15.1.2 线段的垂直平分线 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

15.1.2 线段的垂直平分线 教学设计 姓名 学科段 初中数学 授课班级 职称 教龄 授课时间 课题 15.1.2 线段的垂直平分线（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册 第十五章“轴对称”第 1 节第 2 课时） 教材分析 本课时研究线段的垂直平分线。教材先由“对称轴是垂直平分线”引出垂直平分线的定义，再探究其性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（用全等证明）；进而研究判定：与线段两端点距离相等的点在垂直平分线上；在此基础上介绍互逆命题、互逆定理，并安排用尺规作垂直平分线、作对称轴、过直线外一点作垂线。本节是轴对称性质的直接应用，也是后续证明等腰三角形“三线合一”的基础。 核心素养目标 1. 推理能力：能分清性质与判定的条件与结论，完成两个命题的证明。 2. 几何直观：能画出垂直平分线，并用它解释“到两端点距离相等”。 3. 模型观念：能在实际问题（如选址到两点距离相等）中运用判定。 4. 表达规范：能按“已知—求证—证明”的格式书写，能规范使用尺规作图。 教学重点 线段垂直平分线的性质定理与判定定理；尺规作垂直平分线。 教学难点 性质与判定的互逆关系；互逆命题真假性的辨析（原命题真，逆命题不一定真）。 学情分析 学生已经会用全等证线段相等，也学过轴对称的性质，但对“互逆命题”没有经验，容易认为“原命题正确，逆命题就一定正确”。常见错误：证明性质时漏掉“垂直”或“平分”的条件；作垂直平分线时两弧半径取得太小；把“距离相等”的点画在直线外。本设计用“换位置”的办法突破。 教学方法 类比探究法、证明示范法、动手操作法相结合；把性质与判定并排板书，用“条件与结论互换”这一动作贯穿全课。 课时安排 1 课时 教学资源 圆规、直尺、透明纸、多媒体课件、人教版八年级上册教材。 教学流程设计 任务/环节 教学内容与问题设计 教师活动 学生活动 学习评价设计 环节一 复习导入 提出对象 复习：成轴对称的两个图形中，对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线。 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 问题：垂直平分线上的点有什么特殊性？ 由上一课的性质引出定义；板书“垂直平分线”并强调“垂直 + 平分”两个条件。 复述定义，说出“垂直”与“平分”各指什么。 能否说出定义中的两个条件；能否在图上标出中点与直角符号。 设计意图：把上一课的性质反过来作为研究对象，产生研究“垂直平分线”的需求。 环节二 探究性质 完成证明 在直线 l 上取点 P，连接 PA、PB（l 垂直平分 AB）。量一量 PA 与 PB 的长。 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 已知：l⊥AB，垂足为 C，AC=CB，P 在 l 上。求证：PA=PB。 指导画图与测量；示范证明：由 AC = CB、∠PCA = ∠PCB = 90°、PC = PC 得 △PCA≌△PCB（SAS），故 PA = PB。 测量、猜想，跟着完成证明；说出每一步的依据。 能否用 SAS 完成证明；书写是否规范。 设计意图：性质必须证明，这是“测量—猜想—证明”链条的第二次完整训练。 环节三 研究判定 互逆对照 把性质的条件与结论互换：到线段两端点距离相等的点，一定在垂直平分线上吗？ 判定：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 思考：这个命题与性质的关系是什么？ 引导学生互换“已知”“求证”；示范证明（作 PC⊥AB，用 HL 或 SSS）；指出“性质”与“判定”互为逆命题。 互换条件与结论，独立写出证明；比较两个命题的异同。 能否正确互换；能否说清性质与判定的用途区别。 设计意图：性质用来“由点得等距”，判定用来“由等距得点”，用途必须分清。 环节四 认识互逆 真假辨析 互逆命题：两个命题中，如果一个命题的条件是另一个命题的结论，结论是另一个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 辨析：“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”成立吗？ 用“对顶角相等”的例子说明“原命题真，逆命题不一定真”；指出“互逆定理”要求两个命题都是定理。 举出互逆命题的例子，判断真假；说明为什么不能“原命题真就认定逆命题真”。 能否举出互逆命题；能否举出逆命题不成立的反例。 设计意图：这是本章唯一的逻辑训练点，用反例一句话讲清即可，不宜过度扩展。 环节五 尺规作图 作平分线 作法：分别以 A、B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于 M、N；作直线 MN，则 MN 垂直平分 AB。 想一想：为什么 MN 就是 AB 的垂直平分线？ 示范作图并保留痕迹；引导用“判定”（MA = MB、NA = NB）说明作法的合理性。 动手作图；用判定定理说明“为什么 MN 上的点到 A、B 距离相等”。 能否规范作图；能否说出作法的依据。 设计意图：作图与判定互为表里，要让学生说出“凭什么这样作”。 环节六 应用拓展 作对称轴 应用 1：要在公路旁建一个加油站，使它到 A、B 两村的距离相等，应该建在哪里？ 应用 2：已知两个图形关于某直线对称，用尺规作出这条直线。 引导把实际问题转化为“作垂直平分线”；示范作对称轴的方法（取一对对应点）。 独立完成作图并说明理由；说出“为什么作对应点连线的垂直平分线”。 能否把实际问题转化为作图问题；能否说清依据。 设计意图：从“图形内部”走到“实际问题”，体现判定定理的应用价值。 环节七 课堂小结 布置作业 1. 线段垂直平分线有哪些性质？怎样判定一个点在垂直平分线上？ 2. 什么是互逆命题、互逆定理？3. 怎样用尺规作垂直平分线？ 组织学生完成“性质—判定—互逆”结构图；布置分层作业。 复述性质与判定，说出它们的互逆关系。 能否完整说出性质与判定；能否举出互逆命题的例子。 设计意图：小结落在“互逆”这一方法上，为等腰三角形的性质与判定做铺垫。 板书设计 15.1.2 线段的垂直平分线 一、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线 二、性质：垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等 　　证明：AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，PC=PC ⇒ △PCA≌△PCB（SAS）⇒ PA=PB 三、判定：与线段两端点距离相等的点在垂直平分线上 四、互逆命题：条件与结论互换；原命题真，逆命题不一定真 五、尺规：两弧交于 M、N，作直线 MN 作业设计 《15.1.2 线段的垂直平分线》课后作业 A 组（必做，基础） 1. 填空题：（1）经过线段____并且____这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；（2）垂直平分线上的点到线段两个端点的距离____。 答案：（1）中点；垂直于；（2）相等。 2. 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 C，P 在垂直平分线上，PA=5 cm，则 PB=____cm，AC=____cm（若 AB=8 cm）。 答案：PB=5 cm；AC=4 cm。 3. 判断题：（1）到线段两端点距离相等的点有无数个；（2）垂直平分线是一条线段；（3）线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线。 答案：（1）√；（2）×，是直线；（3）√。 B 组（选做，中档） 4. 已知点 P 到线段 AB 两端点的距离相等，PA=6 cm，∠PAB=30°。求 AB 的长。 答案：作 PC⊥AB 于 C，则 AC=CB。在 Rt△PAC 中，∠PAC=30°，，AC=√(36−9)=3√3，故 AB=2AC=6√3（cm）。 5. 在 △ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E。若 AB=10，BC=6，求 △BCD 的周长。 答案：△BCD 的周长 =BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+10=16。 6. 写出“等边对等角”的逆命题，并说明它是否成立。 答案：逆命题是“等角对等边”：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。它是真命题（下一节将证明）。 C 组（拓展，综合） 7. 在直线 l 上求作一点 P，使 PA=PB（A、B 在 l 同侧），并说明依据。 答案：作线段 AB 的垂直平分线，它与 l 的交点即为 P（若与 l 平行则无解）。依据：垂直平分线上的点到两端点距离相等。 8. 在 △ABC 中，边 AB、AC 的垂直平分线交于点 P。求证：（1）PB=PC；（2）点 P 在 BC 的垂直平分线上。 答案：（1）P 在 AB 的垂直平分线上 ⇒ PA=PB；P 在 AC 的垂直平分线上 ⇒ PA=PC，∴ PB=PC。（2）∵ PB=PC，∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上（判定）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $