精品解析：四川成都市第七中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直接开平方法即可求解. 【详解】 x=±5， 故选C. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知直接开平方法. 2. 下列a，b，c，d四条线段不成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】把a，b，c，d四条线段按从小到大排序后，再根据线段成比例的定义分别对A、B、C、D各选项的线段进行判断即可得答案． 【详解】解：A．把，，，按从小到大排序为： ，， ，， ∵，， ∴， ∴，， ，成比例，故A错误． B．把，，，按从小到大排序为： ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，， ， 成比例，故B错误． C．把，，，按从小到大排序为： ， ，，， ∵，， ∴， ∴， ，，不成比例，故C正确． D．把，，，按从小到大排序为：，， ，， ∵，， ∴， ∴，， ，，成比例，故D错误． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 4. 下列关于平行四边形的说法中，错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 四个角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 邻边相等的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确； B. ∵四边形内角和为，且四个角都相等，∴每个内角为，该四边形是矩形，正确； C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； D. ∵菱形的四条边均相等，邻边相等是菱形的固有性质，∴邻边相等的菱形仍为菱形，不一定是正方形，错误． 5. 如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举随机闭合两个开关的所有可能情况，分析每种情况下的电路通断及灯泡发光情况，利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中能让两个灯泡同时发光的情况为同时闭合，，有种情况， ∴能让两个灯泡同时发光的概率为． 6. 如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，若CE＝1，DE＝2，则CF长为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到AD＝CD＝CE+DE＝3，AD∥BC，推出△ADE∽△FCE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论． 【详解】解：在菱形ABCD中， ∵AD＝CD＝CE+DE＝3，AD∥BC， ∴△ADE∽△FCE， ∴， ∴， ∴CF＝1.5， 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形对应成比例. 7. 矩形中，，点E、F分别在边、上，四边形是正方形，四边形四边形，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据正方形性质及相似多边形对应边成比例列方程求解． 【详解】解：设， 四边形是正方形，四边形是矩形，， ，，， ， 四边形四边形， ，即， 整理得， 解得， ， ． 8. 如图，正方形的边长为4，点E在对角线上，，于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，，再得出，进而可得的长，然后求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且它的边长为4， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）． 9. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 10. 若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据比例性质，设，，代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 11. 若是关于的一元二次方程，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 12. 已知：如图，直线，直线、分别与直线、、交于点、、和点、、，，、，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据“平行线分线段成比例定理”列比例式求出的长，再根据即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，、， ∴， 解得， ∴． 13. 以的顶点为圆心，任意长为半径画弧分别交射线、于点、；再分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据作图过程可知，点、到点的距离相等，点到点、的距离都等于，从而可判定四边形的四条边均相等，即该四边形为菱形；利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，结合已知的面积和一条对角线长，可求出另一条对角线长，进而通过勾股定理求得边长． 【详解】解：设对角线与相交于点，根据题目作图可得， ∵以点为圆心作弧交射线、于点、， ∴， ∵分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点， ∴，四边形是菱形， 由菱形的性质可知，对角线互相垂直且平分，即，，， ∵， ∴， 菱形的面积， ∵， ∴， 解得 ， ∴， 在中，由勾股定理可得： ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分）． 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得， 检验：把代入原方程分母得：， ∴原分式方程的解是； 【小问2详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴． 15. 化简求值：，其中是方程的解． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先将分式化简为最简形式，再求解一元二次方程，结合分式有意义的条件选取符合要求的值，代入计算即可． 【详解】 解：原式 ； 方程左边因式分解，得 ， ∴或， 或， 分式分母不为0， ，，， ，，， ， 当时，原式． 16. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围． （2）两实数根满足，求的取值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用，求解参数时需要考虑根的存在条件进行解答． 【小问1详解】 解：由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，可得： ， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得，，， 代入得， 整理得，， 解得或， ， 舍去． 综上，． 17. 已知：如图，等腰与等腰的顶点重合，，，，边与边交于点，边与边交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 同（1）法可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图1，在和中，，，，点在线段上，连结． （1）求证：； （2）如图2，点、为线段、的中点，连结、、，点是线段的中点，连结．求证：平分； （3）如图3，若，，交于点，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ∴， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：， ，， ，分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， 又点是线段的中点， ， 平分； （3）9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质和角平分线的定义，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据角的转换证明，再利用证明即可得证； （2）根据可得，，再利用证明，则，再根据等腰三角形的判定和性质即可得证； （3）延长，过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作于点，证明可得，再根据角的转换和等腰三角形的判断和性质可得，再根据三线合一可得，进而即可求解的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长，过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作于点， ，， ， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 互不相等的实数a、b、c满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知连等式转化为方程组，通过整体相加的方法提取公因式，然后分情况讨论和的两种情况，并结合题目中“互不相等的实数”这一限制条件进行检验． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 相加得， ， ， 移项得， 此时分两种情况讨论： 情况一：若，则必须有，解得， 将代入原式，得，即； ，即， 两式相减得：，即， ∴， 这与题目已知条件“互不相等的实数”矛盾， ∴不成立，舍去； 情况二：若，则，，， 代入原连等式，得， 满足互不相等且分母不为0的条件，成立． 综上所述，的值为． 20. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利万元，则该公司月和月销售利润的月均增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】一季度是、、三个月利润之和，不是只有连续增长后的三月份利润，这是易错点．按“增长后量增长前量增长率)”依次写出每月利润，再求和列方程，解方程后根据实际意义舍去负根． 【详解】解：设、月份利润的月均增长率为． 由题意，各月利润分别为： 月份：万元； 月份：万元； 月份：万元． 一季度总利润为万元， 整理得： 因式分解： 解得，． ∵增长率为正数，，舍去． ∴． 该公司、月份利润的月均增长率为． 21. 如图，在中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理求出与的关系，进而利用相似三角形性质求出与、与的关系，最终求得比值． 【详解】解：过点作交于点， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 22. 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将沿向上翻折，点的对应点恰好落在边上，点、分别是边，边上的点，将四边形沿向下翻折，点恰好落在线段的中点处，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形性质和第一次翻折的全等关系，得出四边形是正方形，可得，，再取的中点，借助三角形中位线定理得到的长度及，由第二次翻折得垂直平分、，设，在中利用勾股定理列方程解出的长度，在中利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度，最后利用建立等式计算得出的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由翻折性质可知，， ，， 四边形是正方形， ，， 如图，取中点，连接，则，连接，设与交于点， ， 是的中点，是中点， ，， ∴， 由第二次翻折可知，垂直平分，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∵垂直平分于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，点，点，且，，若、为某矩形的两个顶点，该矩形的边均与某条坐标轴垂直，称该矩形为点、的“正直矩形”，点、的“正直矩形”的示意图如图，点，点在直线上，点、的“正直矩形”为正方形，则点的坐标________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点坐标为，根据“正直矩形”为正方形可知水平边长等于竖直边长，即，列绝对值方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为 ∵点的坐标为 ∴点、的“正直矩形”的水平边长为，竖直边长为 ∵点、的“正直矩形”为正方形 ∴水平边长等于竖直边长 ∴ ∴或 当时， 解得 此时，即点坐标为 当时， 解得 此时，即点坐标为 综上所述，点的坐标为或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 第十五届全国运动会于年月日在广州开幕，全运会官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”．某大型商场销售全运会吉祥物，该商场吉祥物的进价为每套元，若销售价定为每套元，则每天可销售套，通过市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出套． （1）为了进一步推广宣传这一全国体育盛事并尽量减少库存，商场决定降价促销，要使每天销售获利元，销售价应为每套多少元？ （2）该商场能否每天销售获利元，若能，销售价为每套多少元？若不能，请说明理由． 【答案】（1）销售价应为每套元 （2）不能每天销售获利元，理由如下： 设每套降价元时每天销售获利元，由题意得， 整理得，，， ， 该方程无实数根，不存在满足条件的销售价． 【解析】 【小问1详解】 解：设销售价应为每套元，由题意得， 整理得， ， 或， 要尽量减少库存，需要每天销量尽可能大，当时，销量为，当时，销量为， 销售价应为每套元． 【小问2详解】 解：不能每天销售获利元，理由同参考答案． 25. 在中，于点E，，于点G交线段于点F． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，求的值； （3）如图3，平行四边形外面有一点H，连接、，满足，，探索线段、、的数量关系并证明 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的性质即可证明，利用全等三角形的性质及勾股定理即可求解． （2）作辅助线，证明，，利用相似三角形的性质即可求解． （3）作辅助线，证明四边形为矩形，，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， 在中，， 在中，， ， 又， ； ， 在中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：过作交于点，如图， ， ，， ，，， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 过点作于点，交于点，连接，交于点，交于点，如图所示， 四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ∵， ∴， ，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 26. 已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，点D在直线上，点D的横坐标为，点C在x轴负半轴上，，直线与y轴相交于点E． （1）求直线的函数关系式． （2）点P是直线上一点，点Q是平面内一点，是否存在以A、C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点M为线段上的一个动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点F落在第三象限时，求点M横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点和点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设出点坐标，根据四边形为菱形时，必为等腰三角形，分三种情况，求出点坐标，再根据菱形的对角线互相平分求出点的坐标即可； （3）根据翻折得到，根据点F落在轴负半轴和轴负半轴时的坐标，进而求出这两种临界点时，点的坐标，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵与x轴交于A点，与y轴交于B点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点C在x轴负半轴上，， ∴， ∵点D在直线上，点D的横坐标为， ∴当时，， ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：存在； 设，， ∵， ∴，，， 当以A、C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，则必为等腰三角形， ①当时，此时四边形为菱形，则， 解得， ∴或， ∵为菱形的两条对角线， ∴或， ∴或， ∴或； ②当时，此时四边形为菱形，则， 解得（舍去）， ∴， ∵为菱形的两条对角线， ∴ ∴， ∴； ③当时，此时四边形为菱形，则， 解得， ∴， ∵为菱形的两条对角线， ∴ ∴， ∴； 综上：或或或； 【小问3详解】 解：由（1）知：，，直线的解析式为； ∴，， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴，， ∵点M为线段上的一个动点， ∴设，则， 当点恰好落在轴负半轴上时， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 当点恰好落在轴负半轴上时，则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； ∴当点F落在第三象限时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）． 1. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 2. 下列a，b，c，d四条线段不成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于平行四边形的说法中，错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 四个角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 邻边相等的菱形是正方形 5. 如图所示，电路连接完好且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个灯泡同时发光的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，若CE＝1，DE＝2，则CF长为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 7. 矩形中，，点E、F分别在边、上，四边形是正方形，四边形四边形，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 无法计算 8. 如图，正方形的边长为4，点E在对角线上，，于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）． 9. 分解因式：=____. 10. 若，则________． 11. 若是关于的一元二次方程，则________． 12. 已知：如图，直线，直线、分别与直线、、交于点、、和点、、，，、，则________． 13. 以的顶点为圆心，任意长为半径画弧分别交射线、于点、；再分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为．则的长为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分）． 14. 计算： （1） （2） 15. 化简求值：，其中是方程的解． 16. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、． （1）求的取值范围． （2）两实数根满足，求的取值． 17. 已知：如图，等腰与等腰的顶点重合，，，，边与边交于点，边与边交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 18. 如图1，在和中，，，，点在线段上，连结． （1）求证：； （2）如图2，点、为线段、的中点，连结、、，点是线段的中点，连结．求证：平分； （3）如图3，若，，交于点，，，求的面积． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 互不相等的实数a、b、c满足，则________． 20. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利万元，则该公司月和月销售利润的月均增长率为________． 21. 如图，在中，，，则________． 22. 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将沿向上翻折，点的对应点恰好落在边上，点、分别是边，边上的点，将四边形沿向下翻折，点恰好落在线段的中点处，则线段的长为________． 23. 在平面直角坐标系中，点，点，且，，若、为某矩形的两个顶点，该矩形的边均与某条坐标轴垂直，称该矩形为点、的“正直矩形”，点、的“正直矩形”的示意图如图，点，点在直线上，点、的“正直矩形”为正方形，则点的坐标________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 第十五届全国运动会于年月日在广州开幕，全运会官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”．某大型商场销售全运会吉祥物，该商场吉祥物的进价为每套元，若销售价定为每套元，则每天可销售套，通过市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出套． （1）为了进一步推广宣传这一全国体育盛事并尽量减少库存，商场决定降价促销，要使每天销售获利元，销售价应为每套多少元？ （2）该商场能否每天销售获利元，若能，销售价为每套多少元？若不能，请说明理由． 25. 在中，于点E，，于点G交线段于点F． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，求的值； （3）如图3，平行四边形外面有一点H，连接、，满足，，探索线段、、的数量关系并证明 26. 已知直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，点D在直线上，点D的横坐标为，点C在x轴负半轴上，，直线与y轴相交于点E． （1）求直线的函数关系式． （2）点P是直线上一点，点Q是平面内一点，是否存在以A、C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点M为线段上的一个动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点F落在第三象限时，求点M横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $