5.1.2 等式的性质（分层作业练题型）数学新教材人教版七年级上册

分层作业 5.1.2 等式的性质 说明：ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 ★温馨提示：将鼠标拖动至题型文字上方，按住Ctrl并单击鼠标左键可直接跳转至对应题型哟~★ 目 录 A组 巩固过关 题型一、等式的性质1 题型二、等式的性质2 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 衔接中考 A组 巩固过关 等式的性质1 1．（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，其中图中天平保持左右平衡，现要使图中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）下列一元一次方程的变形，错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．（25-26七年级上·山西太原·期末）设“●”“”“”表示三种不同的物体，先用天平称了两次，情况如图所示：则下列图示不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知白昼时长（正午时刻日出时刻）（日落时刻正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为_________． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知白昼时长（正午时刻－日出时刻）（日落时刻－正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为__________． 等式的性质2 8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26七年级上·湖南常德·期末）下列等式变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 11．（25-26七年级上·湖北随州·期末）已知a，b，c为有理数，且，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是实数，若，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）已知，下列运用等式的性质变形错误的是（    ） A． B． C． D． B组 能力进阶 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 2．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 4．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 6．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）对一个各位均不为0的三位自然数，将其各位数代入中，称为对其进行一次“少年运算”，例如：对123进行一次“少年运算”，其结果为；对该三位数及任意调换其两位数字后所得的数分别进行一次“少年运算”，所得结果的最小值，称为该三位数的“宏志数”.若一对三位数和满足，则的“宏志数”＝__________. 7．王老师在黑板上写了一个等式，小明说；小刚说不一定，当时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确么？用等式的性质说明理由． C组 思维拔高 1．若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 2．（25-26七年级上·河北·单元复习）阅读下列材料． 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．⑦ 根据以上信息，回答下列问题： (1)从步骤①到步骤②，变形的依据是________；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是________． (2)仿照上述探究过程，请你分别将和表示成分数的形式． 3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”． (1)请判断数对______“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； (2)若是“同心有理数对”，求a的值； (3)若是“同心有理数对”，则______“同心有理数对”（填“是”或“不是”）？说明理由？ 拓展 衔接中考 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2026·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.1.2 等式的性质 说明：ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 ★温馨提示：将鼠标拖动至题型文字上方，按住Ctrl并单击鼠标左键可直接跳转至对应题型哟~★ 目 录 A组 巩固过关 题型一、等式的性质1 题型二、等式的性质2 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 衔接中考 A组 巩固过关 等式的性质1 1．（26-27七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，其中图中天平保持左右平衡，现要使图中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（    ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】图(a)与(b)相加得5个图形共150克，故1个三角形+1个圆形克．进而求出一个圆克．1个三角形的重量是：克克克，由此即可解题． 【详解】合并信息 据图（a），可得：3个三角形+2个圆形=80克． 根据图（b），可得：2个三角形+3个圆形=70克． ∴(3个三角形个圆形）个三角形+3个圆形=80克+70克 即：5个三角形个圆形=150克． ∴1个三角形+1个圆形克克． 又∵2个三角形+3个圆形（2个三角形个圆形）个圆形=克． ∴60克个圆形克， ∴1个圆形的重量是：70克克=10克， 1个三角形的重量是：30克克=20克． 图（C）的左盘中有1个三角形和2个圆形．它们的总重量是：克克=40克． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，原式变形不正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】根据等式性质对各选项的变形逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A 、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项B、∵，等式两边同时减，得，原变形正确，符合题意； 选项C、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项D、∵，等式两边同时乘，得，原变形错误，不符合题意； 4．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）下列一元一次方程的变形，错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】依据等式的基本性质判断各选项变形的正误即可． 【详解】解：利用等式基本性质逐一判断： 对于A．由，移项得，变形正确，不符合题意； 对于B．由，等式两边同时除以，得，变形正确，不符合题意； 对于C．由，等式两边同时除以，得，题中变形得到，因此变形错误，符合题意； 对于D．由，移项得，变形正确，不符合题意； ∴错误的变形是选项C． 5．（25-26七年级上·山西太原·期末）设“●”“”“”表示三种不同的物体，先用天平称了两次，情况如图所示：则下列图示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由天平的平衡条件可知，，， 则，A天平平衡； ，B天平平衡； ，C天平平衡，图中所给天平不平衡，故不正确，符合题意； ∵，，∴，D天平平衡； 6．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知白昼时长（正午时刻日出时刻）（日落时刻正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为_________． 【答案】 【分析】根据题目给出的白昼时长的两个相等表达式，推导出正午时刻与日出时刻、日落时刻的关系，代入已知时间计算即可． 【详解】解：∵（正午时刻日出时刻）（日落时刻正午时刻）， ∴正午时刻日出时刻日落时刻正午时刻， ∴正午时刻日出时刻日落时刻， ∴正午时刻（日出时刻日落时刻）， ∴正午时刻为（时分时分）（时分）时分， 即该地区这一天的正午时刻为． 7．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知白昼时长（正午时刻－日出时刻）（日落时刻－正午时刻）．某地区某天的日出时刻为，日落时刻为，该地区这一天的正午时刻为__________． 【答案】 【分析】根据题目给出的白昼时长的两个相等表达式，推导出正午时刻与日出时刻、日落时刻的关系，代入已知时间计算即可． 【详解】解：设正午时刻为，日出时刻为，日落时刻为， 由题意得：， 等式两边同时除以得：， 移项得：， 所以， 当，时，． 等式的性质2 8．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式的性质为：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解： A选项： ∵，等式两边同时加，可得，变形正确，不符合题意； B选项： ∵，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C选项： ∵，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意； D选项： ∵，等式两边同时除以，得，变形错误，符合题意. 故选D． 9．（25-26七年级上·云南普洱·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式性质逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：若，等式两边需同时加或减同一个数，等式才成立，可得，因此A错误； 若，不一定等于，例如当时，成立，但，因此B错误； 若，根据等式性质2，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立，可得，因此C正确； 若，当时，分母为0，分式无意义，等式无意义，因此D错误． 10．（25-26七年级上·湖南常德·期末）下列等式变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，需依据等式两边同时乘或除以同一个不为0的数等式仍成立的性质，逐一判断各选项的变形是否正确 【详解】解：∵等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立 对于选项A：∵，两边同时除以，得， ∴A选项错误； 对于选项B：∵，，两边同时除以，得， ∴B选项正确； 对于选项C：∵，两边同时乘4，得， ∴C选项错误； 对于选项D：当时，和无意义，缺少的条件， ∴D选项错误； 故选：B 11．（25-26七年级上·湖北随州·期末）已知a，b，c为有理数，且，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．需依据等式的两条性质逐一分析选项，特别注意等式两边同除以一个数时，该数不能为0． 【详解】解：∵ ∴根据等式性质1，等式两边同时加5，得，故A选项正确． 根据等式性质2，等式两边同时乘，得，故B选项正确． 根据等式性质2，等式两边同时乘，得，故C选项正确． 根据等式性质2，等式两边同时除以一个数时，这个数不能为0，而D选项中未说明，当时，和无意义，故D选项变形不正确． 故选：D． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是实数，若，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，当时，；原式子不一定成立，不符合题意； B、，当时，，此时；原式子不一定成立，不符合题意； C、，则；原式子一定成立，符合题意； D、，则，只有时；故原式子不一定成立，不符合题意； 故选：C． 13．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）已知，下列运用等式的性质变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、∵， ∴，即，原式变形错误，符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； C、∵， ∴，即，原式变形正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； 故选：A． B组 能力进阶 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 2．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设所缺的部分为x， 则2y-y-x， 把y=-代入， 求得x=3． 故选C． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 【答案】// 【分析】本题考查了整式的加减运算，等式的性质，将题干中两式相加化简，即可得到b与c满足的数量关系． 【详解】解：，， 将两式相加得： ； 故答案为：． 4．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质以及代数式整体代入求值，关键是根据“特殊数对”的定义列出等式，化简得到与的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值．首先将代入“特殊数对”的等式中，得到；再将变形为含的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是“特殊数对”， ∴， 去分母化简得：， 则； 故答案为：． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【答案】 6 【分析】本题结合幻方的性质考查等式的性质、整式的加减运算，同时考查方程思想与辅助未知数消元法的运用，关键是紧扣幻方中横行、竖行及对角线的三数之和相等的性质建立等式．解题时先根据幻方的性质列出包含、和公共辅助未知数的等式，消去后移项化简，直接求出；再设其他辅助未知数、，结合幻方的性质分别用、、表示出和，将其代入另一幻和等式中，通过整式的化简消去多余未知数，最终求解得出的值． 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 6．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）对一个各位均不为0的三位自然数，将其各位数代入中，称为对其进行一次“少年运算”，例如：对123进行一次“少年运算”，其结果为；对该三位数及任意调换其两位数字后所得的数分别进行一次“少年运算”，所得结果的最小值，称为该三位数的“宏志数”.若一对三位数和满足，则的“宏志数”＝__________. 【答案】2 【分析】本题主要考查了数字规律探索，整式加减运算，等式性质，解题的关键是理解题意．由方程，解得：，，因此，对125及其调换两位数字后所得的数进行“少年运算”，结果的最小值为2． 【详解】解：由，，代入方程得： ， 展开并整理：， ， ， 除以9得：， 由于，为1至9的正整数， 因此，， 故， 对125进行“少年运算”：， 调换两位数字所得的数及其“少年运算”： 交换第一位和第二位得215：， 交换第一位和第三位得521：， 交换第二位和第三位得152：， 结果有2，2，6，4，最小值为2， 故“宏志数”为2． 故答案为：2． 7．王老师在黑板上写了一个等式，小明说；小刚说不一定，当时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确么？用等式的性质说明理由． 【答案】 小明的说法错误，小刚的说法正确， 理由如下：当时，x为任意数， 当时，． 【分析】根据等式的基本性质，即可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立是解题的关键． C组 思维拔高 1．若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可； （2）等式两边同时减去即可得到，由此即可得到结论； （3）等式的性质两边同时乘以6可得，，由此可得结论． 【详解】（1）解： ∵不论为何值，都有 ∴ （2）解：∵， ∴等式两边同时减去，得， 整理得， ∴． （3）解：∵， 根据等式的性质两边同时乘以6可得， 整理得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 2．（25-26七年级上·河北·单元复习）阅读下列材料． 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．⑦ 根据以上信息，回答下列问题： (1)从步骤①到步骤②，变形的依据是________；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是________． (2)仿照上述探究过程，请你分别将和表示成分数的形式． 【答案】(1)等式的基本性质2；等式的基本性质1 (2) 【分析】（1）根据等式的性质进行填空即可； (2)设两边同时乘以，可得，解方程可得结论；设两边同时乘以，可得，解方程可得结论；对于因为，所以设两边同时乘以，可得，解方程得出即可． 【详解】（1）解：从步骤①“两边同乘以”到步骤②，所以变形的依据是等式的基本性质2；从步骤⑤到步骤⑥，“两边同时减去”变形的依据是等式的基本性质1. （2）解：设， ， ， ， ， ， ． 解：设， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等式的基本性质与一元一次方程的应用，仿照示例列方程是解题的关键． 3．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”． (1)请判断数对______“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； (2)若是“同心有理数对”，求a的值； (3)若是“同心有理数对”，则______“同心有理数对”（填“是”或“不是”）？说明理由？ 【答案】(1)是 (2) (3)是 【分析】（1）根据“同心有理数对”的定义进行判断即可； （2）根据“同心有理数对”的定义列出关于a的方程，解方程即可； （3）根据“同心有理数对”的定义得出，然后证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是“同心有理数对”， 故答案为：是． （2）解：∵是“同心有理数对”， ∴， ∴． （3）解：∵是“同心有理数对”， ∴， ∴， ∴是“同心有理数对”． 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了新定义计算，有理数混合运算和整式加减运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式． 拓展 衔接中考 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 【答案】2 【分析】本题先对已知等式变形，得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 等式的性质 参考答案 A组 巩固过关 等式的性质1 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6． 7． 等式的性质2 8．D 9．C 10．B 11．D 12．C 13．A B组 能力进阶 1．C 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 2．C 【详解】设所缺的部分为x， 则2y-y-x， 把y=-代入， 求得x=3． 故选C． 3．// 【详解】解：，， 将两式相加得： ； 故答案为：． 4． 【详解】解：∵是“特殊数对”， ∴， 去分母化简得：， 则； 故答案为：． 5． 6 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 6．2 【详解】解：由，，代入方程得： ， 展开并整理：， ， ， 除以9得：， 由于，为1至9的正整数， 因此，， 故， 对125进行“少年运算”：， 调换两位数字所得的数及其“少年运算”： 交换第一位和第二位得215：， 交换第一位和第三位得521：， 交换第二位和第三位得152：， 结果有2，2，6，4，最小值为2， 故“宏志数”为2． 故答案为：2． 7． 小明的说法错误，小刚的说法正确， 理由如下：当时，x为任意数， 当时，． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立是解题的关键． C组 思维拔高 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ∵不论为何值，都有 ∴ （2）解：∵， ∴等式两边同时减去，得， 整理得， ∴． （3）解：∵， 根据等式的性质两边同时乘以6可得， 整理得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 2．(1)等式的基本性质2；等式的基本性质1 (2) 【详解】（1）解：从步骤①“两边同乘以”到步骤②，所以变形的依据是等式的基本性质2；从步骤⑤到步骤⑥，“两边同时减去”变形的依据是等式的基本性质1. （2）解：设， ， ， ， ， ， ． 解：设， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等式的基本性质与一元一次方程的应用，仿照示例列方程是解题的关键． 3．(1)是 (2) (3)是 【详解】（1）解：∵，， ∴是“同心有理数对”， 故答案为：是． （2）解：∵是“同心有理数对”， ∴， ∴． （3）解：∵是“同心有理数对”， ∴， ∴， ∴是“同心有理数对”． 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了新定义计算，有理数混合运算和整式加减运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式． 拓展 衔接中考 1．C 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 2．2 【详解】解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $