6.3.2 角的比较与运算（分层作业练题型）数学新教材人教版七年级上册

分层作业 6.3.2 角的比较与运算 说明：ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 ★温馨提示：将鼠标拖动至题型文字上方，按住Ctrl并单击鼠标左键可直接跳转至对应题型哟~★ 目 录 A组 巩固过关 1 题型一、角的比较 1 题型二、三角板中角度计算问题 3 题型三、几何图形中角度计算问题 4 题型四、角度的四则运算 6 题型五、实际问题中角度计算问题 8 题型六、角平分线的有关计算 9 题型七、角n等分线的有关计算 11 B组 能力进阶 12 C组 思维拔高 15 拓展 衔接中考 17 A组 巩固过关 角的比较 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，直线外有一定点，点是直线上的一个动点，当点从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（   ）． A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，变小 D．，都变小 3．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 三角板中角度计算问题 6．（25-26七年级上·广西河池·期末）数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么与总是相等的，如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·广东河源·期末）下列选项中，不能用一副三角板画出的角是（   ） A．的角 B．的角 C．的角 D．的角 8．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，将含角的三角板与含角的三角板按不同位置摆放，下列选项中，和不相等的是（   ） A．B．C．D． 9．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为__________． 10．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若，则等于_____． 11．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为__________； （2）若，则的度数为__________． 12．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点．若，则的度数是__________． 几何图形中角度计算问题 13．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）已知，，，则（   ） A．射线在内 B．射线在外 C．射线与射线重合 D．射线与射线重合 14．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图所示，点A、O、B在同一条直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，O，A，B，C，D都为格点（方格纸中小正方形的顶点），，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·广东湛江·期末）如图，射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，则的大小是______． 17．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，若，，则的度数为________． 18．（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 19．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 角度的四则运算 20．（25-26七年级上·河南南阳·期末）上周末，小聪和小丽一起去参观了南阳解放广场纪念碑．如图，小聪家位于南阳解放广场纪念碑北偏东方向，小丽家位于南阳解放广场纪念碑南偏东方向，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是直线上一点，是的平分线，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级上·四川成都·期末）计算：____________ ． 23．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是北偏东_________． 24．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）计算：______． 25．如图，已知点为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，，先猜想是图中哪个已知角的平分线，然后再说明理由． 实际问题中角度计算问题 26．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，以灯塔O为中心，A港口在灯塔的北偏东方向上，B港口在灯塔的北偏西方向上，点C在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26七年级上·广东东莞·期末）、都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果依次为、、和，其中有正确的结果，那么算得正确的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 29．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·山东青岛·期末）时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是______度． 角平分线的有关计算 31．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，，平分，的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号） ①；②；③；④． 34．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，是的平分线，，是的平分线，求的度数． 35．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，平分，，求的度数． 36．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知为直线上一点，，平分．若，求，的度数． 37．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，三角尺的直角顶点B在直线上，点A，C在直线的同侧． (1)如图1，，若，求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 角n等分线的有关计算 38．（25-26七年级上·江西新余·期末）已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 39．如图，，，，则的度数为________° 40．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 41．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）如图，点A、O、B在一条直线上，，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． B组 能力进阶 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广东河源·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若平分，则的方向是_________． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，中，，、是线段上的两个动点，连接，；在线段上再取两点，，连接，，使得，．若，则______________． 6．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）如图，一个有故障的节拍器，指针在中轴左右摆动的幅度不相等．若，且射线平分，则___________ （结果用“度分秒”为单位的“角度制”表示）． 7．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数． (2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数． 8．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，点O在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 9．（25-26七年级上·安徽六安·期末）【问题背景】已知一副三角尺，在三角尺中，，；在三角尺中，，，；已知两个三角尺有一个顶点A重合． （1）【初步感知】如图1，若与重合，，分别是，的平分线，则的度数为________；的度数为________． （2）【拓展探究】将三角尺按照图2方式摆放，，分别是，的平分线，若，求的度数． C组 思维拔高 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分． （1）如图，如果__________． （2）如果，将三角板绕点旋转一周（旋转过程中与度数都是大于且小于的角），的度数为__________．（用含的代数式表示）． 3．（25-26七年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）启照学习小组的同学利用直尺和直角三角板研究旋转变化过程中角度的变化规律．小组成员提出了以下几个问题，现在邀请你和他们一起进行探究！ 如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板，将它们的一条直角边分别与直尺的一条边完全重合（点A与点N重合，点C与点M重合）． (1)若将绕点B旋转，如图2所示，点E恰好落在上，则与的数量关系是 ； (2)若保持不动，将绕点B旋转至如图3所示的位置，已知，请求出此时的角度； (3)若保持直尺不动，同时旋转两个三角板．绕点B沿顺时针旋转，每秒旋转15度，绕点B逆时针旋转一周，每秒旋转20度，当运动停止时，另一个随之停止运动．在射线和中，若其中一条恰好是另外两条构成的角的角平分线，请直接写出满足条件的运动时间t的所有值． 拓展 衔接中考 1．（2026·北京·中考真题）如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川南充·中考真题）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 A组巩固过关 角的比较 1.C 2.A 3.C 4.D 5.A 三角板中角度计算问题 6.C 7.C 8.D 9.230 10.111°/111度 11.50°45° 12.15030 几何图形中角度计算问题 13.B 14.C 15.D 16.80°/80度 17.6515165.25° 18.(1)110° (2)75° 【详解】(1)解：∠BOD=40° .∠B0C=180°-∠B0D=140°， ,OF平分∠BOC, www.zxxk.com 上好每一堂课 6.3.2角的比较与运算 参考答案 1/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A∠B0F-B0c=70, .∠A0F=180°-∠B0F=110°： (2)解：.OE⊥CD, ∴.∠COE=90°. .∠AOC+∠AOE=90°」 .∠AOC:∠AOE=1:2, .∠AOE=2∠AOC. .∠AOC+∠AOE=3∠AOC=90°， ∠A0C=30° ∴.∠B0C=180°-∠AOC=150°， .OF平分∠BOC, :.∠COF=5∠BOC=75° 19.(1)∠B0D的度数为110 (2)∠E0F的度数为45° 【详解】(1)解：：∠COD=90°，∠COE=55°， .∠D0E=∠COD-∠COE=35°， ,OE是∠AOD的平分线， .∠AOD=2∠D0E=70°， ∴.∠B0D=180°-∠A0D=180°-70°=110°； (2)解：：OE是∠A0D的平分线，∠COD=90°， ∠40E=240D=(240c+∠coD)-40c+90r). :OF是∠BOC的平分线，∠COD=90°， ∠B0FB0C=∠B0D+∠C0D)=(☑B0D+90),. 2B0F=180-∠40E-∠B0r=0-(4A0C+∠B0D)】 .∠AOC+∠BOD=180°-∠COD, .∠COD=90°， .∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°， 2/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠E0F=90°-1 90°=45° 即∠EOF=45° 角度的四则运算 20.A 21.C 22.10830'/108.5° 23.76°15 24.41.2 25.(1)70° (2) 解：OE平分∠AOC;理由： .∠EOF=10°， .∠COD=2∠EOF=20°， .∠COD=∠BOD=20°， .∠DOE=∠DOF-∠EOF=90°-10°=80°， .∠A0F=180°-∠D0F-∠B0D=180°-90°-20°=70°， ∴.∠AOE=∠AOF+∠EOF=70°+10°=80°， .∠AOE=∠DOE. .OE平分∠AOD 【详解】(1)解：，OD平分∠BOC, :∠80D-号80c-40-20 .∠D0F=90°. .∠AOF=180°-∠D0F-∠BOD=180°-90°-20°=70°： (2)略 实际问题中角度计算问题 26.A 27.A 3/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 28.B 29.D 30.157.5 角平分线的有关计算 31.B 32.C 33.① 34.165° 【详解】解：∠BOD=90°，OE是∠BOD的平分线， :∠B0E=∠D0E=号∠B0D=45°. ∠COD=∠DOE 3 .∠C0D=15°. :.∠COE=∠COD+∠DOE=60°， ,OC是∠AOE的平分线， .∠AOE=2∠COE=120°， ∴.∠AOB=∠AOE+∠BOE=165° 35.140° 【详解】解：：∠AOD:∠BOD=3:4, 设∠AOD=3x,∠BOD=4x, .∠B0C=4x-10°， :OC平分∠AOB, .∠AOC=∠BOC, .3x+10°=4x-10°， 解得：x=20, ∴.∠AOB=∠AOD+∠BOD=7x=140° 36.∠BOD=20°，∠AOC=70° 【详解】解：因为∠COD=90°，∠DOE=35°， 所以∠C0E=∠C0D-∠D0E=90°-35°=55°， 4/18 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又因为OE平分∠BOC, 所以∠BOE=∠COE=55°， 所以∠BOD=∠BOE-∠D0E=55°-35°=20° 所以∠A0C=180°-∠B0D-∠C0D=180°-90°-20°=70° 37.(1)40° (2)135° 【详解】(1)解：设∠DBN=x°， :∠DBN=∠CBN, 3 .∠CBN=3x°， .·∠ABM=30°，∠ABC=90°， .∠CBN=180°-90°-30°=3x°， 解得x=20, ∴.∠CBD=∠CBN-∠DBN=2x°=40° (2)解：BE平分∠ABM,BF平分∠CBN, :∠EB4=iBM,∠FBc-4CBN, ∠ABC=90° .∠CBN+∠ABM=180°-90°=90°. 根据题意得∠EBF=∠ABC+∠ABE+∠CBF=∠ABC+(∠ABM+∠C8N)=90+5×90=1350 角n等分线的有关计算 38.20°或30°或40° 39.76 40.(1)∠A0C=20° (2)∠COD=30° 【详解】(1)解：，OC是∠AOB的一条三分线，且∠BOC>∠AOC, ∴∠40c=写40B=360°=20 (2)解：：∠AOB=90°，OC,OD是∠AOB的两条三分线， ∠B0C=∠A0D5A0B×90P=30 5/18 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠C0D=∠AOB-∠B0C-∠AOD=90°-30°-30°=30° 41.(1)61° (2)45° 【详解】(1)解：：∠BOD=58°， .∠AOD=180°-∠B0D=122°， ,OE平分∠AOD, ∴∠D0E=40D=61 (2)解：由∠A0C:∠COE=2:1可设∠C0E=x,则∠A0C=2x, .∠DOE=∠AOE=∠AOC+∠COE=3x. .∠COD=90°. .∠COE+∠DOE=x+3x=90°， .x=22.5° .∠A0C=2x=45°， ∴.∠BOD=180°-∠A0C-∠C0D=45° B组能力进阶 1.A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠CAB=60°， :∠CAB=∠CAD+∠BAD,∠CAD=50°， .∠BAD=60°-50°=10°. 2.B 【详解】解：根据题意得： 如图所示，当射线OB在∠AOC内部时， M B O ∠AOC=110°∠AOB=20° .∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°， 6/18 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OM是∠BOC的平分线， ∠COM=∠B0C=45° .∠AOM=∠AOC-∠COM=65°： 如图所示，当射线OB在∠AOC外部时， ○ M A B ∠AOC=110°∠AOB=20° .∠BOC=∠AOC+∠AOB=130°， OM是∠BOC的平分线， ZB0M=)∠B0C=6S4 ∠AOM=∠BOM-∠AOB=45°， 综上，∠A0M=65°或45°. 3.C 【详解1解设4OBx,则<40D,40C- COD-240D-40C ∠C0D=20°， 1 x°=20° 6 解得：x=120, 即∠AOB=120°. 故选：C. 4.北偏东80° 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 【详解】解：：0A的方向是北偏东20°，0C的方向是北偏西40， ∠A0C=20°+40°=60°， :OA平分∠BOC, .∠AOC=∠AOB. .∠AOB=60°， 20°+60°=80°， .OB的方向是北偏东80°、 5.50°或70 【详解】解：，∠PCM=2∠ACM,∠QCN=2∠BCN .设∠ACM=x,∠BCN=y,则∠PCM=2x,∠OCN=2y, 当点P在点Q上方时，如图： A .∠ACM+∠PCM+∠PCQ+∠QCN+∠BCN=∠ACB=90° .x+2x+30°+2y+y=90°， .x+y=20° ∠MCN=∠PCM+∠PCQ+∠QCN=2x+30°+2y=2(x+y)+30°= 当点P在点下方时，如图 8/18 0L=o0E+0z×7 散系一母丁 函学科网·上好课 www zxxk.com M B ∠PCN=∠QCN-∠PCQ=2y-30° ,∠ACM+∠PCM+∠PCN+∠BCN=∠ACB=90°， :.x+2x+2y-30°+y=90° .x+y=40° ∠MCN=∠PCM+∠PCN=2x+2y-30°=2(x+y)-30°=2×40°-30°=50° 综上：∠MCN=50°或70°. 6.2230 【详解】 解：由题意可知：OM⊥BC, .∠AOB+∠AOM=90° 设∠AOM=x,则∠MON=2∠AOM=2x, .∠AON=∠AOM+∠MON=x+2x=3x, 射线OA平分∠BON, .∠AOB=∠AON=3x, .x+3x=90°， 4x=90°， 解得x=22.5°， ∴.∠A0M=22.5°=22°+0.5×60=2230 7.(1)30° (2)30°或70° 【详解】(1)解：：∠D0E=90°，∠B0C=60°， 9/18 上好每一堂课 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠C0E=∠D0E-∠D0C=90°-60°=30°， (2)解：设<C0=40E=x,则∠A0E=2x, 如图，当OC在∠DOE内部时， B ·∠B0C=60°， .∠DOB=∠COB-∠DOC=60°-x, .∠AOE+∠DOE+∠DOB=180°， .2x+90°+60°-x=180°， .x=30°， .∠B0D=60°-30°=30°： 如图，当OC在∠DOE外部时， E B ,∠B0C=60° .∠DOB=∠COB+∠DOC=60°+x, .∠AOE+∠DOE+∠D0OB=180°. .2x+90°+60°+x=180°， ∴.x=10° .∠B0D=60°+10°=70°： 综上所述，当2C0D=)ZA0E时，B0D的度数为30°或70P 8.(1)105 (2)120° 【详解】(1)解：.∠COD=2∠BOC, 10/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠B0C=<C0D=-25, ∴.∠BOD=∠BOC+∠COD=75」 .∠A0D=180°-∠B0D=180°-75°=105°： (2)解：，∠COD=2∠BOC. :LBOC=∠BOD 3 :∠A0E=)∠D0A, 3 A∠B0C+∠A0E=(∠B0D+2D0A)-}A0B=60. ∠C0E=180°-（∠B0C+∠AOE)=180°-60°=120° 9.(1)120°，60°：(2)60° 【详解】解：(1)，∠BAC=90°，∠DAE=30°. .∠CAD=∠BAC+∠DAE=120°. :AP,AQ分别是∠CAE,∠BAD的平分线， 、∠PAE=号∠CAE=45.∠0AB=∠DAB=150 2 2 .∠PAQ=∠PAE+∠QAE=60°. (2)·∠BAC=90°，∠DAE=30°，∠BAE=a, ∴.∠CAE=∠CAB-∠BAE=90°-a,∠DAB=∠DAE-∠BAE=30°-a :AP,A0分别是∠CAE,∠BAD的平分线， PiE-号C4E=450,∠8a0=3D48=159 .∠PAQ=∠PAE+∠BAE+∠BAQ=60° C组思维拔高 1.C 【详解】解：由图可知， 11/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAE-∠BAD =∠DAE-∠CAD-(∠BAC-∠CAD) =∠DAE-∠CAD-∠BAC+∠CAD, =∠DAE-∠BAC, .∠DAE=45°，∠BAC=30°， ∴.∠DAE-∠BAC=45°-30°=15°. .∠CAE-∠BAD=15°， 故选：C 2.30130度 24或180°-1。 【详解】解：(1)由题意可知：∠COD=90°， .∠AOC=60° .∠B0C=180°-∠A0C=120°， ,射线OE平分∠BOC」 .∠C0E=号∠B0C=60 ∴.∠EOD=∠COD-∠C0E=30° 故答案为：30°. 1 (2)①如图：当0C在AB上方时，同(1)可得：∠E0D=2a; E D ②如图：当OC在AB下方时， .∠COD=90°， 12/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠B0C=180°-a°， ,射线OE平分∠BOC」 :∠C0E-∠B0c=90 2 20, ∠D0E=90°+∠C0E=90+90°- 2a°=1800-1 故答案为：2“或180°- 1 2. 3.(1)30,105;(2)125°：(3)75°或105 【详解】解：(1)：边OA和边OD在同一条直线上，∠AOB=90°，∠C0D=60°， .∠BOC=180°-∠AOB-∠COD=30°， :OM,ON分别为∠AOB,∠COD的平分线， ∠M0B-40B=45,∠C0N=C0D=30°， :.∠MON=∠MOB+∠B0C+∠CON=45°+30°+30°=105°： (2):OM,ON分别为∠AOB,∠COD的平分线，∠AOB=90°，∠COD=60°， :∠M0B=)∠A0B=45°，∠CON=}∠C0D=30. 2 2 .∠BOC=50°， ∴.∠M0W=∠M0B+∠B0C+∠C0N=45°+50°+30°=125° (3),题中表示的所有角都是小于180°的角， ∴.①如图3所示，当0C在OB的右侧，且0°<a<90°时， .∠AOB=90°，∠COD=60°，∠BOC=a, ∴.∠AOC=90°+，∠BOD=60°+a .OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线， M0c-40c=4+50,BoN<B00=30+a. :∠M0N=∠M0C+∠B0N-∠B0C=45+5a+30+)a-a=75, 1 ②如图4所示，当0C在0B的右侧时，且90°<a<120°时， 13/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -------- M: D 图4 此时∠A0C=360°-∠A0B-∠B0C=270°-a,∠B0D=60°+a, w0c=40c=13-0,∠DoN-号B0=30+5a 2 a∠M0w=∠woc-∠c00+∠DaN=1B5a-6m+30+3a=10s, 21 ③如图5所示，当0C在OB的右侧时，且120°<<180°时， R M/D 图5 此时∠AOC=270°-a,∠B0D=360°-∠C0D-∠BOC=300°-a, &∠w01-40c=1B-0,0N-80D=10-0, ∠M0N=∠M0A+∠A0B-∠B0N=135°-a+90°150°-)aF75° 2 ④如图6所示，当0C在OB的左侧时，且0°<&<60°时， 图6 此时∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-a,∠BOD=∠COD-∠BOC=60°-a, 14/18 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 <oc-aoc-45- 2a,∠B0N= ∠B0D=300- 2 、∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON=45°- 20+a+30°- 20=750 ⑤如图7所示，当OC在OB的左侧时，且60°<a<90°时， N B M--- 图7 此时∠AOC=90°-a,∠BOD=∠BOC-∠COD=a-60°， &2M0c-40c=45-,∠D0N-B0n-a-30, 2 2 1 :.ZM0N=∠M0C+∠C0D+∠D0N=45°a+60°+)a-30=75°， ⑥如图8所示，当OC在OB的左侧时，且90°<x<180°时， B M.--- 图8 此时∠AOC=∠BOC-∠AOB=au-90°，∠BOD=a-60°， 2M01=40c-a-45,sov3<Bon=a-30r, 2 2 .∠woN=∠M01+∠40B-∠B0N=a-45490-{G0-30r=75° 综上所述，当∠B0C=a(0°<a<180） 时，∠M0N的度数为75°或105° 4.(I)∠ABD=∠EBC (2)∠EBD=45 15/18 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 9 126 (3)5秒或9秒或11秒 【详解】(1)解：，∠ABE=∠DBC=90°， .∠ABE-∠DBE=LDBC-∠DBE, .∠ABD=∠EBC: (2)解：，∠EBM=∠DBC=90° .∠EBM-∠DBM=∠DBC-∠DBM, ∴.∠EBD=∠CBM, .∠ABD=3∠CBM, ∴.∠ABE+∠EBD=3∠EBD, .90°+∠EBD=3∠EBD, ∴.∠EBD=45°； (3)解：根据题意，设BE,BD旋转前在射线BF上， 当BE平分∠DBM时，如图1所示， M B 图1 ,△ABE绕点B沿顺时针旋转，每秒旋转15度，△BCD绕点B逆时针旋转一 .∠EBF=15L,∠DBF=20E .∠DBE=∠EBM,∠FBM=90°， .20t+15t=90°-15t, 9 ..I 5 当BE是∠DBM的平分线时，如图2所示， 16/18 上好每一堂课 周， 每秒旋转20度， 品学科网·上好课 www.zxxk.com B 图2 ,△ABE绕点B沿顺时针旋转，每秒旋转15度，△BCD绕点B逆时针旋转一 .∠EBF=15t,∠DBF=20E. .∠DBE=360°-20t-15L,∠EBM=15t-90° ,∠DBE=∠EBM, ∴.360°-20t-15t=15t-90°， .t=9, 当BD是∠EBM的平分线时，如图3所示， F M D 图3 ·△ABE绕点B沿顺时针旋转，每秒旋转15度，△BCD绕点B逆时针旋转一月 .∠EBF=15t,∠DBF=360°-20t ∴.∠DBM=360°-20t-90°=270°-20t, :∠DBM=∠EBM :270°-20r=1151-90) 2 :1s126 11· 9 126 综上所述：t的值为5秒或9秒或11秒. 17/18 上好每一堂课 周， 每秒旋转20度， 周，每秒旋转20度， 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 拓展衔接中考 1.B 【详解】解：~三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于90°， .∠1+90°+∠2=180°， :∠1=48° .∠2=180°-90°-48°=42° 2.A 【详解】解：OD平分∠AOC, .∠C0D=∠1=52°， .∠2=180°-∠C0D-∠1=76°， 故选：A. 3.D 【详解】解：直角三角板含60°角，则另一个锐角为30° .∠a=180°-30°=150° 故选：D. 18/18 分层作业 6.3.2 角的比较与运算 说明：ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 ★温馨提示：将鼠标拖动至题型文字上方，按住Ctrl并单击鼠标左键可直接跳转至对应题型哟~★ 目 录 A组 巩固过关 1 题型一、角的比较 1 题型二、三角板中角度计算问题 4 题型三、几何图形中角度计算问题 7 题型四、角度的四则运算 11 题型五、实际问题中角度计算问题 14 题型六、角平分线的有关计算 17 题型七、角n等分线的有关计算 22 B组 能力进阶 25 C组 思维拔高 33 拓展 衔接中考 40 A组 巩固过关 角的比较 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键；如图所示，明确与三角尺的的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，直线外有一定点，点是直线上的一个动点，当点从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（   ）． A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，变小 D．，都变小 【答案】A 【分析】本题考查角的概念，角的大小比较，熟练掌握相关知识是关键． 结合图形和角的概念进行分析即可． 【详解】解：当点从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 3．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是角的比较与运算，解题关键是结合图形得出角之间的关系． 根据题意得出各角之间的关系后，对选项进行判断即可． 【详解】解：射线在的内部， ， ，， 选项、选项结论正确，不符合题意， 射线在的内部，射线在的外部， ， ， 选项结论正确，不符合题意， 结合题意无法判断出与之间的关系，选项结论错误． 故选：． 4．下列方法能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查三角形的边角关系，关键是根据三角形的三边得出角的大小比较解答． 根据角的比较大小解答即可． 【详解】解：A、由图可知，不符合题意； B、根据图可知，不符合题意； C、根据图可知，不符合题意； D、根据图可知，符合题意； 故选：D． 5．如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的大小比较和角度的和差关系．根据，，及得，由此可得出答案． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 三角板中角度计算问题 6．（25-26七年级上·广西河池·期末）数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么与总是相等的，如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系，进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 7．（25-26七年级上·广东河源·期末）下列选项中，不能用一副三角板画出的角是（   ） A．的角 B．的角 C．的角 D．的角 【答案】C 【分析】利用三角板的所有度数的和或差解题即可． 【详解】解：A、，故能画出； B、，故能画出； C、三角板中，没有两个角的和或差是，故不能画出； D、，故能画出． 8．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，将含角的三角板与含角的三角板按不同位置摆放，下列选项中，和不相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.，不符合题意； B.，，不符合题意； C.，不符合题意； D.，，，符合题意． 9．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，首先确定这几个角之间的关系，来求出的度数，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若，则等于_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了角度的和差运算，掌握角度的和差运算是解题关键． 利用直角，先计算，再计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴， 故答案为： ． 11．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，则的度数为__________； （2）若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】（1）先求出，再结合角平分线的定义求出，即可得出结果； （2）由角平分线的定义并结合题意求出，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·河北衡水·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点．若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角板中的角度计算问题．根据图中角的和差关系得求解即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 故答案为：． 几何图形中角度计算问题 13．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）已知，，，则（   ） A．射线在内 B．射线在外 C．射线与射线重合 D．射线与射线重合 【答案】B 【分析】本题考查利用角的和差关系判断射线位置，通过计算角的和差即可推出射线位置． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴射线在外． 14．（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图所示，点A、O、B在同一条直线上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，然后结合平角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，O，A，B，C，D都为格点（方格纸中小正方形的顶点），，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据格点图得出，再根据代入计算即可． 【详解】解：根据格点图可知：， ∵， ∴， ∴，故D正确． 16．（25-26七年级上·广东湛江·期末）如图，射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，则的大小是______． 【答案】/80度 【详解】解：由题意得：． 17．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，若，，则的度数为________． 【答案】 / 【分析】根据平角的定义，进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 18．（25-26七年级下·广东中山·期末）如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 19．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】（1）先求的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数，最后根据平角的定义，求出的度数； （2）先根据是的平分线，，推出，同理推出，再求出，最后根据 求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 即． 角度的四则运算 20．（25-26七年级上·河南南阳·期末）上周末，小聪和小丽一起去参观了南阳解放广场纪念碑．如图，小聪家位于南阳解放广场纪念碑北偏东方向，小丽家位于南阳解放广场纪念碑南偏东方向，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角的概念和角度的和差计算，熟练掌握方向角的定义以及平角的度数为是解题的关键．根据方向角的定义，结合平角为，将拆分为已知的两个方向角与平角的关系，通过角度的和差运算求出的度数． 【详解】解：∵ 小聪家位于纪念碑北偏东方向， ∴ 北方向线与的夹角为． ∵ 小丽家位于纪念碑南偏东方向， ∴ 南方向线与的夹角为． ∵ 北方向线与南方向线在同一直线上，构成平角， ∴ ． 故选：A． 21．（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图，是直线上一点，是的平分线，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，度分秒的计算，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． 根据角平分线的定义以及平角的定义求出，然后利用度分秒的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵是的平分线，且， ∴， ∴， 故选：C． 22．（25-26七年级上·四川成都·期末）计算：____________ ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查角度的加法运算，掌握是解题的关键． 【详解】解：． 23．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是北偏东_________． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，角平分线的定义，角度的计算，熟练掌握方向角的应用是解题的关键． 记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，根据计算出，即可解题． 【详解】解：∵的方向是北偏东，的方向是北偏西， ， 平分， ， 记正北方为， ， 的方向是北偏东． 故答案为：． 24．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）计算：______． 【答案】 【分析】根据度分运算规则，先分别计算原式中的乘法与除法，再计算减法，最后将分换算为度得到最终结果． 【详解】解： ． 25．如图，已知点为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，，先猜想是图中哪个已知角的平分线，然后再说明理由． 【答案】(1) (2) 解：平分；理由： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了角的运算，角平分线的定义，熟悉掌握角的等量代换是解题的关键． （1）由平分，推出，再利用平角的度数关系运算求解即可； （2），，推出出，分别运算出与的度数，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∵， ∴； （2）略 实际问题中角度计算问题 26．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握平角为．根据平角为，减去和的度数即可． 【详解】解：． 故选：A． 27．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，以灯塔O为中心，A港口在灯塔的北偏东方向上，B港口在灯塔的北偏西方向上，点C在的延长线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方位角的计算，角度制，根据方位角的描述可得，再根据平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵射线表示北偏东方向，射线表示北偏西方向， ∴， ∵点C在射线的反向延长线上， ∴． 故选：A． 28．（25-26七年级上·广东东莞·期末）、都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果依次为、、和，其中有正确的结果，那么算得正确的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了角的有关计算的应用，解决本题的关键是得到所求角的取值范围．由钝角范围确定的取值范围，进而得到的范围，只有在此范围内． 【详解】解：∵ α、β均为钝角， ∴， ∴， ∴ 给定结果中仅满足此范围， ∴ 算得正确的是乙， 故选：B． 29．如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 30．（25-26七年级上·山东青岛·期末）时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是______度． 【答案】157.5 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动，时针每分钟转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 【详解】解：在3点45分时，时针所在位置与指向12时的角度为， 分针与指向12时的角度为， 两针角度差为， 由于，故较小夹角为． 故答案为：157.5 角平分线的有关计算 31．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】角平分线的定义求出的度数，平角的定义求出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 32．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，，平分，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，理解图示中角与角的位置，数量关系，角平分线的性质是解题的关键． 根据，，可求出，从而求出，再根据平分，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴ 故选：C. 33．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有______（填序号） ①；②；③；④． 【答案】① 【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ∵，， ∴， 故④错误； 综上所述，等式中成立的只有①． 34．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，是的平分线，，是的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于角平分线的计算．根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再根据是的平分线，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 35．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和与差、一元一次方程的应用，根据，可设，，根据角之间的关系可得，角平分线的定义可得：，解方程即可得到，根据即可求出结果． 【详解】解：， 设，， ， 平分， ， ， 解得：， ． 36．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知为直线上一点，，平分．若，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的计算等知识点，先由已知求出，再由平分，得，再由，分别求得，的度数即可． 【详解】解：因为，， 所以， 又因为平分， 所以， 所以， 所以． 37．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，三角尺的直角顶点B在直线上，点A，C在直线的同侧． (1)如图1，，若，求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，可得，求出x，根据计算即可； （2）由题意可得，，利用，得，再利用即可求解．解答即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 根据题意得． 角n等分线的有关计算 38．（25-26七年级上·江西新余·期末）已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可分四种情况：①；②；③；④，根据角之间的关系讨论求解即可． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 39．如图，，，，则的度数为________° 【答案】76 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． 40．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 41．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）如图，点A、O、B在一条直线上，，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据角平分线的定义可进行求解； （2）由题意可设，则，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴ （2）解：由可设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． B组 能力进阶 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，过点作射线､，使，是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义，再运用分类讨论的思想解答即可． 【详解】解：根据题意得： 如图所示，当射线在内部时， ，， ， 是的平分线， ， ； 如图所示，当射线在外部时， ，， ， 是的平分线， ， ， 综上，或． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程的应用，熟练掌握角的关系，是解答本题的关键．设，则，，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 4．（25-26七年级上·广东河源·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若平分，则的方向是_________． 【答案】北偏东 【分析】根据方位角的定义，求得，由角平分线的定义，求得，最后由方位角的定义得出答案． 【详解】解：∵的方向是北偏东的方向是北偏西， ， 平分， ， ， ， ∴的方向是北偏东． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，中，，、是线段上的两个动点，连接，；在线段上再取两点，，连接，，使得，．若，则______________． 【答案】或 【分析】先设，，则， 然后分两种情况讨论，根据角的和差计算结合整体的思想求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，，则， 当点在点上方时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点下方时，如图 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：或． 6．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）如图，一个有故障的节拍器，指针在中轴左右摆动的幅度不相等．若，且射线平分，则___________ （结果用“度分秒”为单位的“角度制”表示）． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是角的有关计算、一元一次方程的实际应用、角度的换算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． 由题意可知，设，则，再求出，然后根据角平分线的定义求出，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】 解：由题意可知：， ， 设，则， ， 射线平分， ， ， ， 解得， ． 7．（25-26七年级上·四川广元·期末）已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点处（注：，）． (1)如图①，使三角板的短直角边与射线重合，求的度数． (2)将图①的三角板在的上方绕点逆时针转动，如图②，在转动过程中，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用求解即可； （2）设，则，根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， 如图，当在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在外部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 8．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，点O在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得出，再根据可得答案； （2）根据角的比例可得，再根据角的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·安徽六安·期末）【问题背景】已知一副三角尺，在三角尺中，，；在三角尺中，，，；已知两个三角尺有一个顶点A重合． （1）【初步感知】如图1，若与重合，，分别是，的平分线，则的度数为________；的度数为________． （2）【拓展探究】将三角尺按照图2方式摆放，，分别是，的平分线，若，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）首先求出，结合角平分线求出的度数； （2）首先表示出，，然后由角平分线表示出，，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴． C组 思维拔高 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算，熟练掌握角的和差是解题的关键； 利用角的和与差推出，由题意得，，即可解答． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分． （1）如图，如果__________． （2）如果，将三角板绕点旋转一周（旋转过程中与度数都是大于且小于的角），的度数为__________．（用含的代数式表示）． 【答案】 /30度 或 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握角平分线定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可； （2）分在上方和下方两种情况，分别运用角平分线的定义以及角的和差即可解答． 【详解】解：（1）由题意可知：， ∵， ∴， ∵射线平分． ∴， ∴． 故答案为：． （2）①如图：当在上方时，同（1）可得：； ②如图：当在下方时， ∵， ， ∵射线平分． ∴， ∴． 故答案为：或． 3．（25-26七年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 【答案】（1）30，105；（2）；（3）或 【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答； （2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答； （3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答． 【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，， ∴， ∵分别为的平分线， ∴，， ∴； （2）∵分别为的平分线，， ∴，， ∵， ∴ （3）∵题中表示的所有角都是小于的角， ∴①如图3所示，当在的右侧，且时， ∵，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴； ②如图4所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ③如图5所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ④如图6所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑤如图7所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑥如图8所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）启照学习小组的同学利用直尺和直角三角板研究旋转变化过程中角度的变化规律．小组成员提出了以下几个问题，现在邀请你和他们一起进行探究！ 如图1，含角的直角三角板与含角的直角三角板，将它们的一条直角边分别与直尺的一条边完全重合（点A与点N重合，点C与点M重合）． (1)若将绕点B旋转，如图2所示，点E恰好落在上，则与的数量关系是 ； (2)若保持不动，将绕点B旋转至如图3所示的位置，已知，请求出此时的角度； (3)若保持直尺不动，同时旋转两个三角板．绕点B沿顺时针旋转，每秒旋转15度，绕点B逆时针旋转一周，每秒旋转20度，当运动停止时，另一个随之停止运动．在射线和中，若其中一条恰好是另外两条构成的角的角平分线，请直接写出满足条件的运动时间t的所有值． 【答案】(1) (2) (3)秒或9秒或秒 【分析】（1）根据，从而得出，从而得出； （2）根据得出，从而根据得出，从而得出方程，从而得出； （3）分三种情形：当平分时，根据得出方程，从而得出t的值，同样得出当是的平分线时和是的平分线时的t的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据题意，设旋转前在射线上， 当平分时，如图1所示， ∵绕点B沿顺时针旋转，每秒旋转15度，绕点B逆时针旋转一周，每秒旋转20度， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当是的平分线时，如图2所示， ∵绕点B沿顺时针旋转，每秒旋转15度，绕点B逆时针旋转一周，每秒旋转20度， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当是的平分线时，如图3所示， ∵绕点B沿顺时针旋转，每秒旋转15度，绕点B逆时针旋转一周，每秒旋转20度， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述：t的值为秒或9秒或秒． 拓展 衔接中考 1．（2026·北京·中考真题）如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·四川南充·中考真题）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $