第59讲 二项分布、超几何分布与正态分布 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第59讲 二项分布、超几何分布与正态分布 第59讲 二项分布、超几何分布与正态分布 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解 次独立重复试验的模型，掌握二项分布的概率公式 ； 2．掌握二项分布的均值与方差 、，会由 、 反求 、； 3．掌握超几何分布的概率与均值公式，能准确辨析"有放回"与"无放回"两种抽取； 4．理解正态曲线的对称性与 原则，会用对称性求区间概率并解决实际估计问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 二项分布的概率计算 选择题、解答题 第5~7题、第17~18题 中 辨独立重复，套 二项分布的均值与方差 选择题、填空题 第6~7题、第13~14题 中 记牢 、，比值反求 超几何分布 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中偏难 无放回抽取用组合数比， 正态曲线的对称性 选择题、多选题 第5~9题、第13题 中 用 转化 正态分布的区间概率 选择题、解答题 第6~7题、第17~18题 中偏难 先把方差开方，再套 原则与对称性 命题规律分析 二项分布、超几何分布与正态分布是概率统计的三大"常客"，也是新高考的必考板块：二项分布的概率与均值方差常出现在单选第 5~7 题，超几何分布与正态分布的区间概率常压在多选第 9~10 题与填空第 13~14 题，分布的实际应用则是解答题第 17~18 题的常客。培优层的关键在于"辨模型"：有放回抽取用二项、无放回抽取用超几何、正态分布则抓住"曲线关于 对称"与 原则。本讲在记牢公式的基础上，重点突破含参反求、最可能值判断与正态对称性的灵活转化，把"辨模型—套公式—代数据"练到不假思索。 考点1 二项分布 知识点1 独立重复试验与二项分布 在相同条件下重复进行的 次试验，若每次只有两个结果、成功概率均为 、各次相互独立，则称成功次数 服从二项分布，记作 ，（）。 公式中 表示"哪 次成功"的选择方式， 表示一种指定顺序的概率。 【易错清单】 1．把"无放回抽取"误当独立重复试验，错误套用二项分布公式； 2．漏乘组合数 ，只算了某一种顺序的概率； 3．把 写成 ，或把 与 的指数写反。 知识点2 二项分布的均值、方差与最可能值 若 ，则 ，；两式相除可先求 ，再反求 。 使 最大的 满足 ；当 为整数时有两个最可能值。 【易错清单】 1．把 错记成 ，漏掉因子 ； 2．反求时先由 求 ，再代回 求 ，顺序别乱； 3．最可能值结论里是 而非 ，用错会把答案整体前移。 考点2 超几何分布 知识点3 超几何分布及其均值 设 件产品中有 件某类对象，任取 件，该类对象个数 满足 ，，称 服从超几何分布。 超几何分布的均值 ，即抽取件数乘该类对象在总体中的比例，无需先写分布列。 【易错清单】 1．把"无放回"抽取用二项分布公式计算，导致概率错误； 2．组合数上下标写反，例如把 写成 ； 3．取值上限是 ，多写取不到的值会使"各概率和不为 "。 考点3 正态分布 知识点4 正态曲线与对称性 若 ，其密度曲线关于直线 对称，曲线与 轴之间的总面积为 ； 越大曲线越"矮胖"，数据越分散。 对称性：，特别地 。 【易错清单】 1． 的第二个参数是方差 ，用 原则前先把它开方得标准差； 2．求对称区间内侧概率要"两侧都减"，； 3．对称轴是直线 ，只有 时才与 轴重合。 知识点5 3σ 原则与区间概率 ，，。 由对称性得单侧尾部概率：，其余 同理。 【易错清单】 1．把单侧概率 与区间概率 混用，或把"两侧共 "当"单侧"； 2．区间端点若不是 的形式，不能直接套 ； 3．求"超过某值"的概率时忘记"两侧各一半"，直接写 减去区间概率。 【题型1 二项分布的概率】 【例1】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。求该射手射击 次恰好命中 次的概率。 【答案】 【解题思路】命中次数 服从二项分布 ，代入公式 。 【解答过程】设射击 次命中的次数为 ，则 。 恰好命中 次，即 ：。 【多解·巧解】先写分布 再代公式， 与 各归其位；组合数 与 分别对应"哪几次成功"与"一种顺序的概率"，两者相乘即得结果。 【易错提醒】最容易漏乘组合数 ，只算出一种顺序的概率；另外指数别写反：命中 次是 ，未命中 次是 。 【变式1-1】抛掷一枚质地均匀的硬币 次，用 表示正面朝上的次数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】抛硬币是典型的二项分布，，。 【解答过程】，。故选A。 【变式1-2】某批产品的不合格率为 ，现从中有放回地抽取 件，用 表示抽到的不合格品数，则 ____________。 【答案】 【解题思路】有放回抽取服从二项分布，先确定 、 再代入。 【解答过程】有放回抽取，各次相互独立，，。 【变式1-3】某次试验成功的概率为 ，独立重复进行 次，则至少有 次成功的概率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】"至少"类问题用对立事件"一次都没成功"更快。 【解答过程】设成功的次数为 ，则 。"至少 次成功"的对立事件是" 次都失败"，，所以 。故选B。 【题型2 二项分布的均值与方差】 【例2】已知随机变量 ，求 与 。 【答案】，。 【解题思路】二项分布直接用 ，。 【解答过程】由 得 ，。 ；。 【多解·巧解】二项分布的均值方差有两句口诀："均值 、方差 乘上 "。两式相除还能顺手得到 ，这是反求 、 的通用手法。 【易错提醒】方差里的因子 最易漏，写成 会得到 的错误结果；另外 允许是小数，不要求是整数。 【变式2-1】已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入 。 【解答过程】。故选B。 【变式2-2】已知随机变量 ，且 ，，则 与 的值分别为（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】A 【解题思路】用 除以 得 ，再代回求 ，是反求的通法。 【解答过程】由 ，，两式相除得 ，所以 ，代入 得 。故选A。 【变式2-3】某次试验成功的概率为 ，独立重复进行 次，用 表示成功次数，则使 取得最大值的 为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】用最可能值结论： 为整数时有两个并列的最可能值。 【解答过程】，恰为整数，故 与 同时取得最大值。故选C。 【题型3 超几何分布】 【例3】袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。求恰好取到 个红球的概率。 【答案】 【解题思路】无放回抽取用超几何分布公式，分子是"两类各取若干个"的取法之积，分母是全部取法。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。恰好取到 个红球，即从 个红球中取 个、从 个白球中取 个，有 种，所以 。 【多解·巧解】超几何分布的概率公式 中，分母是全部取法，分子是两类对象各自取够个数的方法数之积；把它拆成"分母、两类分子"三步写，计数不会乱。 【易错提醒】分子别只写 ，一定要乘上"白球取 个"的 ；也要注意"任取 个"时白球最多只有 个， 的取值范围要满足两类球都能取够。 【变式3-1】有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，用 表示取到的次品数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】超几何分布：分子是"次品取 件、正品取 件"的取法之积。 【解答过程】从 件中任取 件共有 种取法，。故选B。 【变式3-2】从装有 个红球、 个白球的袋中任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】超几何分布均值 ，即抽取个数乘总体中该类对象的比例。 【解答过程】由超几何分布均值公式 ，，红球比例 ，所以 。故选B。 【变式3-3】盒中装有 个正品和 个次品，从中任取 个，用 表示取到的次品数，则 ____________。 【答案】 【解题思路】套超几何分布概率公式，注意"正品、次品"分别对应哪一类。 【解答过程】从 个中任取 个共有 种取法，。 【题型4 正态分布曲线的对称性】 【例4】设随机变量 ，若 ，求 。 【答案】 【解题思路】正态曲线关于直线 对称， 与 关于 对称，两者两侧尾部概率相等。 【解答过程】因为 ，曲线关于直线 对称，而 与 关于 对称，所以 。 【多解·巧解】对称性的核心：到对称轴 距离相等的两个端点，其对应尾部概率相等，即 。把要研究的数与已知的数各自"到 的距离"算一算，就能一眼看出对称关系。 【易错提醒】别把 与 的距离算错：它们到 的距离都是 ，因此对称；若误把 或 认错，会得出错误的对应关系。 【变式4-1】设随机变量 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用对称性把负半轴的概率转化为正半轴对应概率，再用总面积作差。 【解答过程】由对称性 ，所以 。故选C。 【变式4-2】设随机变量 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先由对称性求 ，再用总概率 减去两侧。 【解答过程】曲线关于 对称， 与 关于 对称，所以 ，从而 。故选B。 【变式4-3】设随机变量 ，若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】对称轴两侧等距离的对称区间，概率相等。 【解答过程】曲线关于 对称，区间 与 关于对称轴 对称，所以 。 【题型5 正态分布的区间概率（3σ 原则）】 【例5】已知随机变量 ，且 ，则 约为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 即 、，"超过 "的单侧概率等于剩余概率对半分。 【解答过程】由 得 ，，则 。区间 内面积为 ，区间外两侧面积和约为 ，由对称性各占一半，所以 。故选A。 【多解·巧解】 原则求单侧概率的通用步骤：先用 减去对称区间概率得"两侧和"，再除以 得"单侧"。把这一步写成"两侧减半"，比死记 更稳妥。 【易错提醒】把"两侧共 "当成"单侧"会误选B；另外 的第二个参数是方差 ，标准差也是 ，此时恰好相等，但其它题目要记得开方。 【变式5-1】已知随机变量 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先由方差确定 ，再判断区间是否为 。 【解答过程】由 得 ，，则 ，，所以 。 【变式5-2】已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直接对照 原则的三个数值。 【解答过程】 中 ，，区间 ，由 原则 。故选B。 【变式5-3】某地区男生的身高 （单位：cm）近似服从正态分布 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由方差 开方得标准差 ，再套 原则。 【解答过程】由 得 ，，则 ，，所以 。故选A。 【题型6 分布综合】 【例6】某产品的不合格率为 ，现从中有放回地抽取 件，用 表示抽到的不合格品数。 (1) 求恰好抽到 件不合格品的概率； (2) 求 与 。 【答案】(1) ； (2) ，。 【解题思路】有放回抽取服从二项分布 ，再分别用概率公式与均值方差公式。 【解答过程】有放回抽取，各次相互独立，。 (1) 。 (2) ；。 【多解·巧解】综合题第一步永远是"辨模型"：有放回抽取各次独立，属二项分布；判断对了模型，概率公式与均值方差公式才能成套使用。 【易错提醒】若把"有放回"误当"无放回"，会错用超几何分布；另外第(1)问的 与 的指数别写反， 表示"恰好 件不合格"。 【变式6-1】袋中装有 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】无放回抽取用超几何分布的均值公式 。 【解答过程】无放回抽取， 服从超几何分布，，总体中红球比例 ，所以 。故选B。 【变式6-2】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数。求 与 。 【答案】，。 【解题思路】独立重复射击服从二项分布，分别套概率公式与均值公式。 【解答过程】各次射击相互独立，。；。 【变式6-3】从 名男生和 名女生中任选 人参加活动，用 表示选出的女生人数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】超几何分布均值公式：抽取人数乘总体中该类对象比例。 【解答过程】无放回抽取， 服从超几何分布，，总体中女生比例 ，所以 。故选B。 一、单选题 1．（★★）抛掷一枚质地均匀的硬币 次，恰好出现 次正面的概率是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】抛硬币是典型的二项分布 。 【解答过程】设正面次数为 ，则 ，。故选C。 2．（★★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】二项分布 。 【解答过程】。故选B。 3．（★★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】二项分布 。 【解答过程】。故选B。 4．（★★）有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，则恰好取到 件次品的概率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】无放回抽取用超几何分布。 【解答过程】。故选C。 5．（★★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】正态曲线关于 对称， 两侧各占一半。 【解答过程】 的曲线关于直线 对称，。故选B。 6．（★★★）已知随机变量 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用 求 ，再求方差。 【解答过程】由 得 ，。故选A。 7．（★★★）已知随机变量 ，且 ，，则使 取得最大值的 及该最大值分别为（　　） A．，最大值为 　B．，最大值为 　C． 或 ，最大值为 　D．，最大值为 【答案】A 【解题思路】先用 与 联立反求 、，再用 是否为整数判断最可能值是否唯一，最后算出该点的概率。 【解答过程】由 ，，两式相除得 ，即 ，代回得 。此时 不是整数，最可能值唯一，为 （若把 误当成取整后的两个并列位置，会误选C）。。故选A。误选B是把最大值位置的组合数错用成 ，得到 ；误选D同源。 8．（★★★）已知随机变量 （），且 ，（参考：），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先由 用对称性定出 ，再由单侧尾部概率 反推出 得 ，最后发现所求区间恰为 。 【解答过程】正态曲线关于直线 对称，由 得 。区间 外的两侧概率之和为 ，由对称性两侧各占一半，故 ，与已知 对照得 ，所以 。于是 ，，所求区间恰为 ，所以 。故选C。误选A是只算了单侧尾部概率；误选B是把区间概率再对半分；误选D算的是 ，把"区间内概率"与"一侧以内概率"混淆。 二、多选题 9．（★★）下列关于二项分布的说法中，正确的是（　　） A． 次独立重复试验中，每次试验成功的概率都相同　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照二项分布的模型、概率公式与均值方差公式。 【解答过程】由独立重复试验的定义，每次成功概率相同，A正确；二项分布的概率公式为 ，B正确；二项分布均值 ，C正确；方差应为 ，D错误。故选ABC。 10．（★★）设随机变量 ，则下列说法正确的是（　　） A．正态曲线关于直线 对称　B．　C． 越大，正态曲线越"矮胖"　D． 与 的取值无关 【答案】BCD 【解题思路】牢记正态曲线的对称轴是 ，以及 对曲线形状的影响。 【解答过程】正态曲线关于直线 对称，A错误；由对称性 ，B正确； 越大曲线越"矮胖"，C正确； 只与 有关，与 无关，D正确。故选BCD。 11．（★★★）已知随机变量 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】二项分布的均值方差直接套公式，概率要乘组合数。 【解答过程】，A正确；，B正确；，C正确；，D错误。故选ABC。 12．（★★★）袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球。方案甲：有放回地每次取 个球，共取 次，用 表示取到红球的次数；方案乙：一次任取 个球，用 表示取到红球的个数。则下列结论正确的是（　　） A．，且 　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】先辨模型：有放回是二项分布、无放回是超几何分布；四个选项逐项独立推导，D 需各自求出方差再比较。 【解答过程】方案甲有放回，每次取到红球的概率为 ，故 ，，A正确。方案乙无放回，从 个球中任取 个共 种取法，，B正确。； 服从超几何分布，，C正确。； 的分布列为 ，，，，。因为 ，即 ，D错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知随机变量 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】直接代入 。 【解答过程】。 14．（★★）设随机变量 ，若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用对称性把 转化为 ，再用总概率 作差。 【解答过程】曲线关于 对称， 与 关于 对称，所以 ，。 15．（★★★）已知随机变量 ，且 ，，则 ____________， ____________。 【答案】， 【解题思路】用 除以 先求 ，再求 。 【解答过程】由 ，，两式相除得 ，所以 ，代入 得 。 16．（★★★）已知随机变量 （），若 是所有 （）中唯一的最大值，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】利用相邻两项的比值，把"唯一最大"翻译成两条不等式： 且 ，解出 的临界范围；由单峰性只需比较相邻两项。 【解答过程】对 ，相邻两项之比 ，其中 随 增大而减小，故概率先增后减，最大值唯一地在 当且仅当 且 。由 ，即 ，约去正因式得 ，解得 ；由 ，即 ，约去正因式得 ，解得 。（当 时 ，当 时 ，最大值都不唯一，故端点取不到。）所以 的取值范围是 。 四、解答题 17．（★★）某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数。 (1) 求恰好命中 次的概率； (2) 求 与 。 【答案】(1) ； (2) ，。 【解题思路】独立重复射击服从二项分布，先写 再套公式。 【解答过程】各次射击相互独立，。 (1) 。 (2) ；。 【多解·巧解】二项分布综合题"三步走"：先写分布 ，再套概率公式，最后套均值方差公式；三处都用到 与 ，先把它们圈出来能避免抄错。 【易错提醒】概率公式务必乘组合数 ，漏掉会只算出"某一种顺序"的概率；均值方差中的 是命中概率 ，别把 当成 。 18．（★★）袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 【答案】(1) ，，，； (2) 。 【解题思路】(1) 无放回抽取用超几何分布逐项求概率；(2) 按定义求均值，也可用 检验。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。 (1) ：； ：； ：； ：。 检验：。 (2) 。 【多解·巧解】第(2)问可用超几何均值公式快速核对：，与按定义求和一致。分布列"拿步骤分"、均值公式"做验算"，两者配合最稳。 【易错提醒】超几何分布分子是"红球取 个、白球取 个"的取法之积，漏掉白球取法会算错；取出分布列后一定检验各概率之和为 ，这是发现漏项最快的办法。 19．（★★）设某地区成年男子的体重 （单位：kg）近似服从正态分布 。 (1) 求 ； (2) 求 。 （参考：，） 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先由方差开方得标准差，再把区间端点写成 的形式，套用 原则。 【解答过程】由 得 ，。 (1) ，，所以 。 (2) ，，所以 。 【多解·巧解】正态题先写"? ?"，把方差开方这一步单独列出来；再判断端点属于 的哪一档，套对应数值，几乎不会错。 【易错提醒】最常见的错误是把 中的 当成标准差，导致端点对不上档位；记住 的第二个参数是方差，用前一定先开方。 20．（★★★）已知随机变量 。 (1) 求 ； (2) 求 与 。 【答案】(1) ； (2) ，。 【解题思路】二项分布的概率用 ，均值方差直接用公式。 【解答过程】(1) 。 (2) ；。 【多解·巧解】含小数的概率计算要注意指数与组合数：、，先算幂再乘组合数与系数，顺序清晰不易出错。 【易错提醒】第(1)问 的指数容易写反（把命中与未命中的次数对调）；第(2)问方差里的 不要漏，写成 就错了。 21．（★★★）盒中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 套超几何分布概率公式；(2) 直接用 。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。 (1) 表示取到 个红球 个白球，有 种， 所以 。 (2) 无放回抽取服从超几何分布，。 【多解·巧解】超几何分布求概率时，先写"分母 、分子两类取法之积"，再约分；求均值直接用 ，不必先写完整分布列，考场上更省时。 【易错提醒】分子别漏乘白球的取法 ； 这类较大的组合数建议先约分再相乘，避免繁分数出错。 22．（★★★）某次考试的成绩 （单位：分）近似服从正态分布 。 (1) 求 ； (2) 求 。 （参考：，） 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先把方差 开方得 ，再把端点与 对照，套 原则与对称性。 【解答过程】由 得 ，。 (1) ，，所以 。 (2) ，由对称性两侧各占一半， 所以 。 【多解·巧解】第(2)问"超过某值"的单侧概率，先算"两侧和"，再除以 得 ；把"两侧减半"写成固定两步，几乎不会漏掉那一半。 【易错提醒】最常见的错误是把 中的 当标准差，于是把 错认成 ；还有第(2)问忘记"两侧各一半"，直接写 。 23．（★★★）某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立，共射击 次，用 表示命中的次数。 (1) 求至少命中 次的概率； (2) 求 与 ； (3) 每命中一次得 分（），每未命中一次扣 分，总得分为 分。若要求 ，求 的最小值，并求此时 。 【答案】(1) ； (2) ，； (3) 的最小值为 ，此时 。 【解题思路】(1)(2) 识别二项分布后套公式；(3) 先把总得分整理成 ，用线性性质把 、 都化为 的量，再解含参不等式定 的最小值。 【解答过程】各次射击相互独立，。 (1) 。 (2) ；。 (3) 总得分 。 。 由 得 ，即 ，解得 ，故 的最小值为 。 此时 （常数 不影响方差）。 【多解·巧解】第(3)问不必列 的分布列：先把得分规则翻译成 ，再用 、 一步到位；第(1)问"至少"类概率通常用对立事件，但此处直接把 、 两项相加更省事。 【易错提醒】第(3)问扣分项别丢： 次中共有 次未命中，扣 分，整理后 ，若漏掉 会解出 的错误答案；方差变换中倍数 要平方，常数 与方差无关。 24．（★★★）一批产品共 件，其中有 件次品，采购方从中一次任取 件验收（无放回），用 表示抽到的次品数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 与 ； (3) 每抽到 件次品，采购方可向供应商索赔 元（），索赔总额为 元。若要求 ，求 的最小值，并求此时 。 【答案】(1) ，，； (2) ，； (3) 的最小值为 ，此时 。 【解题思路】(1) 无放回抽取服从超几何分布，按组合数比逐项求概率；(2) 按定义求期望与方差，并用均值公式验算；(3) 索赔总额 ，用线性性质化成 的量，解不等式定 。 【解答过程】从 件中任取 件，共有 种取法。 (1) ：； ：； ：。 检验：。 (2) （也可用超几何均值公式 验算）； ，。 (3) 索赔总额 ，则 。由 得 ，故 的最小值为 。 此时 。 【多解·巧解】第(2)问用均值公式 验算是超几何分布题的标准动作；第(3)问 不必重新列分布列，直接用 、；次品只有 件， 的取值最多到 ，不必写出取不到的值。 【易错提醒】第(1)问分子别漏乘"正品取 个"的取法，例如 要写成 ；第(3)问方差要乘倍数的平方，，误写成 是典型错误。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第59讲 二项分布、超几何分布与正态分布 第59讲 二项分布、超几何分布与正态分布 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解 次独立重复试验的模型，掌握二项分布的概率公式 ； 2．掌握二项分布的均值与方差 、，会由 、 反求 、； 3．掌握超几何分布的概率与均值公式，能准确辨析"有放回"与"无放回"两种抽取； 4．理解正态曲线的对称性与 原则，会用对称性求区间概率并解决实际估计问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 二项分布的概率计算 选择题、解答题 第5~7题、第17~18题 中 辨独立重复，套 二项分布的均值与方差 选择题、填空题 第6~7题、第13~14题 中 记牢 、，比值反求 超几何分布 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中偏难 无放回抽取用组合数比， 正态曲线的对称性 选择题、多选题 第5~9题、第13题 中 用 转化 正态分布的区间概率 选择题、解答题 第6~7题、第17~18题 中偏难 先把方差开方，再套 原则与对称性 命题规律分析 二项分布、超几何分布与正态分布是概率统计的三大"常客"，也是新高考的必考板块：二项分布的概率与均值方差常出现在单选第 5~7 题，超几何分布与正态分布的区间概率常压在多选第 9~10 题与填空第 13~14 题，分布的实际应用则是解答题第 17~18 题的常客。培优层的关键在于"辨模型"：有放回抽取用二项、无放回抽取用超几何、正态分布则抓住"曲线关于 对称"与 原则。本讲在记牢公式的基础上，重点突破含参反求、最可能值判断与正态对称性的灵活转化，把"辨模型—套公式—代数据"练到不假思索。 考点1 二项分布 知识点1 独立重复试验与二项分布 在相同条件下重复进行的 次试验，若每次只有两个结果、成功概率均为 、各次相互独立，则称成功次数 服从二项分布，记作 ，（）。 公式中 表示"哪 次成功"的选择方式， 表示一种指定顺序的概率。 【易错清单】 1．把"无放回抽取"误当独立重复试验，错误套用二项分布公式； 2．漏乘组合数 ，只算了某一种顺序的概率； 3．把 写成 ，或把 与 的指数写反。 知识点2 二项分布的均值、方差与最可能值 若 ，则 ，；两式相除可先求 ，再反求 。 使 最大的 满足 ；当 为整数时有两个最可能值。 【易错清单】 1．把 错记成 ，漏掉因子 ； 2．反求时先由 求 ，再代回 求 ，顺序别乱； 3．最可能值结论里是 而非 ，用错会把答案整体前移。 考点2 超几何分布 知识点3 超几何分布及其均值 设 件产品中有 件某类对象，任取 件，该类对象个数 满足 ，，称 服从超几何分布。 超几何分布的均值 ，即抽取件数乘该类对象在总体中的比例，无需先写分布列。 【易错清单】 1．把"无放回"抽取用二项分布公式计算，导致概率错误； 2．组合数上下标写反，例如把 写成 ； 3．取值上限是 ，多写取不到的值会使"各概率和不为 "。 考点3 正态分布 知识点4 正态曲线与对称性 若 ，其密度曲线关于直线 对称，曲线与 轴之间的总面积为 ； 越大曲线越"矮胖"，数据越分散。 对称性：，特别地 。 【易错清单】 1． 的第二个参数是方差 ，用 原则前先把它开方得标准差； 2．求对称区间内侧概率要"两侧都减"，； 3．对称轴是直线 ，只有 时才与 轴重合。 知识点5 3σ 原则与区间概率 ，，。 由对称性得单侧尾部概率：，其余 同理。 【易错清单】 1．把单侧概率 与区间概率 混用，或把"两侧共 "当"单侧"； 2．区间端点若不是 的形式，不能直接套 ； 3．求"超过某值"的概率时忘记"两侧各一半"，直接写 减去区间概率。 【题型1 二项分布的概率】 【例1】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。求该射手射击 次恰好命中 次的概率。 【变式1-1】抛掷一枚质地均匀的硬币 次，用 表示正面朝上的次数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】某批产品的不合格率为 ，现从中有放回地抽取 件，用 表示抽到的不合格品数，则 ____________。 【变式1-3】某次试验成功的概率为 ，独立重复进行 次，则至少有 次成功的概率为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 二项分布的均值与方差】 【例2】已知随机变量 ，求 与 。 【变式2-1】已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知随机变量 ，且 ，，则 与 的值分别为（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【变式2-3】某次试验成功的概率为 ，独立重复进行 次，用 表示成功次数，则使 取得最大值的 为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【题型3 超几何分布】 【例3】袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。求恰好取到 个红球的概率。 【变式3-1】有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，用 表示取到的次品数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】从装有 个红球、 个白球的袋中任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】盒中装有 个正品和 个次品，从中任取 个，用 表示取到的次品数，则 ____________。 【题型4 正态分布曲线的对称性】 【例4】设随机变量 ，若 ，求 。 【变式4-1】设随机变量 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】设随机变量 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】设随机变量 ，若 ，则 ____________。 【题型5 正态分布的区间概率（3σ 原则）】 【例5】已知随机变量 ，且 ，则 约为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知随机变量 ，且 ，则 ____________。 【变式5-2】已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】某地区男生的身高 （单位：cm）近似服从正态分布 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 分布综合】 【例6】某产品的不合格率为 ，现从中有放回地抽取 件，用 表示抽到的不合格品数。 (1) 求恰好抽到 件不合格品的概率； (2) 求 与 。 【变式6-1】袋中装有 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数。求 与 。 【变式6-3】从 名男生和 名女生中任选 人参加活动，用 表示选出的女生人数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）抛掷一枚质地均匀的硬币 次，恰好出现 次正面的概率是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）有 件产品，其中有 件次品，从中任取 件，则恰好取到 件次品的概率为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知随机变量 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知随机变量 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知随机变量 ，且 ，，则使 取得最大值的 及该最大值分别为（　　） A．，最大值为 　B．，最大值为 　C． 或 ，最大值为 　D．，最大值为 8．（★★★）已知随机变量 （），且 ，（参考：），则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于二项分布的说法中，正确的是（　　） A． 次独立重复试验中，每次试验成功的概率都相同　B．若 ，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 10．（★★）设随机变量 ，则下列说法正确的是（　　） A．正态曲线关于直线 对称　B．　C． 越大，正态曲线越"矮胖"　D． 与 的取值无关 11．（★★★）已知随机变量 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 12．（★★★）袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球。方案甲：有放回地每次取 个球，共取 次，用 表示取到红球的次数；方案乙：一次任取 个球，用 表示取到红球的个数。则下列结论正确的是（　　） A．，且 　B．　C．　D． 三、填空题 13．（★★）已知随机变量 ，则 ____________。 14．（★★）设随机变量 ，若 ，则 ____________。 15．（★★★）已知随机变量 ，且 ，，则 ____________， ____________。 16．（★★★）已知随机变量 （），若 是所有 （）中唯一的最大值，则 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立。若该射手射击 次，用 表示命中的次数。 (1) 求恰好命中 次的概率； (2) 求 与 。 18．（★★）袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 19．（★★）设某地区成年男子的体重 （单位：kg）近似服从正态分布 。 (1) 求 ； (2) 求 。 （参考：，） 20．（★★★）已知随机变量 。 (1) 求 ； (2) 求 与 。 21．（★★★）盒中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中一次任取 个球，用 表示取到的红球个数。 (1) 求 ； (2) 求 。 22．（★★★）某次考试的成绩 （单位：分）近似服从正态分布 。 (1) 求 ； (2) 求 。 （参考：，） 23．（★★★）某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立，共射击 次，用 表示命中的次数。 (1) 求至少命中 次的概率； (2) 求 与 ； (3) 每命中一次得 分（），每未命中一次扣 分，总得分为 分。若要求 ，求 的最小值，并求此时 。 24．（★★★）一批产品共 件，其中有 件次品，采购方从中一次任取 件验收（无放回），用 表示抽到的次品数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 与 ； (3) 每抽到 件次品，采购方可向供应商索赔 元（），索赔总额为 元。若要求 ，求 的最小值，并求此时 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $