2.7.1 抛物线的标准方程（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

2.7.1 抛物线的标准方程 教学目标 1.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质。 2.了解抛物线在实际问题中的初步应用。 教学重难点 1.重点 （1）抛物线的定义及其图形特征； （2）抛物线的标准方程及其性质。 2.难点 应用抛物线的定义及其标准方程解决实际问题。 知识点01 抛物线的概念 1. 定义：把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹。 2. 焦点：定点是抛物线的焦点。 3. 准线：直线叫做抛物线的准线。 4. 集合表示：。 5. 注意事项： （1）定点不在定直线上，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点垂直于直线的一条直线。 （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质。 【即学即练】 （26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程 的几何意义：焦点到准线的距离 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 【即学即练】 （2025高二上·山西长治·专题练习）（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 题型01 抛物线定义的理解 【典例1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东青岛·一模）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2】（25-26高二上·江西赣州·期末）（多选）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 【变式3】（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知点为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，且到的准线的距离为10，则__________． 题型02 利用抛物线定义求方程 【典例1】（26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【变式4】（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型03 抛物线上的点到定点的距离及最值 【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式3】16．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 题型04 抛物线上的点到定点与焦点的距离之和（差）的最值 【典例1】（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为拋物线的焦点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（23-24高二上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型05 根据抛物线方程求焦点和准线 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)． 【变式1】（26-27高二上·江苏·期中）已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 【变式2】（2025·河南·模拟预测）抛物线的焦点坐标为_________. 【变式3】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型06 抛物线的焦半径公式 【典例1】（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（25-26高二下·北京海淀·期中）抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 【变式3】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 题型07 求抛物线的方程 【典例1】（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________． 【变式3】（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 题型08 抛物线的实际问题 【典例1】（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【变式1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·河南·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【变式3】（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 1．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 2．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 6.（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7.（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 9．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知为抛物线准线上一点，为的焦点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知是抛物线的焦点，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 13．（2026·河北石家庄·一模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ） A． B．4 C．3 D．5 14．（25-26高二上·山东青岛·期末）一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处被信号接收器接收，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为2m，则信号接收器与抛物线顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 15．（26-27高二上·全国·课后作业）若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 16．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）以下四个关于圆锥曲线的命题：则其中正确的说法是（    ） A．直角坐标系内，到点和到直线距离相等的点的轨迹是抛物线 B．设A，B为两个定点，若，则动点P的轨迹为双曲线 C．方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率 D．若直线和圆：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为2 17．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________. 18．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 19．（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线C：经过点，则C的准线方程是_______________． 20．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 21．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 22．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 23．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 24．（26-27高二上·全国·课堂例题）某公园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心处达到最高，最高高度为.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，求这个装饰物的高度. 25．（26-27高二上·全国·课堂例题）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 1．（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 2.（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（    ） A．若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线 B．若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C．若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D．若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆 5．（25-26高二上·吉林延边·期末）（多选）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7.1 抛物线的标准方程 教学目标 1.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质。 2.了解抛物线在实际问题中的初步应用。 教学重难点 1.重点 （1）抛物线的定义及其图形特征； （2）抛物线的标准方程及其性质。 2.难点 应用抛物线的定义及其标准方程解决实际问题。 知识点01 抛物线的概念 1. 定义：把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹。 2. 焦点：定点是抛物线的焦点。 3. 准线：直线叫做抛物线的准线。 4. 集合表示：。 5. 注意事项： （1）定点不在定直线上，否则动点的轨迹不是抛物线，而是过点垂直于直线的一条直线。 （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质。 【即学即练】 （26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是假命题的有________．（填序号） ①到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ②到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线； ③到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为抛物线． 【答案】③ 【分析】根据抛物线的定义逐一判断即可. 【详解】由抛物线的定义易得①②是真命题； 因为定点在定直线上， 所以动点的轨迹为直线，故③是假命题． 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程 的几何意义：焦点到准线的距离 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 【即学即练】 （2025高二上·山西长治·专题练习）（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 【答案】（1） 或 ；（2）． 【分析】（1）根据题意分类讨论抛物线的对称轴为轴和轴时，分别设出抛物线方程，将点 的坐标代入，求出待定系数的值，即可得出答案； （2）根据题意分析出动点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线定义得出动点的轨迹是抛物线，再求出抛物线的方程即得解. 【详解】（1）由于点 在第四象限，所求抛物线以原点为顶点，且以坐标轴为对称轴， 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得 ，所以抛物线方程为 ； 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得，所以抛物线方程为 综上，所求的抛物线方程为 或 （2）由题意知，点 不可能在 轴左侧．设直线 ， 则轴右侧的点到直线的距离比它到直线的距离小个单位， 等价于动点到点的距离等于它到直线的距离， 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为． 题型01 抛物线定义的理解 【典例1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线，则，准线方程为， 又过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，设， 则， 根据抛物线的定义可得. 【变式1】（2026·山东青岛·一模）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】由折痕的性质可得，则直线是线段的垂直平分线，对任意的在上，由， 又因为，所以点到直线的距离为， 所以点到定点的距离等于点到定直线的距离， 由抛物线的定义，可得点的轨迹为抛物线. 【变式2】（25-26高二上·江西赣州·期末）（多选）下列说法中不正确的是（   ） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 【答案】ABC 【分析】对于A,举反例，定点在直线上判断即可；对于B，根据判断即可；对于C，根据双曲线的定义判断即可；对于D，设所求点为，再根据条件化简判断即可. 【详解】对于A，当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误； 对于B，平面内与两个定点和的距离之和等于2的点的轨迹是线段，故B错误； 对于C，平面内与两个定点和的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误； 对于D，设所求点为，则，即， 则，化简可得，轨迹是圆，故D正确. 故选：ABC 【变式3】（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知点为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，且到的准线的距离为10，则__________． 【答案】4 【详解】由抛物线，则准线方程为， 因为到的准线的距离为10， 所以，即. 题型02 利用抛物线定义求方程 【典例1】（26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 【变式2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 【变式3】（2025高二上·全国·专题练习）若点P到定点的距离比它到定直线的距离小1，则点P的轨迹方程是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】因为点在直线的右侧，且点P到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点P到的距离与它到直线的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右， 所以，故点P的轨迹方程为． 【变式4】（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 题型03 抛物线上的点到定点的距离及最值 【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 【变式1】（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值． 【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1， 过点作直线，垂足为，如图所示， 由抛物线定义可知，， 所以， 当点在同一直线时，可取到最小值， 因为点到直线的距离为6， 所以，即的最小值为5． 【变式2】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由抛物线的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可知的坐标为的准线的方程为， 由抛物线的定义可知|MF|等于到的距离， 所以的最小值为到的距离，即最小值为. 故选：D 【变式3】16．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义及圆的性质可得． 【详解】解：由题可知抛物线焦点，准线方程为， 圆心为，半径为， 则． 题型04 抛物线上的点到定点与焦点的距离之和（差）的最值 【典例1】（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为拋物线的焦点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义得，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离最近的点即可得到最小值. 【详解】由抛物线，所以，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以，所以， 当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系，求出的最小值． 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 圆的圆心为，半径， 过点P作PB垂直准线l，垂足为点B，    由抛物线的定义可知， 则 ， 当且仅当B，P，A三点共线时，等号成立， 综上所述，的最小值为5，故C正确． 故选：C． 【变式2】（23-24高二上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线换成标准式，再分析的几何意义，利用抛物线的定义转化从而转化目标式计算出最小值. 【详解】由题可得抛物线：，故该抛物线的焦点F的坐标为， 准线方程为，设点P的坐标为，则， 点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可得， 则，故， 当P，F，A三点共线，且在之间时等号成立， 则的最小值为. 【变式3】（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据抛物线定义可得，进而可解. 【详解】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为， 所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 题型05 根据抛物线方程求焦点和准线 【典例1】（26-27高二上·全国·课后作业）指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为 (2)当时，焦点坐标为，准线方程为 【分析】（1）根据抛物线的焦点与准线的定义求解即可； （2）按与分类，根据抛物线的焦点与准线的定义求解即可. 【详解】（1）抛物线的标准方程为，所以， 抛物线开口向左，所以焦点坐标为，准线方程为． （2）抛物线的标准方程为，所以． ①当时，，抛物线开口向右，所以焦点坐标是，准线方程是； ②当时，，抛物线开口向左，所以焦点坐标是，准线方程是． 综上所述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 【变式1】（26-27高二上·江苏·期中）已知抛物线的准线为，则与直线的交点坐标为_________ 【答案】 【详解】的准线方程为：， 当时，， 解得，故交点为. 【变式2】（2025·河南·模拟预测）抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】 【详解】由，得，即，所以的焦点坐标为，即抛物线的焦点坐标为， 故抛物线的焦点坐标为. 【变式3】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 题型06 抛物线的焦半径公式 【典例1】（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】根据抛物线的几何性质，因为点为抛物线上的一点，抛物线的准线为，所以， 因此解得. 【变式1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为，点在上，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 抛物线C：的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，到准线的距离， 所以． 【变式2】（25-26高二下·北京海淀·期中）抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，所以，点在上且横坐标为，所以， 所以. 【变式3】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义转化已知距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离为，由抛物线定义可得点到直线的距离为， 即，解得. 题型07 求抛物线的方程 【典例1】（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 【变式1】（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 【变式3】（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或． 【分析】（1）根据条件可设方程为，结合焦点到准线的距离可得结果； （2）根据点坐标确定抛物线开口方向，分类讨论，设出标准方程，代入坐标可得结果； （3）求直线与坐标轴交点，分类讨论可得结果. 【详解】（1）已知抛物线的焦点在轴上，可设方程为， 由焦点到准线的距离为5，知，， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为或． （2）因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得． 故所求抛物线的标准方程为或． （3）对于直线方程，令，得；令，得，所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 故所求抛物线的标准方程为或． 题型08 抛物线的实际问题 【典例1】（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    【变式1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点， 即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时， 此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 【变式2】（25-26高二下·河南·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用方程求点的坐标即可得解. 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为． 设，，易得，，则， 所以该碗的高度为． 【变式3】（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 1．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【分析】由题意得出，分、两种情况讨论，化简轨迹方程，可得结论. 【详解】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 2．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据所求圆与直线相切、与已知圆外切及相对位置关系，列出方程化简即可. 【详解】由题意可知，所求圆的圆心在直线左侧，即. 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与直线相切，得， 已知圆的圆心为，半径为1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即，得. 平方后整理得， 故轨迹方程为，是抛物线． 故选：C． 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 4．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 5．（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 6.（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 7.（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 8．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 9．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知为抛物线准线上一点，为的焦点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 由点在准线上，得，解得， 故，所以. 10．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 11．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知是抛物线的焦点，则（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】抛物线的焦点坐标为，已知焦点， 故，解得． 12．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过到直线的距离确定横坐标，再结合抛物线定义即可求解. 【详解】由抛物线，得，即. 得准线方程为，焦点. 设点横坐标为，点到直线的距离为， 即，解得. 根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， 因此： . 13．（2026·河北石家庄·一模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】先根据抛物线方程求出基本参数和点A的纵坐标，再利用抛物线的定义计算焦半径的长度，或由两点距离公式直接求解. 【详解】由抛物线得，解得，所以焦点，准线方程， 点在抛物线上，代入抛物线方程得：，解得，即， 根据抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 可得； 或直接计算两点距离：. 14．（25-26高二上·山东青岛·期末）一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处被信号接收器接收，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为2m，则信号接收器与抛物线顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建系求出抛物线的标准方程，再写出抛物线的焦点坐标，再求出信号接收器与抛物线顶点的距离. 【详解】以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 接收天线的口径为，深度为，则抛物线上有一点的坐标为，代入抛物线方程中，解得，. 所以信号接收器与抛物线顶点的距离为. 故选：D 15．（26-27高二上·全国·课后作业）若不管为何值，直线恒过点，则过点的抛物线的标准方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据直线恒过点可求出点的坐标，再分抛物线的焦点在轴上和轴上两种情况分别求出抛物线的标准方程即可． 【详解】直线的方程可化为， 因为直线恒过定点，所以解得即， 又因为抛物线过点，所以当焦点在轴上时，方程为， 当焦点在轴上时，方程为． 16．（2025·四川绵阳·模拟预测）（多选）以下四个关于圆锥曲线的命题：则其中正确的说法是（    ） A．直角坐标系内，到点和到直线距离相等的点的轨迹是抛物线 B．设A，B为两个定点，若，则动点P的轨迹为双曲线 C．方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率 D．若直线和圆：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为2 【答案】CD 【分析】利用抛物线和双曲线的定义判断AB，根据方程的解结合椭圆和双曲线的离心率的取值范围判断C；利用直线与圆的位置关系和点与椭圆的位置关系判断D. 【详解】对于A：点在直线上， 所以到点和到直线距离相等的点的轨迹是过点，且与直线垂直的直线，不正确； 对于B：因为为两个定点，若时，才是以为焦点的双曲线，不正确； 对于C：方程，得 ，所以可以作为椭圆和双曲线的离心率，正确； 对于D：若直线和没有交点，则圆心到直线的距离， 则，可得，则点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆相交，所以直线与椭圆有两个交点，正确. 故选：CD. 17．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知点为抛物线上的动点，点，过作轴的垂线，垂足为点，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】结合抛物线的定义可得，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】由抛物线，则焦点为，准线为， 则， 当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 18．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 【答案】 【分析】利用抛物线的定义和数形结合，求点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】如图，和分别垂直于准线，， 所以， 所以当点是与抛物线的交点时，最小， 当时，代入抛物线方程，得，即此时， 点到直线的距离为. 19．（2026·广东广州·模拟预测）已知抛物线C：经过点，则C的准线方程是_______________． 【答案】 【详解】把点代入抛物线得，解得， 故抛物线方程为，标准形式为，故，解得， 故抛物线的准线为． 20．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 21．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【答案】 【分析】根据抛物线定义求出点A的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标的绝对值，即为点到轴的距离. 【详解】对于抛物线，由标准形式得，即，其准线方程为，焦点. 设点的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点到轴的距离为. 22．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知坐标平面内一动点P到定点的距离等于到定直线的距离． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设O为坐标原点，过点的直线m交E于A，B两点，求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)设，分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得，     此时， 所以，是直角三角形； 第二种：直线不垂直于轴， 设直线，联立得， ， 由韦达定理得， ， 即， 因为， 所以，所以为直角三角形． 【分析】（1）利用抛物线的定义，将动点到定点与定直线距离相等的关系直接转化为抛物线的轨迹方程. （2）分类讨论直线的斜率，通过联立直线与抛物线方程并借助韦达定理得到向量数量积为零，以此证明即可. 【详解】（1）由抛物线定义可知，点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 设的方程为：，则，即， 所以动点的轨迹的方程为. （2）略 23．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【详解】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 24．（26-27高二上·全国·课堂例题）某公园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心处达到最高，最高高度为.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，求这个装饰物的高度. 【答案】 【详解】以圆形水池的圆心为原点，一条直径所在直线为轴，垂直于水面建立平面直角坐标系，如图所示， 依题意，水柱高度与之间的函数关系式可设为： 或， 由，可得；由，可得， 于是，所求函数解析式为 或， 当时，，所以装饰物的高度为. 25．（26-27高二上·全国·课堂例题）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 1．（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程、抛物线定义的理解、利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】依次代入参数和并化简方程：A选项中直接得到两条垂直于轴的直线；B选项中平方后得到圆的标准方程；C选项中移项平方并分区间讨论得到两段不连续的抛物线弧，并非完整抛物线；D选项中移项后由非负性推出矛盾，无实数解. 【详解】平面上，点到直线的距离为， 到点的距离为， 轨迹方程：. A.当，方程为，即，解得或， 轨迹是两条直线和，A选项正确； B.当，方程为，即， 平方得，轨迹是圆心，半径的圆，B选项正确， C.当，方程为， 令，，则， 且， 由，得： 展开化简得： 分两种情况： 当时，，， 即，且由， 又由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧； 当时，，， 即，且由， 由得，即，结合，得定义域：， 这是抛物线的一段弧； 轨迹由两段不同的抛物线弧组成，不是完整的抛物线，C选项错误； D.当 方程为， 即， 要求，即或， 若，则，方程为， 平方得，化简得， 当时，，无实数解， 若，则，方程为， 平方得，化简得， 当时，，无实数解， 因此轨迹不存在，D选项正确. 故选：C 2.（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 3．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 【答案】 【详解】抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得， 则，当且仅当是线段的延长线与抛物线的交点时取等号， 直线，由且，得，即点， 所以的最大值为，此时点P的坐标为. 4．（2026·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于给定的曲线和定点，设为上任意一点，是曲线在点处的切线，是过点且与垂直的直线．作线段的垂直平分线，若与相交，记交点为，当在上运动时，称点的轨迹为曲线关于点的“中垂法截线”，下列选项正确的有（    ） A．若为直线，为直线外一点，则中垂法截线是一条抛物线 B．若为圆，为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C．若为圆，为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D．若为抛物线，为的焦点，则中垂法截线不是一个圆 【答案】ACD 【难度】0.52 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、抛物线定义的理解 【分析】利用根据抛物线，椭圆，双曲线，圆的定义判断. 【详解】因为点在线段的中垂线上，所以， A选项，就是， ， 由可知轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故A正确； B选项，由，得， 若与不重合，则点的轨迹为椭圆；若与重合，则点轨迹是圆，故B错误； C选项，由得 ，则轨迹是以、为焦点的双曲线，故C正确； D选项，由抛物线的对称性可知，会存在无数多组关于抛物线的对称轴对称的点， 显然不可能是圆，故D正确. 5．（25-26高二上·吉林延边·期末）（多选）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角形三边关系可以判断A、C，根据抛物线的定义可以判断B，根据可以判断D. 【详解】A：根据题意可知的坐标为，因为，，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立， 而的方程为：，联立，得出，此时，故A正确； B：设在准线上的射影为，因为，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立，此时，，故B正确； C：因，则，当且仅当共线且顺次排列时等号成立，故C错误； D：由，所以成立，故D正确. 故选：ABD. 6．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系，设抛物线的方程为，灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标，灯口圆半径该点的纵坐标，从而得到是抛物线上的点，将该点代入抛物线方程得解； （2）保持光源与顶点距离不变，即不变，新灯口边缘点为 ，代入，解出的值，从而得到所求. 【详解】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. （2）保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $