31.2.3相似三角形的性质（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，核心知识点为对应线段、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。课堂导入通过复习相似图形、多边形及三角形判定定理，从构成元素（边、角）到相关元素（高、中线等）搭建学习支架，引导学生从已知探究未知性质。 其亮点在于合作探究环节采用“猜想-求证-独立/小组证明”模式，如对应高、中线的证明过程，培养学生推理能力（数学思维）。典例分析结合矩形、三角形实例，用数学语言表达数量关系（数学语言），归纳总结系统化性质（数学眼光）。学生能提升推理与应用能力，教师可获得结构化教学流程及中考链接素材，助力高效教学。

31.2.3 相似三角形的性质 第三十一章 相似 人教版九年级下册 学习目标 了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方. 一 会综合利用相似三角形的判定定理和性质定理进行证明或计算. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 三角形相似的判定定理 预备定理 判定1 判定2 判定3 判定4 平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 复习引入 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似 复习引入 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 判定定理 两角分别相等 两边成比例且夹角相等 三边成比例 斜边和一直角边成比例 性质定理 ？ 复习引入 三角形 构成元素 对应角相等 对应边成比例 相关元素 边 角 高、中线、角平分线 周长 面积 合作探究 探究1 两个相似三角形的相似比为k，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少？ 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的高AD和A′D'. 求证： = = k. 猜想：相似三角形对应高的比等于相似比. 对应的高 小组讨论，寻找证明方法. 合作探究 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠B=∠B′ . 又 ∠ADB=∠A'D′B′=90°， ∴ △ABD∽△A'B′D'. ∴ = = k. 合作探究 探究1 两个相似三角形的相似比为k，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少？ 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的中线AD和A′D'. 求证： = = k. 猜想：相似三角形对应中线的比等于相似比. 对应的中线 请同学们独立完成证明. 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠B=∠B′ ， = = k. 又 BD= BC， B′D′= B′C′， ∴ = = . ∴ △ABD∽△A'B′D'. ∴ = = k. 合作探究 合作探究 探究1 两个相似三角形的相以比为k，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少？ 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的角平分线AD和A′D'. 求证： = = k. 猜想：相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 请同学们独立完成证明. 对应 的角平分线 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′ . 又 ∠BAD= ∠BAC， ∠B′A′D′= ∠B′A′C′， ∴ ∠BAD=∠B′A′D′. ∴ △ABD∽△A'B′D'. ∴ = = k. 合作探究 合作探究 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 合作探究 探究2 两个相似三角形的相似比为k，它们周长的比、面积的比各是多少？ 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k. 求证： = k. 猜想：相似三角形周长的比等于相似比. 请同学们独立完成证明. 周长的比 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴ = = = k. ∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，AC=kA'C'， ∴AB+BC+AC=k(A'B'+B'C'+A'C')， ∴ = k. 合作探究 合作探究 探究2 两个相似三角形的相以比为k，它们周长的比、面积的比各是多少？ 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k. 求证： = k2. 猜想：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 请同学们独立完成证明. 面积的比 证明：分别作它们的高AD和A′D'. ∵△ABC∽△A'B'C′， ∴ = = k. ∴ = = · = k·k= k2. 合作探究 合作探究 相似三角形的性质定理 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 典例分析 例1 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在对角线BD上，且BE=7，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF∶S△BEA等于（     ） A．3:7 B．7:10 C．9:49 D．49:100 C 典例分析 例2 已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是对应的角平分线，若AD:A'D' =4:3，△ABC的周长为16，则△A′B′C′的周长是_______． 解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D'是对应角平分线， ∴相似比=AD:A'D'=4:3， 又∵相似三角形周长之比等于相似比， ∴C△ABC:C△A'B'C'=4:3， 已知△ABC周长为16，代入得：16:C△A'B'C'=4:3， 解得：C△A'B'C'=16×=12． 12 分析： 典例分析 例3 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 若△ABC的边BC上的高为6，它的面积为12，求△DEF的边EF上的高和它的面积. 两边成比例且夹角相等 △ABC∽△A'B'C′ 对应高的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 判定 性质 解：在△ABC和△DEF中 ， ∵ AB=2DE，AC=2DF， ∴ = = . 又 ∠D=∠A， ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 · ∵△ABC的边BC上的高为6，它的面积为12， ∴ △DEF的边EF上的高为 ×6=3，它的面积为( )2×12=3. 典例分析 巩固练习 1.判断题. (1)一个三角形各边长分别扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ ） (2)一个三角形各边长分别扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍 .（ ） √ × 81倍 巩固练习 2.如图，△ABC∽△DEF，AB:DE=1:2，则下列结论一定成立的是（    ） A．BC:DF=1:2 B．∠A的度数:∠D的度数=1:2 C．S△ABC:S△DEF=1:2 D．C△ABC:C△DEF=1:2 D 巩固练习 3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了 6 cm，复印前后三角形的相似比是多少?这个三角形的面积发生了怎样的变化? 答：复印前后三角形的相似比是 ， 面积变成了原来的9倍. 解：设△ABC和△A'B'C′的相似比为k. ∴ =k， =k， ∴ = . 巩固练习 4.如图 ，△ABC∽△A'B'C′，AD，BE是△ABC的高，A'D'，B′E'是 △A'B′C′的高 .求证： = . 归纳总结 三角形 边 构成元素 对应角相等 对应边成比例 相关元素 角 高、中线、角平分线 周长 面积 对应线段的比等于相似比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 感受中考 1.（2025年黑龙江绥化）两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是（    ） A．14 cm B．18 cm C．30 cm D．34 cm B 感受中考 2.（2026年四川乐山）如图，在△ABC中，点D 、E 、F分别是AB、BC 、AC 的中点，连接DE、EF、DF．若S△DEF=1，则S△ABC=（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 B 感受中考 3.（2026年辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF⊥BC，DG⊥BC， 垂足分别为F，G．若AB=10，CD=15，则AF:DG的值为_________． 小结梳理 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 判定定理 两角分别相等 两边成比例且夹角相等 三边成比例 斜边和一直角边成比例 性质定理 对应边成比例 对应角相等 对应线段的比等于相似比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 布置作业 必做题：习题31.2 第8，11，12题. 1 探究性作业：习题31.2 第15，16题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $