14.3 角的平分线 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 教学设计 姓名 学科段 初中数学 授课班级 职称 教龄 授课时间 课题 14.3 角的平分线（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册 第十四章“全等三角形”第 3 节） 教材分析 本节是“全等三角形”的应用课。教材先提出问题：角的平分线上的点与角的两边有什么数量关系？通过测量、折纸得到猜想，再用全等（AAS）证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”；接着反过来研究“到角两边距离相等的点是否在角平分线上”，得到判定，并指出角平分线可以看成到角两边距离相等的所有点的集合；随后用这个结论作角平分线（尺规作图），最后研究三角形三条角平分线交于一点。本节示范了“性质—判定”成对研究几何对象的方法。 核心素养目标 1. 推理能力：能分清“已知”“求证”，完成性质与判定的证明。 2. 几何直观：能画出点到角两边的距离，理解“距离”指垂线段的长度。 3. 模型观念：能在三角形中运用角平分线性质解决等距问题。 4. 表达规范：能按“画图—写已知求证—证明”的步骤完成一个命题的证明。 教学重点 角平分线的性质定理与判定定理；用尺规作角的平分线。 教学难点 点到角两边“距离”的含义；性质与判定中“点在角平分线上”与“到两边距离相等”的互推。 学情分析 学生已经会用全等证线段、角相等，但把“距离”当成“随便连一条线段”，画图时容易漏掉垂直符号。常见错误：证明性质时没有先说明 PD⊥OA、PE⊥OB；把判定定理的条件“点在角的内部”漏掉。本设计用“量一量、比一比、证一证”逐步推进。 教学方法 类比探究、动手操作、问题驱动相结合；把角的平分线与线段的垂直平分线对比着讲，为下一章轴对称做铺垫。 课时安排 1 课时 教学资源 圆规、直尺、量角器、几何画板、多媒体课件、人教版八年级上册教材。 教学流程设计 任务/环节 教学内容与问题设计 教师活动 学生活动 学习评价设计 环节一 情境导入 提出问题 前面我们用全等三角形证明了线段相等、角相等。 问题：角的平分线上的点，与角的两边有什么数量关系？ 复习角平分线的定义；提出本节要研究的问题，板书“点到角两边的距离”。 说出角平分线的定义；猜想“到两边距离相等”。 能否说出角平分线的定义；能否明确“距离”指垂线段。 设计意图：由“已会的工具”引出“新的研究对象”，让研究的必要性自然产生。 环节二 操作猜想 形成命题 在 ∠AOB 的平分线 OC 上任取点 P1、P2、P3，过这些点分别作 OA、OB 的垂线，量出垂线段的长度。 猜想：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 指导学生规范作图（过点作垂线、标直角符号）；收集数据，引导归纳猜想。 动手作图、测量、记录数据，发现“距离相等”，提出猜想。 能否画出正确的垂线段；能否由数据提出猜想。 设计意图：先有度量得到的猜想，再有证明的需要，避免“直接给结论”。 环节三 证明性质 规范书写 已知：OC 平分 ∠AOB，P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为 D、E。 求证：PD=PE。 证明：∵ OC 平分 ∠AOB，∴ ∠DOP=∠EOP。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP=∠OEP=90°。 在 △DOP 和 △EOP 中，∠DOP=∠EOP，∠ODP=∠OEP，OP=OP， ∴ △DOP≌△EOP（AAS），∴ PD=PE。 示范“画图—写已知求证—证明”的完整过程；强调 OP 是公共边、直角是隐含条件。 跟着写一遍证明；同桌互查“已知、求证、依据”是否齐全。 能否写出完整的已知与求证；证明中是否注明依据。 设计意图：本节是第一次完整证明一个“性质命题”，格式训练的价值高于结论本身。 环节四 研究判定 互逆对照 反过来：到角两边距离相等的点，一定在角的平分线上吗？ 已知：P 在 ∠AOB 内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。求证：P 在 ∠AOB 的平分线上。 结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 引导学生把上一题的“已知”“求证”互换；提醒“点在角的内部”这一条件；示范证明（HL 或 AAS）。 互换条件与结论，独立写出证明；比较两个命题的异同。 能否正确互换条件与结论；能否说明“点在内部”的必要性。 设计意图：性质与判定成对出现，学生才能把“距离相等”当作双向的判据。 环节五 尺规作图 作出平分线 作法：以 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于 M、交 OB 于 N； 分别以 M、N 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB 内部交于 C； 作射线 OC，则 OC 为 ∠AOB 的平分线。 想一想：为什么半径要大于？ 示范作图并保留痕迹；引导用“SSS”说明作法的合理性。 动手作图；用全等解释“为什么 OC 就是平分线”。 能否规范作图并保留痕迹；能否说出作法的依据。 设计意图：作图不是模仿动作，而是判定定理的应用，要让“为什么”落地。 环节六 例题示范 三条平分线 例 △ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证： （1）点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等； （2）△ABC 的三条角平分线交于一点。 引导过 P 作三边的垂线段；示范（1），由（2）追问“点 P 到 AB、CA 的距离相等，说明什么”。 独立完成（1）；在教师引导下完成（2），体会“性质”与“判定”的交替使用。 能否正确作出三条垂线段；能否用判定说明 P 在 ∠A 的平分线上。 设计意图：这是性质与判定的综合应用，也是三角形“三线”研究的第一个结论。 环节七 课堂小结 布置作业 1. 角平分线有哪些性质？怎样判定一个点在角平分线上？ 2. 画点到角两边的距离要注意什么？3. 本节用到了哪些全等判定？ 组织学生完成“性质—判定”对照表；布置分层作业。 复述性质与判定，指出两者条件与结论的互换关系。 能否完整说出性质与判定；能否说清“距离”的画法。 设计意图：小结落在“互逆”上，为下一章线段垂直平分线的学习提供方法原型。 板书设计 14.3 角的平分线 一、性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等 　　已知：OC 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB　求证：PD=PE（AAS） 二、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 三、尺规作角平分线：两弧相交于内部，作射线 OC 四、三角形：三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等 五、易错：距离必须画垂线段；判定中“点在角的内部”不能丢 作业设计 《14.3 角的平分线》课后作业 A 组（必做，基础） 1. 填空题：（1）角的平分线上的点到角两边的____相等；（2）角的内部到角两边距离相等的点在____上。 答案：（1）距离；（2）角的平分线。 2. OC 平分 ∠AOB，P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，PD=3 cm，则 PE=____cm。 答案：PE=3 cm。 3. 判断题：（1）到角两边距离相等的点一定在角的平分线上；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等；（3）角平分线是一条射线。 答案：（1）×，到角两边距离相等的点还必须在这个角的内部；（2）√；（3）√，角平分线是从顶点出发把角分成两个相等角的射线，它就是射线，不是直线。 B 组（选做，中档） 4. OC 平分 ∠AOB，P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，F、G 分别在 OA、OB 上，且 DF=EG。求证 PF=PG。 答案：由角平分线的性质得 PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°；又 DF=EG，∴ △PDF≌△PEG（SAS），∴ PF=PG。 5. 在 △ABC 中，∠C=90°，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，且 BC=8，BD=5。求 DE 的长。 答案：CD=BC−BD=3。∵ AD 平分 ∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴ DE=DC=3。 6. 利用尺规作一个角的平分线，并说明作法的依据。 答案：作法见课本。依据：由作图知 OM=ON，CM=CN，又 OC=OC，∴ △OMC≌△ONC（SSS），∴ ∠MOC=∠NOC，即 OC 平分 ∠AOB。 C 组（拓展，综合） 7. △ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等。 答案：过 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足为 D、E、F。∵ P 在 BM 上，∴ PD=PE；∵ P 在 CN 上，∴ PE=PF。∴ PD=PE=PF。 8. 在 △ABC 中，∠B、∠C 的平分线交于 P，∠A=80°。求 ∠BPC。 答案：∠PBC+∠PCB=(180°−80°)÷2=50°，∴ ∠BPC=180°−50°=130°。 1 学科网（北京）股份有限公司 $