx与圆x+y2-2x-3=0交于A,B两点，且OA=2,则OB= 5.过原点且倾斜角为3的直线被圆X+2x+y=0所截得的弦长为() 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 3 B.2 C.1 D.93 6.已知直线：mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点，且AB=23.过点A,B分别作 直线l的垂线与x轴交于C,D两点，则CD= 题型二：圆里的弦与三角形 1.已知直线l:kx-y-3k-4=0与⊙C:x2+y2-6x+2y-6=0交于A,B两点，当∠ACB=120° 时，k=() A号 B.±1 5 c.±2 D.±5 2.已知圆C:(x-1)2+(y+1=1与直线kx+y+1=0相交于A,B两点，若△CAB为等边三角形，则k 的值为( A.±3 B.±2 3 C.±2 2 0.±2 3.已知直线x-my=0与⊙C:(x-12+(y-2P=25交于A,B两点，当△ABC面积为2V6时，m () A.0 B.3 2.4 c.3或3 D.0或 4 4.直线l:y=-1与圆E:x2+y2-4X=0交于A,B两点，若圆上存在点C,使得△ABC为等腰三角形， 则点C的坐标可以为() A.0,0 B.4,0 c.1,3 D.2,2 马”的 5.已知直线1：X-my+1=0与⊙C:x-1P+y2=4交于A,B两点，写出满足“△ABC面积为 所有m构成的集合 6.已知坐标原点O,直线x-y+2=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，则cos∠AOB=() 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 A.2 B.0 c.-1 0.2 2 7.已知圆0：x+y=4,过点0,3的直线1与圆O交于A,B两点，则△A0B面积的取值范围是( ) A.l0,1 B.0,2 c.lo. D.0,3 题型三：圆里的弦长最值 1.已知直线：y=x+mm≠0与圆0：x+y=4交于A,B两点，当△OAB的面积最大时，点O到直线1 的距离为() A.2 2 B.2 C.1 D.2 2.若P为直线x-y+1=0上一个动点，从点P引圆x2+y-2x=0的两条切线PM,PW(切点为M, N),则线段MN的长度的取值范围是() A.2,2 B.2,2 c.3,2 D.3,2 3.过直线l:2x+4y-5=0上一点P作圆O:x2+y=1的两条切线，若切点分别为M,N,则MN的 最小值为() 4.25 5 5 B.2 4V5 c.5 D.5 4.己知直线ax+y-1=0和曲线y=√4-x交于A,B两点，则AB的最小值为() A.45 5 8. 8V5 5 C.4 D.2V3 5.已知圆C:x-12+y+12=25,直线：m+2x+2m-1y-3m-1=0,则直线被圆C截得的弦 长的最小值为() 316 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.V21 B.2/21 c.223 D.10 6.已知直线l:mx+y-m=0(m∈R)与圆C:x2+(y-1)2=4交于A,B两点，则|AB的最小值为( A.2 B.3 c.2V2 D.2V3 7.过点P-1,2的直线l与圆C:x+y=9交于A、B两点，则AB的最小值是 8.圆C:x-1P+y-1?=9与直线l:cos0·x+sin0·y=20∈R交于A、B两点，则弦长AB的最小 值为 题型四：圆里的弦中点、向量与距离 1.己知直线l:x+y-4=0与圆C:x-32+y2=4交于A,B两点，与y轴交于点P,H为AB的中点， 则PH的长为 2.设⊙O:x2+y=4与X轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，点C(异于A,B)是⊙O上一点，若直线 AC与y轴交于点E,直线BC与X轴交于点F,则AFBE() A.为定值4 B.有最小值4 C.为定值8 D.有最大值8 3.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线1与圆C:(x-22+(y-3)2=1相交于M,N两点.则AM·AN为 () A.3 B.5 C.7 D.与k有关 4.己知A,B是圆C:x2+y2=1上的动点，AB=3,点P是直线L:x+y-2V2=0上的动点，则 PA+PB的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知点P在圆M:(x-5)2+(y-52=16上，点A4,0,B0,2,则点P到直线AB的距离的最大值为 ；当∠PBA最小时，PB的长度为 题型五：两圆公共弦的方程与弦长 1.若圆C:x2+y2=1与圆E:x2+y2-6x-6y+7=0交于M,N两点，则直线MN的倾斜角为() 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3π B.4 c D.- 3π 4 2.己知圆C1:(x+22+(y-5?=16与圆C2:x2+(y-22=1交于M,N两点，则MN=() V39 39 A.26 B. 13 c.2939 439 D. 13 13 3.圆x2+y2=4与圆x-12+y-V3=4的公共弦的长为 4.已知圆C1:(x-22+y=9与圆C2:x+(y-12=4相交于A,B两点，则两圆公共弦AB的长为 5.两圆C1:x2+y+4x+1=0及C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦所在直线方程为 以 该公共弦为直径的圆的标准方程为 6.圆x2+y2=2与圆x-2?+y+1P=11的公共弦所在直线方程是」 7.已知⊙C1:(x-22+(y+32=4与⊙C2:(x+1)2+(y+4)P=12交于点A、B,则线段AB的长为 题型六：两圆公共弦与参数条件 1.己知圆01：x2+y2=2和圆O2:(x-3P+y2=5在第四象限内的交点为A,过点A的直线分别交圆O1,02 于C,D两点(C,D异于点A)且AC=3AD,则直线CD斜率为 2.已知圆O:x2+y2=2和O2:(x一3)2+y2=5在第一象限内的公共点为A,过点A的直线分别交圆O,O2 于C,D两点(C,D异于点4A),且AC=2AD,则直线CD的斜率为 3.圆C1:x-22+y+1P=a2与圆C2:x+5-bP+y-b2=9相交于A(x1,y1,Bx2,y2,且 X1x2+y+Y2=0,则实数b= y1-y2X1+X2 4.已知圆0：x2+y2=4与圆M:x-22+y-2?=r2r>0相交于A,B两点，且MA·MB=0,则 r= 5.己知圆C1:x2+y2-4x-2y=0与C2:x2+y2-2x-5=0,则圆C1与圆C2的公共弦长为 题型七：两圆公共弦衍生的面积与范围 1.若圆C1:x+1)2+(y-1P=4与C2:(x-2)2+(y+3)2=25交于M,N两点，则四边形MC1NC2的面 516 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 积为() A.4V6 B.8V6 c.2V6 D.6 2.在平面直角坐标系中，圆O:x+y=1与圆C:x2+y2-4x+1=0相交于A,B两点，则四边形OACB 的面积为() 3 A.2 B.3 1 C.1 D.2 3.若圆0：x2+y=5与圆C:x+32+y-4}=10交于M,N两点，则四边形0MCN的面积为()· A.5 B.5V2 c.5V3 D.10 4.己知圆C1:x2+y-52=9与圆C2:x-a2+y2=9a>0交于M,N两点，若点At,0在直线MN上， 则实数t的取值范围为() 711 A. -0,- B 11 c.-o,-11 D.-V11,0 5.已知圆O:x2+y=r2r>0与圆C:x2+y2-4x-2y+4=0相交于A、B两点，若四边形OACB的面 积为r,则AB=() A.2 B.4 。2V5 C.5 4V5 6.已知圆C1:x2+y-a2=13与圆C2:x-bP+y2=4(a,b∈R)交于A,B两点，若存在实数b,使 得公共弦长AB=4,则实数a的取值范围是( A.-3,3 B.-V5,V5 c.-2,2 D.-o,-3U3,+∞ 7.圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y-22=4交点为A,B,则△AC,C2的面积为 616可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03圆的弦长与公共弦问题 题型归纳 题型一圆里的弦长计算 题型二圆里的弦与三角形 题型三圆里的弦长最值 题型四圆里的弦中点、向量与距离 题型五两圆公共弦的方程与弦长 题型六两圆公共弦与参数条件 题型七两圆公共弦衍生的面积与范围 题型专练 题型一：圆里的弦长计算 1.B 2.D 3.B 3 4.2/1.5 5.c 6.4 题型二：圆里的弦与三角形 1.C 2.A 3.D 4.D 52,-2司 6.B 7.B 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：圆里的弦长最值 1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.4 8.2 题型四：圆里的弦中点、向量与距离 7V2 1. 2 2.C 3.C 4.C 5.5+432 5 题型五：两圆公共弦的方程与弦长 1.B 2.D 3.2V3 4.4 5.x-y=0(x+1+(y+1)2=1 6.2x-y+2=0 390 7. 5 题型六：两圆公共弦与参数条件 7 5 1.-2或 2.5 4.2 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9V78 5. 2 题型七：两圆公共弦衍生的面积与范围 1.A 2.B 3.A 4.A 5.D 6.A 7.3 313 专题03 圆的弦长与公共弦问题 题型一 圆里的弦长计算 题型二 圆里的弦与三角形 题型三 圆里的弦长最值 题型四 圆里的弦中点、向量与距离 题型五 两圆公共弦的方程与弦长 题型六 两圆公共弦与参数条件 题型七 两圆公共弦衍生的面积与范围 题型一：圆里的弦长计算 1．圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（　　） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的弦长公式，结合待定系数法进行求解即可. 【解析】圆C的圆心坐标为，设半径为， 圆C与轴相切，则有， 又因为圆心C在直线上， 所以，则 设圆心C到直线的距离为，， 因为圆C被直线截得弦长为， 所以有， 于是有，即， 所以， 即该圆的半径为3. 2．已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（　　） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【解析】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 3．已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂径定理计算出弦长，其中为圆心到直线的距离，再计算出,再利用点到直线的距离公式计算出. 【解析】圆的圆心坐标为，半径. 直线l的一般式方程为. 由弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 则，得，即， 又， 解得. 4．记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 【答案】/1.5 【分析】求出圆与轴的交点，利用三角形相似可得，即可得解. 【解析】令，代入圆的方程中，可得， 即圆与轴的两个交点为， 直线过原点且与圆交于两点， 由，可知和相似， 可得，即， 从而， 故答案为： 5．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】过原点且倾斜角为的直线方程为，即. 由，得，其圆心为，半径. 故圆心到直线的距离为， 则弦长为． 6．已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 【答案】4 【分析】先由弦长求出直线方程，再得到，两点坐标，从而求出C，D两点坐标，得到C，D两点的距离. 【解析】圆 的圆心为 ，半径 ， 根据弦长公式 （其中 为圆心到直线的距离），， 得，解得， 圆心 到直线 的距离公式为 两边平方并化简得， 所以直线方程是，即， 联立直线 与圆的方程，解得或 则， 因为直线 的垂线斜率为 ， 过 的垂线方程：，令 ，得 , 过 的垂线方程：，令 ，得 , 所以. 题型二：圆里的弦与三角形 1．已知直线：与：交于，两点，当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，再结合圆心角条件求圆心到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式列方程求解． 【解析】已知：， 整理得，即， 可得圆心的坐标为，半径 已知，， 所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为， 则为圆心到直线的距离，且 在中，． 已知直线：， 点到直线的距离公式为：， 则， 两边同时平方得：， 整理得，即， 解得． 2．已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此，解得，所以的值为. 3．已知直线与：交于，两点，当面积为时，（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【解析】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 4．直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的中点为，连接、、，即可求出，分析可知为等边三角形，即可得到点在的中垂线与圆的交点（上方），从而求出点坐标. 【解析】圆，即，圆心为，半径， 设的中点为，连接、、，则，且， 则，所以，则，即， 若在圆上的点使得为等腰三角形， 若（也类似），连接，则， 此时，则，所以为等边三角形， 若也可得到为等边三角形，所以点在的中垂线与圆的交点（上方）， 由，解得或，所以可以是. 故选：D 　　 5．已知直线l：与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的所有m构成的集合______． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由， 所以或， 解得：或，故所有m构成的集合为． 6．已知坐标原点O，直线与圆：交于，两点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 设，则， 由余弦的二倍角公式得：. 7．已知圆，过点的直线与圆交于两点，则面积的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心到直线的距离为，结合点的位置求得的取值范围，利用弦长公式求得弦长，将的面积表示为关于的函数，设，利用二次函数的性质即可求得其取值范围. 【解析】圆的圆心为原点，半径， 直线过定点，在圆内，且, 设圆心到直线的距离为， 则，且， 故的面积为 . 设，则,函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，当时，则. 故的面积的取值范围是. 题型三：圆里的弦长最值 1．已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】设点O到直线l的距离为，进而得，即，利用基本不等式即可求解. 【解析】设点O到直线l的距离为，所以， 所以 ， 当时，即时，等号成立. 2．若P为直线上一个动点，从点P引圆的两条切线PM，PN（切点为M，N），则线段MN的长度的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设圆,圆心,根据贾意得到当最小时,最小,即可得到,再根据点在直线无限远取值时,趋近于，趋近于直径2,即可得到答案. 【解析】设圆,圆心, 要使的长度最小,则最小,即最小. 因为,所以当最小时, 最小. 又因为,所以当最小时, 最小. 因为,所以，由图易知其为锐角， 所以,，此时， ，则. 当点在直线无限远取值时, 趋近于，趋近于直径2, 所以. 故选：B. 3．过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点对应的点，写出以为直径的圆方程，两圆方程相减得到切点弦的直线方程；利用在已知直线上，消元整理，求出直线恒过的定点；定点在圆内部，当圆心到这条动直线距离最大（等于圆心到定点距离）时，弦长最小，用弦长公式算出最小值. 【解析】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： . 4．已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【解析】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 5．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【解析】 由整理为： ， 所以联立方程组得， 解得，即直线恒过定点， 因为，所以圆心，半径， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点在圆内，直线与圆始终相交， 当最大时，弦长最小；当直线时，， 所以弦长最小值为：. 6．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线方程整理为， 该式对任意实数恒成立，故需满足 解得，即直线恒过定点.圆心，半径. 圆心到定点的距离. 当直线时，弦长最小. 由弦长公式得最小值为. 故的最小值为. 7．过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值. 【解析】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 8．圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【解析】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 题型四：圆里的弦中点、向量与距离 1．已知直线：与圆：交于，两点，与轴交于点，为的中点，则的长为___________． 【答案】 【分析】由圆与直线相交可求解，，再由中点坐标公式求解，令，求解，再由两点间的距离公式求解即可. 【解析】直线与圆联立，，，解得，所以，， 则中点横坐标为，纵坐标为，所以，当时， ，所以， 所以. 故答案为：. 2．设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（　　） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 【答案】C 【分析】讨论直线斜率不存在和存在时两种情况，存在时设，利用直线方程可分别求出，坐标，即可求出的表达式，化简可得答案. 【解析】由题得，， 　　 ①当直线斜率不存在时，，是原点，与重合， 则，，所以； ②当直线斜率存在时，设，直线的方程为， 令，解得，则，同理可得， 所以， 又在上，所以， 代入上式得， 综合可得为定值． 故选：C 3．已知过点且斜率为k的直线l与圆相交于两点．则为（　　） A．3 B．5 C．7 D．与k有关 【答案】C 【分析】根据题意，联立直线l与圆的方程得到，再利用向量的数量积运算即可得解. 【解析】依题意，设过点且斜率为k的直线l的方程为，设， 联立，消去，得：， 此时，显然有解， 故，， 所以 . 故选：C. 4．已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取线段的中点，可得，依题意即求的最小值，由图可知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时，最小，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式计算即得. 【解析】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 5．已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，利用几何性质，结合点到直线距离公式求出最大值，再作出图形，确定角最小时直线的位置求解. 【解析】依题意，直线的直线方程为，即，圆的圆心，半径为4， 圆心到直线的距离为，因此点到直线的距离的最大值为； 如图：当最小时，直线与圆相切，又，，所以. 题型五：两圆公共弦的方程与弦长 1．若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 2．已知圆与圆交于，两点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用圆的方程减去圆的方程得到交线的方程，利用点到直线的距离求出到的距离，再根据勾股定理求出，扩大两倍即可求出的值. 【解析】联立圆的方程和圆的方程，得， 两式相减得交线的方程为， 圆的圆心坐标为，半径为，设到交线的距离为， 而，则. 3．圆与圆的公共弦的长为___________． 【答案】 【分析】先找出两个圆的圆心和半径，判断两圆相交，得出两个圆公共弦所在直线方程，计算圆心到直线的距离，利用几何法求出弦长即可. 【解析】由圆，圆心，半径为， 圆，圆心，半径为， 所以圆心距为：， 由， 即， 所以圆与圆相交，联立， 相减得两个圆公共弦所在直线方程为：， 由圆心到直线的距离为：， 所以所求弦长为：， 故答案为：. 4．已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 【答案】4 【分析】联立两圆方程，求得公共弦所在直线方程，根据圆心到公共弦所在直线的距离，由几何法求得公共弦长. 【解析】圆与圆相交于，两点， 所以，两点坐标均满足两圆方程. 由，可得，即， 故两圆公共弦所在的直线方程为； 因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则公共弦的长为4． 5．两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【答案】 【解析】根据题意，圆及圆， 则联立方程组，消去二次项，变形可得：， 即两圆的公共弦所在的直线方程为； 联立方程组， 解得交点坐标为， 所以公共弦的中点为， 以公共弦为直径的圆的半径， 所以以公共弦为直径的圆的标准方程为. 6．圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 【答案】 【分析】由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【解析】由，得，即， 又，两圆方程相减得，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故答案为：. 7．已知⊙：与⊙：交于点，则线段的长为____________. 【答案】 【分析】先求出公共弦的方程，求出点到直线的距离，结合勾股定理可得答案. 【解析】两圆的方程相减可得：， 如图，圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为： 　　 题型六：两圆公共弦与参数条件 1．已知圆和圆在第四象限内的交点为，过点的直线分别交圆于两点异于点且，则直线斜率为__________. 【答案】或 【分析】联立圆的方程求得，根据已知设，应用几何法求圆的弦长，结合已知列方程求参数，即可得. 【解析】由题设，可得或，而交点在第四象限，则， 由且异于，则直线的斜率一定存在， 设，即， 且对应半径，圆心与直线的距离， 所以， 且对应半径，圆心与直线的距离， 所以， 所以， 所以 或. 故答案为：或 2．已知圆O1：x2＋y2＝2和O2：(x－3)2＋y2＝5在第一象限内的公共点为A，过点A的直线分别交圆O1，O2于C，D两点(C，D异于点A)，且，则直线CD的斜率为______． 【答案】5 【分析】联立两圆的方程，可得A(1，1)，设点D(x0，y0)，可得AD的中点为，结合题意列出斜率满足的关系求解即可. 【解析】联立方程得解得或，又点A在第一象限，则A(1，1). 设点D(x0，y0)，又，所以D为AC的中点，设AD的中点为， 此时，得，又，则可得，则直线CD的斜率为5． 故答案为：5 3．圆：与圆：相交于，，且，则实数______． 【答案】 / 【分析】对已知等式变形推出原点在公共弦的垂直平分线上，即两圆圆心连线过原点，利用三点共线的斜率关系求解. 【解析】 由，得 ，整理得， 即，说明原点在弦的垂直平分线上， 根据两圆相交的几何性质，公共弦的垂直平分线为两圆圆心的连线，因此、、三点共线， 由两圆的标准方程得圆心坐标，，三点共线则斜率相等，即 ，代入坐标得，解得. 4．已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【解析】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 5．已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【解析】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 题型七：两圆公共弦衍生的面积与范围 1．若圆与交于两点，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【解析】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 2．在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】联立方程可求解两圆的交点，即可根据对称性求解面积. 【解析】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B 　　 3．若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（　　）． A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】由两个圆的方程求出，再求出，利用可得答案. 【解析】，，， 由，解得，或， 则， 因为，所以四边形的面积为. 故选：A. 4．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【解析】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 5．已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【解析】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此. 6．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径， 的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长， 说明是的直径.连接，则， ，由垂径定理可知，连接，. 则，即， 结合下图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时， 即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 7．圆与圆交点为，，则的面积为________. 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，则圆与圆相交，且， 因此是正三角形，其面积为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $