精品解析：四川省南充高级中学2026-2027学年九年级第二次学情自测数学试卷

南充高中初2024级第五学期第二次月考 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 或， ，． 2. 根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）一个解可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格信息估算一元二次方程的近似解即可. 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是. ∴C符合题意. 3. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线与x轴有两个交点 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】借助抛物线顶点式直接得到顶点坐标、对称轴与开口方向，无需展开即可判断与轴的交点情况． 【详解】解：抛物线是二次函数的顶点式， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，故A正确，该选项不符合题意； ∵抛物线为顶点式， ∴对称轴是直线，顶点坐标为，故C、D正确，这两个选项均不符合题意； ∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ∴抛物线与轴没有交点，故B错误，该选项符合题意． 4. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一根为（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是2 设另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得． 5. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及图象与轴的交点位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向与直线的增减性是否一致． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，B、D选项中两个图象与轴交点位置不同（一个在正半轴一个在负半轴），故B、D错误； 对于A选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右下降，则，矛盾，故错误； 对于C选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右上升，则，且与轴交于正半轴，则，符合图象特征． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 7. 将二次函数的图象向右平移个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数利用配方化为顶点式，再根据“左加右减”的平移规律获得新抛物线解析式． 【详解】解：， 将原图象向右平移个单位得到新图象的解析式为， 化简得． 8. 已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大函数值越小， ∵点，，与对称轴的距离分别为：，，， ∴． 9. 已知实数a，b满足，则代数式的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，将代入原式变形得出，根据，求出，根据二次函数的增减性求出最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，原式的值随着a的增大而增大， ∴当时，原式取最小值为6． 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：其中正确结论有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥当关于x的方程（p为常数，）有整数解时，p的值仅有两个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据该二次函数的图象开口方向、对称轴以及与y轴交点的位置得到a、b、c的符号可判断①；求得该图象与x轴的另一个交点坐标为，可得当时，，进而判断②；根据图象与x轴的交点个数得到，进而可判断③；根据时，，结合可得，由c的范围可判断④；由时，，结合可判断⑤；令直线，根据二次函数的图象与直线的交点个数可判断⑥，进而可得答案． 【详解】解：根据图象知，该二次函数的图象开口向上，则， ∵对称轴为直线， ∴，则， ∵y轴的交点B在和之间（不包括这两点）， ∴当时，，则，即， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，则，又， ∴，故③正确； ∵当时，，又， ∴， ∵， ∴，解得，故④正确； ∵， ∴，则，故⑤错误； 令直线，由p为常数，得， 由题意，关于x的方程即有整数解时，二次函数的图象与直线的交点的横坐标为整数，如图， ∴满足条件的交点有3个，横坐标分别为0，1，2，对应的y值有2个，即对应2个不相等的正数， ∴p的值有4个，故⑥错误， 综上，正确结论有3个． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解方程，得，即或， 由，得， ∴． 12. 某市百货商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，求每件童装应降价多少元设每件童装降价元，则依题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键． 设每件童装降价x元，则每件盈利为元；由于每降价4元多售出8件，故降价元多售出件，总销售件数为件；根据每天盈利元列方程． 【详解】解：设每件童装降价x元，则每件盈利为元； 每降价4元多售出8件，因此降价x元多售出件，总销售件数为件； 根据盈利公式，得方程． 故答案为：． 13. 已知二次函数，则当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y有最小值，即， 根据开口向上，离对称轴越近，对应的函数值也就越小，且，可知：当x无限接近于3时，y无限接近于， ∴当时，y的取值范围是． 14. 抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线方程即可求得的值． 【详解】解：对抛物线配方得：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴将代入直线方程得：， 解得：． 15. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式______． 【答案】 2037 【解析】 【分析】由已知条件可得m，n是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到和的值，再对所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵m，n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m，n是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴ ， 将，代入得： 原式． 16. 我们定义一种新函数形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组通过探究“鹊桥”函数（m为常数且）的图象，有下列结论：①该函数图象与y轴交于点；②若，当时，y随x的增大而增大；③若在函数图象上，则也在函数图象上；④若方程有三个实数根，则；⑤若，直线与该函数图象有4个交点时，则n的取值范围是．其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①③④⑤ 【解析】 【分析】根据新定义“鹊桥”函数的性质，结合绝对值的化简，二次函数的图象与性质，对称性，一元二次方程根的判别式，直线与二次函数交点个数的判断，逐个验证每个结论即可． 【详解】解：①当时，， ∵， ∴， ∴该函数图象与y轴交于点，故①正确； ②当时，原函数为， 令，解得或， 当时，， 因此，该二次函数开口向下，对称轴为 ， ∴ 时，随的增大而减小， ∴时，不是一直随增大而增大，故②错误； ③把代入函数解析式，得：，因此也在函数图象上，故③正确； ④方程等价于或， 二次函数的顶点为，由得， 要使原方程有三个实数根，则经过“鹊桥”函数的顶点， 即顶点纵坐标满足， 解得， 此时整理为，有一个实数根，即为的判别式，有两个不相等的实数根，共三个实数根，故 ，故④正确； ⑤当时，， 联立直线， 当时，，整理可得， 当直线与中间段抛物线相切时，判别式， 解得， 此时共有3个交点；当直线经过点时，代入得， 解得，此时也共有3个交点， 因此直线与该函数图象有4个交点时，，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 解：由， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴． 18. 如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）这个二次函数的解析式是________； （2）方程的两个根为________； （3）不等式的解集为_______； （4）若当时，则y的取值范围为________． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，根据交点确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设二次函数的解析式，再代入，得，解得，即可作答． （2）根据对称轴为直线以及与x轴的一个交点坐标为，进行列式计算，得方程的两个根为，，即可作答． （3）结合（2）的结论以及二次函数的图象性质，得出不等式的解集为，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，得最大值为， 把代入，得；把代入，得，可得出当时，y的取值范围为，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，函数的顶点C的坐标为， ∴设二次函数的解析式， ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴ 即二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为 ∴方程的两个根为，； 【小问3详解】 解：∵ ∴二次函数的开口方向向上， 由（2）得方程的两个根为，； ∴不等式的解集为； 【小问4详解】 解：∵二次函数的图象的顶点C的坐标为，且开口方向向上， ∴最大值为， 把代入，得； 把代入，得； 当时，则y的取值范围为． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若两个实数根分别是，，，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴ ∴此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）只需要证明即可； （2）利用根与系数的关系得到，，结合已知条件求出，的值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴， 联立， 解得， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， ， ． 21. 现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析．分数用表示，共分成四组： A：，B：，C：，D： “豆包”得分：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．“”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）写出“豆包”得分的第一四分位数是 ； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”评分，请估计对该软件非常满意（）的用户数量． 【答案】（1）94；94 （2）89.5 （3）200 【解析】 【分析】（1）求众数：因为众数是一组数据中出现次数最多的数，所以统计“豆包”得分中各数值出现的频次即可得到．求中位数：先根据扇形统计图计算得分C组的占比，再计算A、B、C、D四组的人数，结合C组的具体数据，将的20个得分从小到大排序后，取第10和第11个数据的平均数得到． （2）法一：求“豆包”得分的第一四分位数：因为20个数据的第一四分位数位置为，所以将排序后的“豆包”得分取第5和第6个数据的平均数即可．法二：豆包20个数据的中位数是第10、第11个数的平均数，前10个数的中位数是第5、第6个数的平均数，计算求解即可得． （3）估计非常满意的用户数量：先计算样本中“豆包”得分在的频率，再用总用户数1000乘以该频率得到估计值． 【小问1详解】 解：观察豆包的20个得分，94一共出现了5次，出现次数最多， ∴． 总共有20个用户得分，中位数是排序后第10、第11个数据的平均数． 根据扇形图，A组占、B组占， ∴A组有个数据，B组有个数据，前两组共6个数据； ∵C组有6个数据， ∴排序后第7到第12个数据都属于C组，第10、11个数据是C组的最后两个94和94， 剩余的第13到20个数据属于D组． 将得分从小到大排序后，第10个数据是94，第11个数据是94， 因此中位数． 【小问2详解】 解：法一：20个数据的位置为， 第一四分位数是排序后第5个和第6个数据的平均数． 豆包得分已经从小到大排列，第5个数据是89，第6个数据是90， 因此． 法二：∵豆包20个数据的第10、第11个数都是93， 前10个数中第5、第6个数分别是89、90， ∴前10个数的中位数是， ∴． 【小问3详解】 解：抽取的20个豆包用户中，得分在的共有4个，占比为． ∴1000名用户中非常满意的数量为． 22. 掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）明明在此次考试中得到满分，理由如下： 把代入，得， 解得，（不合题意，舍去）， 即实心球从起点到落地点的水平距离为米， ∵， ∴明明在此次考试中得到满分． 【解析】 【分析】（）根据图表解答即可； （）由（）可知抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）把代入函数解析式求出的值，进而与满分成绩比较即可． 【小问1详解】 解：由表可知：时，， ∴明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米， ∵当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，实心球在空中取得最大高度， 又∵当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米； 【小问2详解】 解：由（）知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 略 23. 我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点，例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点． （1）求函数的零点值； （2）已知二次函数． ①若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范围； ②若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值． 【答案】（1）和3 （2）①且；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数相关知识及一元二次方程，理解零点值的定义、掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）令，求解二次方程即可得到二次函数的零点值； （2）①令，根据函数有两个不重合的零点时，即有两个不相等的实数根，对应一元二次方程的判别式大于0，列出不等式求解，再结合二次函数的定义即可解答；②令，对得到的二次方程进行因式分解，求出两个根，根据两根是整数即可求出k的值． 【小问1详解】 解：当时， 解得或． ∴二次函数的零点值为和3； 【小问2详解】 解：①令， 根据题意：，即， 则， ∴，解得， ∵是关于x的二次函数， ∴， 综上，且； ②当时，， 解得：或， ∵二次函数的两个零点都是整数， ∴是整数， ∴， 由①可知且； ∴． 24. 根据题意解答下列问题： （1）【基础探究】如图1，已知，连接并延长至点，我们把这一基本图形称为“共顶点三等腰”．设，，请直接写出与 之间的数量关系 _______； （2）【深入应用】如图2，正方形中，是上一点，沿着翻折后点落在点处，连接，、的延长线交于点，过点作于，求证：； （3）【拓展延伸】如图3，在第（2）问条件下，与相交于点，若为的中点，已知，直接写出的长度______． 【答案】（1）或 （2）证明：连接交于点H， 根据折叠的性质，得，，， ， 正方形， ， ，满足“共顶点三等腰”； ； ， ， ， 根据勾股定理，得； ， ， ， ，， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）求得，，根据平角定义，角的和，解答即可； （2）连接交于点H，证明；再证明，得到等线段，代换证明即可； （3）以点B为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，可以得到，求得直线的解析式为，，，直线的解析式为，，利用两点间距离公式直接计算长度即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以点B为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下： ，为的中点， ， ， 设直线的解析式为，故，解得， 故直线的解析式为， 点F在直线上， 不妨设， ， ， 整理，得 ， 解得（舍去）， ， 不妨设， 根据折叠的性质，得，且， ， 整理，得 ， 解得， ， 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 直线与直线的交点为G， ， 解得， ， ． 25. 已知抛物线（，且a为常数），与y轴交于点，与x轴交于点、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线（，且k为常数）与抛物线交于点，，点在第一象限内的抛物线上，若，求k的值； （3）如图2，不经过点的直线交抛物线于，两点．若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式，解关于的方程． （2）先求点坐标，发现直线恒过定点，与横坐标相同，以为底用水平距离表示面积，联立后由一元二次方程的根与系数关系建立关于的方程． （3） 联立直线与抛物线得交点坐标，用待定系数法设直线、的解析式，代入交点坐标求出、关于参数的表达式，消参得关系． 【小问1详解】 解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：点在抛物线上， ， 即， 解得或， 在第一象限， ，， ， 直线恒过定点， ，横坐标相同， ，所在直线为， 设，，则 ， 联立， 得， 由一元二次方程的根与系数关系：，， ， ， ， 即， ， 解得． 【小问3详解】 解：联立， 得， 设，则，， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， 由代入： ， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， 由代入： ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中初2024级第五学期第二次月考 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）一个解可能是（ ） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线与x轴有两个交点 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是 4. 关于的一元二次方程的一个根是2，则另一根为（ ） A. B. 5 C. D. 3 5. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图象向右平移个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数a，b满足，则代数式的最小值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：其中正确结论有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥当关于x的方程（p为常数，）有整数解时，p的值仅有两个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 12. 某市百货商场服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件，要想平均每天在销售这种童装上盈利元，求每件童装应降价多少元设每件童装降价元，则依题意可列方程为__________． 13. 已知二次函数，则当时，y的取值范围是________． 14. 抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 15. 如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式______． 16. 我们定义一种新函数形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组通过探究“鹊桥”函数（m为常数且）的图象，有下列结论：①该函数图象与y轴交于点；②若，当时，y随x的增大而增大；③若在函数图象上，则也在函数图象上；④若方程有三个实数根，则；⑤若，直线与该函数图象有4个交点时，则n的取值范围是．其中正确的结论是________（填写序号）． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）这个二次函数的解析式是________； （2）方程的两个根为________； （3）不等式的解集为_______； （4）若当时，则y的取值范围为________． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若两个实数根分别是，，，求的值． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析．分数用表示，共分成四组： A：，B：，C：，D： “豆包”得分：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．“”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）写出“豆包”得分的第一四分位数是 ； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”评分，请估计对该软件非常满意（）的用户数量． 22. 掷实心球是南充中考体育考试体能选测项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化．明明利用摄影系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：米）与竖直高度（单位：米）的数据如表： 水平距离 竖直高度 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是_________米，实心球在空中的最大高度是_________米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 23. 我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点值，此时的点称为函数的零点，例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点值，点是函数的零点． （1）求函数的零点值； （2）已知二次函数． ①若函数有两个不重合的零点时，求k的取值范围； ②若函数的两个零点都是整数点，求整数k的值． 24. 根据题意解答下列问题： （1）【基础探究】如图1，已知，连接并延长至点，我们把这一基本图形称为“共顶点三等腰”．设，，请直接写出与 之间的数量关系 _______； （2）【深入应用】如图2，正方形中，是上一点，沿着翻折后点落在点处，连接，、的延长线交于点，过点作于，求证：； （3）【拓展延伸】如图3，在第（2）问条件下，与相交于点，若为的中点，已知，直接写出的长度______． 25. 已知抛物线（，且a为常数），与y轴交于点，与x轴交于点、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线（，且k为常数）与抛物线交于点，，点在第一象限内的抛物线上，若，求k的值； （3）如图2，不经过点的直线交抛物线于，两点．若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $