第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 伯努利试验与n重伯努利试验 知识点2 二项分布 知识点3 两点分布 知识点4 超几何分布 知识点5 正态分布 题型破译 (含超链接） 题型1 两点分布 题型2 n次独立重复试验 题型3 二项分布 【方法技巧】二项模型套用技巧 题型4 二项分布的最大概率问题 【方法技巧】最值邻差比较法 题型5 超几何分布 【方法技巧】不放回抽样识别法 题型6 二项分布与超几何分布的综合应用 题型7 正态密度函数与对应曲线 题型8 正态分布的对称性 【方法技巧】对称转化换元法 题型9 正态分布的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 二项分布 —— 全国二卷T19（17分） —— 正态分布 —— —— 全国I卷T9（6分） 考情分析 本节仍是2027年高考的热点内容，选择填空、解答题均有可能出现。核心考查方向为随机变量的分布列、数学期望与方差的求解。解题时先要准确识别概率模型，区分两点分布、二项分布、超几何分布；无固定模型的一般分布，需要合理拆分复杂事件，借助概率公式计算取值对应的概率。正态分布多以小题形式考查正态曲线性质与原则。期望、方差的计算依托分布列，因此准确求解分布列是本节解题的关键。 复习目标 （1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，识别对应模型，能结合实际情境求解分布列、期望与方差。 （2）认识正态曲线，理解正态分布含义，掌握原则，会完成相关简单计算与应用。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 伯努利试验与n重伯努利试验 伯努利试验：只包含两个可能结果的试验． 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验，称为n重伯努利试验． 独立重复试验的三个条件： ①每次试验在同样条件下进行； ②各次试验相互独立； ③每次试验只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 知识点2 二项分布 在n重伯努利试验中，设每次试验事件A发生的概率为p，X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)，p称为成功概率． 注意：两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1时的二项分布． 本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中事件发生的概率相同． 二项分布的期望与方差：若X～B(n，p)，则 自主检测 1．甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为与，设甲投4球恰好投进3球的概率为，乙投3球恰好投进2球的概率为，则与的大小关系为_________． 【答案】 【详解】根据题意，甲投4球恰好投进3球的概率为， 乙投3球恰好投进2球的概率为， 由于，所以. 2．某企业的生产设备控制系统由3个相同元件组成，每个元件正常工作的概率均为，且各元件之间相互独立．记正常工作的元件个数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】分布列为： 0 1 2 3 ． 【详解】这是3重伯努利试验，．因此，，1，2，3． 逐项得，，，． 分布列为： 0 1 2 3 数学期望为． 知识点3 两点分布 若随机变量X服从两点分布（参数为p），其分布列为： X 0 1 P 1−p p 其中0≤p≤1，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，p称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1； （2）两点分布又称0-1分布、伯努利分布． 两点分布的均值与方差：若X服从参数为p的两点分布，则 自主检测 3．若随机变量X服从两点分布，且，则________． 【答案】 【详解】设，则， 由题意得，解得. 知识点4 超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件（不放回），其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为：，其中k=0，1，2，…，min{M，n}，且n≤N，M≤N，M，N，n均为正整数．称随机变量X服从超几何分布． 本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中事件发生的概率不相同． 自主检测 4．现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款．现随机选购5个，令为选中隐藏款的个数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】题意中总共有8个盲盒，其中3个隐藏款、5个普通款，从中任选5个，选中的隐藏款个数服从超几何分布, 由可知，分子含义是从3个隐藏款里选2个，同时从5个普通款里选3个的组合数， 恰好对应“选购5个盲盒时，选中的隐藏款恰好为2个”的概率，也就是. 知识点5 正态分布 （一）正态曲线 函数φ(x)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，呈钟形，即中间高、两边低．其中μ是样本均值，σ是样本标准差． （二）正态曲线的性质 （1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，关于直线x=μ对称； （3）曲线在x=μ处达到峰值； （4）曲线与x轴之间的面积为1； （5）当σ一定时，曲线位置由μ确定，曲线随着μ的变化沿x轴平移； （6）当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越小，曲线越“高瘦”，分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，分布越分散． （三）正态分布定义 若随机变量X满足P等于对应区间上正态曲线与x轴所围平面图形的面积，则称X服从正态分布，记作X～N(μ，σ²)．正态分布完全由参数μ，σ确定：μ反映随机变量取值的平均水平（用样本均值估计），σ衡量总体波动大小（用样本标准差估计）． （四）3σ原则 若X～N(μ，σ²)，则正态变量在三个特殊区间的概率为： ①；； . 由3σ原则可知，正态变量几乎总取值于区间（μ−3σ，μ+3σ）内，在此区间以外取值的概率只有约0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即小概率事件． 自主检测 5．随机变量，若，则（     ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 【答案】C 【详解】因为，， 所以，， 所以． 题●型●破●译 题型1 两点分布 【例1】（2026·黑龙江伊春·二模）已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以， 又，所以，解得， 所以. 【例2】（2025·海南三亚·二模）已知随机变量，均服从两点分布，且．写出随机变量的分布列． 【答案】 【详解】由于随机变量，服从两点分布，所以它们的取值都只有， 所以随机变量的取值也只有，． ， 因此． 所以随机变量的分布列为 【变式1-1】（2025·黑龙江黑河·一模）（多选）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：两点分布所有概率和为，因此，A正确； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 【变式1-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知随机变量，均服从两点分布，与相互独立，且．若，则__________，的期望为__________． 【答案】 0.21 1 【详解】两点分布中仅取或，当且仅当且， 已知，，故， 又相互独立，因此： ； 根据期望的线性性质：， 对于两点分布，，， 因此： . 【变式1-3】（2026·河北廊坊·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． (1)求的分布列； (2)记，证明服从两点分布，并求的分布列． 【答案】(1)的分布列如下： 0 1 2 (2)证明过程见解析，的分布列如下： 0 1 【分析】 【详解】（1）的可能取值为： ，，， 分布列如下： 0 1 2 （2）记，则的可能取值为： ，, , 因为的取值只有和两种可能，所以服从两点分布, 分布列如下： 0 1 题型2 n次独立重复试验 【例3】（2025·湖南张家界·二模）甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________． 【答案】 【详解】由题意，若比赛四局，则甲赢的概率为； 若比赛五局，甲第五局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛六局，甲第六局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛七局，甲第七局赢，可得甲赢的概率为， 所以甲赢的概率为， 所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为. 【例4】（2025·山东菏泽·模拟预测）为推动国产大飞机C919自主化进程，科研团队对两种自研航空连接件开展耐久性冲击测试．已知每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为，每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为．现对4件型连接件进行抽检，直至出现通过测试的零件即停止，记测试次数为；对3件型连接件全部进行测试，记顺利通过测试的件数为．若各次测试相互独立并定义事件““，事件“”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，， ． 随机变量， ，，. ， 所以． 【变式2-1】（2025·四川广安·二模）小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他投篮命中的次数为，则的期望是________；在已知他至少命中1次的条件下，他恰好命中1次的概率为________． 【答案】 1.2 【详解】由题意，服从二项分布，即， 所以， 设事件“恰好命中1次”， 事件“至少命中1次”， 则， ， ， 所以. 【变式2-2】（2026·广东潮州·模拟预测）甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是，各场比赛互不影响，则甲同学最终获胜的概率为__________． 【答案】 【详解】甲同学最终获胜分以下三种情况： （1）甲以的比分获胜，即甲连胜2场，概率为； （2）甲以的比分获胜，即前2场1胜1负，第3,4场连胜，概率为； （3）甲以的比分获胜，即前2场比分，前4场比分，第5场获胜，概率为. 所以甲同学最终获胜的概率为. 【变式2-3】（2025·广西贺州·一模）一箱内装有10件产品，其中有2件次品，现从中有放回地随机抽取6个产品进行检验，每次抽取1个. (1)前2次都抽到正品且第3次抽到次品的概率是多少？ (2)若随机变量为6次抽取中次品出现的次数，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设第次抽到次品为事件，由题意知，， 前2次都抽到正品且第3次抽到次品的事件为，因为是有放回地随机抽取产品进行检验， 所以每次抽取相互独立，所以. （2）由题意知， 所以. 题型3 二项分布 【例5】（2026·四川绵阳·二模）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司研发了一款面向工业质检的AI图像识别设备．为确保产品质量，公司对生产的设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立．已知每台设备的检测结果为优质品的概率为，为合格品的概率为，现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测． (1)求至少2台是优质品的概率； (2)若每台优质品设备可获利5万元，每台合格品设备可获利3万元，记随机抽取的3台设备共可获利万元，求的分布列、数学期望以及方差． 【答案】(1) (2) 9 11 13 15 ，． 【分析】 【详解】（1）记为优质品数目，则的所有可能取值为0，1，2，3， 则，，，    所以． （2）由（1），合格品有台，依题意，， 则的所有可能取值为9，11，13，15，     则，， ，，     所以的分布列为： 9 11 13 15 由得，， 所以数学期望， 方差．    【例6】（2025·四川攀枝花·模拟预测）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲､乙两种抗“H病毒”的药物，现已进入药物临床试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种药物，2人试用乙种药物.经试验，服用甲､乙两种药物痊愈的概率分别为，如果试用组中乙种药物的治愈人数超过甲种药物，那么称该组为“乙类组”. (1)求一个试用组为“乙类组”的概率； (2)当取最大值时，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“乙类组”的个数，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列为 0 1 2 3 【分析】 【详解】（1）设表示事件“一个试用组中，服用乙种药物治愈的有人”， 可得表示事件“一个试用组中，服用甲种药物治愈的有人”，. 由题意得， . 故一个试用组为“乙类组”的概率为. （2）由题意得在区间上单调递增，当取最大值时，， 此时一个试用组为“乙类组”的概率. 得到 可得的分布列为 0 1 2 3 由期望公式得 方法技巧 二项模型套用技巧 先识别，确认是有放回、独立重复试验。利用公式计算对应概率，直接用、求数字特征。计算组合数细心，看清问题问概率、期望还是方差，不要和超几何分布公式混用，做完检验所有概率总和为1。 【变式3-1】（2026·四川南充·一模）某校开展体育达标测试，已知男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2． (1)随机抽取一名学生，求该学生跳远达标的概率； (2)连续抽取5名男生，记达标人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 数学期望为 【分析】 【详解】（1）因为男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2， 所以随机抽取一名学生，该学生跳远达标的概率为； （2）由题意可知：， 则有， 因为， ，， ，， ， 所以的分布列如下： 的数学期望为. 【变式3-2】（2025·安徽黄山·三模）某校引入学情诊断系统做学情测评，待检测样本为200名学生，其中拔尖生50人，待提升学生150人.对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别待提升学生的概率为. (1)从这200名学生中随机抽选4人，求抽到的4人均是拔尖生的概率； (2)现从200名学生中每次随机抽取1人进行测评，测评后放回人群，共抽6次，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 5 6 【分析】 【详解】（1）设“抽到的4人均是拔尖生”为事件， . （2）设事件为“随机抽取一名学生，AI识别判断正确”， 事件为“随机抽取的学生为拔尖生”， 事件为“抽取的学生为待提升学生”. 则， 因此，可取. 所以，， ，， ，， ， 于是随机变量的分布列如下， 0 1 2 3 4 5 6 数学期望. 【变式3-3】（2025·湖南娄底·三模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将出现的点数分别记为、． (1)设向量，，求的概率； (2)现对上述试验重复进行3次（每次试验为先后抛掷骰子两次），每次试验的结果相互独立．将每次试验中事件“”发生记作一次“成功”．记X为3次试验中“成功”的次数． （i）求X的分布列； （ii）求X的数学期望和方差． 【答案】(1) (2)（i） X 0 1 2 3 P （ii）， 【分析】 【详解】（1）设事件 A 表示“”， 由 ，知 a＝b ，此时事件 A 有 6 种情况 而所有事件的总数为36，所以 （2）X的可能取值为0，1，2，3 由题知； 则， ， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P ，. 题型4 二项分布的最大概率问题 【例7】（2025·广西南宁·模拟预测）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 【答案】800 【详解】设患者治愈人数为，则，则， 所以当， 即：，解得：， 即时，， 当时，解得：，此时， 综上，时，取得最大值. 【例8】（2025·广东韶关·一模）大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． (1)求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； (2)在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)0.75 (2)当或时，的值最大 【分析】 【详解】（1）设事件A为“小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意”， 事件B为“小丁同学当天中午去乙餐厅就餐”，则为“小丁同学当天中午去甲餐厅就餐”． 由题意得，，， ． 根据全概率公式 . （2）由题意可知， 则（，1，2，…，）, 因此, 要使最大，需满足, 即, 化简第一个不等式,,,, 化简第二个不等式,,,, 因为且，所以或． 所以当或时，的值最大． 方法技巧 最值邻差比较法 设最大，列出不等式组，代入二项分布概率公式化简求解k。算出k若不是整数，就近取整；整数则该点就是最大概率点。也可借助单调性判断，注意区分最可能发生次数和期望np，二者并不一定相等。 【变式4-1】（2025·山东滨州·一模）不透明的甲、乙两个袋子中装有若干个球，其中甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从甲、乙两个袋子中各随机抽取一个球，记下两个球的颜色，并放回原袋中，视为一次抽奖，且规定一次抽奖抽取的2个球中至少有一个黑球即为中奖，现随机抽奖（）次，记中奖次数为，已知概率最大，则（）的值为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 【答案】D 【详解】中奖的对立事件为从甲、乙两袋均抽取白球，甲袋取白球概率为，乙袋取白球概率为， 因此单次中奖概率， 抽奖次的中奖次数服从二项分布， 概率公式为， 若最大，则满足： ， 对第一个不等式化简： ， 对第二个不等式化简： ， 结合且，得. 【变式4-2】（2025·黑龙江绥化·一模）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数的分布列和数学期望； (2)已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)分布列为 0 1 2 数学期望为； (2) 【分析】 【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，则的取值为0，1，2， ，即两次抽奖均未中奖，两次抽到的均是1个红球，1个白球， 则， ，第一次抽到两个红球或两个白球，第二次抽到一个红球，一个白球 或第一次抽到一个红球，一个白球，第二次抽到两个红球或两个白球， 则， ，第一次抽到2个红球，第二次也抽到2个红球，此时概率为， 第一次抽到2个红球，第二次抽到2个白球，此时概率为， 第一次抽到2个白球，第二次也抽到2个白球，此时概率为， 第一次抽到2个白球，第二次抽到2个红球，此时概率为， 故， 则的分布列为 0 1 2 所以； （2）设300位顾客中奖2次的人数，， 令， 所以 得，又，故. 【变式4-3】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某机构比较两种人工智能大模型答题可靠性，从某知识领域随机选取题目测试，得到列联表： 人工智能大模型 回答正确 回答错误 合计 65 15 80 91 9 100 合计 156 24 180 (1)依据的独立性检验，能否认为模型选择与回答情况有关？ (2)将频率视为概率，用模型随机回答该领域道题，恰有2道答错的概率为，求取得最大值时的． 【答案】(1)可以认为有关 (2) 【分析】 【详解】（1）解：零假设：模型选择与回答情况无关． ． 因为， 所以，依据的独立性检验，推断不成立，可以认为模型选择与回答情况有关． （2）解：由题知，模型答错概率为，答对概率为． 所以，用模型随机回答该领域道题，恰有2道答错的概率为． 当时， 令，解得，令，解得 所以，当时，；当时，则； 所以，， 所以，当时，取得最大值． 题型5 超几何分布 【例9】（2026·河北沧州·二模）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有本图书，分为两类：本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这本图书中不放回地随机抽取本，逐本开展测试. (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的本图书中，有效馆藏图书的数量为，求的分布列. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记第一次抽取到有效馆藏图书为事件，第二次抽取到有效馆藏图书为事件， 则，， 所以， 所以第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为； （2）随机变量的所有取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 【例10】（2025·河北保定·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 A B C D E F G 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”．求条件概率的值； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 数学期望 【详解】（1）事件：研发投入不超过万元，对应企业，，，，，共5家， 在里面，专利产出数超过8件的只有企业，即有1家， 条件概率公式：. （2）专利产出数大于6件：，，，，共4家； 专利产出数不大于6件：，，，共3家， 随机抽取3家，表示其中专利产出大于6件的企业数，的可能取值：0，1，2，3，服从超几何分布，，，， ，， ， ， ， ， 分布列： X 0 1 2 3 P 超几何期望公式：. 方法技巧 不放回抽样识别法 看到不放回抽样、分批抽取优先考虑超几何分布。确定参数N总体容量、M总体中符合条件个体数、抽取数量n，用公式。看清k的取值范围，。牢记不放回无独立性，不能直接套用二项分布的期望方差公式。 【变式5-1】（2025·甘肃陇南·一模）某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器.在这8件文物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物.现从这8件文物中随机选取3件进行巡回展览． (1)求选出的3件文物都是汉代文物的概率； (2)设随机变量X为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 【分析】 【详解】（1）从8件文物中任选3件，有种方法． 选出的3件文物都是汉代文物，有种方法. 故所求的概率； （2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，． 所以X的分布列为 0 1 2 3 数学期望， 【变式5-2】（2026·辽宁盘锦·三模）某位老师要从第1课至第10课的10篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，若学生至少能背诵出2篇，则视为背诵合格．已知小明同学只会背诵第1课至第3课的3篇课文． (1)设在小明同学抽到的3篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列； (2)小明同学背诵合格的概率； (3)在“小明同学至少抽到1篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率． 【答案】(1)分布列为： 0 1 2 3 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）抽到小明能背诵的课文数量为随机变量，则服从超几何分布，可能取值为. 从10篇中抽3篇，小明能背诵出篇，则概率为. 所以，， ，， 因此分布列为： 0 1 2 3 （2）小明能及格的概率. （3）设事件：小明至少1篇会背诵，事件：小明能及格， 由条件概率公式. 事件至少会1篇且可以及格，故，， 因此. 【变式5-3】（2026·宁夏中卫·模拟预测）2026年3月1日开始，我国（可入肺颗粒物）执行过渡阶段浓度限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~60微克/立方米之间（包括35，60）空气质量为二级． 某地区8月份中两个星期的日均监测数据（单位：微克/立方米）如下： 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 28 92 95 63 75 74 53 33 34 37 68 31 45 44 (1)从这两个星期的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有两天空气质量达到一级的概率； (2)从这两个星期的数据中任取三天数据，记表示抽到空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望； (3)记这两个星期样本的方差为，将这两个星期样本数据去掉一个最大值和一个最小值，记去掉最值后天数据的样本方差为，判断，的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列如下所示： ． (3) 【分析】 【详解】（1）依题意得个数据中，日均值小于35的有个，大于等于的有个， 故恰有两天空气质量达到一级的概率为． （2）依题意得随机变量的可能取值为，，，， 则，， ，， 所以的分布列如下所示： 故． （3） 理由如下：方差反映数据的波动大小，原样本包含最大值和最小值，数据波动较大； 去掉最大值和最小值后，剩余数据的波动减小，离散程度降低，因此方差减小． 题型6 二项分布与超几何分布的综合应用 【例11】（2025·广东珠海·一模）袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个． (1)若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差； (2)若每次取出的小球不放回， （i）记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值； （ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望． 【答案】(1)，，，，． (2)（i）；（ii） 【分析】 【详解】（1）由题意得，的取值集合是， ，， ，， ． （2）（i）由题意得， 所以， 令，解得， 将，，，代入可得， 将，，代入可得， 综上，取最大值时，． （ii）的取值集合是， 则，可得， ， 故． 【例12】（2026·广东中山·二模）为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 【答案】(1) (2)分布列 Y 0 1 2 3 4 ， 【详解】（1）设为取出的不合格零件个数，事件：取出的4个零件中至少有一个不合格；事件：取出的4个零件中恰好有2个不合格． 所以． 因此． 故在已知取出的4个零件至少有一个不合格的条件下，恰好有2个不合格的概率为． （2）由题意，每件产品合格的概率，不合格的概率为，抽取个数，且各零件质量相互独立， 因此服从二项分布． 的可能取值为， 故的分布列为 Y 0 1 2 3 4 期望， 方差． 【变式6-1】（2025·广东茂名·三模）（多选）现采用有放回与不放回两种取球方式，从装有12个不同小球（6个红球，6个黑球）的盒中逐次抽取5个小球．记有放回的取球方式取得黑球的个数为X，不放回的取球方式取得黑球的个数为Y，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当时，最大 D．两种取球方式第三次取到黑球的概率均为 【答案】AD 【详解】由题意，得采用有放回的取球方式，取得黑球的个数； 采用不放回的取球方式，取得黑球的个数Y服从超几何分布． ∴ ， ，故A正确，B错误． ∵ ， ∴当或时，最大，故C错误． 采用有放回的方式取球，每次取到黑球的概率均为． 采用不放回的方式取球，第三次取到黑球的情况有红红黑、红黑黑、黑红黑、黑黑黑，4种． 其中“红红黑”的概率为，“红黑黑”的概率为， “黑红黑”的概率为，“黑黑黑”的概率为， ∴第三次取到黑球的概率为， ∴两种取球方式第三次取到黑球的概率均为，故D正确． 【变式6-2】（2025·广东深圳·二模）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的． (1)求小明可以背诵2首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 【答案】(1) (2) 分布列为： 期望，方差 (3) 选小明同学代表班级参加总决赛更合适 【详解】（1）由题意，从6首古诗中抽取3首，小明可背诵其中4首，设小明可背诵的古诗数量为，则服从超几何分布，其中，，. ∵ 要求小明可以背诵2首古诗，即， ∴ 所求概率. （2）由题意，随机变量的所有可能取值为. ∵ ， ， ， ∴ 的分布列为： ∴ 期望， 方差. （3）设小华能背诵的古诗数量为，由题意，小华每首古诗能背诵的概率均为，且各首背诵情况相互独立，故. ∴ ，. ∵ ，，说明两人平均背诵数量相同，但小明发挥更稳定， ∴ 选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 【变式6-3】（2025·广东湛江·模拟预测）为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动：限定日累计消费满200元的顾客可以参加一次抽奖活动；已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球的消费者可获得代金券120元，恰好取到两个红色球的消费者可获得代金券80元，恰好取到一个红色球的消费者可获得代金券40元.取到红色球的个数记为X，参与活动的每位消费者获得代金券的金额记为Y元． (1)若取球过程是无放回的，求” ”时的概率； (2)若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望 【答案】(1) (2)X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ， 【分析】 【详解】（1）取到红色球的个数记为X，获得一、二、三等奖分别对应于、、 根据超几何分布可知： （2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3；且， ，，1，2，3 X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以 因为，所以. 题型7 正态密度函数与对应曲线 【例13】（2025·甘肃庆阳·三模）（多选）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为随机变量，， 所以，故A错误，BC正确； 因为，所以，故D错误. 故选：BC 【例14】（2025·吉林松原·模拟预测）（多选）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【答案】AB 【详解】对于A，因为的正态分布曲线高而廋，的正态分布曲线矮而胖，故， 由两条曲线的对称轴的位置可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A可得，故，C错误； 对于D，对于任意的正数t，由图象可知： 表示的面积始终小于表示的面积， 则恒有，D错误. 故选：AB 【变式7-1】（2025·山东青岛·三模）（多选）已知随机变量满足，其中，,则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】由随机变量满足， 对于A中，由正态分布曲线的性质，可得， 若，可得，所以A正确； 对于B中，由正态分布曲线的性质，可得， 当时，和的大小关系不能确定，所以B错误； 对于C中，由正态分布曲线的性质，可得， 若，可得，所以C正确； 对于D中，由，可得，且， 根据方差的性质，可得随机变量的的分布更集中，随机变量的分布离散， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 【变式7-2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 【变式7-3】（2025·辽宁铁岭·二模）（多选）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，且，根据正态分布的对称性， ，A正确； 对于B：的对称轴是，的对称轴是， 所以的对称轴在的右边，B错误； 对于C：因为，且， 又， 所以，解得，C正确； 对于D：因为正态分布密度曲线的最高点为， 所以的最高点为，的最高点为， 因为，所以的最高点在的最高点的上方，D正确； 故选：ACD. 题型8 正态分布的对称性 【例15】（2025·贵州铜仁·模拟预测）自动驾驶激光传感器采集测距数据，测量值与真实值的偏差满足：，经过大量测试，得到，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由知，故选D． 【例16】（2025·广西崇左·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】6 【详解】因为，又，所以，所以和关于对称轴对称，所以. 方法技巧 对称转化换元法 利用正态曲线关于x=μ对称：。遇到超出3σ已知区间的概率，通过对称性转化为已知区间概率再运算。做题优先把区间平移，转化到以μ为中心的形式，避免硬算密度函数。注意不等号方向，这个结论高频使用。 【变式8-1】（2026·山东潍坊·一模）已知随机变量，若，，则实数________． 【答案】 【详解】已知随机变量，其正态密度曲线关于直线对称， 且为连续型随机变量，所以，即， 根据对立事件概率公式可得：，因为， 所以，又因为， 所以，根据正态分布的对称性可得： ，化简可得：，解得. 【变式8-2】（2026·安徽淮北·二模）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正态分布的密度曲线关于对称轴对称，本题中，即对称轴为. 已知，说明和关于对称轴对称， 因此满足，即，且由题设知. 用“1”的代换与基本不等式： 当且仅当，即时取等号. 因此最小值为. 【变式8-3】（2026·山东烟台·一模）已知，若，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．4 【答案】D 【详解】因为，且，所以，即, 所以，解得,当且仅当时取等号， 所以的最大值为4. 题型9 正态分布的实际应用 【例17】（2025·江苏无锡·模拟预测）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要1分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（   ） 参考数据：若，则，， A．若8:00出门，则开私家车不会迟到 B．若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若8:06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 【答案】D 【详解】对于A，因为， 所以江先生有可能迟到，只不过该事件发生的概率较小，故A错误； 对于B，若出门，则 ①江先生开私家车不迟到的概率为， 且， ②江先生乘坐地铁不迟到的概率为， 且， 所以江先生开私家车不会迟到的可能性更大，故B错误； 对于C，若8:06出门，则 ①江先生开私家车不迟到的概率为，且， ②江先生乘坐地铁不会迟到的概率为，且， 所以江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误； 对于D，若8:12出门，江先生乘坐地铁上班不迟到的概率为，且， 所以江先生乘坐地铁不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确． 【例18】（2025·广东江门·三模）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表： 质量指标值 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？ (2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率； (3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似服从正态分布，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？ 【答案】(1)不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定； (2) (3)15.6． 【分析】 【详解】（1）根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为． 由于该估计值小于0.5， 故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定； （2）由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125． 故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件， 再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种． ①一等品2件，二等品1件，三等品1件． ②一等品1件，二等品2件，三等品1件． ； （3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为： ． “质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足， 即质量指标的均值约为216． 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6． 【变式9-1】（2025·广西柳州·二模）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量超过的脐橙个数约为（     ） 附：若，则， ，． A．130 B．273 C．1631 D．1804 【答案】B 【详解】由，可知均值，方差，因此标准差， 目标质量210g恰好等于， 所以， 即单果质量在之间的概率约为0.9545. 根据正态分布的对称性，总概率为1， 可得超出区间的概率为， 因此右侧（质量>210g）的概率为：， 所以单果质量超过210g的个数约为：. 【变式9-2】（2026·浙江湖州·二模）某快递店每天的快递量（单位：个），记表示100天内快递量介于470至560的天数，则的值约为（    ） （附：若随机变量，则） A．68 B．82 C．84 D．95 【答案】B 【详解】由，可得均值，标准差. 区间 可化为 . 根据3σ准则的常用近似值. 由对称性， 所以. 100天中符合条件的天数服从二项分布，其中. 则期望，因此100天内约有天满足条件. 因此的值约为82. 【变式9-3】（2025·黑龙江双鸭山·二模）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高二年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从同一正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据：， 参考公式：若，有，，． 【答案】(1)1587名； (2)， 【分析】 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩X近似服从正态分布，由题意可得， 因为，所以， 即，解得， 因为甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， 所以， 即学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）设事件B：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为， 又，故，即成绩在之外等价于， 所以， 所以随机变量Y服从二项分布，即， 所以， Y的数学期望为． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】/． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 4．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 【答案】(1)第一四分位数为 ，中位数为 ； (2)（ⅰ）；（ⅱ），． 【分析】 【详解】（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列. (1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%； (2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%. 【答案】(1)的分布列如下：                                                   (2)的分布列如下：                                                   【分析】 【详解】（1）由题意，可取0，1，2，3， ， ， ， ， （2）可取0，1，2，3， ， ， ， . 所以【点睛】 2．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大. 【答案】 【详解】设恰好有一次未击中目标为事件， . 3．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数. （1）求X的分布列； （2）________，________. 【答案】（1） （2）；. 【分析】 【详解】（1）一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为， 且每次是否正面朝上是相互独立，所以， ， 所以X的分布列为： （2）根据（1）， 所以. 4．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率. （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则. （1）质点回到原点，则， ， 所以质点回到原点的概率是； （2）当质点位于4的位置时，则， ， 所以质点位于4的位置的概率是. 5．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率. 【答案】 【详解】总数有种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的种类数为， 则甲班恰有2名同学被选到的概率为. 6．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率： （1）； （2）； （3）． 【答案】(1)0.6827 (2)0.15865 (3)0.15865. 【详解】由题可得:身高X作为变量符合均值为的正态分布 (1) (2) (3). 7．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率． 【答案】95.45% 【详解】由题意可知，可设误差为，则的，, 故合格率约为95.45%. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 伯努利试验与n重伯努利试验 知识点2 二项分布 知识点3 两点分布 知识点4 超几何分布 知识点5 正态分布 题型破译 (含超链接） 题型1 两点分布 题型2 n次独立重复试验 题型3 二项分布 【方法技巧】二项模型套用技巧 题型4 二项分布的最大概率问题 【方法技巧】最值邻差比较法 题型5 超几何分布 【方法技巧】不放回抽样识别法 题型6 二项分布与超几何分布的综合应用 题型7 正态密度函数与对应曲线 题型8 正态分布的对称性 【方法技巧】对称转化换元法 题型9 正态分布的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 二项分布 —— 全国二卷T19（17分） —— 正态分布 —— —— 全国I卷T9（6分） 考情分析 本节仍是2027年高考的热点内容，选择填空、解答题均有可能出现。核心考查方向为随机变量的分布列、数学期望与方差的求解。解题时先要准确识别概率模型，区分两点分布、二项分布、超几何分布；无固定模型的一般分布，需要合理拆分复杂事件，借助概率公式计算取值对应的概率。正态分布多以小题形式考查正态曲线性质与原则。期望、方差的计算依托分布列，因此准确求解分布列是本节解题的关键。 复习目标 （1）理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，识别对应模型，能结合实际情境求解分布列、期望与方差。 （2）认识正态曲线，理解正态分布含义，掌握原则，会完成相关简单计算与应用。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 伯努利试验与n重伯努利试验 伯努利试验：只包含_______个可能结果的试验． 将一个伯努利试验独立地_______进行n次所组成的随机试验，称为n重伯努利试验． 独立重复试验的三个条件： ①每次试验在_______条件下进行； ②各次试验相互_______； ③每次试验只有_______种结果，即事件要么发生，要么不发生． 知识点2 二项分布 在n重伯努利试验中，设每次试验事件A发生的概率为p，X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： _______ 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作_______，p称为成功概率． 注意：两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1时的二项分布． 本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中事件发生的概率相同． 二项分布的期望与方差：若X～B(n，p)，则______________ 自主检测 1．甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为与，设甲投4球恰好投进3球的概率为，乙投3球恰好投进2球的概率为，则与的大小关系为_________． 2．某企业的生产设备控制系统由3个相同元件组成，每个元件正常工作的概率均为，且各元件之间相互独立．记正常工作的元件个数为X，求X的分布列和数学期望． 知识点3 两点分布 若随机变量X服从两点分布（参数为p），其分布列为： X 0 1 P 1−p p 其中0≤p≤1，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，p称为成功概率． 注意： （1）两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1； （2）两点分布又称0-1分布、伯努利分布． 两点分布的均值与方差：若X服从参数为p的两点分布，则______________ 自主检测 3．若随机变量X服从两点分布，且，则________． 知识点4 超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件（不放回），其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为：_______，其中k=0，1，2，…，min{M，n}，且n≤N，M≤N，M，N，n均为正整数．称随机变量X服从超几何分布． 本质：超几何分布是_______抽样问题，在每次试验中事件发生的概率不相同． 自主检测 4．现有8个潮玩盲盒，其中3个是隐藏款，另外5个是普通款．现随机选购5个，令为选中隐藏款的个数，则（     ） A． B． C． D． 知识点5 正态分布 （一）正态曲线 函数φ(x)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，呈钟形，即中间_______、两边_______．其中μ是样本均值，σ是样本标准差． （二）正态曲线的性质 （1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交； （2）曲线是单峰的，关于直线_______对称； （3）曲线在_______处达到峰值； （4）曲线与x轴之间的面积为_______； （5）当σ一定时，曲线位置由μ确定，曲线随着μ的变化沿x轴_______； （6）当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越小，曲线越“_______”，分布越集中；σ越大，曲线越“_______”，分布越分散． （三）正态分布定义 若随机变量X满足P等于对应区间上正态曲线与x轴所围平面图形的面积，则称X服从正态分布，记作_______．正态分布完全由参数μ，σ确定：μ反映随机变量取值的_______（用样本均值估计），σ衡量总体_______（用样本标准差估计）． （四）3σ原则 若X～N(μ，σ²)，则正态变量在三个特殊区间的概率为： ①；； . 由3σ原则可知，正态变量几乎总取值于区间（μ−3σ，μ+3σ）内，在此区间以外取值的概率只有约0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即_______． 自主检测 5．随机变量，若，则（     ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 题●型●破●译 题型1 两点分布 例1-1（2026·黑龙江伊春·二模）已知离散型随机变量服从两点分布，满足，则（    ） A． B． C． D． 例1-2（2025·海南三亚·二模）已知随机变量，均服从两点分布，且．写出随机变量的分布列． 【变式1-1】（2025·黑龙江黑河·一模）（多选）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知随机变量，均服从两点分布，与相互独立，且．若，则__________，的期望为__________． 【变式1-3】（2026·河北廊坊·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． (1)求的分布列； (2)记，证明服从两点分布，并求的分布列． 题型2 n次独立重复试验 例2-1（2025·湖南张家界·二模）甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________． 例2-2（2025·山东菏泽·模拟预测）为推动国产大飞机C919自主化进程，科研团队对两种自研航空连接件开展耐久性冲击测试．已知每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为，每件型连接件顺利通过冲击耐久测试的概率为．现对4件型连接件进行抽检，直至出现通过测试的零件即停止，记测试次数为；对3件型连接件全部进行测试，记顺利通过测试的件数为．若各次测试相互独立并定义事件““，事件“”，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·四川广安·二模）小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互独立，设他投篮命中的次数为，则的期望是________；在已知他至少命中1次的条件下，他恰好命中1次的概率为________． 【变式2-2】（2026·广东潮州·模拟预测）甲、乙两位同学进行某项体育运动比赛，约定赛制如下：比赛最多打5场，每场胜者得1分，败者不得分，比赛进行到有一人比另外一人多2分或打满五场时比赛终止，分数多者获胜．已知每场比赛中甲同学获胜的概率是，乙同学获胜的概率是，各场比赛互不影响，则甲同学最终获胜的概率为__________． 【变式2-3】（2025·广西贺州·一模）一箱内装有10件产品，其中有2件次品，现从中有放回地随机抽取6个产品进行检验，每次抽取1个. (1)前2次都抽到正品且第3次抽到次品的概率是多少？ (2)若随机变量为6次抽取中次品出现的次数，求. 题型3 二项分布 例3-1（2026·四川绵阳·二模）随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司研发了一款面向工业质检的AI图像识别设备．为确保产品质量，公司对生产的设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立．已知每台设备的检测结果为优质品的概率为，为合格品的概率为，现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测． (1)求至少2台是优质品的概率； (2)若每台优质品设备可获利5万元，每台合格品设备可获利3万元，记随机抽取的3台设备共可获利万元，求的分布列、数学期望以及方差． 例3-2（2025·四川攀枝花·模拟预测）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲､乙两种抗“H病毒”的药物，现已进入药物临床试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种药物，2人试用乙种药物.经试验，服用甲､乙两种药物痊愈的概率分别为，如果试用组中乙种药物的治愈人数超过甲种药物，那么称该组为“乙类组”. (1)求一个试用组为“乙类组”的概率； (2)当取最大值时，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“乙类组”的个数，求的分布列及期望. 方法技巧 二项模型套用技巧 先识别，确认是有放回、独立重复试验。利用公式计算对应概率，直接用、求数字特征。计算组合数细心，看清问题问概率、期望还是方差，不要和超几何分布公式混用，做完检验所有概率总和为1。 【变式3-1】（2026·四川南充·一模）某校开展体育达标测试，已知男生跳远达标率为0.8，女生跳远达标率为0.7，该校男女学生人数比例为3∶2． (1)随机抽取一名学生，求该学生跳远达标的概率； (2)连续抽取5名男生，记达标人数为，求的分布列和数学期望． 【变式3-2】（2025·安徽黄山·三模）某校引入学情诊断系统做学情测评，待检测样本为200名学生，其中拔尖生50人，待提升学生150人.对每位学生进行独立测评：被测学生实际为拔尖生时，精准识别出拔尖生的概率为；被测学生实际为待提升学生时，精准识别待提升学生的概率为. (1)从这200名学生中随机抽选4人，求抽到的4人均是拔尖生的概率； (2)现从200名学生中每次随机抽取1人进行测评，测评后放回人群，共抽6次，用随机变量表示测评中识别判断正确的次数，求随机变量的分布列及数学期望. 【变式3-3】（2025·湖南娄底·三模）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将出现的点数分别记为、． (1)设向量，，求的概率； (2)现对上述试验重复进行3次（每次试验为先后抛掷骰子两次），每次试验的结果相互独立．将每次试验中事件“”发生记作一次“成功”．记X为3次试验中“成功”的次数． （i）求X的分布列； （ii）求X的数学期望和方差． 题型4 二项分布的最大概率问题 例4-1（2025·广西南宁·模拟预测）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈（）人的概率记为，则当取最大值时，的值为________． 例4-2（2025·广东韶关·一模）大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． (1)求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； (2)在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 方法技巧 最值邻差比较法 设最大，列出不等式组，代入二项分布概率公式化简求解k。算出k若不是整数，就近取整；整数则该点就是最大概率点。也可借助单调性判断，注意区分最可能发生次数和期望np，二者并不一定相等。 【变式4-1】（2025·山东滨州·一模）不透明的甲、乙两个袋子中装有若干个球，其中甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从甲、乙两个袋子中各随机抽取一个球，记下两个球的颜色，并放回原袋中，视为一次抽奖，且规定一次抽奖抽取的2个球中至少有一个黑球即为中奖，现随机抽奖（）次，记中奖次数为，已知概率最大，则（）的值为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 【变式4-2】（2025·黑龙江绥化·一模）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数的分布列和数学期望； (2)已知有300位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【变式4-3】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某机构比较两种人工智能大模型答题可靠性，从某知识领域随机选取题目测试，得到列联表： 人工智能大模型 回答正确 回答错误 合计 65 15 80 91 9 100 合计 156 24 180 (1)依据的独立性检验，能否认为模型选择与回答情况有关？ (2)将频率视为概率，用模型随机回答该领域道题，恰有2道答错的概率为，求取得最大值时的． 题型5 超几何分布 例5-1（2026·河北沧州·二模）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有本图书，分为两类：本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书.两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这本图书中不放回地随机抽取本，逐本开展测试. (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的本图书中，有效馆藏图书的数量为，求的分布列. 例5-2（2025·河北保定·模拟预测）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 A B C D E F G 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”．求条件概率的值； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望． 方法技巧 不放回抽样识别法 看到不放回抽样、分批抽取优先考虑超几何分布。确定参数N总体容量、M总体中符合条件个体数、抽取数量n，用公式。看清k的取值范围，。牢记不放回无独立性，不能直接套用二项分布的期望方差公式。 【变式5-1】（2025·甘肃陇南·一模）某博物馆馆藏有8件珍贵文物，其中5件为陶瓷器，3件为青铜器.在这8件文物中，4件为汉代文物，其余4件分别是唐、宋等其他4个互不相同的朝代的文物.现从这8件文物中随机选取3件进行巡回展览． (1)求选出的3件文物都是汉代文物的概率； (2)设随机变量X为选出的3件文物中陶瓷器的件数，求X的分布列和数学期望． 【变式5-2】（2026·辽宁盘锦·三模）某位老师要从第1课至第10课的10篇不同课文中随机抽取3篇让学生背诵，若学生至少能背诵出2篇，则视为背诵合格．已知小明同学只会背诵第1课至第3课的3篇课文． (1)设在小明同学抽到的3篇课文中，他能背诵出篇，求的分布列； (2)小明同学背诵合格的概率； (3)在“小明同学至少抽到1篇会背诵的课文”的条件下，求小明同学背诵合格的概率． 【变式5-3】（2026·宁夏中卫·模拟预测）2026年3月1日开始，我国（可入肺颗粒物）执行过渡阶段浓度限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~60微克/立方米之间（包括35，60）空气质量为二级． 某地区8月份中两个星期的日均监测数据（单位：微克/立方米）如下： 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 28 92 95 63 75 74 53 33 34 37 68 31 45 44 (1)从这两个星期的日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有两天空气质量达到一级的概率； (2)从这两个星期的数据中任取三天数据，记表示抽到空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望； (3)记这两个星期样本的方差为，将这两个星期样本数据去掉一个最大值和一个最小值，记去掉最值后天数据的样本方差为，判断，的大小．（结论不要求证明） 题型6 二项分布与超几何分布的综合应用 例6-1（2025·广东珠海·一模）袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个． (1)若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差； (2)若每次取出的小球不放回， （i）记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值； （ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望． 例6-2（2026·广东中山·二模）为推动制造业高端化、智能化、绿色化发展，某国家重点支持的高端装备制造企业对其核心零部件生产线进行智能化升级改造，全面提升产品质量稳定性和可靠性． (1)升级改造前，该企业从一批库存零件中随机抽取8个进行质量检测，发现其中有3个零件不合格．现从这8个零件中不放回地随机抽取4个，已知取出的4个零件中至少有一个不合格，求恰好有2个不合格的概率； (2)经过智能化升级改造后，生产线的质量稳定性显著提升，单件产品的合格率达到，且各零件是否合格相互独立．为评估改造效果，质检部门从新生产线上随机抽取4个零件进行检测，记为抽到的合格零件个数，求的分布列、期望与方差． 【变式6-1】（2025·广东茂名·三模）（多选）现采用有放回与不放回两种取球方式，从装有12个不同小球（6个红球，6个黑球）的盒中逐次抽取5个小球．记有放回的取球方式取得黑球的个数为X，不放回的取球方式取得黑球的个数为Y，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当时，最大 D．两种取球方式第三次取到黑球的概率均为 【变式6-2】（2025·广东深圳·二模）《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注．为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从6首古诗中随机抽取3首，答对多者获胜，小明可背诵其中4首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的． (1)求小明可以背诵2首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的分布列、期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适？ 【变式6-3】（2025·广东湛江·模拟预测）为回馈广大消费者对商场的支持与关心，商场决定开展抽奖活动：限定日累计消费满200元的顾客可以参加一次抽奖活动；已知一抽奖箱中放有8只除颜色外其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色．现从抽奖箱中一个一个地取出彩球，共取三次，取到三个都是红球的消费者可获得代金券120元，恰好取到两个红色球的消费者可获得代金券80元，恰好取到一个红色球的消费者可获得代金券40元.取到红色球的个数记为X，参与活动的每位消费者获得代金券的金额记为Y元． (1)若取球过程是无放回的，求” ”时的概率； (2)若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望 题型7 正态密度函数与对应曲线 例7-1（2025·甘肃庆阳·三模）（多选）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 例7-2（2025·吉林松原·模拟预测）（多选）已知两种金属元件（分别记为，）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（   ）（参考数据：若，则，） A．， B． C． D．对于任意的正数，恒有 【变式7-1】（2025·山东青岛·三模）（多选）已知随机变量满足，其中，,则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式7-2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·辽宁铁岭·二模）（多选）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 题型8 正态分布的对称性 例8-1（2025·贵州铜仁·模拟预测）自动驾驶激光传感器采集测距数据，测量值与真实值的偏差满足：，经过大量测试，得到，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例8-2（2025·广西崇左·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则______． 方法技巧 对称转化换元法 利用正态曲线关于x=μ对称：。遇到超出3σ已知区间的概率，通过对称性转化为已知区间概率再运算。做题优先把区间平移，转化到以μ为中心的形式，避免硬算密度函数。注意不等号方向，这个结论高频使用。 【变式8-1】（2026·山东潍坊·一模）已知随机变量，若，，则实数________． 【变式8-2】（2026·安徽淮北·二模）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·山东烟台·一模）已知，若，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．4 题型9 正态分布的实际应用 例9-1（2025·江苏无锡·模拟预测）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要1分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（   ） 参考数据：若，则，， A．若8:00出门，则开私家车不会迟到 B．若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若8:06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 例9-2（2025·广东江门·三模）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表： 质量指标值 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？ (2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率； (3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似服从正态分布，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？ 【变式9-1】（2025·广西柳州·二模）某种植园种植的脐橙单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量超过的脐橙个数约为（     ） 附：若，则， ，． A．130 B．273 C．1631 D．1804 【变式9-2】（2026·浙江湖州·二模）某快递店每天的快递量（单位：个），记表示100天内快递量介于470至560的天数，则的值约为（    ） （附：若随机变量，则） A．68 B．82 C．84 D．95 【变式9-3】（2025·黑龙江双鸭山·二模）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高二年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从同一正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据：， 参考公式：若，有，，． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 4．（2026·全国二卷·高考真题）从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列. (1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%； (2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%. 2．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大. 3．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数. （1）求X的分布列； （2）________，________. 4．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率. （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置. 5．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率. 6．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率： （1）； （2）； （3）． 7．袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $