期中复习压轴专题02 选择、填空题分类训练（34种类型170道）（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

期中复习压轴专题02 选择、填空题分类训练 （新沪教版八年级，34种类型170道） 范围：第19章—第20章 知识点一 求一个数的（算术）平方根、立方根 1．（26-27八年级上·全国·期中）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法正确的是（     ） A．8的立方根是 B． C．的平方根是 D．是的算术平方根 3．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）实数的平方根是_______． 5．（26-27八年级上·江苏·期中）计算：______． 知识点二 利用算数平方根的非负性解题 6．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）已知+=0，则的值为（     ） A． B．1 C．0 D．2025 7．（26-27八年级上·上海·期中）第48届世界技能大赛于9月27日晚在上海闭幕，中国代表团获得枚金牌、枚银牌、枚铜牌，其中，，满足，问中国代表团一共获得金、银、铜奖牌______枚． 8．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若，满足，则________； 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 10．（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 知识点三 估计算术平方根的取值范围 11．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）估计的值应在（     ） A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间 12．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）估计的值在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 13．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）估计的大小应在（   ） A．8与9之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 14．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则________． 知识点四 求算术平方根的整数部分和小数部分 16．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的整数部分为a，小数部分为b，则为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）的平方根是_____，的小数部分是_____，64的立方根是_____． 19．（25-26八年级下·四川广安·期中）已知是的整数部分，是它的小数部分，则________． 20．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 知识点五 与算术平方根有关的规律探索题 21．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若，，则（     ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·云南昆明·期中）若，，则（     ） A．38.1 B．381 C．12 D．120 23．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中），那么（   ） A． B． C． D． 24．（25-26七年级下·重庆南川·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．454 25．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（   ） A． B． C． D． 知识点六 算术平方根的实际应用 26．（26-27八年级上·甘肃·期中）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 27．（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 28．（25-26七年级下·北京·期末）把长为5，宽为1的长方形按如图所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（    ） A．2 B． C． D．5 29．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 30．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．4 C． D．3 知识点七 平方根与立方根的综合运用 31．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 32．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 33．（25-26七年级下·广东珠海·期中）已知3是的一个平方根，的立方根是3，则______． 34．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 35．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 知识点八 与立方根有关的规律问题 36．（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 37．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 39．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 40．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知，，则______；已知，，则______． 知识点九 立方根的实际应用 41．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级下·河南新乡·期中）春季万物复苏，植物会因为快速生长而进行频繁的细胞分裂．某种植物细胞可以近似看作棱长为3的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．5 B．6 C． D． 45．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃容器的水中，水位升高了，已知玻璃容器的底面积是，那么正方体铁块的棱长是（   ） A． B． C． D． 知识点十 无理数的概念 46．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）下列实数中，无理数是（     ） A．0 B． C． D． 47．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列实数中：，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．（26-27八年级上·贵州·期中）下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D．2 49．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）在实数中，无理数有___________个． 50．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 知识点十一 求一个数的近似数 51．（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 52．（24-25七年级上·北京·期中）圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 53．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）近似数精确到______位． 54．（25-26七年级上·重庆·期中）（1）把数字用科学记数法表示为________． （2）近似数精确到________位． 55．（25-26六年级上·山东烟台·期中）一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是_______． 知识点十二 实数与数轴 56．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 57．（25-26七年级下·北京·期中）在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为__________． 58．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 59．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 60．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 知识点十三 实数的大小比较 61．（25-26七年级下·河南许昌·期中）比较大小：_________2（填“”“”或“”）． 62．（26-27八年级上·江苏常州·期中）比较大小：_____．（填或或） 63．（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 64．（25-26七年级下·新疆巴州·期中）__________7（填或）． 65．（25-26七年级下·广东广州·期中）比较大小： （1）______6； （2）______． 知识点十四 程序设计与实数的运算 66．（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 67．（25-26七年级下·河南周口·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 68．（25-26九年级下·山东烟台·期中）根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 69．（25-26七年级下·河南新乡·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 70．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______． 知识点十五 实数运算的实际应用 71．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 72．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 73．（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 74．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 75．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 知识点十六 二次根式的识别 76．（26-27九年级上·重庆·期中）下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 77．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 78．（25-26八年级下·广东湛江·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 79．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 80．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）下列各式中为二次根式的是（     ） A． B． C． D．2025 知识点十七 求二次根式的值 81．（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 82．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 83．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当a＝2时，二次根式的值是________． 84．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）当时，二次根式_____． 85．（25-26八年级下·广东广州·期中）当时，二次根式的值是______． 知识点十八 求二次根式的参数 86．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 87．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 88．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 89．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 90．（25-26八年级下·北京·期中）若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 知识点十九 二次根式有意义的条件 91．（26-27九年级上·吉林·期中）当时，下列二次根式有意义的是（     ） A． B． C． D． 92．（26-27九年级上·北京·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是________________． 93．（26-27八年级上·北京·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 94．（26-27八年级上·四川·期中）若 ，则的值是________． 95．（26-27九年级上·四川·期中）若，则的取值范围是___________． 知识点二十 利用二次根式的性质化简 96．（26-27八年级上·江苏·期中）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 97．（26-27八年级上·甘肃·期中）若，则（     ） A． B． C． D． 98．（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，实数在数轴上的位置满足：，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 99．（26-27八年级上·宁夏·期中）化简___________． 100．（26-27八年级上·河南平顶山·期中）若，则化简______． 知识点二十一 复合二次根式的化简 101．（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如： ．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 102．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）_____． 103．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 104．（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 105．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 知识点二十二 最简二次根式的判定 106．（25-26八年级下·甘肃武威·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 107．（26-27九年级上·重庆·期中）下列二次根式中最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 108．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）下列二次根式属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 109．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 110．（25-26八年级下·辽宁盘锦·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 知识点二十三 化为最简二次根式 111．（25-26八年级下·山东济宁·期中）化简的结果为（   ） A． B．4 C． D．2 112．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化为最简二次根式：______． 113．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简：________； 114．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）将化成最简二次根式_____． 115．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）化简：化成最简二次根式为______． 知识点二十四 已知最简二次根式求参数 116．（25-26八年级下·云南昆明·期中）若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 117．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______． 118．（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 119．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 120．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为__________． 知识点二十五 同类二次根式 121．（25-26八年级下·山东德州·期中）最简二次根式与可以合并，则m=______． 122．（26-27八年级上·上海长宁·阶段检测）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____________． 123．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若最简二次根式与是同类二次根式，则_________． 124．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为________． 125．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 知识点二十六 二次根式乘除法 126．（26-27八年级上·江西·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 127．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）计算：的结果是（     ） A． B． C．1 D．9 128．（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 129．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 130．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）计算：____________． 知识点二十七 分母有理化 131．（25-26八年级下·河南许昌·期中）化简__________． 132．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 133．（26-27八年级上·湖南·期中）___________． 134．（25-26八年级下·四川内江·期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值为______． 135．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若（其中，为有理数），______． 知识点二十八 二次根式混合运算 136．（26-27八年级上·四川·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 137．（26-27九年级上·四川·期中）计算的值是___________． 138．（26-27九年级上·吉林·期中）计算：_____． 139．（26-27八年级上·四川·期中）已知，， ___________． 140．（25-26八年级下·吉林·期中）已知，，则代数式的值______． 知识点二十九 比较二次根式的大小 141．（26-27八年级上·重庆·期中）比较大小：，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 142．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 143．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 144．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 145．（26-27八年级上·北京·期中）比较大小：（填“”、“”或“”）______；______． 知识点三十 二次根式的应用 146．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，面积分别为和，则图中两块阴影部分的面积和为____________．    147．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 148．（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知三角形的一条边和这条边上的高，便可求出三角形的面积．然而在实际测量中，一边上的高很难直接测得，通常更容易测量出三角形的三条边长．在古希腊的几何学家海伦（，约1世纪），在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式①，其中．我们把公式①称为海伦公式．某园艺师测量出一个三角形花坛三条边的长度，，，请利用海伦公式求出该三角形花坛的面积是________． 149．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长分别是，，，则的面积为___________． 150．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，将这些纸条连成一个宽为的大长方形，并将这个长方形裁剪成四个一样大小的小长方形来为一幅正方形作品镶边（纸条不重叠）如图③，则正方形作品（阴影部分）的面积为_____． 知识点三十一 已知条件式，化简求值 151．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 152．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 153．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 154．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 155．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 知识点三十二 实数的混合运算 156．（25-26七年级下·四川自贡·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ） A． B． C． D． 157．（26-27八年级上·陕西·期中）计算： ___________． 158．（26-27八年级上·重庆·期中）________． 159．（26-27八年级上·广西·期中）计算：_______． 160．（26-27八年级上·四川·期中）已知，， ___________． 知识点三十三 与实数相关的规律题 161．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，……，则第216个数是______． 162．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算的值______． 163．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 164．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是______． 165．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 知识点三十四 新定义下的实数运算 166．（26-27八年级上·贵州·期中）对于任意的正数、定义运算：计算的结果是（     ） A． B． C． D． 167．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）定义新运算“☆”：，则________． 168．（25-26七年级下·陕西西安·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：（），如，则_________． 169．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）定义一种新运算：，则_______． 170．（25-26七年级下·北京·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，如：，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数的值是________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题02 选择、填空题分类训练 （新沪教版八年级，34种类型170道） 范围：第19章—第20章 知识点一 求一个数的（算术）平方根、立方根 1．（26-27八年级上·全国·期中）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：4，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意． 2．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）下列说法正确的是（     ） A．8的立方根是 B． C．的平方根是 D．是的算术平方根 【答案】C 【分析】根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．的立方根是，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．，即的平方根是，故该选项正确，符合题意； D．的算术平方根是，故该选项错误，不符合题意． 3．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）实数的平方根是_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴实数的平方根是． 5．（26-27八年级上·江苏·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 知识点二 利用算数平方根的非负性解题 6．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）已知+=0，则的值为（     ） A． B．1 C．0 D．2025 【答案】A 【分析】根据算术平方根和平方数的非负性，两个非负数相加等于0，则这两个非负数各自为0，求出a、b的值，再代入式子计算乘方结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，． ∴． 7．（26-27八年级上·上海·期中）第48届世界技能大赛于9月27日晚在上海闭幕，中国代表团获得枚金牌、枚银牌、枚铜牌，其中，，满足，问中国代表团一共获得金、银、铜奖牌______枚． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式因式分解，对已知式子进行变形，再根据完全平方式和算术平方根的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴金、银、铜奖牌总数：枚． 8．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）若，满足，则________； 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，多个非负数的和为时，每个非负数都为，先求出和的值，再计算． 【详解】解：∵ ， 又∵， ， ∴，， ∴，， ∴． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 【答案】0 【分析】和都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， 故． 10．（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 【详解】解： ， ，， ，， ． 知识点三 估计算术平方根的取值范围 11．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）估计的值应在（     ） A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即， 因此的值在4和4.5之间． 12．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）估计的值在（     ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】A 【分析】找到被开方数3相邻的两个完全平方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵ ，，且 ∴ ，即 因此的值在1到2之间． 13．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）估计的大小应在（   ） A．8与9之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 【答案】A 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ，即， 因此的大小在8与9之间． 14．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】估算出的范围，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故这个比值最接近的整数是4. 15．（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】先估算出的取值范围，再结合已知不等式即可确定正整数的值． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 知识点四 求算术平方根的整数部分和小数部分 16．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 17．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）的整数部分为a，小数部分为b，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先估算出的范围，再求出的值，最后代入求出结果即可． 【详解】解：∵，的整数部分为a，小数部分为b， ∴，， ∴． 18．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）的平方根是_____，的小数部分是_____，64的立方根是_____． 【答案】 / 4 【分析】先化简，再根据平方根的定义求解第一个空；先估算的大小，得到其整数部分，再用减去整数部分得到小数部分，求解第二个空；再根据立方根的定义求解的立方根即可． 【详解】解：，根据平方根的定义，可得的平方根为． 因此的平方根是． ∵，，且， ∴． 因此的整数部分为，小数部分为． ∵， ∴的立方根是． 19．（25-26八年级下·四川广安·期中）已知是的整数部分，是它的小数部分，则________． 【答案】 【分析】先估算无理数的大小，得到其整数部分，再根据无理数减去整数部分得到小数部分，将，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ， ，， ． 20．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 【答案】 【分析】根据表格数据确定的取值范围，得到其整数部分的值，计算后，根据立方根的定义求解结果． 【详解】解：由表格可得，，， 的整数部分为 的立方根为，即的立方根为． 知识点五 与算术平方根有关的规律探索题 21．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据被开方数的小数点向左（右）移动两位，则算术平方根的小数点向左（右）移动一位求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 22．（25-26七年级下·云南昆明·期中）若，，则（     ） A．38.1 B．381 C．12 D．120 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向左（或向右）每移动两位，其算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位即可得． 【详解】解：∵， ∴． 23．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中），那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位，据此即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 24．（25-26七年级下·重庆南川·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D．454 【答案】C 【分析】根据算术平方根的性质，即被开方数扩大为原来的100倍，其算术平方根扩大为原来的10倍，将待求式变形后结合已知条件计算即可 【详解】解：∵，且， ∴ 25．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）将按如下方式排列，若规定第排从左向右的第个数表示为表示，则与表示的两数之积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先找到排列的数的规律：第n排有n个数，四个数一循环，再求解与表示的数即可解答． 【详解】解：根据数的排列方法可知， 第一排：1个数， 第二排：2个数， 第三排：3个数， 第四排：4个数， …， 第排：个数， 规律：从第一排到排共有个数， ， 根据数的排列方法，每四个数一个循环， 由可知是第5排第4个数是， 表示第9排第9个数，而 ， 即前8排共有36个数，因此第9排第9个数是整个序列中的第个数． ， 表示的数为循环中的第1个数：， 与表示的两数之积为 ∴两数之积为． 知识点六 算术平方根的实际应用 26．（26-27八年级上·甘肃·期中）电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知数据代入公式，直接求解电流． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴（舍去负值）， ∴ 电流为． 27．（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 28．（25-26七年级下·北京·期末）把长为5，宽为1的长方形按如图所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据图形剪拼前后面积不变的性质，求出原长方形的面积，即为大正方形的面积，利用算术平方根的定义求出边长即可． 【详解】解：∵原长方形的长为，宽为， ∴原长方形的面积为， ∵剪拼前后图形的面积不变， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 29．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据正方形面积求出边长，进而求出的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴大正方形边长，小正方形边长， ∴，， ∴ ． 30．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】根据正方形的面积可得，，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵长方形内的两个正方形和正方形的面积分别为16、4， ∴，， ∴ ． 知识点七 平方根与立方根的综合运用 31．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． 32．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 33．（25-26七年级下·广东珠海·期中）已知3是的一个平方根，的立方根是3，则______． 【答案】 【分析】本题根据平方根和立方根的定义得到关于x和y的等式，求出x、y的值，再计算即可． 【详解】解：是的一个平方根，的立方根是， ，， 整理得：，， 解得：， 把代入，得， ． 34．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是4的算术平方根，的立方根是2，则的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，得到关于和的等式，求出、的值后代入计算，最后求该式的平方根即可． 【详解】解：∵是4的算术平方根，4的算术平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 解得， 将，代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 35．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 知识点八 与立方根有关的规律问题 36．（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 37．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴只需先求的立方根； 第一步，确定位数： ∵ ， ，且 ， ∴，即是两位数； 第二步，确定个位数字： ∵的个位数字是，中只有的立方的个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步，确定十位数字： 划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 38．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【答案】 0.2646 300 【详解】解：（1）∵，则； （2）已知 则 ． 39．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：， ． 40．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知，，则______；已知，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 知识点九 立方根的实际应用 41．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 42．（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体体积等于棱长的三次方，已知体积求棱长，计算得出结果即可． 【详解】解：设这种正方体集装箱的棱长为． ∵正方体体积公式为体积等于棱长的三次方， ∴． ∵，棱长为正数， ∴． 43．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵二阶魔方的体积为， ∴它的棱长为． 44．（25-26七年级下·河南新乡·期中）春季万物复苏，植物会因为快速生长而进行频繁的细胞分裂．某种植物细胞可以近似看作棱长为3的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方体体积公式计算原体积，再求出体积增大后的新体积，最后根据正方体体积与棱长的关系计算新棱长即可． 【详解】解：∵原正方体的棱长为3， ∴原正方体的体积为， ∵新体积增大为原来的2倍， ∴新正方体的体积为， 设新正方体的棱长为，由正方体体积公式得， ∴． 45．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃容器的水中，水位升高了，已知玻璃容器的底面积是，那么正方体铁块的棱长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】水位上升部分的体积等于正方体铁块的体积，据此求出正方体铁块的体积，再根据正方体体积公式计算棱长即可． 【详解】解：∵ 正方体铁块完全浸入水中， ∴上升部分水的体积等于正方体铁块的体积． ， ∴正方体铁块的棱长是． 知识点十 无理数的概念 46．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）下列实数中，无理数是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故A不符合题意； B．是整数，属于有理数，故B不符合题意； C．是无理数，故C符合题意； D．是分数，属于有理数，故D不符合题意． 47．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列实数中：，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，结合有理数的定义逐个判断即可． 【详解】解：在所给实数中，，，，是有理数， 和是无理数，共2个． 故选项B符合题意． 48．（26-27八年级上·贵州·期中）下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先明确无理数的定义（无限不循环小数），再分别判断每个选项中的数是否为无理数． 【详解】解：A．是开方开不尽的数，其结果是无限不循环小数，所以是无理数； B．，是整数，属于有理数； C．是分数，分数属于有理数； D．是整数，整数属于有理数． 49．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）在实数中，无理数有___________个． 【答案】2 【详解】解：， 无理数有，共2个． 50．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个． 【答案】 【分析】先将化简，再根据无理数的定义逐个判断各数即可求解． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； （每两个之间的个数依次增加）是无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 无理数有个． 知识点十一 求一个数的近似数 51．（25-26七年级上·福建漳州·期中）古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【答案】 【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题思路为确定精确数位，观察下一位数字，根据四舍五入规则求解． 【详解】解：根据题意，精确到百分位，即保留小数点后两位，需要观察小数点后第三位，即千分位的数字．，千分位数字为，因为，根据四舍五入规则，向百分位进．因此得到的结果为． 52．（24-25七年级上·北京·期中）圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 【答案】3.142 【分析】精确到0.001即看万分位的数字，将万分位的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：对圆周率π精确到0.001取近似值为3.142． 53．（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）近似数精确到______位． 【答案】万分 【分析】确定近似数精确到哪一位，只需找出最后一个有效数字所在的数位即可． 【详解】解：近似数精确到万分位． 54．（25-26七年级上·重庆·期中）（1）把数字用科学记数法表示为________． （2）近似数精确到________位． 【答案】 千 【分析】（1）根据科学记数法表示的形式为，其中，为整数，即可求解． （2）从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，则精确到了哪一位． 【详解】（1）把用科学记数法表示为； （2）近似数，它精确到千位． 55．（25-26六年级上·山东烟台·期中）一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是_______． 【答案】8.3049 【分析】本题考查了近似数，设原数为x，根据近似数的精确度得到，然后写出有四位小数的最大数即可． 【详解】解∶ 设原数为x， 根据题意得， 所以这个数原来最大是8.3049， 故答案为∶8.3049． 知识点十二 实数与数轴 56．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 57．（25-26七年级下·北京·期中）在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为__________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定它相邻的两个整数，比较到两个整数的距离大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ， ，，， ，故在数轴上更靠近4， 在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为． 58．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 59．（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 60．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【答案】4 【分析】先估算和的取值范围，找出二者之间包含的整数，再统计整数的个数． 【详解】解：， ， ， 找出与之间的整数：， 整数一共有个． 知识点十三 实数的大小比较 61．（25-26七年级下·河南许昌·期中）比较大小：_________2（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】两个正实数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方较大的正实数更大，据此即可判断. 【详解】解：∵，，，，又 ， ∴. 62．（26-27八年级上·江苏常州·期中）比较大小：_____．（填或或） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 即． 63．（26-27七年级上·云南·期中）比较大小： ______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】对于非负数，如果，那么，据此判断两个绝对值的大小关系，根据两个负数比较大小的规则，结合绝对值的大小关系，得出两个负数的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 64．（25-26七年级下·新疆巴州·期中）__________7（填或）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即． 65．（25-26七年级下·广东广州·期中）比较大小： （1）______6； （2）______． 【答案】 【详解】（1）解： ∵，，且， ； （2）解： ∵，，且，，， ， ∴． 知识点十四 程序设计与实数的运算 66．（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 67．（25-26七年级下·河南周口·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 68．（25-26九年级下·山东烟台·期中）根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先计算的结果，若结果小于2，则输出结果，若结果大于或等于2，则把结果作为x的值重新输入到进行计算，据此逐步求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴输出的结果为． 69．（25-26七年级下·河南新乡·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____． 【答案】 【分析】根据程序流程图，先取729的立方根为9，再取9的算术平方根为3，然后取3的立方根即可． 【详解】解：若开始输入的的值是729，取立方根为，是有理数， 取算术平方根为，是有理数， 取立方根为，是无理数，则输出． 70．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______． 【答案】 【分析】先把输入计算出8的立方根为2，由于2是有理数，则把作为新数输入，再求出2开立方的结果，若结果为有理数，则重复上述过程，若结果为无理数，则把结果输出即可． 【详解】解：第一次输入8时，是有理数， 第二次输入2时，是无理数，则输出的结果为． 知识点十五 实数运算的实际应用 71．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 72．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 73．（25-26七年级下·北京·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为4和10，则图中阴影部分面积为_____． 【答案】 【分析】求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， 由图可知，阴影部分的面积为． 74．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 75．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 知识点十六 二次根式的识别 76．（26-27九年级上·重庆·期中）下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据形如的式子叫作二次根式进行分析即可． 【详解】解：不一定是非负数，故A选项不符合题意， 不一定是非负数，故B选项不符合题意， ，故C选项不符合题意， ，是二次根式，故D选项符合题意． 77．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式要求形如的式子中被开方数，题目要求“一定是”，即无论字母取何值都满足被开方数非负，据此逐个判断即可. 【详解】A、，，不是二次根式； B、，，不是二次根式； C、，，一定是二次根式； D、，当时，不是二次根式. 78．（25-26八年级下·广东湛江·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二次根式的定义判断即可，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】二次根式的定义为形如的式子，据此逐一判断： ∵ 选项A中，可能为负数，不满足被开方数非负，∴ 不一定是二次根式； ∵ 选项B中根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义，∴ 一定是二次根式． ∵ 选项C中根指数为3，属于三次根式，∴ 不是二次根式； ∵ 选项D中的被开方数，式子无意义，∴ 不是二次根式； 79．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义判断即可，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】解：选项A中，被开方数，无意义，不是二次根式； 选项C是三次根式，根指数为3，不是二次根式； 选项D是一次多项式，不是根式，不符合二次根式定义； 选项B中，根指数为2，且被开方数，满足二次根式的定义， 故二次根式是． 80．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）下列各式中为二次根式的是（     ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式，故选项不符合题意； B、根指数为3，属于三次根式，故选项不符合题意； C、根指数为2，且被开方数，是二次根式，故选项符合题意； D、2025是整数，不是二次根式，故选项不符合题意； 知识点十七 求二次根式的值 81．（25-26八年级下·广西河池·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 82．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】把x的值代入二次根式即可解答． 【详解】解：当时，二次根式． 83．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当a＝2时，二次根式的值是________． 【答案】 【分析】把a的值代入计算即可． 【详解】解：当a＝2时， ． 84．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）当时，二次根式_____． 【答案】 【分析】将已知的值代入二次根式，根据二次根式的性质化简计算即可得到结果． 【详解】解：把代入中，得， 故答案为：． 85．（25-26八年级下·广东广州·期中）当时，二次根式的值是______． 【答案】 【详解】解：当时，. 知识点十八 求二次根式的参数 86．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知是整数，则正整数n的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】若最简二次根式的结果为整数，则被开方数是完全平方数，先化简原式，再据此求最小正整数n． 【详解】解：∵，是整数，是正整数， ∴为整数，即是完全平方数， 当时，，是完全平方数，满足条件， ∴正整数的最小值为． 87．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 88．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若为整数，则被开方数必须是完全平方数，结合完全平方数的质因数特征即可求出最小的正整数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 是整数，是正整数， ∴ 必须是整数，即是完全平方数， ∵ ，要使为完全平方数，需要补充质因数和，使所有质因数的指数均为偶数， ∴ 正整数的最小值为． 89．（25-26八年级下·浙江温州·期中）当__________时，二次根式的值是0． 【答案】 【分析】根据二次根式的值为0，可知被开方数为0，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 两边平方，得． 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 90．（25-26八年级下·北京·期中）若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设为正整数，将等式平方整理得到关于的表达式，根据为正整数，即可找出符合条件的的取值． 【详解】解：设，其中为正整数， 等式两边平方得：， 整理得：， 为正整数， 为正整数，且为的倍数， 令，得，是正整数，符合题意， 正整数可能取值为（答案不唯一）． 知识点十九 二次根式有意义的条件 91．（26-27九年级上·吉林·期中）当时，下列二次根式有意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故该选项不符合题意； B、当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故该选项不符合题意； C、当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故该选项不符合题意； D、当时，，被开方数大于0，二次根式有意义，故该选项符合题意． 92．（26-27九年级上·北京·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是________________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于0，本题分母为常数，不限制的取值，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，则需， 解得． 93．（26-27八年级上·北京·期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0，确定的取值范围，解不等式即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ． 94．（26-27八年级上·四川·期中）若 ，则的值是________． 【答案】9 【分析】根据二次根式有意义的条件得到和，即可求出的值． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， 当时，， ∴． 95．（26-27九年级上·四川·期中）若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为0得到且，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，且， ． 知识点二十 利用二次根式的性质化简 96．（26-27八年级上·江苏·期中）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 97．（26-27八年级上·甘肃·期中）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的结果为非负数的性质，列不等式求解． 【详解】解：∵， ∴，解得． 98．（26-27八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，实数在数轴上的位置满足：，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 99．（26-27八年级上·宁夏·期中）化简___________． 【答案】1 【分析】判断绝对值内和根号下表达式的正负性，正确应用绝对值的性质和二次根式的性质，分别化简各项后计算． 【详解】解：， ，， ，， 原式 100．（26-27八年级上·河南平顶山·期中）若，则化简______． 【答案】或 【分析】由得到的两个可能取值，利用二次根式的性质将原式转化为绝对值的差，分情况去掉绝对值符号计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 或 ． 根据二次根式的性质，可得 ． 分两种情况计算： 当时 ∵ ∴ ， ∴ 原式． 当时 ∵ ∴ ， ∴ 原式． 知识点二十一 复合二次根式的化简 101．（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如： ．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 102．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 103．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 104．（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 105．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 知识点二十二 最简二次根式的判定 106．（25-26八年级下·甘肃武威·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项、B选项的被开方数可化为分数形式，含分母，不是最简二次根式； C选项的被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； D选项的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． 107．（26-27九年级上·重庆·期中）下列二次根式中最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：，中被开方数含能开得尽方的因数9，故A选项不是最简二次根式； B选项：的被开方数中含分母，故B选项不是最简二次根式； C选项：的被开方数中含分母，故C选项不是最简二次根式； D选项：的被开方数不含分母，且在一般情况下，不能分解出能开得尽方的因式，故D选项是最简二次根式． 108．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）下列二次根式属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，符合题意． 选项C：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，不是最简二次根式，不符合题意． 109．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开得尽的因数和因式. 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ③满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 综上，是最简二次根式的有②③. 110．（25-26八年级下·辽宁盘锦·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式是否符合条件即可． 【详解】①：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，为最简二次根式； ②，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； ⑤：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式，故为最简二次根式． 综上，最简二次根式有个． 知识点二十三 化为最简二次根式 111．（25-26八年级下·山东济宁·期中）化简的结果为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】解：． 112．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化为最简二次根式：______． 【答案】 【详解】解：． 113．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）化简：________； 【答案】/ 【详解】解：根据二次根式的除法性质可得， 故答案为． 114．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）将化成最简二次根式_____． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，将被开方数分解出完全平方因数，再进行化简即可． 【详解】解：． 115．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）化简：化成最简二次根式为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简为最简二次根式． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：， ． 知识点二十四 已知最简二次根式求参数 116．（25-26八年级下·云南昆明·期中）若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 117．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与可以合并，则的值是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并的条件是被开方数相同． 【详解】解：由题意，与可以合并， 因此它们是同类二次根式， 故被开方数相等， 即， 解方程：， 移项得， 解得． 故答案为：4． 118．（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 119．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 120．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 知识点二十五 同类二次根式 121．（25-26八年级下·山东德州·期中）最简二次根式与可以合并，则m=______． 【答案】4 【分析】最简二次根式可以合并，说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义，被开方数相等，据此列方程求解即可. 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ，解得. 122．（26-27八年级上·上海长宁·阶段检测）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____________． 【答案】 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：首先化简，可得， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式，同类二次根式化简后被开方数相等， ∴， 整理得， 解得． 123．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若最简二次根式与是同类二次根式，则_________． 【答案】 【分析】已知两个最简二次根式是同类二次根式，根据同类二次根式定义可得被开方数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 124．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【分析】先化简，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式的被开方数与化简后的被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 125．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 知识点二十六 二次根式乘除法 126．（26-27八年级上·江西·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加法运算法则、二次根式的乘除法运算法则、二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：、与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项不正确，不符合题意； 、，故该选项正确，符合题意． 127．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）计算：的结果是（     ） A． B． C．1 D．9 【答案】B 【详解】解：． 128．（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 129．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 130．（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键． 直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 知识点二十七 分母有理化 131．（25-26八年级下·河南许昌·期中）化简__________． 【答案】 【详解】解：． 132．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 【答案】 【分析】找出原式分母的有理化因式，将分子与分母同乘该有理化因式，再利用平方差公式化简分母，整理后得到结果． 【详解】解： ． 133．（26-27八年级上·湖南·期中）___________． 【答案】 【详解】解：． 134．（25-26八年级下·四川内江·期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值为______． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，得到的整数部分和小数部分的值．再将代入所求代数式进行化简计算即可． 【详解】解：， ， 的整数部分，小数部分， 将代入得， ． 135．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若（其中，为有理数），______． 【答案】 【分析】先对等式左边的分式进行分母有理化，整理等式后分离有理数部分与无理数部分，根据对应系数相等得到关系，计算得出的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 知识点二十八 二次根式混合运算 136．（26-27八年级上·四川·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 137．（26-27九年级上·四川·期中）计算的值是___________． 【答案】 【详解】解： ． 138．（26-27九年级上·吉林·期中）计算：_____． 【答案】3 【详解】解： ． 139．（26-27八年级上·四川·期中）已知，， ___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 140．（25-26八年级下·吉林·期中）已知，，则代数式的值______． 【答案】 【分析】将，代入所求代数式，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 知识点二十九 比较二次根式的大小 141．（26-27八年级上·重庆·期中）比较大小：，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 142．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】比较两个正无理数的大小，可采用平方法，正数比较大小时，平方越大的数本身越大，进一步可得答案． 【详解】解：∵ ， 而 ∴ ∴ ． 143．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 144．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式四则混合运算，利用二次根式的性质化简，比较二次根式的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过简化每个表达式，得到a、b、c的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 设， ， 根号内： ∴， ∴，，， ∴， 故选：C． 145．（26-27八年级上·北京·期中）比较大小：（填“”、“”或“”）______；______． 【答案】 【分析】根据负数小于正数，可得和的大小关系；通过平方，可得和的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，，，，， ∴． 知识点三十 二次根式的应用 146．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，面积分别为和，则图中两块阴影部分的面积和为____________．    【答案】4 【分析】依据题意，直接利用二次根式的性质得出正方形的边长，再利用整体面积减去白色正方形的面积，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：大白色正方形的边长为，小白色正方形的边长为， ∴大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：． 147．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 【答案】60 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 148．（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知三角形的一条边和这条边上的高，便可求出三角形的面积．然而在实际测量中，一边上的高很难直接测得，通常更容易测量出三角形的三条边长．在古希腊的几何学家海伦（，约1世纪），在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积的公式①，其中．我们把公式①称为海伦公式．某园艺师测量出一个三角形花坛三条边的长度，，，请利用海伦公式求出该三角形花坛的面积是________． 【答案】84 【分析】利用题干给出的海伦公式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 则该三角形花坛的面积是：． 149．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）可以求出三角形面积．已知三边长分别是，，，则的面积为___________． 【答案】 【详解】解：由题意可得，，， 则， ∴的面积． 150．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，将这些纸条连成一个宽为的大长方形，并将这个长方形裁剪成四个一样大小的小长方形来为一幅正方形作品镶边（纸条不重叠）如图③，则正方形作品（阴影部分）的面积为_____． 【答案】 【分析】如图（见解析），先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证出是等腰直角三角形，且，从而可得的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵如图②，，， ∴， ∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条， ∴能裁剪的纸条的条数为（条），，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得：另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， 如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为. 知识点三十一 已知条件式，化简求值 151．（26-27八年级上·河南周口·开学考试）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的变形，由已知和式推导差式的平方，再开方求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 152．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 153．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 154．（2026·江苏扬州·一模）若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 155．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对二次代数式配方变形，简化代入计算即可求解． 【详解】解： 又∵ ∴ 将代入变形后的式子得原式． 知识点三十二 实数的混合运算 156．（25-26七年级下·四川自贡·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过平方运算确定的取值范围，得到的整数部分和小数部分，再代入所求代数式化简计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴的整数部分，小数部分， 将，代入，得 ． 157．（26-27八年级上·陕西·期中）计算： ___________． 【答案】 【分析】观察式子符合平方差公式的结构，根据平方差公式展开后，结合二次根式的性质计算即可得到结果． 【详解】解： 158．（26-27八年级上·重庆·期中）________． 【答案】 【分析】先计算平方根和绝对值，再求和． 【详解】解：． 159．（26-27八年级上·广西·期中）计算：_______． 【答案】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 160．（26-27八年级上·四川·期中）已知，， ___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 知识点三十三 与实数相关的规律题 161．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，……，则第216个数是______． 【答案】6 【分析】观察可知，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，每组第一个数为负平方根，第二个数为正平方根，第三个数为正立方根，据此求解即可． 【详解】解：由分析可知，每组内按顺序形式为：第一个位置是，第二个位置是，第三个位置是， ∵， 第216个数是第72组的第3个数，形式为， 计算得． 162．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，2的差倒数为，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，计算的值______． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是写出前几个数，得到存在的规律． 先把前 4 个数求出来， 再分析各数之间存在的规律， 即可求解． 【详解】解：， ，，，， 则该数列以这三个数循环出现， ， ， ， 故答案为：． 163．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 【答案】 【分析】根据已知等式总结规律，将所求算式各项展开后，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：由已知各式可得规律：， 因此 ． 164．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，将1，，，按下列方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是______． 【答案】 【分析】首先找到排列的数的规律：n排有n个数，四个数一循环，再求解与表示的数即可解答． 【详解】解：根据数的排列方法可知， 第一排：1个数， 第二排：2个数． 第三排：3个数， 第四排：4个数， …， 第排：个数， 规律：从第一排到排共有个数， ， 根据数的排列方法，每四个数一个循环， 由可知是第5排第4个数是， ∵表示第15排第2个数，而，即是第个数， ∵， ∴表示的数为， ∴与表示的两数之积为． 165．（25-26七年级下·湖北荆州·期中）已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 【答案】 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】， ， ， ， ． 知识点三十四 新定义下的实数运算 166．（26-27八年级上·贵州·期中）对于任意的正数、定义运算：计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 167．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）定义新运算“☆”：，则________． 【答案】 【详解】解：由定义新运算规则可得， ， 故答案为：． 168．（25-26七年级下·陕西西安·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：（），如，则_________． 【答案】/ 【详解】解：由题意可得，． 169．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）定义一种新运算：，则_______． 【答案】/ 【分析】由新定义运算，结合立方根、完全平方公式和实数混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 170．（25-26七年级下·北京·期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，如：，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数的值是________． 【答案】 / 【分析】（1）第一问先估算的取值范围，再根据新定义直接求解； （2）根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴不超过的最大整数为1，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数x，满足， 将，代入， 得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为， ∵是整数， ∴是整数， 设，其中k为整数，则， 代入不等式得，解得， ∵k为整数， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $