精品解析：江苏南京市玄武区紫东实验学校2025～2026学年九年级数学学科12月阶段作业单

2025~2026学年初三年级数学学科12月阶段作业单 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共6小题，共12分） 1. 若，则下列各式正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在“百善孝为先”朗诵比赛中，晓晴根据七位评委所给的某位参赛选手的分数制作了如下表格： 众数 中位数 平均数 方差 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（   ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 5. 二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1＋y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是：（ ） A. 函数y2的图象开口向上 B. 函数y2的图象与x轴没有公共点 C. 当x＞2时，y2随x的增大而减小 D. 当x＝1时，函数y2的值小于0 6. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共10小题，共20分） 7. 设、是关于x的方程的两个根，则_________. 8. 如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ___． 9. 如图，，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E．若，，，则的长为________． 10. 圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于___（结果保留π）． 11. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则_____． 12. 若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是______． 13. 如图，已知正五边形，经过C，D两点的与分别相切于点M，N，连接，则_________°. 14. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m 15. 中，，，点I是的内心，点O是的外心，则______． 16. 已知二次函数的部分对应值如下表： … … … … … … 对于下列说法：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（共11题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 19. 在甲、乙两个盒中各装有编号为0，1，2的三个球，这些球除编号外都相同．若从两盒中先后各随机取出一个球，组成一个含两个数字的号码（如：从甲盒取出的球上的编号为0，从乙盒取出的球上的编号为1，则组成号码“01”）． （1）求组成的号码是“对子”（两个数字相同）的概率； （2）若甲、乙两个盒中各装有编号为0到9的十个球，这些球除编号外都相同，若规则不变，则从两盒中先后各随机取出一个球，组成的号码是“对子”的概率是________． 20. 如图，二次函数图象顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． （1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为_______； （2）求这个二次函数的表达式； （3）当时，y的取值范围是_______； （4）将该二次函数图象向下平移_______个单位长度恰好经过点． 21. 如图，在中，，矩形的顶点G、F分别在、上，、在上． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，则的长为_______． 22. 已知代数式，，． （1）比较与的大小； （2）当时，x的取值范围为_______． 23. 如图，是的直径，与交于点C，的平分线交于点D，，垂足为E，，． （1）求证：是的切线； （2）求的半径； （3）连接，则的长为_______． 24. 景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元． （1）当销售单价定为多少时，日销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元？ 25. （1）如图①，点A在外，求作的一条直径，使； （2）如图②，点A，B都在外，求作的一条直径，使． 要求：用直尺和圈规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 26. 已知二次函数（a为常数，且）． （1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设点、，若该函数的图象与线段只有一个交点，则a的取值范围是_______． 27. 【背景资料】1638年伽利略斜面实验，如图1，三个质量、大小完全相同的小球从A点分别沿①、②、③轨道同时滚落，谁先到达终点P？结果令人惊讶，是轨道②． 【提出问题】伽利略通过反复实验发现此轨道曲线的存在，并命名为“最速曲线”． 问题：该曲线是如何形成的？（伽利略终其一生未解） 【问题解决】50多年后牛顿破解：如图2，将一枚硬币，做好半径标记，并放置在直线l上（此时点A处在切点），沿直线l滚动一周至，A点运动的摆线即为“最速曲线”． 说明： 1．，为点A运动过程中某一位置点，，及后面题中的，也如此； 2．图2中，线段的长等于中弧的长． 【深入探究】 （1）如图3，若硬币半径为，当A点滚动到线段上处，则的长为________． （2）如图4，半径分别为、的两圆、从同一点A（B与之重合）出发，沿直线l滚动形成两条“最速曲线”．过程中，当A、、在同一直线上时，标记点A、B分别滚到、处． ①________； ②求证：． 【迁移拓展】 （3）如图5，抛物线，，（m、t均为小于0的常数），过公共顶点A作直线分别交两抛物线于点E、F．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年初三年级数学学科12月阶段作业单 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共6小题，共12分） 1. 若，则下列各式正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A. 2a=3b⇒a:b=3:2，故选项错误； B. 3a=2b⇒a:b=2:3，故选项正确； C.⇒b:a=2:3，故选项错误； D. ⇒a:b=3:2，故选项错误． 故选B. 2. 在“百善孝为先”朗诵比赛中，晓晴根据七位评委所给的某位参赛选手的分数制作了如下表格： 众数 中位数 平均数 方差 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（   ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数，由此可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，其余的会受影响， 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴关于对称轴的对称点为， 当时，随的增大而减小， ， 故选：D． 4. 如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 5. 二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1＋y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是：（ ） A. 函数y2的图象开口向上 B. 函数y2的图象与x轴没有公共点 C. 当x＞2时，y2随x的增大而减小 D. 当x＝1时，函数y2的值小于0 【答案】C 【解析】 【分析】由图象开口方向及与y轴的交点可知a>0，c>2，由y1＋y2＝2可得y2=-ax2-bx-c+2，由-a<0可对A进行判断；根据顶点坐标方程可得出y2的最大值，由y2解析式可得y2与y轴的交点可对B进行判断；根据对称轴可对C进行判断；把x=1代入y1和y2解析式，根据y1图象可对D进行判断.综上即可得答案. 【详解】∵y1的图象开口向上，与y轴交点在（0，2）上方， ∴a>0，c>2， ∵y1＋y2＝2， ∴y2=-y1+2=-ax2-bx-c+2， ∵-a<0， ∴函数y2的图像开口向下，故A错误， ∴y2的最大值为=-+2， ∵<1， ∴-+2>1 ∴函数y2的图像与x轴有两个交点，故B错误， ∵对称轴直线在1和2之间，图象开口向下， ∴x>2时，y2随x的增大而减小，故C正确， ∵x=1时，y1=a+b+c<2， ∴-（a+b+c）>-2 ∴x=1时，y2=-a-b-c+2=-(a+b+c)+2>0，故D错误， 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、与x轴的交点、二次函数与系数的关系，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题关键. 6. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 二、填空题（共10小题，共20分） 7. 设、是关于x的方程的两个根，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用，可得，，即可解答，熟记根与系数的关系的公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， ， 故答案为：． 8. 如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】用黑色小正方形的个数除以小正方形的总个数可得． 【详解】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个， ∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是=， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单概率的计算，解决本题的关键是要知道黑色区域的面积和整个大正方形面积的比值. 9. 如图，，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E．若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理；根据平行线分线段成比例定理，对应线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，直线a，b相交于点A且分别与，相交于点B，C，D，E， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于___（结果保留π）． 【答案】10π 【解析】 【详解】根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π. 11. 已知点是线段的黄金分割点，且，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，掌握线段黄金分割的意义是解题的关键，利用黄金分割的定义得到，再把代入后进行计算即可． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．分和两种情况讨论，然后根据二次函数的定义和判别式的意义得到且，进而求解即可． 【详解】解：当时，，此时是一次函数，与x轴有一个公共点； 当时，是二次函数， ∵函数与x轴有两个公共点， ∴， ∴． 故答案为：且． 13. 如图，已知正五边形，经过C，D两点的与分别相切于点M，N，连接，则_________°. 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，正多边形，圆周角定理，连接，根据切线的性质和正多边形内角，可求得的度数，再利用圆周角定理，可得的度数，熟练求出正多边形的内角，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与分别相切于点M，N， ， 五边形是正五边形， ， ， ． 故答案为：36． 14. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m 【答案】3 【解析】 【分析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为：y=ax2+b， 由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4， ∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8， 则1.8=﹣x2+2.4， 解得：（负值已舍去） 故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：m， 故答案为：3． 15. 中，，，点I是的内心，点O是的外心，则______． 【答案】14.3 【解析】 【分析】如图，过点A作交于点D，由等腰三角形得点I、点O都在直线AD上，连接OB、OC，过点I作交于点E，设，，根据勾股定理求出，则，，由勾股定理求出R的值，证明由相似三角形的性质得，求出r的值，即可计算． 【详解】 如图，过点A作交于点D， ∵，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵点I是的内心，点O是的外心， ∴点I、点O都在直线AD上， 连接OB、OC，过点I作交于点E， 设，， 在中，， ∴，， 在中，， 解得：， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：14.3． 【点睛】本题考查内切圆与外接圆，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握内切圆的圆心为三角形三条角平分线的交点，外接圆圆心为三角形三条垂直平分线的交点是解题的关键． 16. 已知二次函数的部分对应值如下表： … … … … … … 对于下列说法：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，根据对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合表格数据，得出和的对称轴为直线，整理得，，再结合表格的数据以及对称性进行列式化简，即可作答． 【详解】解：由题意，根据表格数据可得： 二次函数的对称轴为直线， 二次函数的对称轴为直线， 其顶点式分别为，， ∵当时，，， ∴，， ∴ ∴， 故①符合题意； 二次函数的对称轴为直线 二次函数的对称轴为直线， ∴ ∵ ∴ ∴， 故②符合题意； ∵，， ∴当时，则，， ∴， ∵不一定为0， ∴不一定成立， 故③不符合题意； 当时，，， ∴，， ∴， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②④． 三、解答题（共11题，共88分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 整理得， 解得． 18. 射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1）8，9，； （2） 教练的理由为： 甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差， 所以成绩比较稳定， 所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛； （3）变大． 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据众数的定义确定a的值，根据方差公式计算甲的方差得到c的值，然后根据中位数的定义确定b的值； （2）利用方差的意义得甲的成绩比较稳定，从而决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大，数据的波动性变大，所以方差变大． 【小问1详解】 解：甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多， 甲选手的成绩众数为8，即， ， 即； 把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10， 乙选手的成绩的中位数为9； 故答案为：8，9，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 第6次为5环，与平均数相差比较大， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大． 故答案为：变大． 19. 在甲、乙两个盒中各装有编号为0，1，2的三个球，这些球除编号外都相同．若从两盒中先后各随机取出一个球，组成一个含两个数字的号码（如：从甲盒取出的球上的编号为0，从乙盒取出的球上的编号为1，则组成号码“01”）． （1）求组成的号码是“对子”（两个数字相同）的概率； （2）若甲、乙两个盒中各装有编号为0到9的十个球，这些球除编号外都相同，若规则不变，则从两盒中先后各随机取出一个球，组成的号码是“对子”的概率是________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率； （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的号码是“对子”的情况，再利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意可得等可能的结果有种，其中组成的号码是“对子”的有10种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：画出树状图得： ∵所有可能的结果为，共有9种可能的情况，且都是等可能的，其中组成的号码是“对子”的有3种， ∴组成的号码是“对子”的概率为． 【小问2详解】 解：∵由（1）可知，当甲、乙两个盒中各装有编号为0到9的十个球时，等可能的结果有：种，其中组成的号码是“对子”的有10种情况， ∴组成的号码是“对子”的概率为． 故答案为：． 20. 如图，二次函数图象顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． （1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为_______； （2）求这个二次函数的表达式； （3）当时，y的取值范围是_______； （4）将该二次函数图象向下平移_______个单位长度恰好经过点． 【答案】（1） （2） （3） （4）5 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移口诀：“左加右减，上加下减”，是解题的关键． （1）交点坐标关于对称轴的对称点即为所求； （2）设二次函数的解析式为，将代入，即可解答； （3）将，代入函数解析式，再结合图形，即可解答； （4）设二次函数的图象向下平移t个单位，根据顶点式平移的性质可得二次函数的解析式，再将代入，解方程，求得t的值，即可解答， 【小问1详解】 解：二次函数图像的顶点坐标为， 对称轴为直线， 关于直线的对称点为：，即， 该函数图象与x轴的另一个交点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入，可得， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：， 时，， 时，， 由顶点坐标为知，当时，y取最小值， 当时，y的取值范围是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：该二次函数图象向下平移t个单位长度恰好经过点． 平移后的解析式为， 将代入，得：， 解得， 故答案为：5． 21. 如图，在中，，矩形的顶点G、F分别在、上，、在上． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，则的长为_______． 【答案】（1） ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由矩形可得，可得，又是公共角，即可证明； （2）先证明，根据，即可证明； （3）根据勾股定理和相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，， ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）可知， ∴，即， ∴． 故答案为：． 22. 已知代数式，，． （1）比较与的大小； （2）当时，x的取值范围为_______． 【答案】（1）当或时，；当时，；当或时， （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次不等式，解一元一次不等式，解不等式组； （1）用作差法比较大小，进行分类讨论即可； （2）分别解不等式，然后求解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当，即或时，； 当，即时，； 当，即或时，． 【小问2详解】 解：可化为不等式组： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 23. 如图，是的直径，与交于点C，的平分线交于点D，，垂足为E，，． （1）求证：是的切线； （2）求的半径； （3）连接，则的长为_______． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示，则， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键； （1）连接，如图所示，则，由的平分线交于点D，得，所以，则，则，即可证明是的切线； （2）作于点F，则四边形是矩形，所以，，再利用勾股定理建立方程即可求解； （3）由是的直径，得，而，所以即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点F，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为． 【小问3详解】 解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元． （1）当销售单价定为多少时，日销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）当销售单价定为20元时，日销售利润最大，最大利润为1400元 （2）销售单价应定为17元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设销售单价定为元，利润为元，那么每件利润为元，此时销量为件，从而得到的表达式，然后结合二次函数的性质，求出其最大值，即可． （2）根据题意，得，解方程，结合销售单价不能超过20元，即可作答． 【小问1详解】 解：设销售单价定为元，利润为元， 依题意， ， ∴其图象开口向下，对称轴为，当时随着的增大而增大， ∵销售单价不能超过20元， ∴当时，取得最大值， ∴此时． ∴当销售单价定为20元时，日销售利润最大，最大利润为1400元， 【小问2详解】 解：设销售单价定为元， 依题意，， ∴， ∴， 解得． ∵销售单价不能超过20元． ∴销售单价为17元， 即要使日销售利润为1190元，销售单价应定为元． 25. （1）如图①，点A在外，求作的一条直径，使； （2）如图②，点A，B都在外，求作的一条直径，使． 要求：用直尺和圈规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】 （1）解：作图如图 （2）作图如图 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线和中心对称，垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作线段垂平分线和线段是解题的关键． （1）如图，连接，过点O做的垂线，与交于C、D两点； （2）如图②，作点B关于点O的对称点，连接，作的垂直平分线，与的交点即为点E，则可证明，进而证明（右图作点A关于点O的对称点也可）． 【详解】（1）略 （2）略 26. 已知二次函数（a为常数，且）． （1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设点、，若该函数的图象与线段只有一个交点，则a的取值范围是_______． 【答案】（1） 证明：当，则 ∴， ∴不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，解题的关键是利用数形结合的思想求解． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先确定对称轴为直线，然后分和两种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析求解； （3）可求出抛物线与x轴的两个交点坐标为，再分和两种情况，结合函数图象讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对于二次函数，其对称轴为直线， ①当时，则二次函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，且当时，函数有最大值，最大值为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，则二次函数图象开口向下， 则当时，且当时，函数有最大值，最大值为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， 解得， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为 抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，； 当， 当抛物线的顶点在直线的上方时，此时抛物线与直线必然有两个交点，且交点的横坐标满足，即此时抛物线与线段有两个交点，不符合题意； 抛物线的顶点在直线上时，则，解得，此时满足抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线的顶点在直线的下方时，此时抛物线与直线没有交点，不符合题意； 当 如图所示， 要使抛物线与线段只有一个交点，那么抛物线在处的函数值要大于或等于点F的纵坐标， ∴， 解得； 综上所述，或． 27. 【背景资料】1638年伽利略斜面实验，如图1，三个质量、大小完全相同的小球从A点分别沿①、②、③轨道同时滚落，谁先到达终点P？结果令人惊讶，是轨道②． 【提出问题】伽利略通过反复实验发现此轨道曲线的存在，并命名为“最速曲线”． 问题：该曲线是如何形成的？（伽利略终其一生未解） 【问题解决】50多年后牛顿破解：如图2，将一枚硬币，做好半径标记，并放置在直线l上（此时点A处在切点），沿直线l滚动一周至，A点运动的摆线即为“最速曲线”． 说明： 1．，为点A运动过程中某一位置点，，及后面题中的，也如此； 2．图2中，线段的长等于中弧的长． 【深入探究】 （1）如图3，若硬币半径为，当A点滚动到线段上处，则的长为________． （2）如图4，半径分别为、的两圆、从同一点A（B与之重合）出发，沿直线l滚动形成两条“最速曲线”．过程中，当A、、在同一直线上时，标记点A、B分别滚到、处． ①________； ②求证：． 【迁移拓展】 （3）如图5，抛物线，，（m、t均为小于0的常数），过公共顶点A作直线分别交两抛物线于点E、F．求的值． 【答案】（1）； （2）①； ②由题意可得：，， ，， 又， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是矩形，得出，再由题意得，根据即可求解； （2）①证明，可得；②题意可得：，，结合弧长公式可得，对比①中可得，进而可得，即可证明； （3）作轴于G，轴于H，设直线的解析式为，与，分别联立，求出点E，F的横坐标，即可得出，，证明，则． 【详解】解：（1）如图3， 由题意得，，， 四边形是矩形， ， 由题意得， ， ， ， 故答案为：； （2）①由切线的性质得，，， ， 又， ， ，； 故答案为：； ② 略 （3）如图5，作轴于G，轴于H， 设直线的解析式为， 联立，得， 解得，， ，即， 同理可得，即， 轴，轴， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、弧长公式、二次函数与一次函数综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $