31.3相似三角形的应用（第1课时）（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级下册

sin2θ+cos2θ=1 人教版(新教材) 九年级下册 第三十一章 相似 31.3(第1课时) 相似三角形的应用 31.3（第1课时）相似三角形的应用 三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽建筑之一，集防洪、发电、航运、水资源利用等为一体. 黄鹤楼是中国著名的历史文化名楼，以其独特的建筑风格和深厚的文化底蕴吸引着无数游客. 武汉长江大桥是中国湖北省武汉市连接汉阳区与武昌区的过江通道，是长江上的第一座大桥. 如何测量三峡大坝的长度？ 如何测量黄鹤楼的高度？ 如何测量长江的宽度？ 思考 31.3（第1课时）相似三角形的应用 古希腊数学家、天文学家泰勒斯 利用相似测高 31.3（第1课时）相似三角形的应用 思考 如图，木杆 EF 长 2 m，测得木杆的影子 FD = 3 m， OA = 201 m， 如何求金字塔的高度 BO？ 解：太阳光是平行光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°， ∴△ABO ∽△DEF. ∴ ， ∴ =134 . 因此金字塔的高度为 134 m. 31.3（第1课时）相似三角形的应用 测量方法1：影子测量法 1.测量出参照物的高度 DF； 测量出太阳光下参照物的影长 EF 2.和被测物体的影长 BC； 3.计算出被测物体的高度 AC. (1)被测物体的底部能够到达； (2)由于影子长随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长. 注意 运用此测量方法时，要符合下列两个条件： 31.3（第1课时）相似三角形的应用 测量方法1：影子测量法 原理： 测量不能到达顶部的物体的高度， 可以用“在同一时刻物高与影长成 正比例”的原理解决. 核心：找到同一时刻的标杆 表达式：物1高:物2高 = 影1长:影2长 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 如图所示，在离某建筑物 3 m 的 B 处有一棵树 AB， 1.4 m 长的竹竿 垂直于地面，影长 为 2 m.同一时刻，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在建筑物的墙上，墙上的影高 CD 为 2 m，求这棵树的高度. 解：如图，过点 C 作 CE//AD 交 AB 于点 E， 则 AE = CD = 2 m. 由题意，知 AD//，则 EC//. ∴ ∠BCE =∠B'BA'. 又∠ =∠EBC=90°， ∴ △∽△BCE， ∴ ，即 ， 解得 EB =2.1 m， ∴ AB =EB +AE =2.1+2=4.1(m)， 即这棵树的高度为 4.1 m. E 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 果果想利用树影测量树高(AB)，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿的影长为0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙(CD)上，如下图．他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2 m，又测得地面部分的影长(BC)为2.7 m，他测得的树高应为多少米？ 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， 因此BE=CD=1.2 m，DE=BC=2.7 m． 由 ，得AE=3（m）． 所以AB=AE+EB=3+1.2=4.2（m）． D C B A E 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测得 CD＝5 m， AD＝21 m，ED=3 m，求 A、B 两点间的距离. A B E D C 解：由题意，知 AD//， ∴ △∽△ABE， ∴ ，即 ， 解得 AB =30 m， ∴A、B 两点间的距离为30m. 31.3（第1课时）相似三角形的应用 归纳总结 “X”型图 “A”型图 E D C B A A B C D E 利用相似三角形测量的模型 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 如图，小明在A时测得某树的影长为4 m，B时又测得该树的影长为3 m，若两 次日照的光线互相垂直，则树的高度为________ m．（精确到0.1米, 1.73）. 解：根据题意作出示意图， 则 ， ， ， ， ， ，即 ， 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（ ，A,B,C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得 ，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得 ，小明身高 ，求凉亭的高度． 解：由题意得： ， 解得： ， ∴凉亭的高度约为9.5 m． 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 如图，小明利用平面镜测量旗杆AB的高度．他的眼睛到地面的距离 m，他与镜子的水平距离 m，镜子到旗杆底部的水平距离 m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．求旗杆AB的高度. 解：由题意可知： ， ， ∴ ， ∴ 即 ， 解得 ． 故旗杆AB的高度为12 m. 31.3（第1课时）相似三角形的应用 测量方法2：镜子测量法 1.在观测者与被测物体之间的地面上平放一面平面镜，在平面镜上做一个标记 E； 2.测出观测者眼睛到地面的高度 CD； 3.观测者看着平面镜来回走动，直至看到被测物体顶端在平面镜中的像与平面镜上的标记重合，此时测出平面镜上的标记位置到观测者脚底的水平距离 DE 及到被测物体底端的水平距离 BE； 4.根据“两角分别相等的两个三角形相似”推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度 AB. 31.3（第1课时）相似三角形的应用 测量方法2：镜子测量法 原理： 利用平面镜的反射，根据“反射角等于入射角”构造相似三角形. 测量时被测物体与人之间 不能有障碍物，且平面镜 要水平放置. 注意 31.3（第1课时）相似三角形的应用 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 思路溯源 如图，观察者从左向右前进时，由于两棵树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都看不到，当她眼睛的位置与两棵树的顶端A,C恰在一条直线上及其之后，就看不到右边较高树的顶端C了. 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C . 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的 位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上． ∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH∽△CEK. ∴ ， 即 解得 EH=8. 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 解：∵ ， ∴设 米，则 米， ∵四边形DGHE是矩形， ∴ ， ， 某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道m,n之间的距离为9米， 表示这块空地， 米.现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB,AC上．如果矩形花坛的边 ，求出这时矩形花坛的两条邻边的长． F M 过点A作 于点F，交DE于点M，则 米， ∴ ， 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地，如图，这两条小道m,n之间的距离为9米， 表示这块空地， 米.现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB,AC上．如果矩形花坛的边 ，求出这时矩形花坛的两条邻边的长． ∴四边形DGHE为矩形，∴ 米， ∴ 米， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴这时矩形花坛的两条邻边的长为6米和12米． F M 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 解：设 ， ， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ， ， ∴ 解得： ，∴路灯离地面的高度GH为8.31 m． 在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点B处时，乙测得甲直立时身高BE的影子AB长是3.3 m，然后甲从B出发沿AC方向继续向前走11.1 m到点D处时，乙测得甲直立时身高DF的影子CD长是0.55 m．已知甲同学直立时的身高为1.65 m．求路灯离地面的高度GH． 31.3（第1课时）相似三角形的应用 文化溯源 《海岛算经》 《海岛算经》是三国魏数学家刘徽所撰的古代测量数学专著，成书于公元 263 年，属于《算经十书》之一.它原本名为《重差》，是刘徽《九章算术注》的第十卷；唐代时单独刊行，因首题为 “望海岛”，故而得名《海岛算经》. 全书一共 9 道题目，全部围绕测高、望远、量深展开，用来测算海岛、山松、城池、河谷等难以直接到达的目标.书中核心方法叫重差术，依托相似直角三角形的比例关系，使用标杆多次测望，通过差值推算高度与距离，是中国古代实用几何的杰出代表. 31.3（第1课时）相似三角形的应用 本课总结 基本模型 相似三角形 的应用 利用平面镜的反射测量物体的高度 利用影子测量物体的高度 方法1 方法2 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 解：设这棵树的高度为x m，根据题意可得： ， 解得 ， 即这棵树的高度是4.8 m． 如图，在同一时刻，身高1.6 m的小丽在阳光下的影长为2.5 m，一棵大树的影长为7.5 m，则这棵大树的高度为（   ） A．1.5m B．3.2m C．4.8m D．7.8m 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4 m的位置上．已知网高为0.8 m，击球点到网的水平距离为3 m，若球的运动路线为直线的一部分，则球拍击球的高度为（     ） A．0.8m B．1.5m C．1m D．1.4m 解：如图，根据题意，可得 ，且 ， ∴ ，∴ ，即 ，∴ ， 解得 ，即球拍击球的高度为1.4 m． 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 解：如图所示，设河宽米，则点P到北岸的距离为 米， 由题意得， , 米， 米， ∴ ， ∴ ，即 ，解得 ， ∴河宽为22.5米． 如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（     ） A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点A，镜子放在点O，路灯的底部为点C，顶部为点D，点A,C,O在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离 ， ， ，则路灯的高度CD为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 解： ， ， 由镜面反射，可知 ， ， ∴ ， ， ， ，故路灯的高度为2.5 m. 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 解： ， ， 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m， 测得 ，则建筑物CD的高是__________． 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC = 20 米，求旗杆的高度. A B C D G E F 解：由题意可得：△DEF∽△DCA， ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米， 则 故 AB = AC + BC= 10 + 1.5 = 11.5 (米). 答：旗杆的高度为 11.5 米. ∴ 解得：AC = 10， 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔AB的高度，如图，在地面BC上取E,G两点，分别竖立高为2 m的标杆EF和GH，两标杆间隔27 m，并且铁塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2 m到D处，从D处观察A点，A,F,D三点成一线，从标杆GH走3 m到C处，从C处观察A点，A,H, C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度． 解：由题意可得， ， ， ∴ ∴ ， ， ∴ ∴ ， ， 31.3（第1课时）相似三角形的应用 规范解答 某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔AB的高度，如图，在地面BC上取E,G两点，分别竖立高为2 m的标杆EF和GH，两标杆间隔27 m，并且铁塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2 m到D处，从D处观察A点，A,F,D三点成一线，从标杆GH走3 m到C处，从C处观察A点，A,H, C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度． ∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴铁塔的高度为56 m． 31.3（第1课时）相似三角形的应用 相似三角形应用：视线盲区演示 拖动底部小人左右移动，观察视线变化与盲区，理解遮挡问题 小树 AB = 8 m，大树 CD = 12 m 树间距 BD = 5 m，眼睛高度：1.6 m 当前人与小树距离：12.26 m 临界距离：8 m（小于8m就看不见大树顶端C） 相似关系：△AFH ∽ △CFK，AH=6.4m，CK=10.4m；FH/(FH+5)=6.4/10.4 ⇒ FH=8 $