31.2.2三角形相似判定定理（第1课时 两角、两边夹角）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

31.2 相似三角形 31.2.2 三角形相似的判定 第一课时 两角与两边夹角 第三十一章 相 似 人教版（新教材）·九年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解：类比三角形全等的判定方法，理解两角分别相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）判定三角形相似的推导过程，分清相似判定与全等判定的联系与区别。 掌握：掌握 AA、SAS 两个三角形相似判定定理；能运用两个定理证明三角形相似，并利用相似解决角度计算、线段长度求解问题。 体验思想与方法：经历"猜想—探究—证明—应用"的研究过程，体会类比思想、转化思想，感受几何定理的探究思路，提升逻辑推理能力。 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 知识回顾 （2）推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 2.平行线分线段成比例定理： （1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 1.相似三角形定义： 符号语言：若l3 //l4//l5，则 ，（） ，（） ，（） ，（）… （2）平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形 . （1）定义法: 的两个三角形相似. 4三角形全等判定： ， 全等是相似比为 1 的特殊相似。 知识回顾 相似 对应角相等，对应边的比相等 SAS、ASA、AAS、SSS 符号语言：∵ DE//BC, ∴△ADE∽△ABC． 对于三角形相似，有没有与三角形全等类似的判定方法呢？类比判定三角形全等的研究思路，我们分情况讨论. 3.已学判定两三角形相似的方法 导入新课 我们在学习全等三角形时，是减少条件，研究两边一角、两角一边、三边等情况得到判定定理。 全等是相似的特殊情况，类比全等的研究思路，判定三角形相似边、角需要满足什么条件？ 两角对应相等 两角的夹边对应相等 三角形全等 三角形相似 两角的夹边相等 两角对应相等 C B A A′ B′ C′ C B A A′ B′ C′ 无关 如何证明 导入新课 全等是相似的特殊情况，类比全等的研究思路，判定三角形相似边、角需要满足什么条件？ 两边对应相等 两边的夹角相等 三角形全等 三角形相似 两边的夹角相等 两边对应相等 C B A A′ B′ C′ C B A A′ B′ C′ 成比例 如何证明 A′ B′ C′ C B A C B A A′ B′ C′ 三边对应相等 与角无关 三角形全等 导入新课 全等是相似的特殊情况，类比全等的研究思路，判定三角形相似边、角需要满足什么条件？ 三角形相似 三边对应相等 成比例 与角无关 如何证明 一起来探究吧 7 新知探究 探究点1 两角分别相等的两个三角形相似(AA 判定) 直观上，如果保持三角形三个内角大小不变，改变这个三角形的大小，那么三角形形状不变，得到的三角形和原三角形相似。由此你能得到三角形相似的判定方法吗？证明你的结论 探 究 因为三角形内角和等于180°，能不能只用两个角相等就判定三角形相似？ 新知探究 探究点1 两角分别相等的两个三角形相似(AA 判定) 1：观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与60°， 或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗？ 同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺相似． 30°与60° 45°与45° 新知探究 探究点1 两角分别相等的两个三角形相似(AA 判定) 猜想： 两角分别相等的两个三角形相似． 2：任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′相等吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，，，你有什么发现？　 数学活动：度量 AB= ，A′B′= ，= ； BC= ，B′C′= ， ； AC= ，A′C′= ， ； 结论： ＝ ＝ 新知探究 探究点1 两角分别相等的两个三角形相似(AA 判定) 证明：两角分别相等的两个三角形相似． 已知：△ABC 与 △A′B′C′ 中，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′。 求证：△ABC ∽ △A′B′C′。 ∠A = ∠A′， ∠B = ∠B′ ∠C＝∠C′ （2）如何说明 = = ？ （1）由已知条件，三角是否相等？ 理论：三角形相似判定的预备定理： 平行于三角形一边截其他两边或两边延长线所的三角形与原三角形相似， 方法： 移动 △ABC，使顶点 A 与 A′ 重合，点 B、C 落在 A′B′、A′C′ 上 D、E 两点。 D E 新知探究 探究点1 两角分别相等的两个三角形相似(AA 判定) 证明：两角分别相等的两个三角形相似． 已知：△ABC 与 △A′B′C′ 中，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′。 求证：△ABC ∽ △A′B′C′。 （3）DE平行B′C′吗？ △ABC 与 △A′B′C′相似吗？ D E 由平移可得： ∠A′DE = ∠B′ △ABC ≅ △A′DE， ∵ ∠ADE = ∠B = ∠B′， ∴ DE ∥ B′C′（同位角相等，两直线平行） 根据三角形相似判定预备定理得： △A′DE ∽ △A′B′C′。 ∴ △ABC ∽ △A′B′C′。 新知探究 探究点1 两角分别相等的两个三角形相似(AA 判定) 证明：两角分别相等的两个三角形相似． 已知：△ABC 与 △A′B′C′ 中，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′。 求证：△ABC ∽ △A′B′C′。 D E 证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB， 过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E． ∵DE∥B′C′， ∴∠A′DE＝∠B′，△A′DE∽△A′B′C′． 又∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴∠B＝∠A′DE． ∵AB＝A′D， ∴△ABC≌△A′DE．（SAS） ∴△ABC∽△A′B′C′． 新知探究 探究点1 两角分别相等的两个三角形相似(AA 判定) 三角形相似判定定理1 判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言： 在 △ABC、△A′B′C′ 中， ∵ ∴ △ABC ∽ △A′B′C′。 典例分析 探究点1 两角分别相等的两个三角形相似(AA 判定) 例1 如图所示，BC⊥CD于点C，BE⊥DE于点E，BE与CD相交于点A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的长． 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得 AB＝＝ ＝5 .∵BC⊥CD，BE⊥DE， ∴∠C＝∠E， 又∵∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝ ，即＝ ， 解得AD＝ ， ∴CD＝AD＋AC＝ ＋3＝ . 判定相似找两角，隐含条件很重要 已知两个三角形中有一组角对应相等，只要看是否还有另一组角对应相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件． 新知探究 探究点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ∵小方格边长都是1 ∴=k，B′C′=，BC=3 ∴=k ∵ ∴ △ABC ∽△A′B′C′. ∴ ∠B=∠B'，∠C=∠C′. 类比判定三角形全等的“边角边”方法，两边和它们的夹角满足什么条件的两个三角形相似？能证明你的结论吗? 活动1 如图，小方格的边长都是1.任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A , =k ，动手计算它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？这两个三角形另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？ 新知探究 探究点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 探究结果： 如果∠A=∠A ,=k 那么△ABC ∽△A′B′C′. 猜想：两边成比例，且夹角相等，两个三角形相似。 活动1 如图，小方格的边长都是1.任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A , =k ，动手计算它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？这两个三角形另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？ 新知探究 探究点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似(SAS 判定) 活动2 猜想证明：两边成比例，且夹角相等，两个三角形相似。 证明：在 A′B′ 边上截取 A′D = AB， 过 D 作 DE ∥ B′C′ 交 A′C′ 于 E。 由平行线相似：△A′DE ∽ △A′B′C′， 得 。 已知 ，A′D = AB， ∴ ，得 A′E = AC。 又 ∠A = ∠A′，A′D = AB，A′E = AC， ∴ △A′DE ≌ △ABC。 ∴ △ABC ∽ △A′B′C′。 已知：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，，∠A = ∠A′。 求证：△ABC ∽ △A′B′C′。 A' B' C' B A C D E 方法：作平行线构造“A”字 型模型 新知探究 探究点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三角形相似判定定理2 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相。 A' B' C' B A C 符号语言： ∴△ABC∽△A'B'C' ∵ 新知探究 探究点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （1）小明和小颖分别画出了下面的两个三角形，由此你能得到什么结论？ 两边成比例，其中一边的对角相等，两个三角形不一定相似 思考辨析 两边成比例，其中一边的对角相等，两个三角形一定相似吗？ 新知探究 探究点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两边成比例，其中一边的对角相等，两个三角形一定相似吗？ （2）对于△ABC和△A′B′C′，如果，∠C=∠C′，这两个三角形一定会相似吗？ 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角， 那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 思考辨析 如下图，不能证明构造的三角形△A′B″C′和原三角形相似。 如图：A′B″=AB ∵ ∴，且∠C′=∠C′ 但△A′B″C′与△A′B′C′不相似 典例分析 例 1：△ABC 是等腰三角形，AB = AC，∠A = 36°，BC = 1，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D。 （1）求证：△BCD ∽ △ABC； （2）求 AC 的长。 （1）证明：∵ AB = AC，∠A = 36° ∴ BD 平分 ∠ABC， ∴ ∠ABD = ∠CBD = 36° ∴ ∠CBD = ∠A = 36°，∠BCD = ∠ABC = 72° △BCD ∽ △ABC（两角对应相等的两三角形相似） 典例分析 例 1：△ABC 是等腰三角形，AB = AC，∠A = 36°，BC = 1，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D。 （1）求证：△BCD ∽ △ABC； （2）求 AC 的长。 （2）解：在 △BCD 中， ∠BDC = 180° − ∠CBD − ∠C = 72° ∴ ∠BDC = ∠C，BD = BC = 1 又 ∠ABD = ∠A = 36°， ∴ AD = BD = 1 ∵ △BCD ∽ △ABC ∴ ， 即 设 CD = x， AB = AC = AD + CD = 1 + x， BC = 1 1² = x(1 + x)， 即 x² + x − 1 = 0 解得 ，（舍去） AC = 1 + x = 典例分析 ►顶角 36° 的等腰三角形常称为黄金三角形， 为黄金分割数。它的底边与腰的比，称为黄金分割数. ►点D把AC分为 AD，CD 两段，CD与AD的比值为 点D称为黄金分割点. 典例分析 例 1：△ABC 是等腰三角形，AB = AC，∠A = 36°，BC = 1，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D。 （1）求证：△BCD ∽ △ABC； （2）求 AC 的长。 知识点拓展 典例分析 例2、如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似． 解：当DP∥CB ， 此时 △ADP∽△ACB 可得：＝ ， ∴ ＝ ，解得AP＝9 当∠ADP=∠ABC ，此时△ADP∽△ABC时， 可得：＝ ， ∴ ＝ ，解得AP＝4， ∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似． P 4或9. P 典例分析 例3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是边AB上的高， 求证：(1)CD2＝AD·BD；　(2)BC2＝AB·BD，AC2＝AB·AD. 证明： (1)∵△ADC和△ACB是直角三角形， ∴∠A＋∠ACD＝90°， ∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠＝∠， 又∠＝∠＝90°， ∴△∽△. ∴ ＝ . ∴CD2＝AD·BD. (2)∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠CDB， ∴△ABC∽△CBD. ∴ ＝ . ∴BC2＝AB·BD. 同理可证△ABC∽△ACD. ∴ ＝ . ∴AC2＝AB·AD.   新知巩固 教材P12 1如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高。 求证：（1）△ACD ∽ △ABC；（2）△CBD ∽ △ABC。 证明：（1）∵ △ABC 是直角三角形， ∠ACB = 90°，CD ⊥ AB， ∴ ∠ADC = 90° = ∠ACB。 又 ∠A = ∠A（公共角）。 ∴△ACD ∽ △ABC。 （2）∵ ∠CDB = 90° = ∠ACB， ∠B = ∠B（公共角） ∴△CBD ∽ △ABC。 新知巩固 2、图中的两个三角形是否相似？为什么？ 解：相似。理由： ∵ ， ， ∴ ∵∠ACB = ∠ECD（对顶角相等）， ∴△ABC ∽ △CED 教材P12 新知巩固 3.如图，在由相同的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，画出一个顶点都在格点上的△DEF，使△DEF∽△ABC，且△DEF与△ABC 的相似比为2；画图的依据是什么? 解：如图所示 依据：两边成比例且夹角相等（SAS） 教材P12 D E F 设小正方形边长为1由图可得： AB=BC=2，AC= ED=，DF=4，EF= ∠ABC=∠EDF=135° ∴ = = =2, 拓展提升 1.黄金分割 （1）阅读材料：如图，若线段 上一点 把线段 分成两条线段 和 （ ），且使 是 和 的比例中项即 （也即 ）则称线段 被点 黄金分割，点 叫线段 的 黄金分割点 ，较长线段 与原线段 的比叫做 黄金分割比． 可以简单记忆成： ． （2）解决问题：求出线段的黄金分割比 A B 解： 设线段 的长度为1， 的长度为 ，则 为 ． 由黄金分割定义得： 列方程为： ． 整理得到： ， 解得 (舍）， ，所以 ． C 所以 黄金分割比为： ． 30 拓展提升 1.黄金分割 （1）阅读材料：如图，若线段 上一点 把线段 分成两条线段 和 （ ），且使 是 和 的比例中项即 （也即 ）则称线段 被点 黄金分割，点 叫线段 的 黄金分割点 ，较长线段 与原线段 的比叫做 黄金分割比． 可以简单记忆成： ． A B C （3）认识黄金三角形： 黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种： ①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°． 这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：； ②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°； 这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比： ． 拓展提升 2. 如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，（cm） ∴，（cm） ∵点是靠近点的黄金分割点， ∴（cm） （cm） ∴支撑点之间的距离为（cm） 真题感知 1.（2026•凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝EF B．∠ABA′＝∠CBC′ C．△ABC≌△A′BC′ D．△BCF∽△EC′F 解：∵将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置， ∴∠ABA′＝∠CBC′，△ABC ≌△A′BC′， ∴故B不符合题意，C不符合题意； ∵AC与A′C′交于点EAC与BC′交于点F， ∴∠BFC＝∠EFC′， ∵∠C＝∠C′， ∴△BCF∽△EC′F，故D不符合题意； 如图，当AB＝BC，且BC′⊥AC时，设AB交A′C′于点H，连接AC′， ∵BC′＝BC，∴AB＝BC′， ∴∠BAC′＝∠BC′A， ∵∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C， ∴∠BAC＝∠A′C′B， ∴∠BAC′﹣∠BAC＝∠BC′A﹣∠A′C′B， ∴∠EAC′＝∠EC′A， ∴AE＝C′E， ∵C′E＞EF，∴AE＞EF， ∴“AE＝EF”这一结论不一定正确， 故A符合题意， A 课堂小结 知识点总结 判定三角形相似定理1： ►两个三角形只要有两组对应角相等，则这两个三角形相似。 常用找角途径：公共角、对顶角、同角（等角）的余角／补角、平行线同位角内错角、圆周角相等。 ►判定三角形相似定理2：两个三角形两组对应边的比值相等，且这两组边中间夹的角是对应相等的角，则两三角形相似。 ⚠️ 核心是：相等的角必须是这两条成比例边的夹角。 课堂小结 方法思想总结 类比思想：类比全等三角形的判定研究思路，从"减少判定条件"入手，由全等的 ASA／AAS 猜想相似 AA、由全等 SAS 猜想相似 SAS，快速搭建新知框架。 转化思想：证明 AA、SAS 定理时，作平行线，构造出和已知三角形全等的小三角形，把待证相似转化为"平行线得到的相似"，把陌生问题转化为已经学过的结论。 几何证明解题方法：证相似优先找角，先观察图中公共角、对顶角、直角，优先尝试 AA（AA 是最常用、最简单的证法）；图中给出较多边长比例时，再考虑 SAS；相似证完之后，利用对应边成比例列方程求线段长度，利用对应角相等求角度。 课堂小结 易错提醒 “两边成比例且一边的对角相等” 不能判定相似： 即使两组边成比例，相等角不是夹角、只是其中一条边的对角时，三角形形状不唯一 ，无法保证相似，与全等里 SSA 不能判定是同一个道理。 2. 顶点字母不对应：写 △ABC ∽ △DEF 时，字母顺序代表对应关系；乱写顺序会把非对应边、非对应角当成对应量，导致比例式、角度全部出错。 3. 比例式对应边写错，书写三角形相似时，对应顶点按顺序写，直接锁定对应角、对应边，减少找边找角错误。列比例式时一定要长边比对长边、短边比对短边，保证是对应边，不要随意交叉写线段。 课后练习 4、根据下列条件，判断 △ABC 与 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： （1）∠A = 70°，∠B = 48°；∠A′ = 70°，∠C′ = 62°。 （2）∠A = 40°，AB = 8，AC = 15；∠A′ = 40°，A′B′ = 16，A′C′ = 30。 解：（1）相似。 在 △ABC 中，∠C = 180° − 70° − 48° = 62°。 ∴ ∠A = ∠A′ = 70°，∠C = ∠C′ = 62°， ∴△ABC ∽ △A′B′C（两角对应相等的两三角形相似） （2）相似。 ∵，， ∴ ∵ ∠A = ∠A′ = 40°， ∴∴△ABC ∽ △A′B′C（两边成比例且夹角相等的两三角形相似） 教材P16 课后练习 5. 求图中 x、y 的值 解：由图可得： △ABC 与 △DEC，AC = 60，BC = 39， DC = 26，EC = 40，∠D = 98°。 ∵，， ∴ 又 ∠ACB = ∠ECD（对顶角相等）， ∴ △ABC ∽ △EDC （两边成比例且夹角相等的两三角形相似） 教材P17 ∴ ，DE = 27， ∴， 解得 x = 40.5 ∵ △ABC ∽ △EDC ∴∠B = ∠D = 98°， ∴ y = 98 课后练习 第 13 题.AB 是 ⊙O 直径，AB = 2r，弦 CD 交 AB 于点 P，连接 AC、BD，求证： （1）△APC ∽ △DPB； （2）PA·PB = PC·PD = r² − OP²。 证明（1）∵ ∠A 与 ∠D 都是弧 BC 所对圆周角， ∴ ∠A = ∠D ∵∠APC = ∠DPB（对顶角相等） ∴ △APC ∽ △DPB（两角对应相等的两三角形相似） （2）由 △APC ∽ △DPB，， ∴PA·PB = PC·PD 设圆心 O，OP = d，OA = OB = r。 则 PA = r − d，PB = r + d， PA·PB = (r − d)(r + d) = r² − d² = r² − OP² ∴ PA·PB = PC·PD = r² − OP²。 教材P18 谢谢聆听 $