3.3.2抛物线的简单几何性质（第2课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2(第二课时) 抛物线的简单几何性质 前情回顾 图形 标准方程 范围 对称性 关于轴对称 关于轴对称 顶点和离心率 顶点(0,0)，离心率 抛物线的几何性质： 前情回顾 标准方程 图形 焦半径 焦点弦 通径 (越大，开口越开阔) 焦点弦：直线与抛物线相交于，. 学 习 目 标 1 2 3 了解抛物线的几何性质及其简单应用. 理解直线与抛物线的位置关系并掌握其判断方法. 能运用直线与抛物线的位置关系解决弦长、中点弦问题. 我们一起来探究“抛物线的简单几何性质”吧！ 读教材 阅读课本P136-P137，4分钟后完成下列问题： 1.画出直线与抛物线的位置关系，交点个数及其判断方法？ 2.如何求直线与抛物线相交的弦长？ 新知探究1 问题1 经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点 的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴？ 证明：如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点， 建立平面直角坐标系. 设抛物线的方程为，① 点的坐标为， 则直线的方程为，② 抛物线的准线方程是.③联立②③，可得点的纵坐标为. 新知探究1 问题1 经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点 的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴？ 因为焦点的坐标是，当时， 直线的方程为. ④ 联立①④，消去，可得， 即，可得点的纵坐标为， 与点的纵坐标相等，于是平行于轴. 当时，易知结论成立. 所以，直线平行于抛物线的对称轴. 问题2 直线与抛物线有几种位置关系？ ①直线与抛物线相交 ②直线与抛物线相切 ③直线与抛物线相离 1个公共点 2个公共点 与对称轴平行或重合 1个公共点 0个公共点 新知探究1 思考 类比双曲线与直线的位置关系，如何判断直线与抛物线的位置关系？ 联立， ①，直线与对称轴平行或重合，直线与抛物线相交相交于一点 ② ，直线与对称轴不平行： Δ0 直线和抛物线相交，有两个交点 Δ=0 直线和抛物线相切，有一个公共点 Δ0 直线和抛物线相离，无公共点 直线的斜率存在 新知探究1 概念 直线与抛物线的位置关系 联立直线和抛物线的方程，判断直线与抛物线的位置关系： （直线斜率存在） 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与对称轴 平行或重合 相交(一个交点) 计算判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 相交 相切 相离 一解不一定相切 相交不一定两解 练习巩固 练习1 已知直线的斜率为，且过定点(－2,1) ， 抛物线求的取值范围， 使直线与抛物线：(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点； (3)没有公共点？ 解：由题意，设直线 ， 由 得：可得① (1)当时，由方程①得 ,把代入，得 ， 此时直线与抛物线只有一个公共点 . 当时，方程①的判别式 即，解得或直线 与抛物线只有一个公共点. 综上，当或或 时，直线与抛物线只有一个公共点. 练习巩固 练习1 已知直线的斜率为，且过定点(－2,1) ， 抛物线求的取值范围， 使直线与抛物线：(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点； (3)没有公共点？ 解：(2)当时，方程①的判别式 由，即，解得， 综上，当 ，且时，直线 与抛物线有两个公共点. (3)当时，方程①的判别式 由，即，解得或， 综上，当 或时，直线 与抛物线无公共点. 练习巩固 练习2 已知直线过点，且与抛物线只有一个公共点， 求直线的方程？ 解：当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时，由题意设直线方程为： .将直线的方程与联立， 消去得.由，得或. 所以直线的方程为或. 当直线与轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时，， 综上所述：满足条件的直线共有三条， 其方程为或或. 新知探究3 问题3 当直线与抛物线线相交时，如何求弦长？ 代数法：(两点间距离公式) 练习巩固 练习3 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 两点，求证: (1) ；(2) ？ 解：(1) ①当轴时, 所以. ②当轴不垂直时,设. ∵焦点. ∴直线的方程为:.代入 化简得:∴ 练习巩固 练习3 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 两点，求证: (1) ；(2) ？ 解：(2)因为 所以，因为和异号， 所以. 概念 直线与抛物线的相交的弦长 若直线（斜率为且）与抛物线交于 , 两点，则 (1)若直线过抛物线焦点，则 . (2)若直线过抛物线的焦点且垂直于轴，则 . (3)若直线过抛物线的焦点且直线的倾斜角为 ， 则 . 练习巩固 练习4 设抛物线被直线截得的弦 的长为， 解：由得 .设 ， 因为，所以 ， 由弦长公式得 ， 即，解得或 （舍）. 练习巩固 练习5 已知 解：设点，则（注意 的范围）， 所以 . 所以当时，取得最小值，且 . 抛物线性质的应用 题型1 题型探究 例1 抛物线求过点与抛物线 有唯一公共点的直线方程？ 解：当直线平行于轴时，直线与抛物线 有唯一公共点，. 当直线与抛物线相切时，显然直线 的斜率存在， 设其斜率为，则切线方程为联立方程 并 消去，得， 则 ，解得 综上可知，直线方程为或 抛物线性质的应用 题型1 题型探究 例2 已知抛物线的焦点在轴上，直线过且垂直于轴，与抛物线交于， 两点，为坐标原点，若 的面积等于4，求抛物线的标准方程？ 解：由题意，可设抛物线的方程为，则焦点为 ， 直线 ，所以直线与抛物线的交点的坐标分别为， 所以 ．（通径）因为 的面积为4， 所以，所以 . 故抛物线的标准方程为或 . 抛物线的中点弦问题 题型2 题型探究 例3 过点作抛物线的弦 ，恰被点所平分，则弦 所在直线的方程？ 解：(方法一)由题意知，当垂直于轴时，不满足题意，所以直线的斜率存在， 设该直线的斜率为 ， 则弦所在直线的方程为 由消去，得 ， 则 . 又（为,中点），所以解得 . 故所求弦所在直线的方程为 . 联立+中点公式 抛物线的中点弦问题 题型2 题型探究 例3 过点作抛物线的弦 ，恰被点所平分，则弦 所在直线的方程？ 解：(方法二)设, ， 则①， ②，且， ③. ，得 . 将③代入④，得，即， 则弦 所在直线的斜率为4，故所求弦所在直线的方程为 . 联立+点差法 应用公式：因为,所以 ， 故弦所在的直线方程为，即 . 抛物线的中点弦问题的2种方法 1.方程组法：联立直线与抛物线方程构成方程组，由一元二次方程 根与系数的关系及中点坐标公式求解. 2.点差法：已知抛物线，斜率为的直线与抛物线交于,两点， 弦 的中点为 .设， 则， ，两式相减可得 ， 则，即 .我们称该式为抛物线的中点弦公式. 方法总结 课堂小结 判断直线与抛物线的位置关系 联立， ①，直线与对称轴平行或重合，直线与抛物线相交相交于一点 ② ，直线与对称轴不平行： Δ0 直线和抛物线相交，有两个交点 Δ=0 直线和抛物线相切，有一个公共点 Δ0 直线和抛物线相离，无公共点 直线的斜率存在 感谢聆听! $