第2章圆锥曲线-圆专项训练（基础篇）-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学秋季班同步培优讲义（选择性必修第一册） 第2章圆锥曲线--圆单元复习（提高篇） 考点一、圆的方程 题型01：求圆的方程 1.（25-26上海海大附中高二上期中）以为圆心，且和直线相切的圆的标准方程是______． 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离即为圆的半径，再写出圆的标准方程即可. 【详解】设圆的半径为，因为圆与直线相切， 所以， 所以圆的方程为. 故答案为：. 2．(24-25高二上上海市延安中学期末) 已知点、、，则外接圆的方程是____ 【答案】 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 3. （25-26上海市晋元中学高二上期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点，即可写出标准方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，，解得，则圆心坐标为， 则圆的标准方程为. 故答案为： 4. （25-26复旦大学附中高二上期中）已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________． 【答案】 【分析】由待定系数法即可求解方程组得解. 【详解】设圆的标准方程为，， 由题意可得，解得， 故圆的标准方程为， 故答案为： 题型02：二元二次方程表示圆的条件 5. （25-26华师大二附中高二上期中）已知圆的面积为，则实数__________. 【答案】 【分析】由圆的面积得到圆的半径，由圆的一般方程得到圆的标准方程，从而解出的值. 【详解】因为圆的面积为，所以 由得，即， 所以，解得. 故答案为：. 6. （25-26罗店中学高二上期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为： 7.（2026上海宜山中学期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 8. 若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【解析】因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 9.若方程表示圆，则（   ） A．1 B． C． D．或1 【答案】A 【解析】由题意可得，化简可得，则，解得或， 当时，可得方程， 整理可得，显然不合题意； 当时，可得，整理可得，符合题意. 故选：A. 考点二、点、直线和圆的位置关系 题型03：点与圆的位置关系判断 10.设a为实数，若点在圆的内部，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：因为点在圆的内部， 所以，解得， 所以a的取值范围为. 11. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【解析】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 12. “”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若点在圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 13. 点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 题型04：直线与圆的位置关系的判断 14. （25-26上外附属外国语学校高二上期中）已知 ，若直线 与圆 没有公共点，则直线 与圆（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上均有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式确定圆心到直线的距离，进而判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为直线 与圆 没有公共点， 即直线 与圆 相离， 所以圆心到直线的距离：. 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离. 故选：C 15．（2025上海宝山·高二校考期中）已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，与半径进行对比即可得到答案. 【解析】由点在圆外，可得， 求得圆心到直线的距离， 故直线和圆C相交， 故选:A. 16. （2026·高二·上海闵行·阶段检测）已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由圆，则圆心，半径为， 由直线，则一般式为， 圆心到直线的距离， 由题意可知，解得. 故答案为：. 17. 若圆上到直线的距离为3的点恰好有2个，则的取值范围__________. 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径， 当圆上到直线的距离为3的点恰好有1个时，直线在圆外， 此时圆心到直线的距离为7，即，解得； 当圆上到直线距离为3的点恰好有3个时，直线到圆心的距离为1， 则，解得， 当直线位于到圆心距离为1和到圆心距离为7的两条平行直线之间时， 圆上到直线距离为3的点恰好有2个，此时的取值范围是. 故答案为： 18．（2023下·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得，圆心到直线的距离，列式求解即可． 【解析】圆的圆心为，半径为， 因为圆上有四个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以，解得． 故答案为：． 题型05：圆的切线问题 19．（2023下·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）若直线与圆相切，则实数 ． 【答案】或 【分析】利用几何法列方程即可求解. 【解析】圆可化为. 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即， 解得：或7. 故答案为：或 20. （25-26奉贤中学高二上期中）经过点且与圆相切的直线方程是_______． 【答案】 【分析】点在圆上，圆心与的连线垂直切线，求出切线的斜率，即可求解. 【详解】满足圆的方程，在圆上， 圆心与点连线的斜率是， 所求的切线斜率为， 所求的切线方程为. 故答案为: 【点睛】本题考查圆的切线方程，注意点在圆上，利用切线的性质求出其斜率，属于基础题. 21.过点且与圆：相切的直线方程为 【答案】或 【解析】将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意； 当过点的直线斜率存在时， 可设直线方程为，即， 利用圆心到直线的距离等于半径得，解得， 即此直线方程为， 故答案为：或 ． 22. （25-26罗店中学高二上期中）经过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，切线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径计算可求得直线斜率，即可求得切线方程. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为5， 当过点直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即， 依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 23．（2023下·上海杨浦·高二校考期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】设过点的切线与圆相切于点，分析可知当与直线垂直时，取最小值，再利用勾股定理可求得切线长的最小值. 【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则， 圆的圆心为，半径为，则， 当与直线垂直时，取最小值，且最小值为， 所以，，即切线长的最小值为. 故答案为：. 24．（2017下·上海虹口·高二上外附中校考期中）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果． 【解析】如图，设圆的圆心为，过点P向圆C作切线切点分别为A，B，连接， 则即为两切线的夹角， 由圆得， 所以圆心，半径， 由， ，又， . 故选：B.    25. 直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 【答案】 【解析】易知两条切线的斜率均存在，设过点的圆的切线方程为，整理为一般式得, 圆的圆心为，半径，由直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，即 ， 将上式两边平方得，展开整理得， 设两条切线的斜率分别为,，由韦达定理得，， 由两直线的夹角公式，设两直线夹角为，则， 其中， 代入得 题型06：圆的弦长问题 26．（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】根据圆的弦长的几何法求解. 【解析】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 27．（2026·高二·上海闵行·期中）已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 【答案】或 【解析】由，得， 所以圆的圆心为，半径为. 若直线与圆相交所得弦长，则圆心到直线的距离为. 所以，化简得，解得或. 28. （25-26复旦大学附中高二上期中）已知圆，过点的直线被圆所截得的弦的长度最小值为______. 【答案】2 【分析】 由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与垂直时最大，求出的最大值，进而求出弦长的最小值． 【详解】由圆的方程可得圆心坐标，半径； 设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长， 当最大时弦长最小，当直线与所在的直线垂直时最大， 这时， 所以最小的弦长， 故答案为：2 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是通过分析得到当直线与所在的直线垂直时最大，弦长最小. 与圆有关的弦长问题的最值一般利用数形结合分析解答. 29.过点的被圆所截的弦长为的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】由题意分满足题意的直线斜率是否存在进行讨论，结合圆心到直线的距离公式、弦长公式进行验算或者求解即可. 【详解】当满足题意的直线斜率不存在即直线方程为时， 圆心到该直线的距离为，而圆的半径为， 此时该直线被圆所截的弦长为，故直线方程满足题意； 当满足题意的直线斜率存在时，不妨设直线方程为， 圆心到该直线的距离为，而圆的半径为， 若该直线被圆所截的弦长为， 则有，解得， 即此时满足题意的直线方程为. 故答案为：或 30.设直线与圆相交于A，B两点，则弦长的最小值是 . 【答案】 【分析】易得直线过定点，当定点与圆心连线垂直直线时，弦取得最小值，运算得解. 【详解】直线过定点，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的最大距离， 所以弦长的最小值是. 故答案为：. 题型07：直线与部分圆的相交问题 31. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为_____. 【答案】 【分析】画出图象，结合直线与半圆的位置关系求得正确答案. 【详解】对于曲线，两边平方并化简得， 所以曲线表示以原点为圆心，半径为的圆在轴下方的半圆， 画出图象如下图所示， 依题意可知，直线的斜率存在，设斜率为， 则直线的方程为，即， 令原点到直线的距离，整理得， 解得或. 过和两点的直线的斜率为， 过和两点的直线的斜率为， 结合图象可知，要使直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 32．（22-23高二下·上海·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出简图，结合图象可求答案. 【解析】因为，所以，； 其图象是以为圆心，2为半径的下半个圆弧， 当直线与圆弧相切时，恰有一个公共点，此时由可求，（舍去）； 当直线过图中点时，由可得， 当直线过图中点时，由可得， 所以直线截距位于和3之间时也符合题意， 综上可得实数b的取值范围是. 故答案为： 33. 直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解. 【解析】曲线，即， 表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）， 如图， 设、、， 当直线经过点A时，， 当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意； 所以当时，直线与曲线有一个公共点； 当直线和半圆相切时， 则圆心到直线的距离等于半径， 即，求得或（舍去）， 即时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数的取值范围为或， 故选：D． 考点三、圆和圆的位置关系 题型08：圆与圆的位置关系判断 34.（25-26上海海大附中高二上期中） 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解. 【详解】圆，即，故，半径， 圆，即，故，半径， 由，故两圆内切. 故选：B. 35. （25-26华师大二附中高二上期中）若圆与圆内切，则等于__________. 【答案】 【分析】根据两个圆内切时，圆心距和两个圆半径之间的关系求解. 【详解】圆，圆心为（0,0），半径为2； 圆，转化为标准形式： ，即圆心为（a，0），半径为1； 当两圆内切时，圆心距 ，解得 故填： 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，当两个圆内切时，圆心距等于两个圆的半径之差的绝对值. 36. （24-25上海市进才中学高二上期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】先求出两圆得圆心及半径，再根据两圆相交，可得，解之即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则，半径， 因为两圆相交， 所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型09：两圆公共弦长与公共弦方程 37.圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的公共弦所在直线，利用圆中半径、半弦长、圆心距之间的关系求弦长. 【详解】两圆方程作差可得：， 即两圆公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到公共弦所在直线距离， 故弦长为. 故选：B 38．（2023下·上海普陀·高二校考期末）若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ的方程，运算求解即可. 【解析】∵圆与圆相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程， 将与作差得， 整理得， 即直线PQ的方程为. 故答案为：. 39．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 40.已知两圆和.求： (1)取何值时，两圆相内切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【答案】(1)； (2)公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【解题思路】（1）求出两圆的圆心，半径，圆心距，可得若两圆内切，只能是，带入半径求解即可； （2）两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，再由弦长公式求弦长即可. 【解答过程】（1）设圆：，可化为， 则圆心，半径， 设圆：，可化为， 则圆心，， 由于圆心距，， 则要使得两圆内切，需，即，解得. （2）当时， 圆：， 两圆的方程相减，可得，即， 则两圆的公共弦方程为. 则圆心到公共弦的距离为， 由弦长公式，可得弦长为. 题型10：两圆的公切线问题 41. 圆与圆的公切线条数为___________． 【答案】 【解析】由圆得，由圆得，所以， 所以，所以， 所以圆与圆内切，所以圆与圆有1条公切线， 故答案为：1. 42．（22-23高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 【答案】A 【分析】将圆与圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.由题意可知，两圆外切，即，代入整理可得，然后根据基本不等式即得. 【解析】由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径； 圆的方程可化为，圆心为，半径. 因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切. 所以有，即，所以. 又，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：A. 43．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：C. 44. 已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 考点四、综合提升 题型11：与圆有关的轨迹方程 45．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【解析】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 46.（2026·高二·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【解析】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 47.已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】设，，由， 得，所以， 又因为点在圆：上， 所以，即. 故答案为： 48．（2023下·上海浦东新·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点P坐标由条件计算化简即可. 【解析】设点，则化简得：. 故答案为： 49.已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得， 即有， 即，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 题型12：与圆有关的最值问题 50.（25-26上海市晋元中学高二上期中）已知实数，满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】法一：表示圆上的点与原点所在直线的斜率，求出过原点与圆相切的切线的斜率，即可得解． 法二：设，利用直线与圆的位置关系得解. 【详解】法一：方程表示圆心为，半径为的圆， 表示圆上的点与原点所在直线的斜率， 设其为，故此圆的切线方程为， 再根据圆心到切线的距离等于半径， 可得，解得， 所以的取值范围为． 法二：设，即，所以点既在直线上，又在圆上， 所以直线与圆有交点，故，解得， 故答案为：． 51．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【解析】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 52.已知实数x，y满足，则下列说法错误的是（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】利用已知条件可以得出点P在半圆C：上，数形结合，可知的取值范围，从而判断A选项；可看作点到半圆上的点P的距离的平方，从而判断B选项；对于C，D，可以看作直线的斜率进行判断. 【详解】 设， 由得，点P在半圆C：上， 对于A，因为，所以当时，的最小值为-5，故A正确； 对于B，设，因为， 所以的最大值为9，故B正确； 对于C，D，设，当过圆心时，， 当与半圆相切时，，故C错误，D正确. 故选：C. 题型13：圆方程的综合 53. （25-26上海海大附中高二上期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m， （1）建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； （2）在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 【答案】（1），()； （2）米. 【分析】（1）以O为原点，为x、y轴，确定的点坐标，设圆弧所在圆方程为 且，将点坐标代入求参数，即可得方程. （2）由（1）及题设有，且在圆弧上，代入圆弧所在圆方程求y，即可知的长度 【小问1详解】 构建如下直角坐标系，则，，， 设所在圆方程为且， ，解得， 所以圆弧所在圆的方程，. 【小问2详解】 由题设知：，则，且在圆弧上， 所以，可得，故的长度为米. 54．（2024静安区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60＝0及其上一点A（2，4）． （1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC＝OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+＝，求实数t的取值范围． 【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2＝n2，n＞0，从而得到|7﹣n|＝|n|+5，由此能求出圆N的标准方程． （2）由题意得OA＝2，kOA＝2，设l：y＝2x+b，则圆心M到直线l的距离：d＝，由此能求出直线l的方程． （3）法一：＝，即||＝，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，对于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围． 法二：＝，从而可以表示任何长度不超过圆M的直径的向量，进而问题等价于点T（t，0）在圆A：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝100的圆内部（包含边界），由此能求出实数t的取值范围． 【解答】解：（1）∵N在直线x＝6上，∴设N（6，n）， ∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2＝n2，n＞0， 又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60＝0，即圆M：（x﹣6）2+（y﹣7）2＝25， ∴|7﹣n|＝|n|+5，解得n＝1， ∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2＝1． （2）由题意得OA＝2，kOA＝2，设l：y＝2x+b， 则圆心M到直线l的距离：d＝＝， 则|BC|＝2＝2，BC＝2，即2＝2， 解得b＝5或b＝﹣15， ∴直线l的方程为：y＝2x+5或y＝2x﹣15． （3）解法一：设P（x1，y1），Q（x2，y2）， ∵A（2，4），T（t，0），， ∴，① ∵点Q在圆M上，∴（x2﹣6）2+（y2﹣7）2＝25，② 将①代入②，得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2＝25， ∴点P（x1，y1）既在圆M上，又在圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2＝25上， 从而圆（x﹣6）2+（y﹣7）2＝25与圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2＝25有公共点， ∴5﹣5≤≤5+5． 解得2﹣2≤t， ∴实数t的取值范围是[2﹣2，2+2]． 解法二：由题意，＝，而P，Q可以在圆M上任取， ∴可以表示任何长度不超过圆M的直径的向量， ∴问题等价于点T（t，0）在圆A：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝100的圆内部（包含边界）， 即（t﹣2）2+（y﹣4）2≤100， 解得2﹣2≤t≤2+2， ∴实数t的取值范围是[2﹣2，2+2]． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 1、 填空题 1．（22-23高二上·上海浦东新·期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程. 【解析】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1， 故圆的标准方程是. 故答案为： 2. 已知方程表示圆，则k的取值范围是___ 【答案】 【解题思路】化简为圆的标准方程，再根据半径平方大于零即可求解． 【解答过程】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以半径的平方，解得，即的取值范围是． 3. 若点在圆外，则的取值范围_______ 【答案】 【解题思路】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【解答过程】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 4．已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为_______ 【答案】相交 【详解】由，可得直线恒过定点， 由圆的标准方程为，可得圆心为，半径， 因为，所以点在圆内， 直线和圆相交． 5.若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 【答案】 【解析】依题意，圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为的点刚好有个，所以； 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：. 6. 在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【解析】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 7．已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率_______ 【答案】或 【分析】利用勾股定理可知切线长的最小值为2时，的长度取得最小值，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得正实数的值. 【解析】圆的圆心为，半径为， 因为切线长的最小值为2，所以， 所以圆心到直线的距离为，所以直线必有斜率，设，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以，整理得，解得或. 8．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是_______ 【答案】4 【分析】首先根据题意得到，再利用圆的性质求解即可. 【解析】由题意知，直线过圆心，即， 化简得在上， 如图，为使最小， 只需圆心与直线上的点的距离最小， 如图所示： 所以的最小值为， 9.圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【分析】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【详解】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 10．圆与圆相交所得公共弦长为__________． 【答案】 【解析】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 11．（2026·高二·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】联立方程，消去二次项整理得， 所以直线的方程为. 故答案： 12.（2024浦东新区校级期末）实数（x，y）满足x2+（y﹣2）2＝1，则x﹣2y的取值范围是 　　． 【分析】根据题意可利用圆的参数方程，将所求的式子的最值问题转化为三角函数的最值问题求解即可． 【解答】解：因为实数（x，y）满足x2+（y﹣2）2＝1， 可设x＝cosθ，y＝2+sinθ，θ∈[0，2π]， 所以x﹣2y＝cosθ﹣2（2+sinθ）＝﹣2sinθ+cosθ﹣4＝sin（θ+φ）﹣4，其中tanφ＝﹣， 当sin（θ+φ）＝1时，（x﹣2y）有最大值为﹣4， 当sin（θ+φ）＝﹣1时，（x﹣2y）有最小值为﹣﹣4， 所以x﹣2y的取值范围是[﹣﹣4，﹣4]， 故答案为：[﹣﹣4，﹣4]． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的参数方程转化为三角函数求最值是解题关键，属于中档题． 二、选择题 13.已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【解答过程】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 14.已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【解析】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 15.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【解析】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 16．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 三、解答题 17．已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据切线的性质，结合勾股定理即可由点到直线的距离公式求解， （2）根据两圆相减可得相交弦所在直线方程，即可根据点到直线的距离公式，结合弦长公式求解. 【解析】（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为， 由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值． 圆心到直线的距离．即． ． 圆的方程为． （2）由圆：和圆：， 由于两圆的圆心距为， 故两圆相交， 两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为． 圆心到直线的距离为． 弦长 18. （25-26上外附属外国语学校高二上期中）已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； 【小问2详解】 曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 19.（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【解答过程】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 20.已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1)；(2)；(3)或 【知识点】直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、坐标法的应用——直线与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学秋季班同步培优讲义（选择性必修第一册） 第2章圆锥曲线--圆单元复习（提高篇） 考点一、圆的方程 题型01：求圆的方程 1.（25-26上海海大附中高二上期中）以为圆心，且和直线相切的圆的标准方程是______． 2．(24-25高二上上海市延安中学期末) 已知点、、，则外接圆的方程是____ 3. （25-26上海市晋元中学高二上期中）若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 4. （25-26复旦大学附中高二上期中）已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________． 题型02：二元二次方程表示圆的条件 5. （25-26华师大二附中高二上期中）已知圆的面积为，则实数__________. 6. （25-26罗店中学高二上期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是___________ 7.（2026上海宜山中学期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. 若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 9.若方程表示圆，则（   ） A．1 B． C． D．或1 考点二、点、直线和圆的位置关系 题型03：点与圆的位置关系判断 10.设a为实数，若点在圆的内部，则a的取值范围是________． 11. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. “”是“点在圆外部”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13. 点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型04：直线与圆的位置关系的判断 14. （25-26上外附属外国语学校高二上期中）已知 ，若直线 与圆 没有公共点，则直线 与圆（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上均有可能 15．（2025上海宝山·高二校考期中）已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 16. （2026·高二·上海闵行·阶段检测）已知圆上恰好存在2个到直线的距离为1的点，则的取值范围是________. 17. 若圆上到直线的距离为3的点恰好有2个，则的取值范围__________. 18．（2023下·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是 ． 题型05：圆的切线问题 19．（2023下·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）若直线与圆相切，则实数 ． 20. （25-26奉贤中学高二上期中）经过点且与圆相切的直线方程是_______． 21.过点且与圆：相切的直线方程为 22. （25-26罗店中学高二上期中）经过点且与圆相切的直线方程为______. 23．（2023下·上海杨浦·高二校考期中）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 24．（2017下·上海虹口·高二上外附中校考期中）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 25. 直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 题型06：圆的弦长问题 26．（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 27．（2026·高二·上海闵行·期中）已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 28. （25-26复旦大学附中高二上期中）已知圆，过点的直线被圆所截得的弦的长度最小值为______. 29.过点的被圆所截的弦长为的直线方程为 ． 30.设直线与圆相交于A，B两点，则弦长的最小值是 . 题型07：直线与部分圆的相交问题 31. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为_____. 32．（22-23高二下·上海·期中）若直线与曲线只有一个公共点，则实数b的取值范围是 . 33. 直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 考点三、圆和圆的位置关系 题型08：圆与圆的位置关系判断 34.（25-26上海海大附中高二上期中） 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 35. （25-26华师大二附中高二上期中）若圆与圆内切，则等于__________. 36. （24-25上海市进才中学高二上期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为___________. 题型09：两圆公共弦长与公共弦方程 37.圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 38．（2023下·上海普陀·高二校考期末）若圆与圆交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 . 39．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 40.已知两圆和.求： (1)取何值时，两圆相内切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 题型10：两圆的公切线问题 41. 圆与圆的公切线条数为___________． 42．（22-23高二上·上海杨浦·期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C．6 D．－6 43．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（  ） A． B． C． D． 44. 已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 考点四、综合提升 题型11：与圆有关的轨迹方程 45．已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 46.（2026·高二·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 47.已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 48．（2023下·上海浦东新·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，则点P的轨迹方程为 . 49.已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 题型12：与圆有关的最值问题 50.（25-26上海市晋元中学高二上期中）已知实数，满足，则的取值范围是________． 51．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 52.已知实数x，y满足，则下列说法错误的是（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 题型13：圆方程的综合 53. （25-26上海海大附中高二上期中）圆拱桥的一个圆拱如图所示，该圆拱的跨度为20m，拱高为4m， （1）建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧所在圆的方程； （2）在建造过程中每隔4m需用一个支柱支撑．求支柱的高度．（结果精确到0.01m） 54．（2024静安区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60＝0及其上一点A（2，4）． （1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC＝OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+＝，求实数t的取值范围． 1、 填空题 1．（22-23高二上·上海浦东新·期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 . 2. 已知方程表示圆，则k的取值范围是___ 3. 若点在圆外，则的取值范围_______ 4．已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为_______ 5.若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 6. 在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 7．已知圆，点在直线上，过直线上的任一点引圆的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线的斜率_______ 8．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是_______ 9.圆与圆的位置关系 . 10．圆与圆相交所得公共弦长为__________． 11．（2026·高二·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为______. 12.（2024浦东新区校级期末）实数（x，y）满足x2+（y﹣2）2＝1，则x﹣2y的取值范围是 　　． 二、选择题 13.已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 14.已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 15.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 16．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 三、解答题 17．已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长． 18. （25-26上外附属外国语学校高二上期中）已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的标准方程； （2）求过点且与曲线相切的直线的方程. 19.（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 20.已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $