专题02 直线位置关系和距离问题（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题02 直线位置关系和距离问题 题型一 两直线平行与垂直的判定 题型二 两直线位置关系的等价转化 题型三 三条直线不能构成三角形 题型四 过两直线交点的直线方程 题型五 交点与共线的问题 题型六 两点到直线距离相等 题型七 两平行线间的距离 题型八 点到直线距离的几何意义 题型九 三角形的高线、中线与垂直平分线 题型一：两直线平行与垂直的判定 1．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 2．直线和的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，根据两直线的斜率不相等，这两条直线一定相交，即得解. 【解析】由题意，直线的斜率为， 直线的斜率为， 两直线斜率一定不相等，故两直线相交. 故选：B 3．已知直线与直线，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【解析】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．“”是“直线与垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：当时，直线的斜率， 直线的斜率，此时，两直线垂直，充分性成立. 必要性：①时，两条直线分别为和，两直线垂直，符合题意， ②时，两条直线斜率均存在，直线的斜率，直线的斜率，此时， 当直线与垂直时，此时，必要性不成立. 综上，“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 5．若直线与直线垂直，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得 ，解得. 6．“直线，相互垂直”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】已知直线，相互垂直， 则，解得或， 若，则直线互相垂直，满足必要性； 两直线垂直时，或，不一定是，不满足充分性， 故“直线，相互垂直”是“”的必要不充分条件． 7．已知直线，若，则___________ 【答案】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【解析】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 8．直线和互相垂直，则__________. 【答案】 或 【分析】根据两直线一般式垂直的充要条件列关于的方程，求解后验证解的合理性即可。 【解析】直线和互相垂直，得 ，整理得，即，解得或， 当时，即，为垂直于轴的直线；即，为垂直于轴的直线；故两直线垂直，符合条件； 当时，，斜率；即，斜率；满足，两直线垂直，符合条件； 故的取值为或. 题型二：两直线位置关系的等价转化 1．已知集合，．若，则的所有取值是（　　） A．0，1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的描述，问题化为两条直线无交点，分情况讨论求参数值，即可得. 【解析】， ， 当时，，满足， 当时，， 或点在直线上，即， 整理得，解得或， 综上，的取值为， 故选：D 2．已知集合，若，则a的值可能是_____________． 【答案】，，1， 【分析】集合表示直线上除去的点的集合，集合表示直线上点的集合，分和两种情况，求出的值即可． 【解析】集合，分别为平面上的点集， 集合表示直线上除去的点的集合， 集合表示直线上点的集合． ①由可得，，解得， 当时，，所以； 当时，集合，，集合，所以； ②由题意可知， 当时，则，解得或，此时． 综上所述，当的值为，，1，时，． 故答案为：，，1， 3．已知集合，，，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】明确集合A,B的含义，由可得相应的不等式，即可求得答案. 【解析】集合A表示直线，即上除去点的点， 集合B表示直线上的点． 因为，所以直线与相交，且交点不是点， 所以且，解得且， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 4．若线性方程组有解，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】令两直线平行得出的值，从而得出两直线不平行的条件，得出的范围． 【解析】解：若方程组无解， 则直线与直线平行， 且， 故而，解得． 当时，直线与直线平行， 当时，直线与直线重合，方程组有无数解； 当时，直线与直线相交或重合， 即方程组有解， 即 故答案为：． 5．已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】把方程组中的两个方程对应两条直线，结合两直线的位置关系，即可求解. 【解析】由方程组中的两个方程对应两条直线， 则方程组的解就是两直线的交点， 要使得两直线只有一个交点，则满足， 即，解得. 故答案为：. 题型三：三条直线不能构成三角形 1．三条直线，，不构成三角形，则的所有取值个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三条直线不构成三角形的条件，核心思路是“两条直线平行则无交点、三条直线共点则只有一个交点”，两种情况均不能构成三角形.需分别讨论第三条直线与前两条直线平行，以及三条直线共点的情形. 【解析】 的斜率 ， 的斜率 ，，故 与 相交， 交点为解方程组 ，得原点 . ① 与 平行. 当 时， 的斜率 .平行条件为 ，即 ，解得 . 当 时，，与 斜率相同、截距不同，确为平行关系， 此时 ，三条直线不构成三角形，符合条件. ② 与 平行. 平行条件为 ，即 ，解得 . 当 时，，与 斜率相同、截距不同，确为平行关系， 此时 ，三条直线不构成三角形，符合条件. ③三条直线共点. 若 也过原点 ，代入 方程得 ，即 ，矛盾，故不存在这样的 使三条直线共点于原点. 再验证 的特殊情形：当 时，（垂直于 轴的直线）， 与 交于 ，与 交于 ，加上原点 共三个不同交点，可构成三角形，不符合条件. 综上，满足条件的 值为 和 ，共 2 个. 2．已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，联立方程可得的交点坐标为，直线恒过定点，通过作图即可判断直线的情况，从而求得. 【解析】显然，解方程组得，故的交点坐标为， 直线的斜率为，其倾斜角为；直线的斜率为，其倾斜角为. 对直线的方程变形为，由可得， 故直线恒过定点， 作图可知使三条直线能围成等腰直角三角形的直线有两条：和， 当直线的方程为时，；当直线的方程为时，. 故满足条件的实数的个数为. 3．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【解析】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 4．下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【解析】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 5．三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【解析】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 6．若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 【答案】 【分析】分三种情况，三条直线交于同一点，与平行,与平行，分别求出的值，得到答案. 【解析】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为： 题型四：过两直线交点的直线方程 1．经过两直线：与：的交点，且垂直于直线的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求两直线的交点坐标，再由垂直关系得出所求直线的斜率，即可得解. 【解析】由，解得， 所以直线与的交点为， 又与直线垂直的直线斜率， 所以直线方程为，即. 2．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立直线与， 可得方程组，解得，即两直线交点坐标为． 直线整理为斜截式为，则该直线斜率为． 已知两条互相垂直的直线斜率乘积为，设所求直线斜率为， 则，解得． 已知所求直线过点，斜率为，代入点斜式方程， 可得，整理为一般式，即． 3．求过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______. 【答案】 【分析】先联立两直线方程求出交点的坐标，再根据垂直直线的斜率关系求出所求直线的斜率，最后利用点斜式方程求出直线的方程. 【解析】由直线：和：的交点，则， 即得，，即， 由直线可得斜率为， 又直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 化简整理得. 故答案为： 4．经过点和两直线，交点的直线方程为______________ 【答案】 【分析】联立两直线方程，解得交点坐标，然后由截距式求得直线方程. 【解析】联立方程组，解得， 即的交点坐标为， 则过点和点的直线，即， 故答案为： 5．若直线l经过两条直线和的交点，且垂直于直线；则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两直线的交点，然后根据垂直设出直线l的方程，将交点代入即可得出答案， 【解析】， 所以两直线交点为， 又与直线垂直，所以设l， 将代入得， 所以直线l的方程为， 故选：B. 6．过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线与的交点，再利用垂直直线的斜率关系求得斜率，代入点斜式方程求解即可. 【解析】联立与， 将的代入得， 整理得， 化简得，所以.再将代入得，即交点为. 直线的斜率为，由垂直关系得直线斜率. 所以过点且斜率为的直线点斜式为，即. 故选：D 题型五：交点与共线的问题 1．若直线与的交点在第四象限，则的取值范围为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立方程求得交点坐标，再结合题意解即可得答案. 【解析】因为直线与的交点在第四象限， 所以两直线相交，，即， 联立方程解得, 由两直线与的交点在第四象限可得 解此不等式组可得，即的取值范围为. 2．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【解析】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 3．已知三条直线：，：，：相交于一点，则________． 【答案】 【分析】先求出前两条直线的交点坐标，再将交点代入第三条直线方程求解参数. 【解析】联立直线与的方程： ， 两式相加消去，得，解得， 将代入，得，解得，因此与的交点为， 由于三条直线相交于一点，故点在直线上， 将代入的方程，得 解得. 4．已知三点，则“三点共线”是“或”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【解析】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 5．已知三点共线，则实数的值为______. 【答案】4 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【解析】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 6．已知直线：与直线：交于点，设点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程可解出交点 （用 表示），再把 化为关于 的函数，用换元与基本不等式求其取值范围. 【解析】由 得 ，代入 得 . 因 ，得 ，回代得 . 所以 ，故 . 由 得 ，令 （），则 . 于是 . 当 时，由基本不等式 ，等号在 时成立，此时 . 当 时，，等号在 时成立，此时 . 所以 的取值范围是 . 题型六：两点到直线距离相等 1．过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程. 【解析】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为到直线距离相等， 所以， 解得：或， 所以直线方程为或， 整理得：或. 2．若，两点到直线的距离相等，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离求解. 【解析】，，直线， 到直线的距离为， 到直线的距离为， ，两点到直线的距离相等， ，， 或，或. 故选：C. 3．直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【解析】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 4．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【解析】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 5．过点，且与点，距离相等的直线方程是_________ 【答案】或 【分析】确定所求直线斜率存在，设方程为，由点到直线的距离公式列方程求得即可得． 【解析】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 所以可设所求直线方程为 因为与点，距离相等， 所以或 即或． 6．过点且与点、距离相等的直线方程是________. 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①所求直线与直线平行；②所求直线过线段的中点.由此可求得所求直线的方程. 【解析】分以下两种情况讨论： ①所求直线与直线平行，由于直线的斜率为， 且所求直线过点，此时，所求直线的方程为，即； ②所求直线过线段的中点，由于所求直线过点， 此时，所求直线的方程为. 综上所述，所求直线方程为或. 故答案为：或. 7．已知直线l经过点，并且与点和点的距离相等，则直线l的方程为____________． 【答案】或 【分析】当经过点的直线斜率不存在时，直线：，易知成立；当斜率存在时，设直线方程，由点到直线的距离公式求解即可. 【解析】①当经过点的直线斜率不存在时，直线：， 此时点和点到直线距离都为1，故成立； ②当经过点的直线斜率存在时，设直线：， 整理成一般式为：， 直线l与点和点的距离相等， 由点到直线距离公式：，解得， 所以直线：. 综上：直线的方程为或. 故答案为：或 题型七：两平行线间的距离 1．已知直线，互相平行且、之间的距离为，则（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题意可知，利用平行线之间的距离公式即可求解． 【解析】已知直线，互相平行， 所以，解得，所以的方程为， 因为、之间的距离为，所以，解得或， 当时，；当时，. 综上所述，. 2．已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据两直线平行的充要条件求解参数m，排除重合情况后，代入平行线间距离公式计算得结果. 【解析】由题意得 ，解得.验证常数项：，即，两直线不重合，符合要求. 将代入两直线方程，得，. . . 3．已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 4．若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解析】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 5．已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 【答案】 【分析】根据两直线平行可得参数，进而可得平行线间距离. 【解析】由已知直线，，且， 则，解得或， 当时，直线，，即， 此时两平行线间距离； 当时，直线，，即，此时与重合，与题意不符， 综上所述，两平行线间距离. 6．两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【解析】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 7．已知直线与平行，且与间的距离是，则______． 【答案】或23 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解. 【解析】直线与平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即为． 因为直线与间的距离是，即， 所以，解得或， 所以或． 故答案为：或23 题型八：点到直线距离的几何意义 1．已知实数x，y满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由表示到坐标原点的距离即可求解. 【解析】由，即为和，两点间的距离， 所以的最小值为即为到直线的距离， 即， 所以的最小值为1， 故选：D 2．已知点在直线上，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离求解即可. 【解析】的几何意义是点与原点的距离. 由于点在直线上，因此的最小值即为原点到直线的垂线段长度， 即，所以的最小值为. 3．平行四边形的四条边所在直线的方程分别为，，，，则该平行四边形的面积为______． 【答案】9 【分析】根据平行四边形所在直线求交点，以及边长和高，再代入面积公式，即可求解. 【解析】联立，得， 联立，得， 点和两点间的距离为， 又平行线和间的距离为， 所以该平行四边形的面积. 4．已知非负实数，满足，则的最小值为（　　） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】设，则的几何意义即为，结合对称可求前者的最小值. 【解析】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 5．已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点到直线上的距离，再由直线平行即可求解. 【解析】， 设点到直线上的距离为，则，则， 直线的方程为，即， 所以动点的轨迹是与平行的直线， 设直线方程为，则4， 解得或12，则动点的轨迹方程为或． 故选：D． 6．已知点为动点，且的面积为1，则动点的轨迹方程为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意求得，进而可求点到直线的距离，根据动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为，计算即可得出结果. 【解析】由可知，直线的方程为 的面积为点到直线的距离， 动点的轨迹是与平行的直线，设直线方程为， 则或 动点的轨迹方程为或. 故选：D 题型九：三角形的高线、中线与垂直平分线 1．直线与直线相交于点，且点为、的中点，则线段的中垂线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线相交于点，且为、的中点，求得关于参数、、、的方程组，通过整体代入求得取值，线段所在直线的斜率，再借助两直线垂直时的斜率关系，求得线段的中垂线的斜率，然后利用点斜式方程即可求解． 【解析】已知直线与直线的相交于点， 则将点坐标代入两直线方程，可得． 又有为、的中点， 则由中点坐标公式，可得，即． 由，可得， 将代入，可得， 还可得，即． 所以直线的斜率为， 则由于两直线斜率存在时，若两直线垂直，斜率之积为，可得线段的中垂线的斜率为， 由点斜式方程，可得中垂线的方程为，即． 2．已知的顶点为，，，则垂心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线AB的斜率为， 所以边AB上的高所在直线的方程为，即． 因为直线AC的斜率为， 所以边AC上的高所在直线的方程为，即． 由解得故垂心的坐标为． 3．若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【解析】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 4．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，直线的方程为，则边上的高所在直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的直线方程，与的直线方程联立求点的坐标，根据题意求得点的坐标，再求出直线的斜率，再利用点斜式方程求解即可． 【解析】联立与的方程， 得，解得：； 设，则， 即， 将代入得， ， 联立①②，解得：，即， 直线的斜率为， 高的斜率为：， 所以直线的方程为：， ， 故选：D． 5．在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【解析】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02直线位置关系和距离问题 题型归纳 题型一两直线平行与垂直的判定 题型二两直线位置关系的等价转化 题型三三条直线不能构成三角形 题型四过两直线交点的直线方程 题型五交点与共线的问题 题型六两点到直线距离相等 题型七两平行线间的距离 题型八点到直线距离的几何意义 题型九三角形的高线、中线与垂直平分线 题型专练 题型一：两直线平行与垂直的判定 1.A 2.B 3.A 4.A 5.c 6.B 7.-2 8.0或-1 题型二：两直线位置关系的等价转化 1.D 2.-5,-1,1,3 3.（-∞，-2)U(-2,4)U(4,+∞) 4.-00,-2U-2,+00 113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.a≠-1(a∈R) 题型三：三条直线不能构成三角形 1.C 2.C 3.B 4.C 5.aa≠-1且a≠且a≠-4 6.3,1,-1 题型四：过两直线交点的直线方程 1.A 2.A 3.4x-y-5=0 4.x+y=1 5.B 6.D 题型五：交点与共线的问题 1.C 2.D 1 3.2 4.C 5.4 6.D 题型六：两点到直线距离相等 1.C 2.C 3.D 4.C 5.x+3y-1=0或y=1 6.4x-3y+19=0或x=-1 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.4x-y-2=0或x=1 题型七：两平行线间的距离 1.A 2.C 3.A 4.C .32 75 6.10 7.-17或23 题型八：点到直线距离的几何意义 1.D 2.V2 3.9 4.A 5.D 6.D 题型九：三角形的高线、中线与垂直平分线 1.A 2.B 3.D 4.D 5.B 3/3可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02直线位置关系和距离问题 题型归纳 题型一两直线平行与垂直的判定 题型二两直线位置关系的等价转化 题型三三条直线不能构成三角形 题型四过两直线交点的直线方程 题型五交点与共线的问题 题型六两点到直线距离相等 题型七两平行线间的距离 题型八点到直线距离的几何意义 题型九三角形的高线、中线与垂直平分线 题型专练 题型一：两直线平行与垂直的判定 1.已知两条不重合的直线l1:ax+2y-1=0和l2:x+(a+1)y-1=0,a∈R,若l1∥l2,则a的值为( ) A.-2 B.-2或1 c.1 D.-1或2 2.直线3x-2y+m=0和m2+1x+3y-3m=0的位置关系是() A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定 3.已知直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+a+1y+4=0,则“a=1”是“l1/112”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.“a=3”是“直线x+ay-1=0与ax-y+5=0垂直”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若直线1：ax-4y+5=0与直线l2:6x+8y+5=0垂直，则a=() A.3 B.-3 c. 16 D.-3 6.“直线1：2x+入y+5=0,12:入2x+4y+3=0相互垂直”是“入=-2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.己知直线l1:ax+2y-a+1=0,l2:3x+a-1y-2=0,若1l2,则a= 8.直线3x+ay-1=0和ax+2a-1y+3=0互相垂直，则a= 题型二：两直线位置关系的等价转化 1.已知集合A=乙，B=U.若A∩B=,则a的所有取值是() A.0,1 B.0,1,-2 c.3-2 4 0.0,1,-2,3 2.已知集合A=乙，若AnB=☑，则a的值可能是 3. 已知集合A=x,yY-3=2,X,y∈R,B=(x,y4x+ay-16=0,X,y∈R3,AnB≠O, x-1 则实数a的取值范围为 a+3x+y-3=0 4.若线性方程组 -5x+(a-3)y+3=0有解，则实数a的取值范围是 5.已知关于x,y的方程组 a-2x-(a+1)y=a+1, 有唯一解，则实数a的取值范围是 ax-(a+1)y=a-1 题型三：三条直线不能构成三角形 1.三条直线x+y=0,X-y=0,x+ay=3不构成三角形，则a的所有取值个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知三条直线l1,l2,l3的方程分别为l1:x-y=0,l2:x+y-3=0,l3:a+1x+ay-a-2=0a∈R, 则使这三条直线能围成等腰直角三角形的a的个数为() 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 3.三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,13:5x-ky-3=0构成一个三角形，则k的取值范围是() A.k∈R B.k∈R且k≠±5，k≠2 C.k∈R且k≠±1，k≠0 D.k∈R且k≠±5，k≠-10 4.下面三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,13:2x-3my=4不能构成三角形，则m的集合是( A{-1,引 a.4, c1,号41后0,4 5.三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10与2x-y=10能围成三角形，则实数a的取值集合为 6.若三条直线x+y=0,X-y=0,X+ay=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合 为一 题型四：过两直线交点的直线方程 1.经过两直线1：2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点，且垂直于直线3x+2y+7=0的直线方程是 () A.2x-3y+5=0B.3x+2y+1=0 C.3x-2y+5=0D.2x+3y-1=0 2.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程是() A.2x+y-8=0 B.2X-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0 3.求过直线1：5x+2y-3=0和l2:3x-5y-8=0的交点P,且与直线x+4y-7=0垂直的直线l的方 程为 4.经过点P0,1和两直线1：x+2y-1=0,12:3x-2y-3=0交点的直线方程为 5.若直线1经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0;则直 线1的方程为() A.2X+3y+2=0 B.2x+3y-2=0 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.3x+2y+2=0 D.3x+2y-2=0 6.过直线l1:3x+3y-3-6=0与l2:y=V6+2-6x的交点，且与直线x+2y-3=0垂直的直线l的方 程为() A.2x+y=4 B.2x-y=4 C.2x+y=0 D.2x-y=0 题型五：交点与共线的问题 1.若直线kx-y+2k+1=0与x+2y-4=0的交点在第四象限，则k的取值范围为() A.（-6,-2) c.(启 2.若直线2x+ay-1=0与x+4y-2=0的交点在第二象限，则实数a的取值范围是() A.（-00,2) B.(-00,8) c.（-o,2] D.(2,8 3.已知三条直线l1:3x-y+1=0,12:x+y-5=0,13:x-ay-3=0相交于一点，则a= 4.已知三点Am+2,m,B1,2,Cm2,32,则“A,B,C三点共线”是“m=-4或m=7”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知A0,3,B-1,m,C3,0三点共线，则实数m的值为 b+2 6.己知直线l1:mx+y-2=0与直线l2:X-my+2=0交于点M,设点Ma,b,则a的取值范围是 () A.-7,1 B.-0,-7U1,+∞ c.-1,7 D.-o,-1Uj7,+∞ 题型六：两点到直线距离相等 1.过点P(1,2)引直线，使A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等，则此直线方程为() A.4X+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.4x+y-6=0或3x+2y-7=0 D.x+4y-6=0或3x+2y-7=0 2.若M-1,2,N4,3两点到直线：ax-y+1=0的距离相等，则a的值为() 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.3 c1对 1 D.1或亏 3.直线l经过点P(3,2),且点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等，则l的方程为() A.4x+y+14=0 B.4x+y-14=0 C.x=3或4x+y+14=0 D.x=3或4x+y-14=0 4.已知A-3,-4,B6,3两点到直线1：ax+y+1=0的距离相等，则a的值为() 1 7 A.3 B.g 读号 1 7 0.3或g 5.过点M-2,1,且与点A-1,0,B3,0距离相等的直线方程是 6.过点A-1,5且与点M2,6、N-4,-2距离相等的直线方程是 7.1 知直线1经过点P(1,2),并且与点A(2,3)和点B(0,-5)的距离相等，则直线1的方程为 题型七：两平行线间的距离 1.已知直线4：2x+y+n=0,:4x+my-4=0互相平行l4、l2之间的距离为5，则m+n ) A.-3或3 B.-2或4 c.-1或5 D.-2或2 2.已知直线l1:6x+my+m-5=0与l2:3x+m-4y-1=0,若l1与l2互相平行，则它们之间的距离是 () 1 A.5 B.1 1 1 c.2 0.10 3.已知直线l1:x-3y-4=0与l2:mx+(m-1)y-6=0平行，则这两条平行直线之间的距离为() A.29V10 V10 B. 5 1410 C.2 D. 5 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 4.若直线1：x-2y+a=0,l2:2x+by-4=0互相平行，且两直线之间的距离为亏 则a的值为( A.-1 B.-3 c.-1或-3 D.-3或-5 5.已知直线l1:ax+2y-1=0,12:x+a-1y-a=0,若l1∥l2,则两条平行直线之间的距离为 6.两平行直线2x+1-ay-3=0与x-2y+2=0间的距离为 7.已知直线l1:x+my+3=0与l2:2x-6y+n=0平行，且l1与l2间的距离是V10,则m+n= 题型八：点到直线距离的几何意义 1.已知实数x,y满足3x+4y=5,则x+y2的最小值为() 5 V15 A.5 B. 5 c.25 5 D.1 2.已知点Ma,b在直线x-y+2=0上，则a2+b2的最小值为 3.平行四边形的四条边所在直线的方程分别为x-4y+5=0,2x+y-8=0,x-4y+14=0, 2x+y+1=0,则该平行四边形的面积为 4.已知非负实数x,y满足2x+yz10,则x+x2+y的最小值为() A.8 B.6V2 C.7 D.43 5.已知点A,B的坐标分别为2,0，-1,4，P为动点，且△PAB的面积总为10，则动点P的轨迹方程为 () A.4X+3y-12=0 B.4x+3y+12=0 C.4x+3y-12=0或4x+3y+28=0 D.4x+3y+12=0或4x+3y-28=0 6.已知点M0,1,N1,3,P为动点，且△PMN的面积为1，则动点P的轨迹方程为() A.2X-y-2=0 B.2x-y+3=0或2x-y-2=0 C.2x-y+3=0 D.2x-y+3=0或2x-y-1=0 题型九：三角形的高线、中线与垂直平分线 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.直线l1:a1x+b1y-13=0与直线l2:a2x+b2y+m=0相交于点P2,3,且点P为Aa1,b1、Ba2,b2 的中点，则线段AB的中垂线的方程是() A.3x-2y=0 B.3x-2y-12=0 C.2x+3y-13=0 D.2x-3y+5=0 2.己知△ABC的顶点为A(-2,0,B(2,4),C(1,-1),则△ABC垂心的坐标为() ®2 3.若点P1,3既是Aa1,b1,Ba2,b2所连线段的中点，又是直线l1:a1x+b1y-10=0与 12:a2x+b2y-10=0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是() A.X+3y-10=0 B.3x+y-10=0 c.x-3y=0 D.3x-y=0 4.已知△ABC的顶点A(3,2),AB边上的中线CM所在直线方程为3x-y-4=0,直线BC的方程为 2x+y-5=0,则AC边上的高BH所在直线方程为() A.X+2y-8=0 B.2x-y+1=0 c.x-2y+6=0 D.2x+y-5=0 5.在△ABC中，点A的坐标为2,3)，AC边的中线所在的直线方程为2x-y+5=0,AB边的高线所在 的直线方程为x+y-3=0,则点C的坐标为() 817 817 A.33 B. 333 c骨 717