内容正文：
5.4二次函数与一元二次方
程
第（课时）
北师大版
素养目标
1,经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函
数之间的联系；
2.理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个
数之间的关系.
复习导入
一元二次方程ax2+bx+c-0根的判别式是什
金子尔4c叫作方程ax2+bx+c-0(a-0)根的判别式，
通常用希腊字母△
耒示
(1)当△>0时，方程ax2+bx+c-0(a≠0)有两个不相等的实数
根.
(2)当△=0时，方程ax2+bx+c-0(a≠0)有两个相等的实数
根
(3)当△<0时，方程ax2+bx+c-0(a≠0)无实数根
探究新知
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间(s)的关系可以近
似地用公式h=-5P+v,什h,表示，其中h,(m)是抛出时的高度，v。(m/s)是
抛出时的速度.一个小球从地面被以40/s的速度竖直向上抛起，小球
距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图
h/m
精八0外特000
12345678ts
探究新知
【问题1】h与t的关系式是什么？
将点(0,0)，(8,0)代入
h/m
h=-5t+v1什h
羽题2小球经过多少秒后落地？
你有几种求解方法？与同伴进行交流
①由图象可知8秒后小球落地
别0列形特03010
②将h=0代入二次函数h=-5P+401,
012345678ts
解得0或仁8，
所以，小球经过8s落地
探究新知
二次函数y=x2+2x,yx2-2x+1,yx2-2x+2的图象如图
所示.
-3
1
2
23
(1)
(2)
(3)
探究新知
二次函数y=x2+2x的图象与x
一元二次方程x2+2x=0有几个
轴有几个交点？
根？
解：x2+2x-0
3
x(x+2)=0
2
两个交点
x=0或x+2=0
两个根
x1=0,x2=-2
探究新知
二次函数y=x2-2x+1的图
一元二次方程x2-2x+1=0有几个
象与x轴有几个交点？
根？
解：x2
5
2x+1=0
(x-1)2=0
x-1=0
个交点
x两人相同的根
2
探究新知
二次函数y=x2-2x+2的图
一元二次方程x2-2x+2=0有
象与x轴有几个交点？
几个根？
解：.∵△=b2-4ac
=(-2)2-4×1×2
=-4<0
没有交点
·原方程无实数根
没有实数根
探究新知
抛物线与x轴
相应的一元二次方程的
交点横坐标
交点个数
根
v=x2+2x
2
-2,
x2+2x=0,x=-2,
y=x2-2x+1
个
01
x2卫x+1=0,x,=x2=1
y=x2-2x+2
个
无
x2-2x+2-0无解
个
通过上述探究，你能总结出二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点
的坐标和一元二次方程ax2+bx+c-0的根有什么关系？
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方
程ax2+bx+c=0根
二次函数y=ax2+bx+c
一元二次方程ax2+bx+c0的
的图象与x轴交点个数
根
△=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
△=b2.4ac>0
有一个交点
有两个相等的实数根
△=b2.4ac=0
没有交点
没有实数根
△=b2-4ac<0
探究新知
何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道
努析】已知h=-5+401,把h=60代入即可求出时
间解：由-5P+4060,
h/m
h=-5t2+40i
解得1=2，t26.
即当小球经过2s和6s时小球离地面
【总结】一般地，当y取定值h且
精0价外特1010
a≠0时，二次函数y=ax2+bx+c可以看
0'
12345678ts
作是一元二次方程ax2+bx+c=h,
练习1已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点(-5,0)，(3,0)，则关于
x的方程ar2+bx+c=0的根是(A)
A.x=-5,x2=3
B.x=0,x2=-5
C.x=5,x2=-3
D.x=0,x2=3
解析：：二次函数y=a2+bxr+c(a≠0)的图像经过点(-5,0)，(3,0)，
∴.关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x=-5,x2=3.
故选：A,
练习2抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(-1,0),点B(3,0),则关
于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是(A)
A.x=-1,x2=3B.x=1,x2=-3
C.x=1
D.x=-3
解析：.当y=0时，抛物线y=ax2+bx+c对应的方程为ax2+bx+c=0,
∴.方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标
∴.点A(-1,0)和点B(3,0)的横坐标分别为-1和3，
∴.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x=-1,x2=3,故选A.
练习3如图，已知二次函数y=x2+bx+c顶点的纵坐标为3，则关于x的方
程ax2+bx+c-3=0的根的情况是(A)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个不相等的负根
D.有两个不相等的正根
3
解析：.'二次函数y=x2+bx+c顶点的纵坐标为3，
∴.二次函数y=ax2+bx+c的图像与直线y=3只有1个交点，
∴.方程ax2+bx+c-3=0有两个相等的实数根.故选：A
练习4如图，若y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示，则关于x的方程
ax2+bx+c=0的另一个解为(D)
A.1
B.0
C.-0.5
D.-1
解析：·根据图像知，抛物线与x轴的一个交点是(3,0)，且对称轴为x=1,
∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为(-1,0)，
.令y=0,即ax2+bx+c=0,
∴.方程ax2+bx+c=0的解是x=-1,x2=3,
即方程的另一解为-1故选：D
练习5若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为x=-1,x2=3,那
么抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线(C)
A.x=-1
B.x=0
C.x=1
D.x=2
解析：.抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为方程
x2+bx+c=0的两个根，
抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点坐标为：(-1,0)，(3,0)，
∴抛物线y=+:+c的对称轴为直线x=3=1,故选：C
2
练习6小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若
实心球运动的抛物线的解折式为y=号x-3)+,其中y是实心球飞行的高
度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即OA的长度）是(B)
A.8m
B.7m
C.6m
D.5m
解标：令y=0,则)x-3+6-0,
Ay/m
解得：x=7,2=-1(舍去)故选B
A
x/m
练习7根据方程2x2-6x=3的根的情况可以知道二次函数y=2x2-6x-3与x轴
有两个交点
解析：将方程化为标准形式：2x2-6x-3=0,
.a=2,b=6,c=-3,
∴.△=b2-4ac=(6)}2-4×2×(-3)=36+24=60>0
故方程有两个不相等的实数根，'.二次函数与x轴有2个交点
故答案为：两，
小结
二次函数与一元二次
方程的关系
二次函数与一元
二次方程
二次函数与一元二次
方程根的情况
谢谢同学们的聆听