第12讲 递推数列、数列求和与数学归纳法讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

第12讲 递推数列、数列求和与数学归纳法讲义 【知识点01】递推数列 1. 递推公式：由初始项与相邻（或前若干）项的关系确定数列的方法。形如，需同时给出与递推范围 n≥1（或 n≥2）。 2. 由递推求通项常用方法：①累加法（相邻差可求和）；②累乘法（相邻比可求积）；③构造法（化为等差或等比，如化为）。 3. aₙ 与 Sₙ 的关系：-（n≥2），且；求 aₙ 时须对 n=1 单独验证。 【知识点02】数列求和 1. 公式法：等差；等比。 2. 分组求和：通项为两项和（如等差+等比），拆成两个数列分别求和后相加。 3. 裂项相消：把通项拆成两项差，使求和时前后抵消。常见，。 4. 错位相减：通项为等差×等比时，qSₙ 与 Sₙ 相减消去中间项，得到等比求和式。 5. 倒序相加：当 a₁+aₙ、a₂+aₙ₋₁ 等为常数（如等差性质）时，将和式倒序与原式相加，得 n 个常数。 【知识点03】数学归纳法 原理：证明与正整数 n 有关的命题，需完成两步： 由(1)(2)，命题对一切的正整数都成立。核心是递推步骤必须用到归纳假设。 易错点一　aₙ 与 Sₙ 关系式分 n=1 与 n≥2。 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ 仅对 n≥2 成立；n=1 时 a₁=S₁，需单独求出并验证是否与通项一致，不一致则分段表示。 易错点二　递推公式缺初始项或范围不清。 递推公式必须注明初始项 a₁（或 a₁、a₂）及递推起止范围，否则无法确定数列。 易错点三　裂项相消漏中间项、系数错误。 拆项后注意中间项是否全部抵消、首尾各剩几项；勿漏系数。 易错点四　错位相减项数算错。 qSₙ 与 Sₙ 相减后，等比部分是从第 2 项到第 n+1 项，共 n 项，首项与末项须单独处理。 易错点五　数学归纳法第二步漏用归纳假设。 证明 n=k+1 时若不借助“假设 n=k 成立”，而重新从头推证，则递推步骤不成立，归纳法失效。 易错点六　归纳法结论书写不完整。 须完整书写“由(1)(2)可知，命题对一切满足 n≥n₀ 的正整数 n 都成立”，两步缺一不可。 【题型一】递推数列求通项 【例1】（25-26高二·上海宝山·期末）已知数列满足，，则__________． 【答案】 【详解】由，， 得 ， ， ， 因此数列是周期为3的周期数列， 因为， 所以. 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是________． 【答案】 【详解】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）若数列中，，则________． 【答案】 【详解】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 【变式1-3】（25-26高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 【详解】（1）数列的前项和为， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）数列中，，由，得， 当时， ，满足上式， 所以数列的通项公式为， ，所以. 【题型二】由 Sₙ 求通项 【例2】（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 【变式2-1】（25-26高二上·上海宝山·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 【答案】 【详解】由题得，， 所以， 当时，， 所以. 【变式2-2】（25-26高二·上海闵行·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【答案】 【详解】当时，. 当时，. 此时时， 所以. 【变式2-3】（25-26高二·上海浦东新·期末）已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 【详解】（1）由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为 因为，所以当或时，取得最小值. ，. 故的最小项为. （2）当时，. 当时，. 验证时，，故通项公式为： 【题型三】数列求和 【例3】（25-26高二·上海·期中）已知等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1，设，的前n项和为． (1)求； (2)求． 【详解】（1）等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，故， （2）设数列的前项和为， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期末）已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【详解】（1）设数列的公比为， 所以， 又是的等差中项， 所以，所以， 所以，解得或（舍去）, 时，，此时数列递减，不符合题意， 所以， 所以； （2）由（1）有：， 所以①， 所以②， 由①②得：， 所以. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 【变式3-3】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前 项和． 【详解】（1）解：设的公差为，因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以， 因为，且公比，所以，解得， 所以． （2）解：由（1）知：且，可得， 所以数列的前项和. 【题型四】数学归纳法证明等式 【例4】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【详解】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【详解】证明：等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 【变式4-2】已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 【详解】(1)因为，，成等差数列，所以， 因为，所以上式可化简为， 将带入上式可得：， 当时，，符合， 假设当时，有成立， 则当时，， 因为，所以, 所以,符合， 故有成立； （2）由（1）可得，， 当时，， 因为，符合， 故。 【变式4-3】（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【详解】（1）当时 所以 当时； (2)证明：①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得， 【题型五】用迭代序列求近似值 【例5】试构造的一个迭代算法，并求的近似值（精确到小数点后面7位有效数字）． 【答案】 【详解】由， 构造递推公式为：，初始条件：， 所以有，， 所以的近似值为. 【变式5-1】选取初值，利用递推公式，通过计算器操作，写出迭代序列的前8项． 【详解】解：因为，， 所以， ， ， ， ， ， . 【变式5-2】仿造的巴比伦算法构造计算的迭代算法的递推公式，并取初始值，通过计算器操作，列出该迭代序列的前5项． 【详解】巴比伦算法的通项公式为 代入公式第一项为 第二项为 第三项为 第四项为 第五项为 【变式5-3】已知数列的递推公式为 (1)求证：； (2)求证：趋向于． 【详解】(1)因为，故， 同理， 因为，而由可得必同号， 故即，故，故. (2)由（1）可得，故， 若存在，则， 依次有即，这与题设矛盾， 故，故，其中， 而，故，故， 故，故，其中， 故即，其中， 整理得到：，解得，其中. 因为，故， 故. 【题型六】综合应用 【例6】（24-25高二上·上海静安·期末）设函数对任意实数都有 (1)若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 (2)设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 (3)设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 【详解】（1）令得：. 又， 令，则； 令，，则. 猜测：当时，. （下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当时，. 又令，，则； 令，则； 令，，则. 猜测：当为负整数时，亦有：.（数学归纳法证明略） 综上：，. (2)（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，则. 当时，，，命题成立； 假设时，命题成立，即. 当时，， 所以 . 所以当时，命题也成立. 综上可知：，成立. （3）因为，， 所以. 所以，，，，，. 各式相加得：. 因为在区间上严格递增，所以函数的对称轴， 所以. 【变式6-1】数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【详解】（1）由，得，于是， 由，可得，此时， 由知：此时数列为等差数列. （2）由（2）及题设知：为， 则，显然不合题意，适合题意， 当时，若后添入，则，不合题意， 从而必是数列中的某一项，则， 则 即，整理， 显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下： 当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立； 假设时，成立， 当时， 因此当时，不等式成立， 所以恒成立，即无正整数解． 所以满足题意的正整数仅有. 【变式6-2】（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列，且, ，则，中不包含，不合题意； ，则，中不包含，不合题意； ，则数列公比为2，此时， ，符合题意； 要使公比最小，则，， 此时. (3)证明：由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【变式6-3】已知无穷数列A：，，…满足：①，，…且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，…. (1)若数列A为等差数列且，求其公差d； (2)若，求的值； (3)若，，求数列的前100项和. 【详解】（1）由已知，， 又，所以或， 若，则由得，，，满足； 若，则由得，，，也满足． 所以或2； （2）因为，所以， 所以或，因此， 当时，且同时成立，此时， 当时，且同时成立，此时矛盾， 综上，； （3）因为，所以，所以，显然，， 由知，事实上，当时，与同时成立，所以，从而， 猜想数列 即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数列的两条 性质， 下面用数学归纳法证明． ①当时结论成立， ②假设时结论成立，则当时， 当时，此时，， 由于，且，所以， 当时，此时，， 由于，且，所以， 综上，数列是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成， 数列的前100项和为：． 1. 核心思想：递推→求通项（累加、累乘、构造）→ 用合适方法求和（公式/分组/裂项/错位相减/倒序）→ 归纳法分“奠基+递推”两步证明。 2. 要点速记： 3. 易错点：①Sₙ 求 aₙ 分 n=1 与 n≥2；②递推须含初始项；③裂项漏中间项与系数；④错位相减项数；⑤归纳法第二步用假设；⑥结论两步书写完整。 一、填空题 1．（25-26高二上·上海松江·期末）已知数列的前项和为，且满足，则__________． 【答案】 【详解】当，， 当，， 验证时，，符合的通项， 故． 故答案为：． 2．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足：，，则数列的前383项和为______． 【答案】 【详解】数列满足：，， 则 所以数列为以4为周期的周期数列， 则前383项和为. 故答案为： 3．（25-26高二上·上海·期末）设，数列的通项公式为.若是严格减数列，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若是严格减数列，且， 则在时恒成立， 变形可得在时恒成立，因为, 所以必有，即的取值范围为. 故答案为：． 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【详解】由题意若数列是严格增数列，则当且仅当，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高二·上海·期中）已知数列满足：（为正整数），则______. 【答案】 【详解】当时，， ， 当时，， 两式相减得，可得， 代入，得 故时不满足此式， 所以 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知数列满足对任意的正整数有成立，且，则______. 【答案】 【详解】由题知，又，则， 即数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列， 所以， 则，得到，所以， 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__． 【答案】 【详解】由，可得或，即， 又函数的图象开口向下，对称轴为， 所以数列的前项为负数，，当时，数列中的项均为负数， 所以前项或前项和最大，且， 又，的最大值是， 又，所以， 故答案为：. 8．（24-25高二·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 9．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知数列的前项的和满足，则的值约为__________.（保留2位有效数字，用科学记数法表示） 【答案】 【详解】由①，可得②， 由，可得， 即，令，可得： . 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 【答案】 【详解】数列满足， 可得，， ， 所以， ， 所以， 所以， 可得数列的前2025项和:． 11．（24-25高二上·上海·期末）已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；②且．记数列的前n项积为，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由题意， 且 设，， 得，进一步得 显然的值从大到小依次为 （ⅰ）若，则，则不可能 （ⅱ）若，则或， 则或不可能 （ⅲ）若，则，则不可能 ∴（当或取得） 从而， ∴. ∴ （当：取得） 又 ，∴ 二、单选题 12．（25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知对任意正整数，，都有， 则令，可得， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 又当，所以， 即，即， 所以的最小值为， 故选：A. 13．已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【详解】由可得，， 故的表达式中共有项数为. 故选：D. 14．（25-26高二上·上海·期末）数列的各项为，其中.如果对任意整数，都有，那么中的各项一定（    ） A．均为0 B．没有负数项 C．没有正数项 D．以上选项都不正确 【答案】C 【详解】由题意得，即①， ②， ，即③ 由①③可得，，又由②得， 所以， 则，， 则，， 则中的各项一定没有正数项. 故选：C. 15．下列用递推公式表示的数列中，使得成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项：，则与同号，又，所以，所以 不成立，故A错误； B选项：，所以与同号，令，解得：，则，故B错误； C选项：，， 且令，解得：，所以不成立，故C错误； D选项：，所以，，解得：，即成立，故D正确. 故选：D 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【详解】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 17．（25-26高二·上海·阶段检测）已知数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【详解】(1)因为，可得， 且，则， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）可知，即，可得， 则 ， 所以. 18．（24-25高二·上海宝山·期中）在数列中，， . (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若 ，记数列的前项和，求以及. 【详解】(1)由对正整数恒成立， 所以. 是以为首项，1为公差的等差数列， ，. （2）由（1）知，， . . 19．（24-25高二·上海奉贤·阶段检测）某地区要进行沙漠治理， 已知第 1 年该地区有土地 1 万平方千米， 其中 70%是沙漠， 30%是绿洲.从第 2 年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 16% 改造成绿洲， 而原有绿洲的 4%被沙漠所侵蚀后又变成沙漠. 设第 年的绿洲面积为 万平方千米 (1)求数列的通项公式 (2)从第几年起，绿洲面积占土地面积的比例超过 60%？ 【详解】（1）由题意，当时， ， 变形为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 所以数列的通项公式. （2）由题意可得， 于是， 因为， 即，又，所以从第6年起. 20.阅读材料 求方程的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法： 方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法： 第一步：令．因为，，所以设，． 第二步：令，判断是否为0．若是，则为所求； 若否，则继续判断大于0还是小于0． 第三步：若，则；否则，令． 第四步：判断是否成立？若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步． 方法二：考虑的一种等价形式 变形如下：，∴，∴ 这就可以形成一个迭代算法：给定 根据，，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值 (1)分别运用方法一和方法二计算的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢； (2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算的近似值（精确到0.001）． 【详解】(1)方法一： ，，，则，所以， 令，，，令， 所以， 令，，，令， 所以， 令，，，令， 所以， 令，，，令， 所以， 令，，，令， 所以， 令，，，令， 所以， 令，，，令， 所以， 则之间的任意值均为满足条件的近似值，其中， ∴的近似值是1.414 方法二：，，1，2，…， 不妨取，则， ， ， 其中， ∴的近似值是1.414 显然，方法二的迭代速度更快； （2）考虑的一种等价形式， ，∴，∴ 这就可以形成一个迭代算法：给定 则，，1，2，…， 计算过程如下：， ， . 21.（24-25高二上·上海·阶段检测）已知数列满足: 且 (1)设 证明：是等比数列； (2)设 ，证明： 【详解】(1)由题意可得，， 又因为 当时，，所以， 所以，对任意，，① ，② ，③ ②－③得，，④ 将④代入①得，， 所以， 因为，所以， 又因为， 所以是首项为，公比为等比数列. (2)由（1）可知，即，， 故有， 将以上各式相加 得， 即，此时当时也成立. 由④式得， 从而， 又， 所以，对任意， ， ， 因为，故上式， 对于，不等式显然成立， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 递推数列、数列求和与数学归纳法讲义 【知识点01】递推数列 1. 递推公式：由初始项与相邻（或前若干）项的关系确定数列的方法。形如，需同时给出与递推范围 n≥1（或 n≥2）。 2. 由递推求通项常用方法：①累加法（相邻差可求和）；②累乘法（相邻比可求积）；③构造法（化为等差或等比，如化为）。 3. aₙ 与 Sₙ 的关系：-（n≥2），且；求 aₙ 时须对 n=1 单独验证。 【知识点02】数列求和 1. 公式法：等差；等比。 2. 分组求和：通项为两项和（如等差+等比），拆成两个数列分别求和后相加。 3. 裂项相消：把通项拆成两项差，使求和时前后抵消。常见，。 4. 错位相减：通项为等差×等比时，qSₙ 与 Sₙ 相减消去中间项，得到等比求和式。 5. 倒序相加：当 a₁+aₙ、a₂+aₙ₋₁ 等为常数（如等差性质）时，将和式倒序与原式相加，得 n 个常数。 【知识点03】数学归纳法 原理：证明与正整数 n 有关的命题，需完成两步： 由(1)(2)，命题对一切的正整数都成立。核心是递推步骤必须用到归纳假设。 易错点一　aₙ 与 Sₙ 关系式分 n=1 与 n≥2。 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ 仅对 n≥2 成立；n=1 时 a₁=S₁，需单独求出并验证是否与通项一致，不一致则分段表示。 易错点二　递推公式缺初始项或范围不清。 递推公式必须注明初始项 a₁（或 a₁、a₂）及递推起止范围，否则无法确定数列。 易错点三　裂项相消漏中间项、系数错误。 拆项后注意中间项是否全部抵消、首尾各剩几项；勿漏系数。 易错点四　错位相减项数算错。 qSₙ 与 Sₙ 相减后，等比部分是从第 2 项到第 n+1 项，共 n 项，首项与末项须单独处理。 易错点五　数学归纳法第二步漏用归纳假设。 证明 n=k+1 时若不借助“假设 n=k 成立”，而重新从头推证，则递推步骤不成立，归纳法失效。 易错点六　归纳法结论书写不完整。 须完整书写“由(1)(2)可知，命题对一切满足 n≥n₀ 的正整数 n 都成立”，两步缺一不可。 【题型一】递推数列求通项 【例1】（25-26高二·上海宝山·期末）已知数列满足，，则__________． 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是________． 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）若数列中，，则________． 【变式1-3】（25-26高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 【题型二】由 Sₙ 求通项 【例2】（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【变式2-1】（25-26高二上·上海宝山·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 【变式2-2】（25-26高二·上海闵行·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【变式2-3】（25-26高二·上海浦东新·期末）已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 【题型三】数列求和 【例3】（25-26高二·上海·期中）已知等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1，设，的前n项和为． (1)求； (2)求． 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期末）已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【变式3-3】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前 项和． 【题型四】数学归纳法证明等式 【例4】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【变式4-2】已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列. (1)用数学归纳法证明：（是正整数）； (2)求数列的通项公式. 【变式4-3】（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【题型五】用迭代序列求近似值 【例5】试构造的一个迭代算法，并求的近似值（精确到小数点后面7位有效数字）． 【变式5-1】选取初值，利用递推公式，通过计算器操作，写出迭代序列的前8项． 【变式5-2】仿造的巴比伦算法构造计算的迭代算法的递推公式，并取初始值，通过计算器操作，列出该迭代序列的前5项． 【变式5-3】已知数列的递推公式为 (1)求证：； (2)求证：趋向于． 【题型六】综合应用 【例6】（24-25高二上·上海静安·期末）设函数对任意实数都有 (1)若，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明 (2)设（1）中函数值域中所有正值从小到大依次排列的数列为，设的前项和为，小张同学猜想：，请你运用数学归纳法对其进行证明 (3)设，若在区间上严格递增，求：的取值范围 【变式6-1】数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【变式6-2】（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【变式6-3】已知无穷数列A：，，…满足：①，，…且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，…. (1)若数列A为等差数列且，求其公差d； (2)若，求的值； (3)若，，求数列的前100项和. 1. 核心思想：递推→求通项（累加、累乘、构造）→ 用合适方法求和（公式/分组/裂项/错位相减/倒序）→ 归纳法分“奠基+递推”两步证明。 2. 要点速记： 3. 易错点：①Sₙ 求 aₙ 分 n=1 与 n≥2；②递推须含初始项；③裂项漏中间项与系数；④错位相减项数；⑤归纳法第二步用假设；⑥结论两步书写完整。 一、填空题 1．（25-26高二上·上海松江·期末）已知数列的前项和为，且满足，则__________． 2．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足：，，则数列的前383项和为______． 3．（25-26高二上·上海·期末）设，数列的通项公式为.若是严格减数列，则的取值范围是______. 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）数列满足，n为正整数.若数列是严格增数列，则实数a的取值范围为_________. 5．（25-26高二·上海·期中）已知数列满足：（为正整数），则______. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知数列满足对任意的正整数有成立，且，则______. 7．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知数列中，满足，前项和为，若对于所有，则的最大值是__． 8．（24-25高二·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 9．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知数列的前项的和满足，则的值约为__________.（保留2位有效数字，用科学记数法表示） 10．（24-25高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 11．（24-25高二上·上海·期末）已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；②且．记数列的前n项积为，则的最大值为________． 二、单选题 12．（25-26高三上·上海闵行·期中）数列前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 14．（25-26高二上·上海·期末）数列的各项为，其中.如果对任意整数，都有，那么中的各项一定（    ） A．均为0 B．没有负数项 C．没有正数项 D．以上选项都不正确 15．下列用递推公式表示的数列中，使得成立的是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 17．（25-26高二·上海·阶段检测）已知数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 18．（24-25高二·上海宝山·期中）在数列中，， . (1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若 ，记数列的前项和，求以及. 19．（24-25高二·上海奉贤·阶段检测）某地区要进行沙漠治理， 已知第 1 年该地区有土地 1 万平方千米， 其中 70%是沙漠， 30%是绿洲.从第 2 年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 16% 改造成绿洲， 而原有绿洲的 4%被沙漠所侵蚀后又变成沙漠. 设第 年的绿洲面积为 万平方千米 (1)求数列的通项公式 (2)从第几年起，绿洲面积占土地面积的比例超过 60%？ 20.阅读材料 求方程的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法： 方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法： 第一步：令．因为，，所以设，． 第二步：令，判断是否为0．若是，则为所求； 若否，则继续判断大于0还是小于0． 第三步：若，则；否则，令． 第四步：判断是否成立？若是，则之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步． 方法二：考虑的一种等价形式 变形如下：，∴，∴ 这就可以形成一个迭代算法：给定 根据，，1，2，…计算多次后可以得到一个近似值 (1)分别运用方法一和方法二计算的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢； (2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算的近似值（精确到0.001）． 21.（24-25高二上·上海·阶段检测）已知数列满足: 且 (1)设 证明：是等比数列； (2)设 ，证明： 1 学科网（北京）股份有限公司 $