5.3二次函数的应用第3课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.3 二次函数的应用 第3课时 学 习 目 标 1.应用二次函数解决实际问题中的最值问题；(重点) 2.应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点) 知识回顾 1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化为顶点式为 ； 它的对称轴为 ， 顶点坐标公式为 . 2.利润问题中的数量关系： 直线 ( （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 情境引入 前面我们应用二次函数解决了面积的最值问题，能不能也应用二次函数解决最大利润问题呢？本节课我们将继续探究. 服装厂生产某品牌的短袖上衣，成本是每件20元.根据市场调查，以单价26元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示批发单价每降0.5元，愿意多购进500件．为了获得最大利润，该服装厂应将批发单价定为多少？ 新知探究 【分析】若设该服装厂将批发单价定为x元，获得的利润是y元，请完成下面的填空题：(1)每件T恤衫的利润可以表示为 . (2)经销量可以表示为 . (3)厂家获利可以表示为 . (4)y与x的关系可以表示为 . (x-20)元 件 （x-20）元 y=（x-20） 服装厂生产某品牌的短袖上一，成本是每件20元．根据市场调查，以单价26元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示批发单价每降0.5元，愿意多购进500件．为了获得最大利润，该服装厂应将批发单价定为多少？ 探究：应用二次函数解决最大利润问题 新知探究 解：设该服装厂将批发单价定为x元，获得的利润是y元. 由题意得 y=（x-20） 1000(x-20)(31-x) =-1000(x-25.5)2+30250. ∵a=-1000＜0， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为直线x=25.5， 又∵20＜x≤26， ∴当x=25.5时，y最大=30250. ∴设该服装厂将批发单价定为25.5元时可获得最大利润. 新知探究 例：某旅馆有客房120间，当每间客房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，每间客房的日租金增加10元，每天客房出租数就会减少6间。如果不考虑其他因素，那么该旅馆将每间客房的日租金增加到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 【分析1】如果设每间客房的日租金增加10x元，那么提价后每间房的日租金为 元，提价后所租出去的房间数为 间. (160＋10x) (120－6x) 【分析2】如果设每间客房的日租金增加到x元，租出去的房间数为 间. 新知探究 解法一：设每间客房的日租金增加10x元，客房日租金的总收入为y元，则每天客房出租数减少6x间， y=(160+10x)(120-6x)=－60(x－2)2+19440. ∵x≥0，且120－6x＞0， ∴0≤x＜20. ∵a=-60＜0, ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为直线x=2, ∴当x=2时，y有最大值，且y最大=19440. 这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元). ∴每间客房的日租金增加到180元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为19440元. 新知探究 解法二：设每间客房的日租金增加到x元，客房的日租金总收入为y元，则每天客房出租数减少(×6)间. 则y＝x＝－0.6(x－180)2＋19440. ∵x≥160，且＞0， ∴160≤x＜360. ∵a=-0.6＜0, ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为直线x=180, ∴当x=180时，y有最大值，且y最大=19440. ∴每间客房的日租金增加到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元. 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到橙子总产量y(单位：个)与增种橙子树的数量x(单位：棵)之间的关系式: y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000. (1)在图中画出这个函数的图象，并描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。 新知探究 x 0 5 6 10 14 15 20 y 60 000 60 375 60 420 60 500 60 420 60 375 60 000 解:(1)列表、描点、连线，如图所示。 由图象知，当0≤x＜10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加；当x=10时，橙子的总产量最大； 当10＜x＜120时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少. (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上? 新知探究 (2)令y＝60400，即-5(x-10)2+60500=60400， 解得x1=10-2，x2=10+2, ∴结合图象可得，当10-2＜x＜10+2时，y＞60400, 数形结合 又∵x为正整数， ∴增种6棵，7棵，8棵，9棵，10棵，11棵，12棵，13棵，14棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400以上. 新知探究 求解最大利润问题的一般步骤： 知识归纳 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 新知探究 1.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30-x)件，要使利润最大，每件的售价应为( ) A.24元 B.25元 C.28元 D.30元 B 典例分析 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 例 7 x y 5 16 O 解：(1)将(5,0)、(7,16)分别代入y=ax2+bx-75， 得 解得 ∴y=-x2+20x-75， ∵a=-1<0，对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元； 典例分析 7 x y 5 16 O （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ (2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 巩固练习 1.某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是( ) A.y=(10+x)(100-10x) B.y=(1+x)(100-10x)-9 C.y=(10+x-9)(100-10x) D.y=(10+x)(100-10x)-9×100 C 2.某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为( )元. A．200 B．220 C．240 D．260 D 巩固练习 4.某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为　       　 元． 3.某商店销售某种商品所获得的利润y(元)与所卖的件数x(件)之间的关系满足：y=-x²+100x-2000，则当0<x≤45时的最大利润为( )    A. 250元        B. 475元        C. 500元        D. 2000元 2210 B 巩固练习 5.某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．若设有x个房间空闲，则宾馆利润为y元．请你写出y与x的函数关系式____________________． y=(160+10x)(50-x) 6.某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”，为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率y与加工时间x(单位:分钟)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为 分钟. 3.75 巩固练习 7.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式. (2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意，得y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27 500，即y＝－5x2＋800x－27 500(50≤x≤100)． (2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4 500. ∵ a＝－5＜0， ∴ 抛物线开口向下． ∵ 50≤x≤100，对称轴是直线x＝80， ∴ 当x＝80时，y最大＝4 500. ∴当销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元. 8.某商家销售一种糕点，每盒进价为40元.在销售过程中发现，周销量y(盒)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： (1)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ 巩固练习 销售单价（元） … 60  65   70 … 周销量（盒） …  240 210  180  … 解:(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b， 当x=60时，y=240，当x=65时，y=210， 可得：， 解得：, ∴y关于x的函数表达式为y=−6x+600； 设销售利润为W元， 由题意可得：W=(x−40)(−6x+600)， 整理得：W=−6x2+840x−24000 =−6(x−70)2+5400， ∵−6<0，∴W有最大值， ∴当x=70时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元. 巩固练习 （2）解：由(1)可知每周出售这种糕点所获利润W=−6(x−70)2+5400， 又∵50≤x≤70， ∴当x=50时，所获利润最小为W=−(650−70)2+5400=3000元； 当x=70时，所获利润最大为W=−(670−70)2+5400=5400元， ∴销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得3000元的利润． (2)若规定销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得多少利润． 课堂小结 二次函数的应用-第3课时 建立函数关系式 确定自变量的取值范围 确定最大利润 总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本. 涨价:要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 作业布置 1.必做题：习题5.3第6,7题。 2.探究性作业：习题5.3第8题。 感谢聆听! $