第03讲 圆的方程与直线、圆的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

第03讲 圆的方程与直线、圆的位置关系讲义 【知识点01】圆的定义与标准方程 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合称为圆，定点叫做圆心，定长叫做半径。设圆心，半径为，圆上任意一点，则。 此即圆的标准方程。当圆心在原点时，＝＝0，方程为。求圆的方程常用待定系数法：根据条件设出标准式或一般式，代入已知条件建立关于参数的方程组求解。 方程形式 圆心 半径 适用情境 已知圆心或易求圆心、半径 已知圆上三点等 【知识点02】圆的一般方程 把标准方程展开并整理，可得一般方程。对该方程配方，得 于是：当时，方程表示以为圆心、为半径的圆；当时表示一个点；当时，不表示任何图形。标准方程与一般方程可以通过配方与展开互化。 【知识点03】点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，则。比较与半径的大小即可判断点与圆的位置关系： 位置关系 数量关系 判定结论 点在圆内 点在圆上 点在圆外 【知识点04】直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。判定方法主要有几何法与代数法两种。（1）几何法：设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式 （2）代数法：联立直线与圆的方程，消去一个未知数得到关于（或）的一元二次方程，设其判别式为，由判别式的符号判断位置关系。两种方法对照如下： 表3　直线与圆的位置关系判定 位置关系 几何法 代数法 交点个数 相离 0 相切 1 相交 2 （3）弦长公式：当直线与圆相交于两点时，设弦心距（圆心到弦所在直线的垂线段长）为，则弦长 （4）切线问题：过圆上一点的切线方程为；过圆外一点可作圆的两条切线，通常设斜率用“圆心到切线距离等于半径”求解，但要检验斜率不存在的切线是否满足条件。 【知识点05】圆与圆的位置关系（补充） 设两圆半径分别为，且，圆心距为，则两圆位置关系如下： 位置关系 数量关系 公共点个数 外离 0 外切 1 相交 2 内切 1 内含 0 易错点1　忽略圆的一般方程表示圆的条件错例：把误当作圆。 辨析：此处，，，则，方程只表示一个点，并不表示圆。判断一个二元二次方程是否表示圆，必须同时满足：、系数相等且不为0、无项，且。 易错点2　配方求圆心、半径时符号出错错例：由配方时，错误地认为圆心为、半径为。 辨析：正确配方应为，，于是，圆心为，半径为。配方时一次项系数要除以2后再平方，常数项须整体移项整理，切勿漏算。 易错点3　几何法与代数法结论对应记反错例：认为对应相交，对应相离。 辨析：正确对应是相离；相切；相交。记忆方法：圆心离直线越远（越大）越趋向相离；判别式越大（正）越趋向相交。 易错点4　过圆外一点作切线漏掉斜率不存在的情形错例：求过点且与圆相切的直线方程，只设，漏掉了斜率不存在的切线。 辨析：当圆心到“斜率不存在”的直线的距离恰好等于半径时，该直线也是切线。凡过圆外一点求切线，必须先检验是否为切线，再设斜率求解，避免漏解。 易错点5　弦长公式中把 d 误当弦长错例：求弦长时直接取。 辨析：在弦长公式中，是圆心到弦的垂线段长（弦心距），并非弦长。由垂径定理，弦长应为。 易错点6　直线化为一般式时系数处理错误错例：求点到直线的距离，代入时把常数项、变号算错。 辨析：应先把直线化为一般式，即，则。代入点的坐标时须把一般式各项完整、不变号地代入距离公式。 易错点7　圆与圆位置关系混淆错例：把外切记成，把内切记成。 辨析：外切时两圆相离仅一公共点，；内切时小圆含于大圆内仅一公共点，；相交时。端点取等即对应相切。 易错点 错因 正确做法 一般方程表示圆的条件 漏判 配方求圆心、半径 一次项系数处理不当、漏常数 除以2平方、移项整体整理 位置关系判定结论 d 与 Δ 对应记反 d、Δ 与位置关系逐项对应 过圆外点的切线 漏斜率不存在的切线 先检验 x=x₀ 再设斜率 弦长公式 把 d 当弦长 点到直线距离 一般式系数处理错误 化为一般式后整体代入 圆与圆位置关系 外切、内切混淆 外切 d=R+r；内切 d=R−r 【题型一】求圆的方程 【例1】已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【变式1-1】（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【题型二】一般方程与参数范围 【例2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知表示圆，则实数a的取值范围是______． 【变式2-1】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 【变式2-3】（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 【题型三】直线与圆位置关系与弦长 【例3】（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为______． 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期末）已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______． 【变式3-2】已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【变式3-3】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知直线：，直线：. (1)当时，求的值； (2)若与圆：的相交弦长为，求直线的方程. 【题型四】过圆外一点的切线（斜率讨论） 【例4】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）经过点且与圆相切的直线方程为___________． 【变式4-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【变式4-3】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【题型五】直线与圆相交下的参数范围 【例5】若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值范围是___________． 【变式5-1】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，实数的取值范围为_____． 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 【变式5-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆，过坐标原点的直线交圆于 两点，是圆心在直线上的投影，当直线绕转动时，点的轨迹是曲线. (1)求圆心的坐标； (2)设点，点在曲线上. 求的最小值； (3)若直线与曲线恰有一个公共点，求实数的取值范围. 【题型六】圆与圆的位置关系 【例6】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 【变式6-1】（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【变式6-3】（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 1. 知识主线：圆的定义 → 圆的标准方程 → 圆的一般方程 → 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，核心是“用方程刻画图形、用代数研究几何”。 2. 三大工具：待定系数法求圆的方程；几何法（圆心到直线距离与半径比较）判断位置关系；代数法（联立方程判别式）判断直线与圆位置关系。 核心方法 适用情境 注意点 待定系数法 求圆的方程 设标准式或一般式，代入条件解参数 几何法（距离比较） 点、直线与圆的位置关系 先求圆心到直线的距离 d，与 r 比较 代数法（判别式） 直线与圆的位置关系 联立消元，看 Δ 的符号 弦长公式 求相交弦长 切线方程 过点作圆的切线 检验斜率不存在的情形，防漏解 圆心距比较 圆与圆的位置关系 d 与 R+r、R−r 比较 3. 易错提醒：一般方程表示圆要满足 ；配方求圆心半径勿漏常数；过圆外点作切线先检验竖直切线；弦长公式中 d 为弦心距；圆与圆外切、内切勿混淆。 4. 目标自评：能写出圆的标准方程与一般方程并能互化；能熟练判断点、直线与圆的位置关系；会求相交弦长与切线方程；能求解含参数的位置关系问题。达到“基础全对、中档熟练、培优有法”即达成本讲目标。 一、填空题 1．与圆，都相切的直线有______条． 2．（25-26高二上·上海闵行·期末）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为______. 3．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 4．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 5．（25-26高二下·上海松江·期中）已知常数．若过点、的直线为圆的切线，则______． 6．（25-26高二上·上海·期末）圆的半径为______． 7．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆相交于两点，则________ 8．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆上的一点，则的取值范围是_________. 10．（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 11．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若圆的半径为1，则___________． 12．（24-25高二下·上海·期中）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 二、单选题 13．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 14．（24-25高二上·上海·期末）圆上动点到直线距离的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（24-25高二上·上海·期中）已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（   ） A．4 B． C． D．2 16．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）“”是“圆与坐标轴有四个交点”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．非充分非必要条件． 三、解答题 17．已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 18．已知圆，点在圆内部． (1)求的取值范围； (2)若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程． 19．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 20．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 21．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． (1)求的值； (2)当线段最短时，求其长度； (3)判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 圆的方程与直线、圆的位置关系讲义 【知识点01】圆的定义与标准方程 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合称为圆，定点叫做圆心，定长叫做半径。设圆心，半径为，圆上任意一点，则。 此即圆的标准方程。当圆心在原点时，＝＝0，方程为。求圆的方程常用待定系数法：根据条件设出标准式或一般式，代入已知条件建立关于参数的方程组求解。 方程形式 圆心 半径 适用情境 已知圆心或易求圆心、半径 已知圆上三点等 【知识点02】圆的一般方程 把标准方程展开并整理，可得一般方程。对该方程配方，得 于是：当时，方程表示以为圆心、为半径的圆；当时表示一个点；当时，不表示任何图形。标准方程与一般方程可以通过配方与展开互化。 【知识点03】点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为，则。比较与半径的大小即可判断点与圆的位置关系： 位置关系 数量关系 判定结论 点在圆内 点在圆上 点在圆外 【知识点04】直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。判定方法主要有几何法与代数法两种。（1）几何法：设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式 （2）代数法：联立直线与圆的方程，消去一个未知数得到关于（或）的一元二次方程，设其判别式为，由判别式的符号判断位置关系。两种方法对照如下： 表3　直线与圆的位置关系判定 位置关系 几何法 代数法 交点个数 相离 0 相切 1 相交 2 （3）弦长公式：当直线与圆相交于两点时，设弦心距（圆心到弦所在直线的垂线段长）为，则弦长 （4）切线问题：过圆上一点的切线方程为；过圆外一点可作圆的两条切线，通常设斜率用“圆心到切线距离等于半径”求解，但要检验斜率不存在的切线是否满足条件。 【知识点05】圆与圆的位置关系（补充） 设两圆半径分别为，且，圆心距为，则两圆位置关系如下： 位置关系 数量关系 公共点个数 外离 0 外切 1 相交 2 内切 1 内含 0 易错点1　忽略圆的一般方程表示圆的条件错例：把误当作圆。 辨析：此处，，，则，方程只表示一个点，并不表示圆。判断一个二元二次方程是否表示圆，必须同时满足：、系数相等且不为0、无项，且。 易错点2　配方求圆心、半径时符号出错错例：由配方时，错误地认为圆心为、半径为。 辨析：正确配方应为，，于是，圆心为，半径为。配方时一次项系数要除以2后再平方，常数项须整体移项整理，切勿漏算。 易错点3　几何法与代数法结论对应记反错例：认为对应相交，对应相离。 辨析：正确对应是相离；相切；相交。记忆方法：圆心离直线越远（越大）越趋向相离；判别式越大（正）越趋向相交。 易错点4　过圆外一点作切线漏掉斜率不存在的情形错例：求过点且与圆相切的直线方程，只设，漏掉了斜率不存在的切线。 辨析：当圆心到“斜率不存在”的直线的距离恰好等于半径时，该直线也是切线。凡过圆外一点求切线，必须先检验是否为切线，再设斜率求解，避免漏解。 易错点5　弦长公式中把 d 误当弦长错例：求弦长时直接取。 辨析：在弦长公式中，是圆心到弦的垂线段长（弦心距），并非弦长。由垂径定理，弦长应为。 易错点6　直线化为一般式时系数处理错误错例：求点到直线的距离，代入时把常数项、变号算错。 辨析：应先把直线化为一般式，即，则。代入点的坐标时须把一般式各项完整、不变号地代入距离公式。 易错点7　圆与圆位置关系混淆错例：把外切记成，把内切记成。 辨析：外切时两圆相离仅一公共点，；内切时小圆含于大圆内仅一公共点，；相交时。端点取等即对应相切。 易错点 错因 正确做法 一般方程表示圆的条件 漏判 配方求圆心、半径 一次项系数处理不当、漏常数 除以2平方、移项整体整理 位置关系判定结论 d 与 Δ 对应记反 d、Δ 与位置关系逐项对应 过圆外点的切线 漏斜率不存在的切线 先检验 x=x₀ 再设斜率 弦长公式 把 d 当弦长 点到直线距离 一般式系数处理错误 化为一般式后整体代入 圆与圆位置关系 外切、内切混淆 外切 d=R+r；内切 d=R−r 【题型一】求圆的方程 【例1】已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【答案】 【详解】设圆的方程为， 圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， 圆经过点和 所以， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 【变式1-1】（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设圆方程：， 由已知，解得， 圆的方程为. （2）设圆的圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 即所求圆的圆心为， 故所求圆的方程为. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将点代入上式， 可得，即， 解得， 所以圆的方程为. （2）由，可得， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 【变式1-3】（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆的一般方程为，则 ，解得， ∴圆的一般方程为. （2）    由（1）得圆的圆心为，半径，圆半径为. 设，则，且的中点在直线上， ∴，解得, ∴圆的标准方程为. 【题型二】一般方程与参数范围 【例2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知表示圆，则实数a的取值范围是______． 【答案】或者. 【详解】转化为，根据圆的标准方程可知， 半径，故，解得或者. 【变式2-1】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-3】（25-26高二上·上海·期末）圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题可得：圆的方程为：， 圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故答案为：. 【题型三】直线与圆位置关系与弦长 【例3】（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为______． 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为： 【变式3-1】（25-26高二上·上海·期末）已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______． 【答案】 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 又因为，因此长度的最小值为4. 【变式3-2】已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2或 【详解】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 【变式3-3】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知直线：，直线：. (1)当时，求的值； (2)若与圆：的相交弦长为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意，解得或， 时，两直线方程都是，重合，不合题意； 时，两直线方程为，，平行． 所以； （2）由， 可得， 所以圆，半径为， 因为与圆：的相交弦长为， 所以圆心到直线：的距离， 即， 解得：， 即直线方程为：. 【题型四】过圆外一点的切线（斜率讨论） 【例4】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）经过点且与圆相切的直线方程为___________． 【答案】或 【难度】0.65 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 即，依题意有，解得， 此时直线方程为，即， 所以所求切线的方程为或. 故答案为：或. 【变式4-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 【答案】(1)或 (2)相交或相切 【详解】（1）圆的方程变成标准方程为. 当过点且与圆C相切的直线斜率不存在时，直线方程为. 此时圆心到直线的距离为，等于半径，所以该直线与圆相切，符合题意； 当过点且与圆C相切的直线斜率存在时，直线方程为，即. 则有圆心到直线的距离为，即. 解得，所以此时直线方程为. 综上，符合题意的直线方程为或. （2）直线，变形得，该直线过定点. 圆心到该直线的距离为，所以直线与圆相交或相切. 【变式4-2】（25-26高二上·上海·期中）已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）圆的圆心为，半径为4， 关于直线对称点为， 圆关于直线的对称圆的方程为； （2）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时圆心到的距离为4，等于半径，故满足要求； 当过点的直线斜率存在时，设为， 由题意得，解得， 故直线方程为，即， 综上，切线方程为或. 【变式4-3】已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 【题型五】直线与圆相交下的参数范围 【例5】若圆上有四个不同的点到直线的距离为2，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】圆， 化为标准形式为：， 因为圆上有四个不同的点到直线的距离为2， 所以与直线平行且距离为2的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 设圆心到直线的距离为，圆的半径为3，则必须满足，即， 所以圆心到直线l的距离， 解得. 故答案为： 【变式5-1】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）若关于的方程有且只有两个不同的实数根，实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】方程有且只有两个不同的实数根，可转化为， 即上半圆与过定点的直线有且只有两个不同的交点，如下图所示， 结合图象可知，当直线斜率时，直线与半圆有且只有2个交点， 的取值范围为． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由可得， 故且，故，故直线恒过定点， 的圆心为，半径为， 则关于对称的点为， 故圆关于点对称的圆的方程为， （2）要使存在实数，使得直线与圆相离，则定点在圆外， 且，解得 【变式5-3】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆，过坐标原点的直线交圆于 两点，是圆心在直线上的投影，当直线绕转动时，点的轨迹是曲线. (1)求圆心的坐标； (2)设点，点在曲线上. 求的最小值； (3)若直线与曲线恰有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）解：由圆，可化为， 所以圆的圆心坐标为. （2）解：因为是圆心在直线上的投影，所以， 所以点的轨迹为以为直径的圆在圆的一端圆弧， 可得圆心坐标为，半径为，所以点的轨迹方程为， 设，点与间的距离为， 由圆的性质，可得的最小值为. （3）解：联立方程组，解得，即， 由（2）知：曲线的方程为且， 可得曲线为一段圆弧，如图所示，且圆心为，半径为， 因为直线与全只有一个公共点， ②当直线与曲线相切时，则满足， 解得或（舍去）； ②联立方程组 当直线过点时，可得， 当直线过点时，可得， 当直线介于直线与之间时，此时满足题意，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 【题型六】圆与圆的位置关系 【例6】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 【答案】9 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为； 两圆的圆心距， 而两圆外切，故，解得. 【变式6-1】（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 【变式6-2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 【变式6-3】（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知圆：和圆：（）. (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值； (3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【详解】（1）由圆的方程可得两圆的圆心和半径分别为， 则， 又因为圆与圆相交，所以， 解得， 所以r的取值范围为； （2）由，消去得， ，解得， 设，则有， 所以， 由， 整理得， 又因，则可得； （3）设，，因,则， 因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 则点到直线的距离与点到直线的距离相等， 即， 依题意，对无穷多的成立， 所以或， 解得或， 即满足条件的点P的坐标有或. 1. 知识主线：圆的定义 → 圆的标准方程 → 圆的一般方程 → 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，核心是“用方程刻画图形、用代数研究几何”。 2. 三大工具：待定系数法求圆的方程；几何法（圆心到直线距离与半径比较）判断位置关系；代数法（联立方程判别式）判断直线与圆位置关系。 核心方法 适用情境 注意点 待定系数法 求圆的方程 设标准式或一般式，代入条件解参数 几何法（距离比较） 点、直线与圆的位置关系 先求圆心到直线的距离 d，与 r 比较 代数法（判别式） 直线与圆的位置关系 联立消元，看 Δ 的符号 弦长公式 求相交弦长 切线方程 过点作圆的切线 检验斜率不存在的情形，防漏解 圆心距比较 圆与圆的位置关系 d 与 R+r、R−r 比较 3. 易错提醒：一般方程表示圆要满足 ；配方求圆心半径勿漏常数；过圆外点作切线先检验竖直切线；弦长公式中 d 为弦心距；圆与圆外切、内切勿混淆。 4. 目标自评：能写出圆的标准方程与一般方程并能互化；能熟练判断点、直线与圆的位置关系；会求相交弦长与切线方程；能求解含参数的位置关系问题。达到“基础全对、中档熟练、培优有法”即达成本讲目标。 一、填空题 1．与圆，都相切的直线有______条． 【答案】3 【详解】圆的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为，因为， 所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条． 故答案为：3 2．（25-26高二上·上海闵行·期末）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为______. 【答案】 【详解】直线过原点且倾斜角为，则斜率， 直线方程为. 圆，可知圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 弦长. 故答案为：. 3．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 4．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 5．（25-26高二下·上海松江·期中）已知常数．若过点、的直线为圆的切线，则______． 【答案】 【详解】由题意可知过点、的直线斜率存在，设斜率为， 则过点、的直线方程可以为，即， 由题意可知，解得， 所以过点、的直线方程为， 点在直线上，所以，解得. 6．（25-26高二上·上海·期末）圆的半径为______． 【答案】 【详解】配方得，所以圆的半径为. 7．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆相交于两点，则________ 【答案】 【详解】因为圆，所以圆的标准方程, 其圆心坐标为,半径为. 圆心到直线的距离 则. 8．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【详解】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆上的一点，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】表示圆上的点到直线 的距离， 圆圆心为,半径为， 圆心到直线的距离为. 所以直线与圆相离，所以圆C上的点到直线 的距离的取值范围为， 即. 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 【答案】 【详解】由题可得圆的半径， 又圆心为，所以圆的方程为. 故答案为： 11．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若圆的半径为1，则___________． 【答案】4 【详解】由圆可知， ，解得， 故答案为：4 12．（24-25高二下·上海·期中）已知圆的方程为，直线的方程为，直线被圆截得的弦中长度为整数的共有______条. 【答案】8 【详解】方法一：直线可化为 ， 由可得，即直线过定点， 因为，所以点在圆内， 当点为直线被圆截得的弦的中点时，弦长最短， 点到圆心的距离， 所以直线被圆截得的最短弦长为， 最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是. 由圆的对称性可知弦长为7，8，9的直线各两条， 弦长为6，10的直线各一条， 所以截得的弦中长度为整数的直线共有8条. 方法二：方程法. 圆的圆心到直线的距离， 故弦长为， 要使弦长为整数，令（为平方数）， 整理得，令， 整理得（*）， ， 解得，即， 则，即， 当或100时，，方程（*）各有一解， 当时，，方程（*）各有两个不同的解， 即方程（*）共有8个不同的解，因此符合题意的直线有8条. 故答案为：8. 二、单选题 13．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 14．（24-25高二上·上海·期末）圆上动点到直线距离的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故直线与圆相离，所以圆上的点到直线的距离的最小值为. 故选：C 15．（24-25高二上·上海·期中）已知A点坐标为，B点坐标为，以线段为直径的圆的半径是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意知，， 以线段为直径的圆的半径是， 故选：C 16．（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）“”是“圆与坐标轴有四个交点”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．非充分非必要条件． 【答案】A 【详解】由，可以表示为点在圆的距离的内部，此时圆与坐标轴有四个交点，则充分性成立； 反之，由圆的方程可知，圆心为，半径为，则要使圆与坐标轴有四个交点，则，则，则必要性不成立， 故“”是“圆成立的充分不必要条件. 故选：A 三、解答题 17．已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 18．已知圆，点在圆内部． (1)求的取值范围； (2)若，过点作直线的垂线与圆交于两点，求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点在圆内部， 所以， 解得， 即的取值范围是； （2）当时，， 因为，所以， 因为，所以， 所以直线的方程为，化简得． 的外接圆经过直线与圆的交点， 故设其方程为， 代入点的坐标，可得，解得． 故的外接圆方程为， 即．（标准方程为） 19．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）因为圆， 所以，解得， 且圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 由弦长公式可得， 所以，解得，满足， 所以. （2）当时，则圆心，半径， 设直线的方程为， 由圆心到直线的距离， 又因为直线与圆C相切， 所以， 即， 解得或， 所以直线的方程为或. 20．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1)定点的坐标为； (2)弦中点的轨迹方程为； (3)弦长度的最小值为，对应的。 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得， 因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 21．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，点是圆上一动点，过点作圆的切线与圆交于、两点，当直线过圆心时，． (1)求的值； (2)当线段最短时，求其长度； (3)判断满足条件的点有几个？请说明理由，并写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的点共有4个，即为，． 【详解】（1）当直线过圆心时，，解得， ，． （2）直线与圆相切，，设直线的斜率为，则，故， 直线的方程为，整理得，且， 圆心到直线的距离， 记，则直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离，解得， 当时，，此时弦长最短， 由弦长公式得． （3），设，则，， 设点到直线的距离为，则①， （i）如图，当点在直线的同侧时，②， 联立①②解得或， 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相交，公切线有两条，故满足条件的点有2个， ，即，联立，无解； 联立或， 满足条件的点即为； 当时，直线可看作是圆与圆的公切线， 此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点有2个， ，即，联立或； 联立（不合题意，舍去）； 满足条件的点即为； （ii）如图，当点，在直线异侧时，③ 联立①③解得（舍）或（舍），满足条件的点不存在， 综上，满足条件的点共有4个，即为， 1 学科网（北京）股份有限公司 $