第10单元 08 第66讲 二项分布与超几何分布、正态分布（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦二项分布、超几何分布、正态分布三大核心考点，依据课标要求构建“定义-分布列-数字特征-实际应用”的逻辑体系，通过考点梳理、方法总结、真题训练等环节，帮助学生系统掌握概率模型的应用规律，突破易混概念与计算难点。 讲义特色在于对比辨析二项分布与超几何分布的适用场景，结合正态分布3σ原则培养数学思维与数据观念，设置常识题、常错题分层训练及例题变式拓展，助力学生在有限时间内提升解题效率，为教师把控复习节奏、落实核心素养提供清晰路径。

第66讲　二项分布与超几何分布、正态分布 【课标要求】　1.通过具体实例,理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.通过具体实例,了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 3.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 4.了解正态分布的均值、方差及其含义. 1.n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验,约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. 2.二项分布 (1)一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)= 　　　　　(k=0,1,…,n),因此X的分布列如下表所示:  X 0 1 … k … n P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0 由于表中的第二行中的概率值都是(q+p)n的展开式p0qn+p1qn-1+…+pkqn-k+…+pnq0中对应项的值,因此称X服从参数为n,p的二项分布,记作　　　　　　.  (2)期望与方差 若X~B(n,p),则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.  3.超几何分布 (1)一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=　　　　　　,k=t,t+1,…,s,这里称X服从参数为N,n,M的超几何分布,记作X~H(N,n,M).  特别地,如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表所示. X 0 1 … k … s P … … (2)特点:从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素,X表示其中的特殊元素的个数. 4.正态分布 (1)定义: 一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的　　　　,则称X服从参数为μ与σ的　　　　　　,记作X~N(μ,σ2).  (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的,它关于直线　　　　对称.  ②曲线在　　　　处达到峰值.  ③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. (3)正态分布的均值与方差:若X~N(μ,σ2),则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.  (4)若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈　　　　,P(|X-μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈　　　　,P(|X-μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈　　　　.  常用结论 1.当X~B(n,p)时,P(X=k)的最大值: 若(n+1)p是正整数,则k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时,P(X=k)取得最大值; 若(n+1)p不是正整数,则k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值. 2.若X~H(n,M,N),则E(X)==np,D(X)=. 3.若X~N(μ,σ2),则P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X>μ+a). 题组一　常识题 1.[教材改编] 设随机变量X服从正态分布N(4,3),若P(X<a-5)=P(X>a+1),则实数a=　　　　.  2.[教材改编] 某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,若从该班中任选2名学生,则他们选修不同课程的概率是　　　　.  3.[教材改编] 有8件产品,其中4件是次品,从中有放回地任取3次(每次取1件产品),若X表示取得次品的次数,则P(X≤2)=　　　　.  题组二　常错题 4.[混淆超几何分布和二项分布的概念] 下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的序号是　　　　.  ①将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X; ②某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X; ③从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部,记选出女生的人数为X; ④盒中有4个白球和3个黑球,每次从中随机摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X. 5.[不能正确利用正态曲线的对称性求值] 已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=　　　　.  6.[有放回抽取与不放回抽取区分不清] 袋中装有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球,从中依次摸出2个球.若采取放回简单随机抽样,则摸出的2个球都是白球的概率为　　　　;若采取不放回简单随机抽样,则摸出的2个球都是白球的概率为　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　 　二项分布 例1 (1)假设某厂包装食盐的生产线生产出来的每包食盐的质量(单位:g)服从正态分布N(500,52),该生产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐,则恰有两包食盐的质量不低于500 g的概率为 (　 ) A. B. C. D. (2)[2026·四川崇州期中] 随机变量X~B(4,p),若P(X≥1)=,则D(X)= (　 ) A. B. C. D. (3)[2026·江西南昌二模] 为弘扬中国文化,某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两个阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,至少答对其中2个问题,可进入第二阶段,否则被淘汰.第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,选手甲答对每个问题的概率都是;第二阶段,若选手甲进入高分组,则每个问题答对的概率都是,若选手甲进入低分组,则每个问题答对的概率都是. ①求选手甲第一阶段不被淘汰的概率; ②求选手甲在该次比赛中得分为40的概率; ③已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中的得分为X,求随机变量X的分布列和期望.     总结反思 二项分布满足的条件: ①在每次试验中,事件发生的概率都是相同的(题目中有“将频率视为概率”时,事件发生的概率就是相同的); ②各次试验中的事件是相互独立的; ③每次试验只有两种结果,事件要么发生,要么不发生; ④随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数. 变式题 (1)一个袋子中有完全相同的x个红球,3个白球.若采取不放回的方式从中随机摸出2个球,则摸出的2个球都是红球的概率是.现采取有放回的方式从中依次摸取3次,每次摸出1个球,则恰有两次摸出红球的概率为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (2)[2026·浙江湖州期中] 某学校为了提升学生学习数学的兴趣,举行了“趣味数学”闯关比赛,每轮比赛参赛者从10道题中任意抽取3道回答,每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且各轮是否闯关成功相互独立,问:小明同学在10轮闯关比赛中,几次闯关成功的概率最大?     　超几何分布 例2 (1)[2026·浙江杭州模拟] 一批零件共有10个,其中有3个不合格.随机抽取3个零件进行检测,则恰好有1个不合格的概率是 (　 ) A. B. C. D. (2)某中学组织教职工篮球活动,高一年级有10名教师参加,其中有6名男教师、4名女教师,为了满足活动的需要,要从这10名教师中随机抽取3名教师去买比赛服装. ①已知10名教师中有2名班主任,求抽取的3名教师中至少有1名班主任的概率; ②设X表示抽取的3名教师中女教师的人数,求X的分布列及数学期望.     总结反思 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.特征是: ①考查对象分两类; ②已知各类对象的个数; ③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布,其本质是古典概型. 2.超几何分布与二项分布的关系 共同点:超几何分布与二项分布都是离散型分布,当产品的总数很大时,超几何分布近似于二项分布. 不同点:超几何分布是不放回抽取,二项分布是有放回抽取;超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体的容量,但需要知道“成功率”. 变式题 (1)一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球,从中一次性随机摸出3个球,用X表示这3个球中白球的个数,则下列概率中等于的是 (　 ) A.P(X=1) B.P(X≤1) C.P(X≥1) D.P(X=3) (2)[2026·江苏镇江期末] 某种植园为测试某款化肥的效果,从果园中随机选取了90棵果树作为样本,对其中的30棵进行施肥试验,一年后按照果树的产量情况得到如表所示的列联表. 单位:棵 产量正常 产量超常 总计 未施肥 40 20 60 施肥 10 20 30 总计 50 40 90 ①能否有99.9%的把握认为果树产量超常与施肥有关; ②若从样本中进行施肥的30棵果树中选取3棵,记X为产量超常的果树棵数,求X的概率分布列和期望. 附:χ2=,n=a+b+c+d. α=P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828         　正态分布及正态分布标准化 例3 (1)(多选题)李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,且X~N(μ1,62),Y~N(μ2,22).若X和Y的正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是 (　 ) A.D(X)=6 B.μ1<μ2 C.P(X≤38)<P(Y≤38) D.P(X≤36)=P(Y≤36) (2)(多选题)正态分布是一种重要的概率分布,它是由法国的数学家、天文学家棣莫弗于1733年提出的,但由于德国数学家高斯在天文学研究中独立导出并应用,故正态分布又称为高斯分布,记作X~N(μ,σ2).μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布,如果令Z=,则可以证明Z~N(0,1),即任意的正态分布都可以通过变换转化为标准正态分布.如果Z~N(0,1),那么对任意的a,通常记Φ(a)=P(Z<a),也就是说,Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞,a)内所围的面积.为了解某市高三年级同学数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次模拟考试.研究发现,本次检测的数学成绩X近似服从正态分布N(103,202),则下列说法正确的有 (　 ) 参考数据:可供查询的(部分)标准正态分布N(0,1)对应的概率值. a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 Φ(a) 0.594 8 0.598 7 0.602 6 0.636 8 0.640 6 A.已知Φ(a)=0.7,则P(|Z|<a)=0.6 B.Φ(a)+Φ(-a)=1 C.按以往的统计数据,该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占40%,据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108分(精确到整数) D.已知该市本次模拟考试的考生约有10 000名,某同学此次检测数学成绩为110分,则该同学在全市排名大概位于3630名到3640名之间 (3)[2025·湖南名校联合体模拟] 在一条生产圆钢的生产线上,出产的成品圆钢的长度为X(单位:m),且X~N(2,0.012). ①若出产这样的成品圆钢10 000根,试估计长度在[1.97,2.03]内的圆钢根数; ②从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根,求其中1根的长度在区间[1.98,1.99)内,另1根的长度在区间[2,2.02]内的概率(精确到0.01). 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.     总结反思 解决正态分布问题有三个关键点: (1)均值μ; (2)标准差σ; (3)分布区间. 利用正态密度曲线的对称性可求指定范围内的概率值;根据3σ原则将所求区间转化为特殊区间,从而求出所求概率. 变式题 (1)(多选题)[2024·新课标Ⅰ卷] 随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) (　 ) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 (2)(多选题)[2025·咸阳模拟] 某校期末考试数学试卷满分为150分,分数在区间[90,120)内的为及格,分数在区间[120,135)内的为良好,分数在区间[135,150)内的为优秀,阅卷结果显示,全年级1200名学生的数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布,试卷的难度系数(难度系数=平均分/满分)为0.48,标准差为24,则下列说法正确的有 (　 ) 附:若X~N(μ,σ2),记p(k)=P(μ-kσ≤X≤μ+kσ),则p(0.75)≈0.546 6,p(1)≈0.682 7,p(2)≈0.954 5. A.此次考试的平均分是72分 B.P(48≤X≤72)≈0.68 C.此次考试的及格率为45% D.该次数学考试获得及格的人数大约为245 学科网（北京）股份有限公司 $ 第66讲　二项分布与超几何分布、正态分布 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 2.(1)pkqn-k　X~B(n,p) (2)np　np(1-p) 3.(1) 4.(1)面积　正态分布　(2)①x=μ ②x=μ　(3)μ　σ2 (4)68.3%　95.4%　99.7% 【对点演练】 1.6　[解析] 由随机变量X服从正态分布N(4,3),得μ=4,σ2=3,又P(X<a-5)=P(X>a+1),所以a-5+a+1=8,解得a=6. 2.　[解析] ∵该班有50名学生,∴从该班中任选2名学生共有种不同的选法,∵15人选修A课程,另外35人选修B课程,∴2名学生选修不同课程的选法有种,故从该班中任选2名学生,他们选修不同课程的概率P==. 3.　[解析] 因为是有放回地取产品,所以每次取到次品的概率为=.任取3次,X表示取得次品的次数,则X~B,所以P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=××+××+×=. 4.③　[解析] 将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X,则X服从参数为3,的二项分布,①不满足题意;某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X,则X服从参数为0.8的两点分布,②不满足题意;从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部,记选出女生的人数为X,则X服从参数为10,5,3的超几何分布,③满足题意;盒中有4个白球和3个黑球,每次从中随机摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X,则X不服从超几何分布,④不满足题意.故填③. 5.0.14　[解析] 因为X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14. 6.　　[解析] 若采取放回简单随机抽样,则每次摸出的1个球是白球的概率为,所以摸出的2个球都是白球的概率P1=×=.若采取不放回简单随机抽样,则摸出的2个球都是白球的概率P2=×=. ● 课堂考点探究 例1　(1)A　(2)C　[解析] (1)每包食盐的质量不低于500 g的概率为,随机抽取了四包食盐,则四包食盐中质量不低于500 g的包数服从参数为4,的二项分布,所以恰有两包食盐的质量不低于500 g的概率为××=.故选A. (2)由题意得,P(X≥1)=1-P(X=0),又X~B(4,p),∴P(X=0)=p0(1-p)4-0=(1-p)4,∵P(X≥1)=,∴1-(1-p)4=,即(1-p)4=,又p∈(0,1),∴1-p>0,∴1-p=,解得p=,∴X~B,∴D(X)=4××=.故选C. (3)解:①选手甲第一阶段不被淘汰,即甲回答3个问题,其中有2个或3个答对,其概率P1=+=. ②选手甲在该次比赛中得分为40有两种情况:进入高分组且答对2个问题,进入低分组且答对4个问题.故选手甲在该次比赛中得分为40的概率 P2=+=. ③X的可能取值为0,20,40,60,80, P(X=0)==, P(X=20)==, P(X=40)==,P(X=60)==, P(X=80)==, 所以X的分布列为 X 0 20 40 60 80 P 所以E(X)=0×+20×+40×+60×+80×=20. 变式题　(1)A　[解析] 根据题意,采取不放回的方式从中随机摸出2个球,摸出的2个球都是红球的概率P1===,即3x2-5x-2=0,解得x=2(舍去负根),所以袋中有2个红球,3个白球.采取有放回的方式摸球时,每次摸到红球的概率为,所以3次摸球中,恰有两次摸出红球的概率P2=×=.故选A. (2)解:参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,则小明一轮比赛闯关成功的概率P==, 记小明在10轮闯关比赛中闯关成功的次数为Y,则Y~B, 故P(Y=k)=,k=0,1,…,10. 当0<k<10,k∈N时, 令≥·,且≥, 可得≤k≤,即k=7,所以小明同学在10轮闯关比赛中,7次闯关成功的概率最大. 例2　(1)B　[解析] 从10个零件中抽取3个的样本点总数为,其中恰好有1个不合格包含的样本点个数为×,根据古典概型的概率公式得所求概率P=.故选B. (2)解:①因为10名教师中有2名班主任,所以10名教师中有8名不是班主任, 若抽取的3名教师中没有班主任,则有种取法,从10名教师中随机抽取3名教师的方法共有种, 故抽取的3名教师中至少有1名班主任的概率为1-=. ②X的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)===, P(X=1)===, P(X=2)===, P(X=3)===, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故E(X)=0×+1×+2×+3×=. 变式题　(1)C　[解析] 一个袋子中装有除颜色外完全相同的6个红球和4个白球,从中一次性随机摸出3个球,则表示从这10个球中随机摸3个球包含的样本点个数,表示从6个红球中摸出3个球包含的样本点个数,则-表示从这10个球中随机摸3个球,至少有1个白球包含的样本点个数,所以=P(X≥1).故选C. (2)解:①根据列联表中的数据,经计算得到χ2==9<10.828, 所以没有99.9%的把握认为果树产量超常与施肥有关. ②施肥的30棵果树中,产量超常的有20棵,产量正常的有10棵,从中选取3棵,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=k)=(k=0,1,2,3), 则P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2. 例3　[思路点拨] (1)根据给定的正态密度曲线,结合正态曲线的对称性和性质,逐项判断即可.(2)对于A,Φ(a)=P(Z<a)=0.7,结合正态曲线的对称性分析求解;对于B,根据题意结合正态曲线的对称性分析求解;对于C,根据题意分析可得0.25<a<0.26,进而可得108<X<108.2,即可得结果;对于D,根据题意可得a=0.35,P(Z>0.35)≈0.363 2,即可得结果.(3)①根据条件得到P(1.97≤X≤2.03)≈0.997,即可求解;②根据条件,求出P(1.98≤X<1.99)和P(2≤X≤2.02),再利用相互独立事件同时发生的概率公式,即可求解. (1)BCD　(2)BCD　[解析] (1)对于A,因为X~N(μ1,62),所以D(X)=36,故A错误;对于B,由图知30=μ1<μ2=34,故B正确;对于C,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤38)<P(X≤μ1+2σ1)=P(Y≤μ2+2σ2)=P(Y≤38),故C正确;对于D,因为σ1=6,σ2=2,所以P(X≤36)=P(X≤μ1+σ1)=P(Y≤μ2+σ2)=P(Y≤36),故D正确.故选BCD. (2)对于选项A,由Φ(a)=0.7,得P(Z<a)=0.7,则P(Z>a)=1-P(Z<a)=0.3,所以P(|Z|<a)=1-2P(Z>a)=0.4,故A错误;对于选项B,Φ(a)+Φ(-a)=P(Z<a)+P(Z<-a)=P(Z<a)+P(Z>a)=1,故B正确;对于选项C,由题意可知,P(Z>a)=1-Φ(a)=0.4,即Φ(a)=0.6,对比表格可知0.25<a<0.26,即0.25<<0.26,解得108<X<108.2,所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108分,故C正确;对于选项D,由题意可知,a==0.35,且Φ(0.35)≈0.636 8,可得P(Z>0.35)=1-Φ(0.35)≈0.363 2,而10 000×0.363 2=3632,所以该学生在全市排名大概位于3630名到3640名之间,故D正确.故选BCD. (3)解:①由已知得,μ=2,σ=0.01, 所以P(1.97≤X≤2.03)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997, 所以长度在[1.97,2.03]内的圆钢根数约为10 000×0.997=9970. ②从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取1根,长度在区间[1.98,1.99)内的概率P1=P(1.98≤X<1.99)=P(μ-2σ≤X<μ-σ)=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈0.135 5,长度在区间[2,2.02]内的概率P2=P(2≤X≤2.02)=P(μ≤X≤μ+2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.477, 故从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根,其中1根的长度在区间[1.98,1.99)内,另1根的长度在区间[2,2.02]内的概率为2P1P2≈2×0.135 5×0.477≈0.13. 变式题　(1)BC　(2)AD　[解析] (1)由题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).对于A,P(X>2)=P(X>μ+2σ)<P(X>μ+σ)≈1-0.841 3=0.158 7,故A错误;对于B,P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,故B正确;对于C,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,故C正确;对于D,P(Y>2)=P(Y>μ-σ)=P(Y<μ+σ)≈0.841 3>0.8,故D错误.故选BC. (2)对于A,由题意得μ=0.48×150=72,σ=24,∴此次考试的平均分为72分,故A正确;对于B,P(48≤X≤72)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈×0.682 7=0.341 35,故B错误;对于C,P(X≥90)=0.5-P(54≤X≤90)=0.5-p(0.75)≈0.226 7,故C错误;对于D,∵P(72<X≤90)=p(0.75)≈0.273 3,P(72<X≤120)=p(2)≈0.477 25,∴该次数学考试获得及格的人数大约为(0.477 25-0.273 3)×1200≈245,故D正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $