精品解析：江苏南京市科利华中学2026-2027学年九年级上学期十月限时作业数学

2026-2027学年九年级十月限时作业数学学科 满分：120分作业时长：120分钟 一、选择题（共6小题，每题2分，共12分） 1. 已知的半径为，则点和的位置关系是（　　） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不确定 2. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 3. 关于x的方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 三个点确定一个圆 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 圆内接四边形的对角互补 5. 如图，在中，动弦与直径相交于点E且总有，则的值（ ） A. 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小 C. 随着的增大先增大后减小 D. 保持不变 6. 欧几里得的《原本》记载，方程的图解法是：画，使， ，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 7. 关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________． 8. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为_____________． 9. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 10. 如图，直线AB切于点A，弦，，则的半径为________． 11. 直角三角形的两条直角边分别是和，则它的外接圆半径是________，内切圆半径是________． 12. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心．若，则的度数为________． 13. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 14. 在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 15. 如图，在半径为6的扇形中，，平分，交于点，点为半径上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为__________（结果保留）． 16. 如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得上（除端点外）所有的点都落在的内部，的度数记为x，则x的取值范围是_____． 三、解答题（共11小题，共88分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 19. 如图，是的直径，弦与半径平行，连结交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 已知点、在反比例函数（）的图象上，当时，，试判断k的符号，并证明你的结论． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作的切线，与交于点E，与的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若B是的中点，，则图中阴影部分的面积为______． 22. 尺规作图：（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）． （1）如图①，已知线段和直线，请在上作出所有的点，使得； （2）如图②，已知，请在上作出所有的点，使得． 23. 如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，． 求证： （1）是的切线； （2）是等腰三角形． 24. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 25. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____． 26. 我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 （1）将反比例函数的图象向左平移1个单位，可以得到函数的图象（如图①），观察图象，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①该函数图象与y轴的交点坐标是；（_____） ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；（_____） ③当时，y随x的增大而减小．（_____） 问题解决： （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求m的值； 深入思考： （3）当时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 27. 定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于的点叫作“单位圆点”． （1）下列函数图象上存在“单位圆点”的是_____（填序号） ①；②；③；④；⑤ （2）若函数的图象上存在两个“单位圆点”，则的取值范围为_____； （3）已知点的坐标为，，是不同的“单位圆点”，且最大，则为_____°； （4）已知点，，，是不同的“单位圆点”，以直线上一点为顶点的最大为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级十月限时作业数学学科 满分：120分作业时长：120分钟 一、选择题（共6小题，每题2分，共12分） 1. 已知的半径为，则点和的位置关系是（　　） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；时，点在圆上；时，点在圆内．据此通过比较点A到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点A在外． 故选：B． 2. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 3. 关于x的方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方程的根和解一元二次方程，理解方程的根代入方程能使方程左右两边相等以及利用直接开平方法解一元二次方程是解题关键． 本题直接将方程的根代入方程后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， ∴   故选： C． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 三个点确定一个圆 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 圆内接四边形的对角互补 【答案】D 【解析】 【分析】当被平分的这条弦是直径时，此时直径不一定垂直于被平分的弦，从而可判断A，过同一直线上的三个点不能作圆，从而可判断B，不在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧不相等，从而可判断C，由圆的内接四边形的性质可判断D，从而可得答案. 【详解】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A不符合题意； 不在同一直线上三个点确定一个圆，故B不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意； 圆内接四边形的对角互补，正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦之间的关系，确定圆的条件，圆的内接四边形的性质，掌握以上基础知识是解题的关键. 5. 如图，在中，动弦与直径相交于点E且总有，则的值（ ） A. 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小 C. 随着的增大先增大后减小 D. 保持不变 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作于点H，连接，则，证明是等腰直角三角形，得到，可得到，结合勾股定理可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点H，连接，则， 设的半径为r， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的值随着的增大而减小． 6. 欧几里得的《原本》记载，方程的图解法是：画，使， ，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由勾股定理可得出，结合，，，即可得出，进而可得出的长是方程的一个正根；本题考查了勾股定理，完全平方公式，利用勾股定理及各边的长找出是解题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理可得． ∵，， ∴ ∵，， ， ． ，与方程相同，且的长度为正数， ∴的长是方程的一个正根． 故选：A． 二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 7. 关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】k≥﹣4 【解析】 【详解】分析：根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 详解：∵关于x的一元二次方程x2+4x-k=0有实数根， ∴△=42-4×1×（-k）=16+4k≥0， 解得：k≥-4． 故答案为k≥-4． 点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 8. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为_____________． 【答案】65 【解析】 【分析】由是的直径，得，而，则，然后由所对应的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ， ∴， 又∵所对应的圆周角相等， ∴． 9. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 10. 如图，直线AB切于点A，弦，，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质连接，再根据平行线的性质延长交于点，连接，利用勾股定理解出的长，最后再次利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接，延长交于点，连接， ∵直线AB切于点A， ∴， 又∵弦， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∴圆的半径为． 11. 直角三角形的两条直角边分别是和，则它的外接圆半径是________，内切圆半径是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据勾股定理，得斜边是13cm，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．再利用直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边之差的一半，计算出内切圆的半径． 【详解】解：∵直角边长分别为5cm和12cm，∴斜边是13cm，∴这个直角三角形的外接圆的半径为6.5cm． 根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，则其内切圆的半径是=2cm． 故答案为6.5cm；2cm． 【点睛】本题考查了三角形外接圆和内切圆，熟练运用勾股定理计算直角三角形的未知边．注意：（1）直角三角形的外接圆的半径是其斜边的一半．（2）直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边之差的一半这个结论是解题的关键． 12. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则______°． 【答案】105 【解析】 【分析】连接，，根据正六边形的性质可得，是等边三角形，再证明四边形是菱形，以及是等腰三角形，分别求出，从而可得出结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ 连接，，如图， 则是等边三角形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形，， ∴ ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 14. 在中，半径为，弦，点C为上一点（不与A、B重合），则的度数为_____°． 【答案】45或135 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理求出，然后分点C在优弧上和劣弧上讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵半径为，弦， ∴，， ∴， ∴， 当点C在优弧上，如图中的点，则； 当点C在劣弧上，如图中的点，则， ∴， 综上，或． 15. 如图，在半径为6的扇形中，，平分，交于点，点为半径上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可知的长度为定值，只要确定的最小值即可，作点关于直线的对称点，连接交于点，的最小值即为，进而求得阴影部分周长的最小值． 【详解】如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，则由轴对称的性质可知 ． 当点与点重合时阴影部分的周长最小，为的长与的长的和． 平分，， ， ． 连接，由轴对称的性质可得，， ， 是等边三角形， ， 阴影部分周长的最小值为． 16. 如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得上（除端点外）所有的点都落在的内部，的度数记为x，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，弧在内部，需考虑弧与三角形边界的临界位置．临界情况包括弧与边或相切，以及弧经过点．分别计算这两种情况下的圆心角度数，结合除端点外所有的点都落在内部的条件确定的范围． 【详解】解：设弧所在圆的圆心为，半径为，则.要使弧（除端点外）在内部，圆心应在的垂直平分线上，且位于的右侧， 当弧与边相切于点时，如图， 弧与相切， ，即， ， ， ， ， 此时； 弧与边相切于点时，如图， 弧与相切， ，即. ， ， . . 此时. 弧必定存在，. 综上所述，的取值范围是. 三、解答题（共11小题，共88分） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）无解 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程； （3）用公式法解一元二次方程； （4）运用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况． 【小问1详解】 解：， 两边同时开平方得：， 可得：或， 当时，解得：， 当时，解得：， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 提公因式得：， 可得：或， 当时，解得：， 当时，解得：， 方程的解为，； 【小问3详解】 解：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； 【小问4详解】 解：， 整理得：， 其中，，， ， 方程无解． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∵ ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程两个实数根的和为3， ∴， ∴． 19. 如图，是的直径，弦与半径平行，连结交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用垂径定理证明即可； （2）利用垂径定理，勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 已知点、在反比例函数（）的图象上，当时，，试判断k的符号，并证明你的结论． 【答案】k的符号为负（即），证明如下： ∵点、在反比例函数（）的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即k的符号为负． 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质和不等式的性质解答即可． 【详解】略 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作的切线，与交于点E，与的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若B是的中点，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ， ， ， ， 又是的切线， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、平行线的判定、含30°角的直角三角形的性质以及三角形和扇形面积的计算． （1）先证明，再由切线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，证明是等边三角形，求出和，进而用梯形的面积-扇形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ，B是的中点， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ，， ∵点B是的中点，， ，， ∴阴影的面积为：， 故答案为：． 22. 尺规作图：（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）． （1）如图①，已知线段和直线，请在上作出所有的点，使得； （2）如图②，已知，请在上作出所有的点，使得． 【答案】（1）如图①所示，点及点即为所求； （2）如图②所示，点及点即为所求． 【解析】 【分析】（）如图①，在的上方构造等边，以为圆心，为半径作，交直线于点和点，由圆周角定理及等边三角形的性质可得，故点及点即为所求； （）如图②，作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，的长为半径作，在的上方交的垂直平分线于点，连接，由圆周角定理得，，以为圆心，为半径作，交直线于点和点，由圆周角定理得到，故点及点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，． 求证： （1）是的切线； （2）是等腰三角形． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，即得，进而得到，再利用圆周角定理证明即可求证； （）先证是的垂直平分线，得到，即得，再利用圆内接四边形的性质及邻补角性质推出，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，该市市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1800元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低60元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款22.5万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为25% （2）购买的这种健身器材的套数为150套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款22.5万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得： 整理得：， 解得：， 最低售价不得少于1200元， 解得：， 答：购买的这种健身器材的套数为150套． 25. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）过点C的直线（）与反比例函数的图象只有一个公共点．若，则x的取值范围是_____． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先将点代入求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出反比例函数关系式，然后将两个关系式联立求出点B的坐标即可； （2）先求出点C的坐标，再将两个函数关系式联立，并根据只有一个公共点求出a值，然后根据函数值的大小求出自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数经过点， ∴ 解得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得或， ∴点； 【小问2详解】 解：令，， ∴点． ∵直线经过点， ∴， ∴直线的关系式为． 将两个关系式联立，得， ∵直线与反比例函数的图象只有一个公共点， ∴有两个相等的实数根， 即， 解得， ∴直线． 将直线和反比例函数联立，得 ， 解得． 当时，；当时，， 所以当或时，． 26. 我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 （1）将反比例函数的图象向左平移1个单位，可以得到函数的图象（如图①），观察图象，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①该函数图象与y轴的交点坐标是；（_____） ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是；（_____） ③当时，y随x的增大而减小．（_____） 问题解决： （2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求m的值； 深入思考： （3）当时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 【答案】（1）①√；②√；③× （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确； （2）通过化简运算，结合题意，即可求m的值； （3）由反比例函数无解时的性质，即可写出a，b，k满足的数量关系． 【小问1详解】 解：①观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是，故①正确； ②根据函数图象可知，该函数图象是中心对称图形，对称中心是，故②正确； ③当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小，但，故③错误； 【小问2详解】 解：， ∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：， ， ， ∵对于任意正数k，方程均无解，当时分式无意义， ∴. 27. 定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于的点叫作“单位圆点”． （1）下列函数图象上存在“单位圆点”的是_____（填序号） ①；②；③；④；⑤ （2）若函数的图象上存在两个“单位圆点”，则的取值范围为_____； （3）已知点的坐标为，，是不同的“单位圆点”，且最大，则为_____°； （4）已知点，，，是不同的“单位圆点”，以直线上一点为顶点的最大为，请直接写出的值． 【答案】（1）③④⑤ （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）设符合“单位圆点”定义的点坐标为，根据定义得出，联立函数解析式与，通过判别式判断方程是否有实根，即可得出答案； （2）联立直线与，根据两个交点对应判别式大于，求解的范围即可； （3）利用切线性质，圆外一点引圆的两条切线夹角最大，得出、是的切线，切点为，，且在轴两侧，设交轴正半轴于，连接、，根据切线的性质及直角三角形斜边中线的性质得出是等边三角形，，根据等边对等角及三角形外角的性质得出，根据切线的性质即可得出答案； （4）先由最大角为得出，进而得出直线与以为圆心，为半径的圆相切，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，根据得出，根据相切时，方程有两个相等的实数根得出，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：设符合“单位圆点”定义的点坐标为， ∵“单位圆点”到原点的距离等于， ∴， 联立与①中解析式得， ∴，即， ∵， ∴方程无实数根， ∴图象上不存在“单位圆点”； 联立与②中解析式得， ∴，即， 设，则， ∵， ∴方程无实数根， ∴图象上不存在“单位圆点”； 联立与③中解析式得， ∴，即， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴图象上存在“单位圆点”； 联立与④中解析式得， ∴，即， 解得，有实数根， ∴图象上存在“单位圆点”； 联立与⑤中解析式得， ∴，即， 整理得， ∴方程有一个解为， 当时，， ∴图象上存在“单位圆点”； 综上所述：函数图象上存在“单位圆点”的是③④⑤． 【小问2详解】 解：联立与得，， ∴， 整理得， ∵函数的图象上存在两个“单位圆点”， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：∵，是不同的“单位圆点”， ∴，在以原点为圆心，为半径的圆上， ∵最大，， ∴、是的切线，切点为，，且在轴两侧， 如图，设交轴正半轴于，连接、， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、是的切线， ∴． 【小问4详解】 解：设直线的解析式为， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 即直线与直线平行或重合， ∵以直线上一点为顶点的最大为， ∴、与相切， ∴，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 当直线与以为半径的圆有个交点时，两交点之间的线段上的点到点的距离小于， ∴，与最大为不符， ∴直线与以为圆心，为半径的圆相切， 如图所示， 设， ∴， 整理得，， ∵直线与以为圆心，为半径的圆相切， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $