周周练4 直线的方程及应用(范围：2.1～2.2)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（人教B版）

**基本信息** 聚焦直线方程及应用，通过多样化题型系统覆盖倾斜角、平行垂直、距离、对称、定点等核心知识点，注重几何直观与逻辑推理的结合。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题1,9|倾斜角与直线方程互化|倾斜角→斜率→直线方程的生成关系| |位置关系|题2,3,7|平行垂直条件及距离计算|平行（斜率相等）、垂直（斜率积为-1）的判定与应用| |几何应用|题4,11,13|对称与反射问题|利用对称点转化光的反射路径，体现数学眼光的空间观念| |动态问题|题5,8,14|定点、最值及参数范围|参数分离法求定点，结合函数或几何意义解决动态问题，培养推理能力|

周周练4　直线的方程及应用(范围：2.1～2.2) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．过点A(，1)且倾斜角为90°的直线方程为(　　) A．x＝－ B．y＝－1 C．x＝ D．y＝1 解析：选C.因为倾斜角为90°，所以该直线与x轴垂直，又过点A(，1)， 所以直线方程为x－＝0，即x＝. 2．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(　　) A．(2，3) B．(－2，－1) C．(－4，－3) D．(0，1) 解析：选A.由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2，3). 3．若两条平行直线l1：ax＋8y＝0与l2：3x＋4y＋b＝0之间的距离是1，则a＋b＝(　　) A．－4或11 B．－4或16 C．1或11 D．1或16 解析：选C.因为直线l1：ax＋8y＝0与l2：3x＋4y＋b＝0平行，所以4a＝3×8，解得a＝6， 则直线l1：6x＋8y＝0，即为3x＋4y＝0，又l1与l2之间的距离是1，所以＝1，解得b＝5或b＝－5.所以a＋b＝11或a＋b＝1. 4．一条光线从点P(4，2)射出，经过直线y＝x反射后与y轴相交于点Q(0，－2)，则入射光线所在直线的方程为(　　) A．x－3y－2＝0 B．3x－y－2＝0 C．x－3y＋2＝0 D．x＋3y－10＝0 解析：选C.根据题意可得反射光线经过点Q(0，－2)，易得入射光线所在直线经过点Q′(－2，0)，因为入射光线经过点P(4，2)，所以入射光线所在直线的方程为＝，即x－3y＋2＝0. 5．(2026·滨海期中)点(3，2)到动直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的最大值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C.(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0， 由解得即直线经过定点(9，－4). 所以点(3，2)到点(9，－4)的距离就是点(3，2)到动直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的最大值， 所以最大值为＝6. 6．(2026·池州期中)已知实数a，b，c，d满足＝＝，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为＝＝，则3a－4b＝0，3c－4d＋6＝0， 即点(a，b)在直线3x－4y＝0上，点(c，d)在直线3x－4y＋6＝0上， 而(a－c)2＋(b－d)2的几何意义为点(a，b)和点(c，d)之间的距离的平方， 故(a－c)2＋(b－d)2的最小值为两平行线3x－4y＝0和3x－4y＋6＝0间距离的平方，所以最小值为＝. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．若点A(m，4)和点B(－1－m，3)关于直线l：x＋ny－3＝0对称，则(　　) A．AB的中点坐标为 B．n＝1 C．直线l的斜率为1 D．m＝0 解析：选ABD.易知AB的中点坐标为，则点在直线l上， 所以－＋－3＝0，解得n＝1，所以直线l的斜率为－1.又因为AB⊥l，所以×(－1)＝－1，解得m＝0. 8．(2026·深圳月考)已知直线l：－kx＋y－1＋2k＝0(k∈R)过定点Q，则下列说法正确的是(　　) A．直线l过定点Q(2，1) B．若直线l在x轴上的截距为－3，则k＝ C．若直线l不经过第四象限，则k的取值范围为 D．若直线l分别交x，y轴正半轴于点A，B，则当·取得最小值时，直线l的方程为x＋y－3＝0 解析：选ABD.对于A，因为直线l：－kx＋y－1＋2k＝0，化简得－k(x－2)＋y－1＝0. 所以该直线过定点Q(2，1)，所以A正确； 对于B，若直线l在x轴上的截距为－3，即该直线过点(－3，0)，则3k＋0－1＋2k＝0，解得k＝，所以B正确； 对于C，因为直线l的方程为y＝kx＋1－2k，要使得该直线不经过第四象限，则k≥0. 当k>0时，1－2k≥0，解得0<k≤. 当k＝0时，y＝1，符合题意． 所以k的取值范围为，所以C错误； 对于D，因为直线l分别交x，y轴正半轴于点A，B，所以k<0. 设A(x，0)，B(0，y)，因为Q(2，1)，所以＝(2－x，1)，＝(－2，y－1). 所以·＝－2(2－x)＋y－1＝2x＋y－5，其中x>0，y>0. 且满足－kx＋2k－1＝0，y－1＋2k＝0，即x＝＝2－，y＝1－2k. 所以·＝2x＋y－5＝4－＋1－2k－5＝－2k－. 根据基本不等式的性质可得－2k－≥2＝4， 当且仅当－2k＝－时，即k＝－1时等号成立． 此时·取得最小值为4， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0， 所以D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．经过点P(1，)，Q(4，0)两点的直线l的倾斜角α为________． 解析：由题意可得直线l的斜率k＝＝－，则tan α＝k＝－，解得α＝. 答案： 10．已知直线(1＋k)x＋y－k－2＝0恒过定点P，则点P到直线x－y－2＝0的距离为______ . 解析：直线(1＋k)x＋y－k－2＝0可化为k(x－1)＋(x＋y－2)＝0， 令解得于是此直线恒过点P(1，1).由点到直线的距离公式得点P到直线x－y－2＝0的距离d＝＝. 答案： 11．如图，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射到直线OB上，再经直线OB反射到P点，则光线所经过的路程|PM|＋|MN|＋|NP|＝________． 解析： 易知直线AB的方程为y＝－x＋4， 设点P(2，0)关于直线AB的对称点为P1(a，b)， 则＝1且＝－＋4，解得a＝4，b＝2，即P1(4，2)，又点P(2，0)关于y轴的对称点为P2(－2，0)， 由光的反射规律可知，M，N，P1共线，M，N，P2共线，从而M，N，P1，P2共线， 所以光线所经过的路程长为|PM|＋|MN|＋|NP|＝|P1M|＋|MN|＋|NP2|＝|P1P2|＝＝2. 答案：2 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知两条直线l1：x＋y－2＝0和l2：2x－y＋5＝0的交点为P.求： (1)经过点P和点Q(3，2)的直线的一般式方程；(6分) (2)经过点P且与l2垂直的直线的斜截式方程．(7分) 解：(1)联立解得P(－1，3)，又Q(3，2)，由斜率公式可得kPQ＝＝－， 故所求直线的方程为y－2＝－(x－3)， 即x＋4y－11＝0. (2)因为l2：2x－y＋5＝0，所以直线l2的斜率为2，由垂直条件知所求直线的斜率k＝－， 故所求直线的方程为y－3＝－(x＋1)， 即y＝－x＋. 13．(本小题满分15分)(2026·十堰期中)已知平面直角坐标系内，点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).求： (1)直线AB的方程和线段AB的长度；(4分) (2)△ABC的面积；(5分) (3)∠ABC的平分线所在直线的方程．(6分) 解：(1)因为A(1，1)，B(2，3)， 所以kAB＝＝2， 所以lAB：y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0， |AB|＝＝. (2)点C(3，2)到直线AB的距离为d＝＝， 所以S△ABC＝|AB|·d＝××＝. (3)易知∠ABC的平分线所在直线的斜率存在，故设∠ABC的平分线所在直线的斜率为k， 则此直线方程为y－3＝k(x－2)，在角平分线上取不同于B的一点P(1，3－k), 因为B(2，3)，C(3，2)，kBC＝＝－1， 所以直线BC的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋y－5＝0， 由角平分线性质可知，点P到lAB的lBC的距离相等， 所以＝，化简得k2＋6k－1＝0, 解得k＝－3±， 由图形观察可知k＝－3＋为外角平分线， k＝－3－为内角平分线， 所以∠ABC的平分线所在直线方程为y＝(－3－)x＋9＋2. 14．(本小题满分15分)(2026·大连期中)设m为实数，直线l：2x＋(m－3)y－2m＋6＝0恒过定点A，A为Rt△ABC的一个直角顶点，另两个顶点为B，C，其中点B在x轴上，点C(－3，－1). (1)求点A，B的坐标；(4分) (2)求△ABC斜边中线所在的直线方程；(5分) (3)设点P(x，y)，若P是线段BC上的动点，求的取值范围．(6分) 解：(1) 由l：2x＋(m－3)y－2m＋6＝0可得m(y－2)＋2x－3y＋6＝0， 联立解得 故直线l恒过定点A(0，2). 由题意得AB⊥AC，kAC＝1，故kAB＝－1， 所以直线AB的方程为y－2＝－x，即y＝－x＋2.将y＝0代入直线AB的方程， 解得x＝2，故B(2，0). (2)由于C(－3，－1)，B(2，0)， 故边BC的中点为M(－，－)，则kAM＝5， 故直线AM的方程为y－2＝5(x－0)，即y＝5x＋2. 所以△ABC斜边中线所在的直线方程为y＝5x＋2. (3)设＝k，则得y＝kx且x≠0，k可理解为与线段BC始终有公共点且过原点的直线的斜率，kOB ＝0，kOC＝，动点P在线段BC上运动时，k∈(－∞，0]∪，所以的取值范围为(－∞，0]∪. 学科网（北京）股份有限公司 $