2.7.1 抛物线的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦抛物线的定义、标准方程及应用这一核心知识点，先通过拉链实验引入定义（平面内到定点F与定直线l距离相等的点的轨迹，F不在l上），再系统梳理四种标准方程形式（y²=±2px，x²=±2py，p>0），构建从定义到方程再到实际应用的学习支架，承接椭圆、双曲线等圆锥曲线知识，为后续几何性质学习奠基。 该资料亮点突出，以拉链实验（直观想象）和“问题链”引导数学抽象，题型涵盖定义应用（如距离转化求最值）、实际问题（拱桥、太阳灶建模）培养数学建模能力。课中实验与互动问题提升教学效果，课后练习题及规律方法总结助力学生巩固知识，查漏补缺，有效落实核心素养。

2.7　抛物线及其方程 2.7.1　抛物线的标准方程 课标 要求 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程（直观想象）. 　　 如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线. 【问题】　（1）这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？ （2）抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　抛物线的定义 　设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离　相等　的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的　焦点　，定直线l称为抛物线的　准线　. 提醒：定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 【想一想】 　在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 提示：当F∈l时，点的轨迹是一条直线. 知识点二　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px　（p＞0） （，0） x＝－ y2＝－2px　（p＞0） （－，0） x＝ 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 x2＝2py　（p＞0） （0，） y＝－ x2＝－2py　（p＞0） （0，－） y＝ 提醒：四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向. 【想一想】 抛物线标准方程中的p有什么几何意义？ 提示：p是焦点到准线的距离. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）抛物线的方程都是二次函数.（　×　） （2）抛物线的焦点到准线的距离是p（p＞0）.（　√　） （3）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.（　×　） （4）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.（　√　） 2.抛物线y＝8x2的准线方程是（　　） A.y＝－2　　　　　　 B.x＝－1 C.y＝－　 D.x＝－ 解析：C　由y＝8x2可得x2＝y，所以2p＝，可得p＝，所以抛物线y＝8x2的准线方程是y＝－.故选C. 3.抛物线y2＝16x上点P的横坐标为4，则点P到抛物线焦点F的距离｜PF｜＝（　　） A.12　 B.10 C.8　 D.6 解析：C　因为2p＝16，所以p＝8，所以｜PF｜＝4＋＝4＋4＝8.故选C. 4.焦点为F（－1，0）的抛物线的标准方程为　y2＝－4x　. 解析：由题意，设抛物线的标准方程为y2＝－2px，则－＝－1，可得p＝2.因此，抛物线的标准方程为y2＝－4x. 　　 题型一　抛物线的标准方程 （链接教科书第160页例1）求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点M（－6，6）； （2）焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上. 解：（1）由于点M（－6，6）在第二象限， ∴过M的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px（p＞0）， 将点M（－6，6）代入，可得36＝－2p×（－6）， ∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2＝2py（p＞0）， 将点M（－6，6）代入，可得36＝2p×6， ∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. （2）①∵直线l与x轴的交点为（2，0）， ∴抛物线的焦点是F（2，0），∴＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程是y2＝8x. ②∵直线l与y轴的交点为（0，－3）， 即抛物线的焦点是F（0，－3）， ∴＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y. 规律方法 求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 提醒：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay（a≠0）的形式，以简化讨论过程. 1.若某抛物线过点（－1，3），且关于x轴对称，则该抛物线的标准方程为（　　） A.y2＝－9x　　　　　　 B.x2＝y C.y2＝－9x或x2＝y　 D.y2＝±9x 解析：A　依题意设抛物线解析式为y2＝－2px，把（－1，3）代入得9＝2p，解得p＝，所以抛物线标准方程为y2＝－9x，故选A. 2.已知抛物线y＝x2，其准线方程为（　　） A.x＝－　 B.x＝ C.y＝　 D.y＝－ 解析：D　因为抛物线y＝x2，故其标准方程为x2＝2y，则其准线方程为y＝－.故选D. 3.若抛物线y2＝2px（p≠0）的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则实数p＝　4　. 解析：因为椭圆＋＝1，所以a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，故c＝2，所以右焦点为（2，0），所以＝2，p＝4. 题型二　抛物线定义的应用 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，点P，点（0，2）和抛物线的焦点F（，0）三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝＝. 【母题探究】 1.（变设问）若将本例中的点（0，2）改为点A（3，2），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值. 解：将x＝3代入y2＝2x， 得y＝±.所以点A在抛物线内部.设点P为其上一点，点P到准线（设为l）x＝－的距离为d，则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d. 由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是.即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是. 2.（变设问）若将本例中的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q，作PA1垂直于直线l1于点A1， ｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥， 即A1、P、F三点共线时最小， 所以｜A1F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1.即所求最小值为1. 规律方法 抛物线定义的两种应用 （1）实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 1.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点是F，点M（x0，2）在抛物线C上，若｜MF｜＝4，则x0＝（　　） A.±4　 B.±2 C.±8　 D.±2 解析：A　∵｜MF｜＝4，∴｜MF｜＝＋yM＝＋2＝4，得p＝4，∴抛物线C的方程为x2＝8y，再将点M（x0，2）的坐标代入x2＝8y，得x0＝±4. 2.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，P是C上的一动点，A（4，2），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为（　　） A.5　 B.6 C.7　 D.8 解析：B　设P到C的准线x＝－2的距离为d，则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d≥4－（－2）＝6，所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值为6. 题型三　抛物线的实际应用 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解：以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系（图略）.设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），由题意可知，点B（4，－5）在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA'，则A（2，yA），由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝｜yA｜＋0.75＝2（m）.所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航. 规律方法 求解抛物线实际应用题的步骤 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋一头焊接在镜口圆边沿，另一头焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米. 解：如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径. 由已知，得A点坐标是（2，6）， 设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）， 则36＝2p×2，p＝9. 所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x， 焦点坐标是F（，0）.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长. ｜AF｜＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米. 1.若抛物线y2＝16x上的点M到焦点的距离为12，则它到y轴的距离是（　　） A.6　　　　　　　　　 B.8 C.9　 D.10 解析：B　抛物线y2＝16x的焦点F（4，0），准线为x＝－4，由M到焦点的距离为12，可知M到准线的距离也为12，故点M到y轴的距离是8.故选B. 2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上一点（－2，m）到焦点距离为4，那么抛物线的方程是（　　） A.y2＝8x　 B.y2＝－8x C.y2＝4x　 D.y2＝－4x 解析：B　因为抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且点（－2，m）在抛物线上，所以设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0），因为点（－2，m）到焦点距离为4，所以－（－2）＝4，解得p＝4，所以抛物线方程为y2＝－8x，故选B. 3.已知点P是抛物线y2＝－4x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　） A.3　 B. C.　 D. 解析：C　如图所示，由抛物线的定义得｜PN｜＝｜PF｜，所以｜PN｜＋｜PM｜＝｜PF｜＋｜PM｜，由图象知，当P，F，M三点共线时，｜PN｜＋｜PM｜最小，（｜PN｜＋｜PM｜）min＝｜FM｜＝＝.故选C. 4.如图是抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽为　2　m. 解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系（图略）.设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则点（2，－2）在抛物线上，代入可得p＝1，抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 m. 　　 1.抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为（　　） A.x2＝16y　　　　　 B.x2＝8y C.y2＝16x　 D.y2＝8x 解析：C　抛物线的准线为x＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线.设方程为y2＝2px（p＞0），则＝4，p＝8，抛物线方程为y2＝16x.故选C. 2.已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，点M在C上，且｜MF｜＝6，则点M到y轴的距离为（　　） A.6　 B.5 C.4　 D.4 解析：D　由题意及抛物线定义，点M到C的准线x＝－2的距离为6，所以点M到y轴的距离为6－2＝4.故选D. 3.在x轴的上方的动点M到定点（0，1）的距离比到x轴的距离多1，则动点M的轨迹的标准方程为（　　） A.x2＝2y　 B.y2＝2x C.x2＝4y　 D.y2＝4x 解析：C　因为动点M（x，y）到定点（0，1）的距离比到x轴的距离多1，所以动点M（x，y）到定点（0，1）的距离与到直线y＝－1的距离相等.根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线，并且其焦点为（0，1），准线为y＝－1，所以其抛物线的方程为x2＝4y.故选C. 4.已知抛物线y＝x2上的点P到焦点F的距离为4，则△OPF的面积为（　　） A.2　 B.4 C.8　 D.16 解析：B　由y＝ x2，可得x2＝8y，焦点F（0，2），因为点P到焦点F的距离为4，故P点的纵坐标为2，可知P点的坐标为（－4，2）或（4，2），所以S△OPF＝×2×4＝4.故选B. 5.〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px过点A（1，2），F为C的焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，则（　　） A.C的准线方程为x＝－2 B.△AFO的面积为1 C.存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2 D.存在点P，使得△POF为等边三角形 解析：BC　由题意抛物线C：y2＝2px过点A（1，2），可得p＝2，所以抛物线方程为C：y2＝4x，所以准线方程为x＝－1，A错误；易知S△AFO＝×1×2＝1，B正确；当P（1，2）时，点P到C的焦点的距离为2，C正确；△POF为等边三角形，可知P的横坐标为，当x＝时，纵坐标为±，则×＝≠，则△POF为等腰三角形，不是等边三角形，D错误. 6.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　　. 解析：抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－，由于点M到焦点的距离为1，所以点M到准线的距离也为1，所以点M的纵坐标为1－ ＝. 7.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝　　. 解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝. 8.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若｜PF｜＝4，则△POF的面积为　　. 解析：由y2＝4x可得抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为点M，根据抛物线的定义可知｜PM｜＝｜PF｜＝4，设P（x，y），则x－（－1）＝4，解得x＝3，将x＝3代入y2＝4x，可得y＝±2，所以△POF的面积为｜y｜·｜OF｜＝×2×1＝. 9.已知A，B是抛物线y2＝4x上的动点，且满足｜AB｜＝10，则AB中点M的横坐标x0的最小值为　4　. 解析：设抛物线y2＝4x的准线为l，焦点为F，则l：x＝－1，过点A作AA1⊥l于A1，过点B作BB1⊥l于B1，连接FA，FB（图略），则2（x0＋1）＝｜AA1｜＋｜BB1｜＝｜FA｜＋｜FB｜≥｜AB｜＝10，得x0＋1≥5，解得x0≥4，所以x0的最小值为4. 10.求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，准线方程为y＝4； （2）顶点在原点，且过点（－3，2）； （3）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5. 解：（1）由题意可知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝4，p＝8， 故抛物线的标准方程为x2＝－16y. （2）由题意知抛物线的焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0）或y2＝－2p'x（p'＞0），分别将（－3，2）代入，则9＝4p，4＝6p'，解得p＝，p'＝，故抛物线的标准方程为x2＝y或y2＝－x. （3）由抛物线的焦点在x轴上，且点A（3，m）在抛物线上， 得抛物线的焦点在x轴正半轴上， 则设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），焦点为（，0），准线方程为x＝－，又因为抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5， 根据抛物线的定义，得3－（－）＝5，p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x. 11.设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　） A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16x 解析：C　抛物线的焦点F，设M（x，y），根据抛物线的定义可知｜MF｜＝x＋＝5，所以x＝5－.圆心是MF的中点，根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为＝，圆的半径为，所以该圆与y轴相切于点（0，2），所以圆心纵坐标为2，则M点的纵坐标为4，即M，代入抛物线方程得42＝2p·，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C. 12.〔多选〕设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　） A.抛物线的准线方程是x＝－1 B.焦点到准线的距离为4 C.若A（2，1），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为3 D.以线段PF为直径的圆与y轴相切 解析：ACD　抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确；焦点到准线距离为p＝2，故B错误；当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为（2，2），此点位于点A（2，1）的上面，故A在抛物线内部，当直线PA垂直准线时｜PA｜＋｜PF｜取最小值，即为xA＋＝3，故C正确；根据题意，可得抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），设P（m，n），PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝（1＋m），过P作PQ垂直准线于点Q，由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，则x1＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确﹒ 13.〔一题多解〕已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　x＝－　. 解析：法一（通解）　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－. 法二（优解）　由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x＝－. 14.如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电. （1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； （2）问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 解：（1）如图所示，以过点B且垂直于l（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B（0，2），A（2，4）. 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线.设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. （2）要使架设电路所用电线长度最短，即｜MA｜＋｜MB｜的值最小. 如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜，所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M. 故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $