专题02 直线的方程重难点题型专训（14大题型+15道提优训练）-2024-2025学年高二数学下学期重难点专题提升精讲精练（沪教版2020选择性必修第一册）

专题02 直线的方程重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 曲线方程的概念 题型二 直线的点斜式方程 题型三 直线图象的辨析 题型四 直线两点式方程 题型五 直线的斜截式方程 题型六 直线的一般式方程 题型七 点方向式、点法向式方程 题型八 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型九 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型十 由一般式方程判断直线的平行 题型十一 由一般式方程判断直线的垂直 题型十二 由两条直线平行求方程 题型十三 由两条直线垂直求方程 题型十四 直线过定点问题 知识点01 直线方程的几种形式 一般式：Ax+By+C=0（A、B不同时为0），能表示平面上任何一条直线。 点斜式：y-y1=k（x-x1），其中m是直线的斜率，(x1，y1)是直线上的一点，适用于不垂直于x轴的直线 斜截式：y=kx+b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，适用于不垂直于x轴的直线。 两点式：，适用于不垂直于坐标轴的直线，可表示经过两点(x1，y1)和(x2，y2)的所有直线。 截距式：，适用于不过原点且不垂直于坐标轴的直线，其中是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距。 交点式：f1(x,y)·m+f2​(x,y)=0，适用于任何直线，表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线。 点平式：f(x,y)−f(x0,y0)=0，适用于任何直线，表示过点(x0,y0)且与直线f(x,y)=0平行的直线。 法线式：xcosα+ysinα−p=0（α∈[0,2π)），适用于不平行于坐标轴的直线，其中α是法线的倾斜角，p是原点到直线的距离。 点向式：，适用于任何直线，表示过点(x0,y0)且方向向量为(u,v)的直线。 法向式：a(x−x0)+b(y−y0)=0，适用于任何直线，表示过点(x0,y0)且与向量(a,b)垂直的直线 【经典例题一 曲线方程的概念】 【例1】（23-24高二下·上海杨浦·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于原点中心对称 1．（2024·上海嘉定·三模）下列可以作为方程的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高二下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，点P的轨迹方程为：．给出下列四个结论： ①曲线W过点； ②曲线W关于原点对称； ③曲线W关于直线对称； ④曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于； 其中，所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25高二下·上海·课前预习）在一个平面直角坐标系中给定一条直线和一个关于x与y的二元一次方程，它们之间具备怎样的关系，使得这个给定的方程就是给定直线的方程？ 【经典例题二 直线的点斜式方程】 【例2】（24-25高二下·上海长宁·期中）已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海虹口·阶段练习）已知三点，则经过点且与直线平行的直线经过点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为 ．（写出一条即可） 3．（24-25高二下·上海嘉定·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【经典例题三 直线图象的辨析】 【例3】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 1．（23-24高二·上海徐汇·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为 . 3．（23-24高二·上海金山·课后作业）写出下列直线的方程，并在同一平面直角坐标系中画出这些直线，通过观察，指出方程表示的直线具有的与k取值无关的特征： (1)经过点，斜率为1； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，斜率为0． 【经典例题四 直线两点式方程】 【例4】（24-25高二下·上海松江·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 B．三点共线 C．过两点的直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 2．（23-24高二·上海崇明·假期作业）若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 3．（23-24高二·上海杨浦·课后作业）回答下列问题： (1)任一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗？ (2)如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，那么它们在y轴上的截距可能相同吗？ (3)如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距可能相同吗？ (4)任一条直线都可以用截距式方程表示吗？ 【经典例题五 直线的斜截式方程】 【例5】（24-25高二下·上海·开学考试）直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 1．（24-25高二下·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 3．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【经典例题六 直线的一般式方程】 【例6】（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海嘉定·阶段练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 2．（24-25高二下·上海静安·阶段练习）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 3．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点，点是坐标原点. （ⅰ）若的面积为16，求的值； （ⅱ）当的面积最小时，求直线的方程. 【经典例题七 点方向式、点法向式方程】 【例7】（23-24高二·上海青浦·课后作业）若直线l斜率为k，向量在直线l上，且向量在方向上的投影的模是其在方向上投影的模的2倍，则该直线的斜率k的值为（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24高二下·上海静安·期末）直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）过点，倾斜角为的直线的点方向式方程为 ． 3．（23-24高二下·上海静安·课后作业）计算： (1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； (2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 【经典例题八 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例8】（2024高二下·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 1．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知，直线：与轴的交点为，：与轴的交点为，与的交点为，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B．16 C． D． 2．（24-25高二下·上海虹口·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 3．（23-24高二下·上海长宁·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【经典例题九 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例9】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·上海青浦·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高二下·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 3．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知射线：，射线：，过点作直线分别交射线、于、点. (1)当的中点为时，求直线的一般式方程； (2)当线段的中点在直线上时，求直线的一般式方程. 【经典例题十 由一般式方程判断直线的平行】 【例10】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 1．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知，，设直线，其中，给出下列结论： ①直线的法向量与向量垂直； ②若，则直线与直线的夹角为； ③直线与直线平行；上述结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若，则过M，N两点的直线与直线l重合； ③若，则直线l经过线段的中点； 所有结论正确的说法的序号是 . 3．（23-24高二下·上海·课后作业）设直线的方程是，在下列条件下，分别求实数、、的取值范围. (1)与轴、轴均相交； (2)与轴相交，与轴不相交. 【经典例题十一 由一般式方程判断直线的垂直】 【例11】 （24-25高二下·上海静安·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 2．（23-24高二下·上海宝山·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ． 3．（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【经典例题十二 由两条直线平行求方程】 【例12】（24-25高二下·上海徐汇·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·上海松江·期中）如图，已知直线，则与间的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二下·上海长宁·期中）若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为 . 3．（24-25高二下·上海长宁·课后作业）已知一条直线经过点. (1)求与直线平行的直线方程及与坐标轴的交线长； (2)若该直线与轴、轴的正半轴交于两点，求的最小值. 【经典例题十三 由两条直线垂直求方程】 【例13】（24-25高二下·上海静安·阶段练习）已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二·上海虹口·课后作业）经过点，且与直线：（）垂直的直线的方程为 ． 3．（23-24高二下·上海嘉定·期末）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【经典例题十四 直线过定点问题】 【例14】（24-25高二下·上海青浦·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 1．（23-24高二下·上海徐汇·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 3．（24-25高二下·上海长宁·课后作业）已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25高二下·上海奉贤·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二下·上海崇明·开学考试）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高二下·上海普陀·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 4．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（   ） A．     B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二下·上海静安·期末）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）以为方向向量，且过点的直线方程为 ． 7．（23-24高二·上海长宁·课后作业）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转后得到直线 l，则直线l的方程为 ． 8．（24-25高二下·上海青浦·开学考试）已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求直线BC的方程为 ．（用斜截式表示） 9．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为 . 10．（2024·上海·模拟预测）尺规作图不能问题之一的“倍立方”问题，是指已知体积为的正方体，作一个体积为的正方体，若跳出尺规作图的限制，借助其他工具可使问题得到解决．如图，作矩形，其中，以矩形的中心为圆心作圆，与的延长线分别交于点，且点共线，则即为所求正方体的棱长．若，则 ． 11．（24-25高二下·全国·课后作业）的三个顶点分别为，，求这个三角形的三边及边上的中线所在直线的方程． 12．（24-25高二下·上海长宁·阶段练习）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 13．（24-25高二下·上海静安·期中）已知的顶点为、 、 . (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程； (3)求的面积. 14．（24-25高二下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 15．（24-25高二下·上海静安·阶段练习）如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线的方程重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 曲线方程的概念 题型二 直线的点斜式方程 题型三 直线图象的辨析 题型四 直线两点式方程 题型五 直线的斜截式方程 题型六 直线的一般式方程 题型七 点方向式、点法向式方程 题型八 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型九 直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型十 由一般式方程判断直线的平行 题型十一 由一般式方程判断直线的垂直 题型十二 由两条直线平行求方程 题型十三 由两条直线垂直求方程 题型十四 直线过定点问题 知识点01 直线方程的几种形式 一般式：Ax+By+C=0（A、B不同时为0），能表示平面上任何一条直线。 点斜式：y-y1=k（x-x1），其中m是直线的斜率，(x1，y1)是直线上的一点，适用于不垂直于x轴的直线 斜截式：y=kx+b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，适用于不垂直于x轴的直线。 两点式：，适用于不垂直于坐标轴的直线，可表示经过两点(x1，y1)和(x2，y2)的所有直线。 截距式：，适用于不过原点且不垂直于坐标轴的直线，其中是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距。 交点式：f1(x,y)·m+f2​(x,y)=0，适用于任何直线，表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线。 点平式：f(x,y)−f(x0,y0)=0，适用于任何直线，表示过点(x0,y0)且与直线f(x,y)=0平行的直线。 法线式：xcosα+ysinα−p=0（α∈[0,2π)），适用于不平行于坐标轴的直线，其中α是法线的倾斜角，p是原点到直线的距离。 点向式：，适用于任何直线，表示过点(x0,y0)且方向向量为(u,v)的直线。 法向式：a(x−x0)+b(y−y0)=0，适用于任何直线，表示过点(x0,y0)且与向量(a,b)垂直的直线 【经典例题一 曲线方程的概念】 【例1】（23-24高二下·上海杨浦·期中）关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于原点中心对称 【答案】D 【分析】根据题意，由曲线方程，依次分析选项即可得出答案. 【详解】对于A，将方程中换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称； 对于B，将方程中换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称； 对于C，将方程中换为，换为，则有， 与原方程相同，所以方程不关于轴对称； 对于D，将方程中换为，换为，则有， 则，与原方程相同，所以方程关于原点中心对称. 故选：D. 1．（2024·上海嘉定·三模）下列可以作为方程的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】借助排除法，得到、不可能同时成立，即可排除A、C、D. 【详解】当时，， 若，则，即，不符， 故、不可能同时成立，故A、C、D选项错误. 故选：B. 2．（23-24高二下·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，点P的轨迹方程为：．给出下列四个结论： ①曲线W过点； ②曲线W关于原点对称； ③曲线W关于直线对称； ④曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于； 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④. 【分析】将点代入曲线的解析式可判断①，由可判断②；因为，可判断③，求出，可判断④. 【详解】由题意得曲线， 因为，所以曲线过点，因此①正确； 因为，所以曲线不关于原点对称，因此②不正确； 因为，所以曲线关于直线对称，因此③正确； 当时，方程为，即，记， 曲线，在内部，而， 因此④正确. 因此正确结论的序号是①③④. 故答案为：①③④. 3．（24-25高二下·上海·课前预习）在一个平面直角坐标系中给定一条直线和一个关于x与y的二元一次方程，它们之间具备怎样的关系，使得这个给定的方程就是给定直线的方程？ 【答案】答案见解析 【详解】如果给定直线上的每一个点的坐标都是给定方程的解，而且以给定方程的解为坐标的点都在给定的直线上，那么称这个给定的方程是给定直线的方程． 【经典例题二 直线的点斜式方程】 【例2】（24-25高二下·上海长宁·期中）已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 1．（24-25高二下·上海虹口·阶段练习）已知三点，则经过点且与直线平行的直线经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用斜率公式求直线斜率，再结合直线点斜式方程的求法求解即可. 【详解】由题意，所求直线的斜率为， 则根据点斜式可得直线方程为，即， 将以上各点代入可知在直线上. 故选：D. 2．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知点在直线上，且点恰好是直线夹在两条直线与之间线段的一个三等分点，则直线的方程为 ．（写出一条即可） 【答案】或（其中一条即可） 【分析】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分，设，，依题意可得或，再结合、分别在直线、上，求出、坐标，即可求出直线的方程. 【详解】设直线夹在直线、之间的部分是，且被三等分， 设，，则或， 所以或， 又、分别在直线、上，所以，， 解得、或、， 所以，或，， 则直线的方程为或， 整理得或. 故答案为：或（其中一条即可） 3．（24-25高二下·上海嘉定·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 【经典例题三 直线图象的辨析】 【例3】（23-24高二下·上海静安·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 1．（23-24高二·上海徐汇·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 2．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为 . 【答案】[，＋∞) 【分析】先根据一次函数的图象不过第一象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则 故答案为：[，＋∞). 【点睛】本题考查的是直线的图象与系数的关系，熟知直线y=kx+b中，当 时函数的图象在二、三、四象限是解答此题的关键． 3．（23-24高二·上海金山·课后作业）写出下列直线的方程，并在同一平面直角坐标系中画出这些直线，通过观察，指出方程表示的直线具有的与k取值无关的特征： (1)经过点，斜率为1； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，斜率为0． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直线的点斜式方程求解； （2）利用直线的点斜式方程求解； （3）利用直线的点斜式方程求解； 【详解】（1）经过点，斜率为1，利用直线的点斜式方程得，即 （2）经过点，斜率为，利用直线的点斜式方程得，即 （3）经过点，斜率为0，利用直线的点斜式方程得，即 观察得，方程表示的直线过定点 【经典例题四 直线两点式方程】 【例4】（24-25高二下·上海松江·期中）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程. 【详解】如图： 因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为， 点为直线与轴交点，所以， 又点在轴上，且， 则点是的中点，所以， 所以直线PB的方程为，即. 故选：C. 1．（24-25高二下·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 B．三点共线 C．过两点的直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】B 【分析】根据直线的斜率公式以及截距式方程和两点式方程一一判断求解. 【详解】对A，当时，的斜率不存在，当时，的斜率为，A错误； 对B，因为 且共点，所以三点共线，B正确； 对C，当或时，不能用两点式方程表示，C错误； 对D，当在轴和轴上截距都相等且不为零时，设方程为， 因为直线经过点，所以，解得，则直线方程为， 当在轴和轴上截距都相等且为零时，设方程为， 因为直线经过点，所以，直线方程为， 所以满足条件的直线方程为或，D错误； 故选：B. 2．（23-24高二·上海崇明·假期作业）若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由两点式得，整理为．又在上， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 3．（23-24高二·上海杨浦·课后作业）回答下列问题： (1)任一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗？ (2)如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，那么它们在y轴上的截距可能相同吗？ (3)如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距可能相同吗？ (4)任一条直线都可以用截距式方程表示吗？ 【答案】(1)不是都有； (2)不可能相同； (3)不可能相同； (4)不都可以. 【分析】（1）举反例即可说明不是都有； （2）直接推理即可说明不可能相同； （3）反证法即可说明不可能相同； （4）举反例即可说明不都可以. 【详解】（1）直线在x轴上的截距为1，在y轴上无截距. 则任一条直线不是都有x轴上的截距和y轴上的截距. （2）如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，则这两条直线互相平行，那么它们在y轴上的截距不相同. （3）假设两条直线在x轴上的截距相同，又两条直线在y轴上的截距相同，则这两条直线斜率相同，这与已知中两直线斜率不同矛盾. 故如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距不可能相同. （4）直线在x轴上的截距为1，在y轴上无截距，不能用截距式方程表示. 故任一条直线不都可以用截距式方程表示 【经典例题五 直线的斜截式方程】 【例5】（24-25高二下·上海·开学考试）直线经过点，且被两坐标轴截得的线段长为，则的所有可能取值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】由直线经过点得，则直线为.计算直线与坐标轴的交点，然后由两点距离公式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点, 所以，则直线. 令，则， 令，则. 则， 化简得， 即， 即, 解得或或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 1．（24-25高二下·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高二下·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分析得到直线经过的象限，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】当时，，故直线不过原点， 则直线一定通过三个象限， 而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限， 得到，解得. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线的点斜式方程，利用截距和为零建立斜率的方程，求解斜率即可写出点斜式方程； （2）先利用截距表示的面积，然后利用基本不等式求解最值，即可得到所求直线的方程. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为. （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，即， 所以的斜截式方程为. 【经典例题六 直线的一般式方程】 【例6】（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，又，从而得，再利用正切函数的性质，即可求解. 【详解】因为直线的方程为，所以， 即直线的斜率，又， 所以，又直线的倾斜角的取值范围为， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为， 故选：B. 1．（24-25高二下·上海嘉定·阶段练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术，在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离（为坐标原点）.已知，则的最大近似值为（    ）（参考数据：） A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948 【答案】B 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动，其中三点共线， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大，点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 2．（24-25高二下·上海静安·阶段练习）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】先设与的交点为，则与的交点为，然后将两点代入直线方程，解方程组，最后利用两点式求解即可. 【详解】设与的交点为，则与的交点为， 所以有，， 联立解得 ， 所以，整理得. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点，点是坐标原点. （ⅰ）若的面积为16，求的值； （ⅱ）当的面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1)或． (2)（ⅰ）或（ⅱ）． 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令，列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解（ⅰ），换元令，结合基本不等式判断（ⅱ）即可求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴，轴上的截距分别为，， 所以，解得， 所以的面积，    （ⅰ）由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． （ⅱ），令，则，且， 则， 当且仅当，即，时，的面积取最小值， 此时直线的方程为． 【经典例题七 点方向式、点法向式方程】 【例7】（23-24高二·上海青浦·课后作业）若直线l斜率为k，向量在直线l上，且向量在方向上的投影的模是其在方向上投影的模的2倍，则该直线的斜率k的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出，求出向量在和方向上的投影的模，从而得到，求出直线斜率. 【详解】设， 则向量在方向上的投影的模为， 向量在方向上的投影的模为， 则， 故该直线的斜率. 故选：D 1．（23-24高二下·上海静安·期末）直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方向向量，因为法向量与方向向量垂直，逐项验证可得答案. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线的一个法向量为， 向量与向量为平行，A，B，C选项向量与向量均不平行， 所以向量为直线的一个法向量. 故选：D. 2．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）过点，倾斜角为的直线的点方向式方程为 ． 【答案】 【分析】由倾斜角得直线的斜率，进而得直线的一个方向向量，即可写出直线的点方向式方程. 【详解】若倾斜角为，则直线的斜率， 则直线的一个方向向量为，又直线过点， 故直线的点方向式方程为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海静安·课后作业）计算： (1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； (2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 【答案】(1)方向向量为，法向量为 (2)方向向量为，法向量为 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的方向向量与法向量； （2）分析可知，直线的一个方向向量为，由此可得出直线的方向向量与法向量. 【详解】（1）先证明结论：若直线的一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为. 因为直线的一个方向向量为，其中，，则， 所以，直线的一个法向量可为. 本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为， 直线的法向量为. （2）因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为， 所以，直线的方向向量为，法向量为. 【经典例题八 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 【例8】（2024高二下·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 1．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知，直线：与轴的交点为，：与轴的交点为，与的交点为，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求得的坐标，从而根据可求得四边形的面积，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为直线：，：都过点， 所以点的坐标是. 在中，令，得，所以， 在中，令，得，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以当时，四边形的面积取最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海虹口·期中）过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 【答案】． 【分析】设直线的方程为，求出坐标，再求得的面积，由关于的方程有四个不等的实根可求得的范围． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 3．（23-24高二下·上海长宁·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【分析】 （1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 【经典例题九 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例9】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果 【详解】根据题意可知直线可可变形为 故直线的斜率为， 设直线倾斜角为， 由可得. 故选：B 1．（23-24高二下·上海青浦·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 2．（24-25高二下·上海·课堂例题）下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. 【答案】①③ 【分析】当可知直线倾斜角为，知①正确；分别讨论直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，可知②错误；根据和可整理得到③正确；当或时，两点式方程无法应用，知④错误. 【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确； 对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等； 当直线不过坐标原点时，设，则，； 综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误； 对于③，在直线上，， 则，，③正确； 对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误. 故答案为：①③. 3．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知射线：，射线：，过点作直线分别交射线、于、点. (1)当的中点为时，求直线的一般式方程； (2)当线段的中点在直线上时，求直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件设坐标，利用中点坐标公式计算可得坐标，再利用点斜式求直线方程即可； （2）根据条件设坐标，利用中点坐标公式计算可得，结合过点得直线方程. 【详解】（1）设，. ∵线段的中点为时，∴，， 解得.∴ ∴直线的方程为，化为. （2）设，. 线段的中点为在直线上， ∴，化为. 又直线过点， ∴. ∴直线的方程为. 【经典例题十 由一般式方程判断直线的平行】 【例10】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 【答案】B 【分析】当，时，可得过点，由定点不在直线上，可得，即表示一条斜率与：相等的直线. 【详解】因为定点不在直线：上，则可令， 所以表示一条与：斜率相同的直线， 当，时，，所以过点， 所以表示过点且平行于的直线. 故选：B. 1．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知，，设直线，其中，给出下列结论： ①直线的法向量与向量垂直； ②若，则直线与直线的夹角为； ③直线与直线平行；上述结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】 对①，写出方向向量，由向量共线与坐标的关系即可判断；对②，由斜率及倾斜角的关系求得两直线倾斜角，即可求得夹角；对③，两直线平行需进一步判断是否存在重合. 【详解】对于①，直线的方向向量是，则， 所以向量与向量共线， 故直线的法向量与向量垂直，即①正确； 对于②，当时，直线的斜率是，倾斜角是， 直线的斜率是，㑔斜角是，两直线的夹角为，故②正确； 对于③，直线的斜率是，在轴上的截距是， 直线的斜率是，且在轴上的截距是， 当时，两直线重合，不平行，故③错误； 综上，是真命题的序号是①②； 故选：B. 2．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若，则过M，N两点的直线与直线l重合； ③若，则直线l经过线段的中点； 所有结论正确的说法的序号是 . 【答案】③ 【分析】根据题意对一一分析，逐一验证即可． 【详解】对于①，化为：， 即点不在直线上，因此①不正确； 对于②，，则， 即过两点的直线与直线的斜率相等， 又点不在直线上，因此两条直线平行，故②错误； 对于③，，则， 化为， 因此直线经过线段的中点，故③正确. 故答案为：③. 【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线和直线. （1）且； （2）. 3．（23-24高二下·上海·课后作业）设直线的方程是，在下列条件下，分别求实数、、的取值范围. (1)与轴、轴均相交； (2)与轴相交，与轴不相交. 【答案】(1) (2)，， 【分析】 （1）直线与轴、轴均相交，则斜率存在，且不为0. （2）与轴相交，与轴不相交，则与轴平行，且不重合. 【详解】（1）当时，，斜率为存在，且， 这时直线与两坐标轴都相交. （2）令，则， 此时，当，，时，直线只与轴相交，与轴不相交. 【经典例题十一 由一般式方程判断直线的垂直】 【例11】 （24-25高二下·上海静安·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 1．（2024·上海徐汇·模拟预测）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】由题意直线过定点， 直线可变为，所以该直线过定点， 所以， 又， 所以直线与直线互相垂直， 所以， 所以即， 当且仅当时取等号, 所以，，即面积的最大值是. 故选：D. 2．（23-24高二下·上海宝山·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程得到，，，根据勾股定理得到，然后根据不等式求最值即可. 【详解】直线可得， 直线可整理为，令，解得， 所以， 因为，所以直线与直线垂直，则， 所以点的轨迹为以为直径的圆， ，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 3．（23-24高二·全国·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【答案】(1)两直线互相垂直. (2)两直线不互相垂直. 【分析】以两直线垂直充要条件去判断两直线是否垂直即可解决. 【详解】（1） ，故两直线互相垂直. （2） ，故两直线不互相垂直. 【经典例题十二 由两条直线平行求方程】 【例12】（24-25高二下·上海徐汇·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再代入点即可求出； 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 所以与直线平行的直线方程为. 故选：C. 1．（23-24高二下·上海松江·期中）如图，已知直线，则与间的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】结合图形求得直线与的方程，再结合距离公式求解即可. 【详解】解：由题知，直线过点，直线过点， 所以，，直线的方程为，即； 因为直线， 所以，直线的方程为，即， 所以，与间的距离为 故选：B 2．（23-24高二下·上海长宁·期中）若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据平行条件设出直线的方程，再代入点求解即可. 【详解】解：设过点且与直线平行的直线方程为， 把点代入直线方程得 故所求的直线方程为. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海长宁·课后作业）已知一条直线经过点. (1)求与直线平行的直线方程及与坐标轴的交线长； (2)若该直线与轴、轴的正半轴交于两点，求的最小值. 【答案】(1)， (2)6 【分析】（1）由平行直线斜率间关系和点斜式方程得到所求直线方程，再由两点间距离公式得到交线长即可； （2）分别求出交点坐标，再由基本不等式求出最值即可； 【详解】（1）直线的斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程为， 即. 当时，，当时，，所以所求的交线长为. （2）设直线方程为. 当时，；当时，. 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为6. 【经典例题十三 由两条直线垂直求方程】 【例13】（24-25高二下·上海静安·阶段练习）已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线垂直关系设所求直线方程，将点P坐标代入整理即可. 【详解】因为直线， 所以设与直线垂直的直线方程为， 将点代入方程得，，所以， 所以所求直线方程为，即. 故选：D 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程. 【详解】的重心坐标为即， 中垂线的方程为：，中垂线的方程为：， 故外心坐标为，故欧拉线的方程为：， 整理得到：， 故选：C. 2．（23-24高二·上海虹口·课后作业）经过点，且与直线：（）垂直的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】分时，直线的斜率不存在；时，直线的斜率存在两种情况讨论，结合即得解 【详解】当时，直线：的斜率不存在，则所求直线的斜率为0． 因为直线过点， 所以直线的方程为． 当时，直线：的斜率为． 设所求直线的斜率为，则， 所以． 因为直线过点， 所以直线的方程为，即． 当时，符合上式． 所以直线的方程为． 3．（23-24高二下·上海嘉定·期末）在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________. (1)求直线l的方程； (2)直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设出直线方程，利用直线平行，垂直的性质求解参数即可. （2）求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为. 选①，垂直于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选②，平行于直线，设直线l的方程为：， 其过点，则，即，故直线l的方程为. 选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时， 设为，其经过点，故，即.得直线l：， 化简得，故直线l的方程为或； （2）由（1）知选①时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选②时，直线l的方程为， 可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故. 选③时，直线l的方程为，可知其 在x轴和y轴的交点分别为，故. 【经典例题十四 直线过定点问题】 【例14】（24-25高二下·上海青浦·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再由两条直线的位置关系可得，进而利用基本不等式求解即得. 【详解】直线过定点，直线，即过定点， 又，即直线与直线垂直， 因此，则， 当且仅当时取等号，所以的最大值为5. 故选：C 1．（23-24高二下·上海徐汇·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解. 【详解】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， ， 因为直线与线段有公共点， 结合图象可得直线斜率的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 【答案】 【分析】把直线方程变形为关于的方程，令解出即可； 【详解】由题意可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 3．（24-25高二下·上海长宁·课后作业）已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)存在，，面积取得最小值8. 【分析】（1）法一：直线化为，即可求定点；法二：直线化为点斜式确定定点； （2）根据直线与坐标轴交点特征求参数范围，应用三角形面积公式得到关于参数m的表达式，进而求最值. 【详解】（1）法一：由，得． 当，即时，直线恒过定点． 法二：由，得， 表示过点的点斜式，即直线恒过定点． （2）存在实数，由（1）知：直线恒过第一象限的点． 所以与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交． ． 因为，所以． 当，即时，的面积取得最小值8． 1．（24-25高二下·上海奉贤·期中）直线l过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】当直线过原点时，可求得直线斜率，进而得到直线方程.当直线不过原点时，设直线的截距式方程，代入点坐标可得结果. 【详解】当直线过原点时，直线斜率为，直线方程为，整理得. 当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，，解得，直线方程为，整理得. 综上得，直线的方程为或. 故选：C. 2．（23-24高二下·上海崇明·开学考试）一次函数与为常数，且，它们在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据图象分析b、k取值符号进行判断即可． 【详解】对于选项A中，直线的直线的∴A错； 对于选项B中，直线的直线的，∴B错； 对于选项C中，直线的直线的∴C对； 对于选项D中，直线的直线的∴D错． 故选：C． 3．（24-25高二下·上海普陀·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 4．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，若三角形面积为5，则实数m的解有几个（   ） A．     B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定直线斜率存在，分别令、得直线的横纵截距，求三角形面积根据面积值解方程得m，即可得结论. 【详解】由题可知，直线的斜率存在且不为0， 故，即且， 令，得；令，得；即， 所以，所以， 则或，解得或， 故解得的实数m的解有4个. 故选：D. 5．（23-24高二下·上海静安·期末）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，△ABC的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为， 联立方程可得△ABC的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故△ABC的欧拉线方程为. 故选：C. 6．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）以为方向向量，且过点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线的方向向量为， 所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为：. 7．（23-24高二·上海长宁·课后作业）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转后得到直线 l，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】求出点A，再由直线垂直得出斜率，点斜式即可求解. 【详解】直线与轴的交点， 由直线l与直线垂直，可得， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 8．（24-25高二下·上海青浦·开学考试）已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为．求直线BC的方程为 ．（用斜截式表示） 【答案】 【分析】设，表示点坐标，利用点在直线上和点在直线上可求出点坐标，利用点满足的特征求出坐标，即可得到直线BC的方程. 【详解】设，则， ∴，解得， ∴. 由题意得，，∴， ∴，即， 设，则，解得，即， ∴， ∴，即. 故答案为：. 9．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为 . 【答案】 【分析】确定两直线经过的定点，求出直线与y轴的交点的坐标和直线与x轴的交点的坐标，进而表示出围成的四边形面积，结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为， 所以由， 因此直线恒过点，且该直线的斜率 所以由， 因此直线也恒过点，且该直线的， 设直线与纵轴的交点为，直线与横轴的交点为， 点为点， 所以，与两坐标轴围成的四边形为四边形， 如图所示：   ， 当时，有最小值， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是判断两直线所过的定点. 10．（2024·上海·模拟预测）尺规作图不能问题之一的“倍立方”问题，是指已知体积为的正方体，作一个体积为的正方体，若跳出尺规作图的限制，借助其他工具可使问题得到解决．如图，作矩形，其中，以矩形的中心为圆心作圆，与的延长线分别交于点，且点共线，则即为所求正方体的棱长．若，则 ． 【答案】16 【分析】根据题意分析可得，结合直线的截距式方程可得，再结合数量积的几何意义分析求解. 【详解】由题意可知：，则， 设，可知直线， 代入可得，解得， 则，可得, 所以. 故答案为：16. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）的三个顶点分别为，，求这个三角形的三边及边上的中线所在直线的方程． 【答案】边直线：，边直线：，边直线：，边上的中线所在直线的方程： 【分析】根据直线的两点式，点斜式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可. 【详解】直线过两点， 由两点式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 直线过两点，由两点式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 直线过两点， 斜率，由点斜式得， 整理得，这就是边所在直线的方程． 因为，所以边的中点的坐标为， 即，于是边上的中线所在直线的方程即为所在直线的方程． 由直线的两点式方程得，即， 所以，即． 12．（24-25高二下·上海长宁·阶段练习）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，即可得，结合点，即可得直线的方程； （2）设，代入边上的高所在的直线方程可得的值，即可得中点坐标，结合边上的中线所在的直线方程即可得解. 【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为，其斜率为， 则，即，又， 则，即； （2）设，由在上，即，即， 则中点坐标为，故有，即. 13．（24-25高二下·上海静安·期中）已知的顶点为、 、 . (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）先求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程并化简. （2）根据两直线垂直，确定边上高的斜率，再根据点斜式写出边上的高的方程并化简. （3）利用“割补法”求三角形的面积. 【详解】（1）因为. 所以直线的方程为：即. （2）因为，所以边上的高的斜率为：. 所以边上的高所在的直线为：即. （3）如图：作轴于点，轴于点，则，. 所以. 14．（24-25高二下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求最值； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （3）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为． 15．（24-25高二下·上海静安·阶段练习）如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 【答案】(1)证明见解析；定点为 (2) 【分析】（1）方程整理得，可得方程组，解之即得定点坐标； （2）判断为正三角形，推理点为的三等分点（靠近点），由求得，设，利用求出点坐标，即得直线方程. 【详解】（1）由，整理得， 由解得，即直线经过定点； （2） 如图，因，，，,可得：, 即为正三角形，又由，可知点为的三等分点（靠近点）， 则,由题意，直线必与边相交（否则若与边相交于点,则,不合题意）， 设交点为，依题意，由，可得, 解得，则.设点， 由,可得，解得，即, 于是，,故直线的方程为：， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $$