2.7.2 抛物线的几何性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦抛物线的几何性质这一核心知识点，系统梳理范围、对称性、顶点、焦点、准线等性质，通过表格对比四种标准方程的几何特征，搭建从定义理解到性质应用的学习支架，涵盖由性质求方程、焦点弦问题及综合应用等内容。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过表格对比培养学生几何直观（数学眼光），题型探究结合思维建模提升推理能力（数学思维），基础训练与课时检测辅助课中教学实施和课后查漏补缺，助力学生形成用数学语言表达问题的习惯，体现学科特色教学方法。

2.7.2　抛物线的几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.了解并掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点等).能利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程. 2.拓展抛物线的几何性质,灵活应用抛物线定义解决一些简单的应用问题. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x=- x= y=- y= 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e=1 通径长 2p |微|点|助|解| (1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平. (2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)抛物线x2=2py(p>0)有一条对称轴为y轴. (　　) (2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心. (　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同. (　　) (4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是 (　　) A.(-m,-n) B.(m,-n) C.(-m,n) D.(-n,-m) 解析:选B　由抛物线关于x轴对称易知,点(m,-n)一定在该抛物线上. 3.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为 (　　) A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 解析:选D　∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-=-1,即p=2,∴抛物线的焦点坐标为(0,1). 4.抛物线x=8y2的通径长为 (　　) A.8 B.4 C. D. 解析:选C　抛物线x=8y2,即y2=x,可得2p=,因此通径长为.故选C. 题型(一)　由抛物线的性质求其标准方程 [例1]　抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 解:椭圆的方程可化为+=1,其短轴在x轴上,∴抛物线的对称轴为x轴, ∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3, ∴p=6, ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 其准线方程分别为x=-3和x=3. |思|维|建|模| 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1. 　　[针对训练] 1.(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程; (2)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程. 解:(1)因为顶点在原点,焦点在y轴上,点M(m,-3)位于第三或第四象限,故可确定所求抛物线的开口向下. 设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为F. 因为M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5, 故解得 故m=±2,抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2. (2)由题意,可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则焦点为F,直线l:x=,所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为,,所以|AB|=2|a|.因为△OAB的面积为4,所以··2|a|=4,所以a=±2.故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x. 题型(二)　抛物线中的焦点弦问题 1.抛物线的焦点弦公式 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 焦点弦 x1+x2+p p-x1-x2 y1+y2+p p-y1-y2 2.当焦点弦垂直于对称轴时,其长度为2p,为最短焦点弦长,称为通径. 3.有关抛物线的焦点弦的结论 如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l. (1)x1x2=,y1y2=-p2; (2)以弦AB为直径的圆与准线相切; (3)|AB|=x1+x2+p=2==2p(α是直线AB的倾斜角,α≠0°); (4)+=为定值(F是抛物线的焦点). [例2]　设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.求l的方程. 解题观摩:法一:利用|AB|=x1+x2+p求解 由题意,得F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1)(k>0). A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=x1+x2+2=. 由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1. 因此直线l的方程为y=x-1. 法二:弦长公式的应用　由题意得F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1)(k>0). A(x1,y1),B(x2,y2),则得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=16k2+16>0. |AB|=·=,由=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此直线l的方程为y=x-1. 法三:利用|AB|=求解　设直线l的倾斜角为α,则焦点弦|AB|===8,解得sin2α=,即sin α=.因为斜率k>0,所以k=tan α=1.而抛物线焦点为F(1,0),故直线l的方程为x-y-1=0. 法四:利用|AB|=2p求解　由焦点弦的性质得|AB|=2p=4×=8.所以k2=1.又k>1,所以k=1,故直线l的方程为x-y-1=0. |思|维|建|模| 解决与焦点弦有关问题的注意点 (1)解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)在求解焦点弦长时,有多种公式可以运用,在选择、填空题的求解中可以灵活选择,从而实现快速求解. 　　[针对训练] 2.已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若·=-12,则抛物线C的方程为 (　　) A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x 解析:选C　设抛物线的方程为y2=2px(p>0),直线AB的方程为x=my+,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,得·=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12,得p=4(舍负),即抛物线C的方程为y2=8x. 3.过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|等于 (　　) A.9或6 B.6或3 C.9 D.3 解析:选D　法一　设点A为第一象限内的点,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,y1>0,则由题意可得F(2,0),|AF|=x1+2=6,则x1=4,由=8x1,得y1=4,所以kAB==2,直线AB的方程为y=2(x-2),将直线AB的方程代入y2=8x化简得x2-5x+4=0,所以x2=1,所以|BF|=x2+2=3. 法二　由抛物线焦点弦的性质可得,+=,所以=-=,可得|BF|=3. 题型(三)　抛物线几何性质的简单应用 [例3]　已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点. (1)过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A,B两点,△AOB的面积为2.求抛物线C的标准方程; (2)抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,求△MON的边长. 解:(1)由抛物线方程知F,AB为抛物线的通径,则|AB|=2p,∴S△AOB=|OF|·|AB|=××2p=p2=2,解得p=2(舍负), ∴抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)∵△MON为正三角形,∴|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴, 设MN:x=t,则y2=2pt,解得y1=,y2=-,∴|MN|=2,∴tan 30°===,解得t=6p, ∴|MN|=4p,即△MON的边长为4p. |思|维|建|模| 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点:解决焦点弦问题. 　　[针对训练] 4.F为抛物线C:y2=12x的焦点,直线x=1与抛物线交于A,B两点,则∠AFB为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　抛物线C:y2=12x中x=1时可得y=±2,且F(3,0),则A(1,2),B(1,-2),取H(1,0)(如图),∴tan∠AFH===,∴∠AFH=60°,由对称性可知∠AFB=120°. 5.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点P(2,2p),O为坐标原点,则满足|MP|=|MO|=|MF|的点M的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　将点P的坐标代入抛物线中得(2p)2=2p×2,解得p=1,则P(2,2),所以OP的斜率为1,且OP的中点为(1,1),则OP的垂直平分线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0,又OF的垂直平分线方程为x=,又|MP|=|MO|=|MF|,则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点,所以点M的坐标为. [课时检测] 1.对于抛物线y=4x2,下列描述正确的是 (　　) A.开口向上,焦点为(0,1) B.开口向上,焦点为 C.开口向右,焦点为(1,0) D.开口向右,焦点为 解析:选B　由抛物线y=4x2,得抛物线标准方程为x2=y,2p=,故焦点在y轴上,开口向上,焦点坐标为. 2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 (　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 解析:选CD　设抛物线方程为x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0),2p=8,p=4.∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y. 3.已知抛物线C:y=的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,且|AF|=2y0,则x0等于 (　　) A.2 B.±4 C.-4 D.4 解析:选B　∵抛物线C:y=,∴x2=8y,∴焦点F(0,2),准线方程为y=-2.∵A(x0,y0)是C上一点,且|AF|=2y0,由抛物线的定义,得y0+2=2y0,∴y0=2,∴=16,∴x0=±4. 4.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标为 (　　) A.(2,±2) B.(1,±2) C.(1,2) D.(2,2) 解析:选B　由题意知,F(1,0). 设A(x,y),则y2=4x　①, 又=(x,y),=(1-x,-y), 所以·=x-x2-y2=-4　②. 由①②解得x=1,y=±2,故A点坐标为(1,±2). 5.设倾斜角为α的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴下方.若=2,则cos α的值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　过A,B分别作准线的垂线交准线于M,N,过B作BD⊥AM于D,则|AD|=|AM|-|BN|,由抛物线的性质可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|,因为=2,所以|AB|=3|BF|,所以=====cos∠DAB,即cos α=. 6.(多选)设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上两点,O是坐标原点,若OA⊥OB,下列结论正确的为 (　　) A.y1y2为定值 B.直线AB过抛物线y2=4x的焦点 C.S△AOB的最小值为16 D.O到直线AB距离的最大值为4 解析:选ACD　对于A,∵OA⊥OB,∴kOAkOB=·=·==-1,∴y1y2=-16,故A正确;对于B,设直线AB:x=my+b,代入y2=4x,得y2-4my-4b=0,∴y1y2=-4b=-16,即b=4,∴直线AB过点(4,0),而抛物线y2=4x的焦点为(1,0),故B错误;对于C,∵|y1-y2|==≥8,当m=0时,等号成立,又直线AB过点(4,0),所以(S△AOB)min=×4×8=16,故C正确;对于D,∵直线AB过点(4,0),∴O到直线AB距离的最大值为4,故D正确.故选ACD. 7.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧.若|AC|=2|AF|,则|BF|等于 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选C　抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程l:x=-1,设准线l与x轴交于点H,不妨设点A在第四象限,过A和B分别作AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E,如图,由抛物线的定义可知|AF|=|AD|,|BF|=|BE|,又|AC|=2|AF|,所以|AC|=2|AD|, 则∠ACD=.所以直线AB的倾斜角为,因为|HF|=p=2,==,所以|AF|=|AD|=.在Rt△CEB中,∠ECB=,设|BE|=|BF|=x,则2|BE|=|BC|,即2x=++x,解得x=4,所以|BF|=4. 8.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0),直线x=m与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1+y2=　　　　.  解析:因为抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,x=m与x轴垂直,故y1=-y2,即y1+y2=0. 答案:0 9.(5分)抛物线的顶点和椭圆+=1的中心重合,抛物线的焦点和椭圆+=1的右焦点重合,则抛物线的方程为　　　　　 .  解析:依题意知,椭圆的右焦点F2(4,0),设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则=4,∴p=8, ∴抛物线的方程为y2=16x. 答案:y2=16x 10.(5分)已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,则抛物线的方程为　　　　　　　　.  解析:设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),与圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),由对称性,知x1=x2,y2=-y1,则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2y1=2,所以y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x1=±1,所以点(1,)在抛物线y2=2px上,点(-1,)在抛物线y2=-2px上,可得p=. 于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x. 答案:y2=3x或y2=-3x 11.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为　　　　.  解析:由y2=4x知焦点F(,0),准线x=-.设P点坐标为(x0,y0),则x0+=4,∴x0=3,∴=4 ×3 =24,∴|y0|=2,∴S△POF=××2=2. 答案:2 12.(5分)若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,则此抛物线的标准方程为　　　　　　　.  解析:设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0), A(x0,y0),由题知M. 因为|AF|=3,所以y0+=3. 因为|AM|=,所以+=17, 所以=8,代入方程=2py0,得8=2p·, 解得p=2或p=4. 故所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. 答案:x2=4y或x2=8y 13.(10分)已知点P(2,0),点Q在曲线C:y2=2x上. (1)若点Q在第一象限内,且|PQ|=2,求点Q的坐标;(5分) (2)求|PQ|的最小值.(5分) 解:(1)设Q(x,y)(x>0,y>0),则y2=2x, 由已知条件得|PQ|==2.将y2=2x代入上式,并变形得x2-2x=0,解得x=0(舍去)或x=2.当x=2时,y=±2,只有x=2,y=2满足条件,所以Q(2,2). (2)设Q(x,y),则|PQ|=,其中y2=2x,所以|PQ|2=(x-2)2+2x=x2-2x+4=(x-1)2+3(x≥0).所以当x=1时,|PQ|min=. 14.(15分)已知抛物线y2=2x. (1)设点A的坐标为,求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|;(6分) (2)在抛物线上求一点M,使M到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.(9分) 解:(1)设抛物线上任一点P(x,y),则|PA|2=+y2=+2x=+,因为x≥0,且在此区间上函数单调递增,所以当x=0时,|PA|min=,故距点A最近的点P的坐标为(0,0). (2)设点M(x0,y0)是y2=2x上任一点, 则M到直线x-y+3=0的距离为d===,当y0=1时,dmin==,所以点M的坐标为. 15.(15分)如图,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3. (1)求抛物线E的方程;(6分) (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为∠AGB的平分线.(9分) 解:(1)由抛物线定义可得|AF|=2+=3,解得p=2.∴抛物线E的方程为y2=4x. (2)证明:∵点A(2,m)在抛物线E上,∴m2=4×2,解得m=±2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0),得直线AF的方程为y=2(x-1),由 得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,∴B. 又G(-1,0),∴kGA=,kGB=-, ∴kGA+kGB=0,∴∠AGF=∠BGF. ∴GF为∠AGB的平分线. 学科网（北京）股份有限公司 $