15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 教学设计 2026-2027学年数学人教版八年级上册

15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 2026—2027学年人教版数学八年级上册 学科 数学 年级 八年级 课题 15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 课时 1课时 一、教材分析 本节课是人教版八年级上册第十五章“轴对称”中15.1.2节的第1课时。学生已经学习了轴对称的概念和性质，本节课主要学习线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。这两个定理是互逆定理，它们在几何证明和作图中有着广泛的应用，也是后续学习轴对称变换和尺规作图的重要基础。 二、学情分析 学生已经学习了轴对称的性质和全等三角形的判定方法，具备基础。但学生容易混淆性质定理和判定定理的条件和结论，需要通过对比加深理解。同时，学生在运用定理解决实际问题时，对“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的理解需要加强。 三、素养目标 目标维度 具体目标 会用数学的眼光观察现实世界 （几何直观、抽象能力） 能通过观察和操作，发现线段的垂直平分线的性质，感知性质定理与判定定理的互逆关系。 会用数学的思维思考现实世界 （推理能力、运算能力） 能证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，能区分两个定理的条件与结论。 会用数学的语言表达现实世界 （符号意识、模型观念） 能运用线段的垂直平分线的性质和判定解决证明和计算问题，能规范地书写证明过程。 四、教学重难点 教学重点：线段的垂直平分线的性质定理和判定定理及其应用。 教学难点：区分性质定理和判定定理，灵活运用两个定理解决问题。 五、教学过程 教学环节 与时间 教师活动 学生活动 设计意图 一、复习导入 （约5分钟） 【复习】 1. 什么是轴对称图形？ 2. 轴对称的性质是什么？ （对应点的连线被对称轴垂直平分） 【思考】 如果我们把线段AB看作轴对称图形，它的对称轴是什么？ 这条对称轴上的点到线段两端的距离有什么关系？ 【引入】 今天我们就来研究线段的垂直平分线的性质。 回答问题。 回顾轴对称性质。 思考新问题。 复习旧知。 引入新课。 激发兴趣。 二、探究新知 （约20分钟） 【探究1】线段的垂直平分线的性质 如图，直线l垂直平分线段AB，P是l上的任意一点。 猜想：PA与PB有什么关系？ 【证明】 已知：直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上。 求证：PA=PB。 证明： ∵l⊥AB ∴∠PCA=∠PCB=90° 在△PCA和△PCB中： AC=BC（已知） ∠PCA=∠PCB（已证） PC=PC（公共边） ∴△PCA≌△PCB（SAS） ∴PA=PB 【性质定理】 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 【符号语言】 ∵l⊥AB，AC=BC，点P在l上 ∴PA=PB 【探究2】线段的垂直平分线的判定 反过来，若PA=PB，点P是否在线段AB的垂直平分线上？ 【证明】 已知：PA=PB。 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：过点P作PC⊥AB，垂足为C。 在Rt△PCA和Rt△PCB中： PA=PB（已知） PC=PC（公共边） ∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL） ∴AC=BC 又∵PC⊥AB ∴直线PC是线段AB的垂直平分线 即点P在线段AB的垂直平分线上 【判定定理】 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【符号语言】 ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 【结论】 线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 思考问题。 证明性质定理。 证明判定定理。 对比两个定理。 探究新知。 证明定理。 对比理解。 三、巩固练习 （约15分钟） 【练习1】 如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，若AC=4，BC=3，求△BCD的周长。 解： ∵ED垂直平分AB ∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等） △BCD的周长=BD+DC+BC =AD+DC+BC =AC+BC =4+3=7 【练习2】 如图，点P在∠AOB内部，且PC=PD，点C、D分别在OA、OB上。 若点P到OA、OB的距离相等，求证：OP垂直平分CD。 证明： ∵点P到OA、OB的距离相等，且PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC=PD（角的平分线上的点到角两边距离相等） 又∵OC=OD（已知） ∴点O和点P都在线段CD的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上） ∴OP垂直平分CD 【练习3】 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D。 若△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB的长。 解： ∵DE是AB的垂直平分线 ∴AD=BD △ABC的周长=AB+AC+BC=60 △DBC的周长=BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=38 ∴AB=60-38=22(cm) 【练习4】 如图，A、B、C三个村庄要建一个自来水厂，使水厂到三个村庄的距离相等。 水厂应建在何处？ 作法： 1. 连接AB、BC； 2. 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两线交于点P。 点P即为水厂的位置。 【原理】 ∵点P在AB的垂直平分线上 ∴PA=PB ∵点P在BC的垂直平分线上 ∴PB=PC ∴PA=PB=PC 独立完成。 注意区分性质和判定。 注意规范书写。 巩固新知。 培养推理能力。 注意规范书写。 四、课堂小结 （约3分钟） 引导回顾： 1. 线段的垂直平分线的性质定理是什么？ 2. 线段的垂直平分线的判定定理是什么？ 3. 两个定理有什么区别和联系？ 学生归纳。 总结定理。 对比理解。 梳理知识。 强调对比。 五、布置作业 （约2分钟） 教科书习题15.1 第6、7、8题。 记录作业。 巩固基础。 六、板书设计 15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 一、性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 二、判定定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 三、集合定义： 垂直平分线是到线段两端距离相等的所有点的集合 七、教学反思 本节课学习线段的垂直平分线的性质和判定。教学中通过对比性质定理和判定定理，学生较好地理解了两个定理的区别和联系。部分学生在运用时仍然混淆性质和判定，后续应加强对比训练。 学科网（北京）股份有限公司 $