3.3.2 抛物线的简单几何性质(（第2课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线与抛物线的位置关系”，涵盖相交相切相离判定、弦长、中点弦及焦点弦问题。通过“入木三分”问题导入，衔接抛物线几何性质，以要点梳理和题型示例为支架，构建知识体系。 其亮点在于分题型系统讲解，结合例题与探究活动，如例2用两种方法解决中点弦问题，培养逻辑推理与数学运算素养。采用课前自学、课堂探究、课后巩固闭环设计，助力学生提升解题能力，为教师提供高效教学资源。

3.3.2　抛物线的简单几何性质 (第2课时) 直线与抛物线的位置关系 素养目标 1.理解直线与抛物线的位置关系．(数学运算、直观想象)2.会解决与抛物线有关的弦长问题和中点弦问题．(逻辑推理、数学运算)3.能解决一些与抛物线有关的综合问题．(逻辑推理、数学运算) 课前自学 3 要点1　直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个切点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 第页 (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 第页 第页 第页 直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 答：可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点． 返 回 课时学案 9 例 1　(1)已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x.当k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？ 题型一　 直线与抛物线的位置关系 第页 10 ②若直线与抛物线有一个交点， 则k2＝0或k2≠0，Δ＝0. 解得k＝0或k＝±1. 所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点． ③若直线与抛物线无交点， 则k2≠0且Δ<0. 解得k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 所以当k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线l和抛物线C无交点． 第页 (2)求过定点P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程． 【思路分析】　直线与抛物线只有一个公共点有两种情形：一种是直线与抛物线的对称轴平行或重合，另一种是直线与抛物线相切． 第页 第页 探究1 直线与抛物线的位置关系 将直线方程与抛物线方程联立，当二次项系数不为0时，把直线与抛物线的位置关系转化为判别式Δ与0的关系，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解． 第页 思考题1　(1)已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离． 第页 所以Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． 故当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切． 当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，l与C相交． 当Δ＜0，即k＞1时，l与C相离． 综上所述，当k＝1时，l与C相切；当k<1时，l与C相交；当k>1时，l与C相离． 第页 (2)若直线y＝kx＋k＋1与抛物线y2＝2x只有一个交点，求实数k的取值集合． 第页 例 2　过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q平分． (1)求弦AB所在直线方程； 题型二　 弦长及中点弦问题 【思路分析】　因为所求弦通过定点Q，所以求弦AB所在的直线方程关键是求出斜率k，又由于Q点是所求弦AB的中点，所以所求斜率与A，B点坐标有关． 第页 18 第页 第页 (2)求|AB|. 第页 探究2 第页 第页 第页 例 3　(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． 题型三　 焦点弦问题 【解析】　(1)由抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，Δ>0. 设抛物线与直线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 16 第页 25 (2)直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为_______________________． x＋y－1＝0或x－y－1＝0 第页 第页 探究3 抛物线的焦点弦问题常用到焦点弦弦长公式，以抛物线y2＝2px(p>0)为例，当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. 第页 思考题3　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 返 回 课后巩固 30 1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．相交或相切 √ 解析　当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的；当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切． 第页 √ 第页 3．过抛物线y2＝4x的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝____________． 4 解析　由题设，抛物线焦点为(1，0)，即l：x＝1，令x＝1，则y2＝4⇒y＝±2，故|AB|＝4. 第页 4．(北京高考题)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________． (1，0) 第页 5．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 0或1 返 回 请做：课时作业（四十） 教师备用资料 要点2　弦长问题 对于抛物线y2＝2px(p>0)，设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， (1)一般弦的弦长：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(其中k为弦所在直线的斜率，且k≠0) (2)焦点弦的弦长：|AB|＝x1＋x2＋p. 要点3　中点弦问题 (1)若M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p＞0)的弦AB的中点，则直线AB的斜率为kAB＝eq \f(p,y0)(y0≠0)． (2)抛物线的通径：过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度为2p. 【解析】　由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,y2＝4x，))消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0. 当k2≠0时，Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)． ①若直线与抛物线有两个交点， 则k2≠0，且Δ>0，解得k∈(－1，0)∪(0，1)． 所以当k∈(－1，0)∪(0，1)时，直线l和抛物线C有两个交点． 【解析】　①若直线的斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1. 由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x，))消y，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，得x＝eq \f(1,2)，y＝1. 故直线y＝1与抛物线相交，只有一个公共点． 当k≠0时，由于直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0. 得k＝eq \f(1,2)，此时直线y＝eq \f(1,2)x＋1与抛物线相切，只有一个公共点． ②若直线的斜率不存在，则过P(0，1)的直线方程为x＝0. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y2＝2x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.)) 此时直线x＝0与抛物线相切，只有一个公共点． 综上所述，所求直线方程是x＝0或y＝1或y＝eq \f(1,2)x＋1. 【解析】　将l和C的方程联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，)) 消y并整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0(*)． 当k＝0时，直线l：y＝1与曲线C：y2＝4x相交于一点． 当k≠0时，(*)式是一元二次方程， 【解析】　当k＝0时，易知直线y＝1与抛物线y2＝2x只有一个交点． 当k≠0时，将y2＝2x代入y＝kx＋k＋1，消去x，得ky2－2y＋2k＋2＝0(*)． 由题意有Δ＝4－8k(k＋1)＝0， 即k＝eq \f(－1±\r(3),2). ∴k的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(－1＋\r(3),2)，\f(－1－\r(3),2))). 【解析】　(1)方法一：易知直线AB的斜率存在，设为k，设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则有 yeq \o\al(2,1)＝8x1，① yeq \o\al(2,2)＝8x2，② y1＋y2＝2，③ k＝eq \f(y1－y2,x1－x2).④ 将③代入①－②，得2(y1－y2)＝8(x1－x2)． ∴y1－y2＝4(x1－x2)，∴4＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝k. ∴弦AB所在直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0. 方法二：易知直线AB的斜率存在且不为0，设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝k（x－4）＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，易知Δ>0. 此方程的两根就是A，B两点的纵坐标，由韦达定理，得y1＋y2＝eq \f(8,k). 又由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(8,k)，,y1＋y2＝2，))解得k＝4. ∴弦AB所在直线方程为4x－y－15＝0. 【解析】　(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,4x－y－15＝0，))消去x，得y2－2y－30＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由韦达定理得y1＋y2＝2，y1·y2＝－30， 故|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,16))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq \f(\r(17),4)×eq \r(124)＝eq \f(\r(527),2). (1)与研究直线截椭圆或双曲线所得弦长的计算方法相同，若斜率为k(k≠0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有弦长公式：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|. (2)弦中点问题的处理方法，通常利用“整体代换、设而不求”的思想． 【解析】　联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,y＝\f(1,2)x2，))整理得x2－2x－2b＝0，可得Δ＝(－2)2＋8b>0，解得b>－eq \f(1,2)， 设直线l与曲线y＝eq \f(1,2)x2的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－2b， 思考题2　已知直线l：y＝x＋b被曲线y＝eq \f(1,2)x2截得的弦长为4eq \r(2)，求实数b的值以及弦的中点坐标． 由弦长公式，可得|AB|＝eq \r(1＋12)|x1－x2|＝eq \r(2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(2)·eq \r(22－4×（－2b）)＝eq \r(2)·eq \r(4＋8b). 因为直线l被曲线y＝eq \f(1,2)x2截得的弦长为4eq \r(2)，所以eq \r(2)·eq \r(4＋8b)＝4eq \r(2)，解得b＝eq \f(3,2). 记弦的中点坐标为(x0，y0)，则x0＝1，y0＝x0＋b＝1＋eq \f(3,2)＝eq \f(5,2)，所以弦的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2))). 【解析】　(2)因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)，k≠0， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ>0，则由根与系数的关系，得xA＋xB＝eq \f(2k2＋4,k2). 又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(2k2＋4,k2)＋2＝8. 所以eq \f(2k2＋4,k2)＝6，解得k＝±1. 所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0. 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－eq \f(3,2)，所以M到准线的距离等于3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2). 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2. 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝－2x＋2，))得x2－4x＋1＝0，Δ＞0， ∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1. ∴|AB|＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq \r(（1＋4）（16－4）)＝eq \r(5×12)＝2eq \r(15). 2．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．2eq \r(13) B．2eq \r(15) C．2eq \r(17) D．2eq \r(19) $